9-弯曲变形.pdf

SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 明确梁挠曲线、挠度及转角的概念；明确梁挠曲线、挠度及转角的概念；明确梁挠曲线、挠度及转角的概念；明确梁挠曲线、挠度及转角的概念； 建立梁挠曲线近似微分方程及其解法；建立梁挠曲线近似微分方程及其解法； 熟练应用梁的刚度条件；明确提高梁刚度的一些主要措施；熟练应用梁的刚度条件；明确提高梁刚度的一些主要措施；熟练应用梁的刚度条件；明确提高梁刚度的一些主要措施；熟练应用梁的刚度条件；明确提高梁刚度的一些主要措施； 掌握用变形比较法求解简单梁超静定问题。掌握用变形比较法求解简单梁超静定问题。掌握用变形比较法求解简单梁超静定问题。掌握用变形比较法求解简单梁超静定问题。 本章目的本章目的 基本要求基本要求 建立梁的刚度条件；建立梁的刚度条件； 熟练运用积分法计算梁的变形；熟练运用积分法计算梁的变形；熟练运用积分法计算梁的变形；熟练运用积分法计算梁的变形； 了解用叠加法求梁的变形；了解用叠加法求梁的变形；了解用叠加法求梁的变形；了解用叠加法求梁的变形； 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 本章目的本章目的 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 基本方程基本方程 ρ ρ dx y x FA FB dθ θ θ θ dx v x θ θ dθ θ SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 基本方程基本方程 M θd k M ρ ρ y o o′ k′ 中性层中性层 1 z z M EIρ ρ ⎡⎤ ⎛⎞ ⎢⎥ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎢⎥ ⎣⎦ 2 2 3 2 2 1 / d v 1 dx x dv dx ρ ρ 2 2 1d v xdxρ ρ 因为因为 1dv / dxθ θ 2 2 z z M x d v EIdx 近似近似 基本方程基本方程 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 基本方程基本方程 2 2 zz d v EIM x dx − 2 2 zS dd v EIF x dxdx 22 22 z dd v EIq x dxdx q M M FSFS SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 积分法积分法 x F v l x B A 已知悬臂梁的抗弯刚度为已知悬臂梁的抗弯刚度为EI，， 确定梁的转角和弹性曲线的方确定梁的转角和弹性曲线的方 程，并求点程，并求点A的挠度和转角。的挠度和转角。 d v EIM x Fx dx − 2 2 解解 dvFx EIC dx − 2 1 2 Fx EIvC xC − 3 12 6 因为因为x＝＝l 时，时， dv , v dx 00所以所以 2 FlFl C, C − 23 1 23 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 积分法积分法 dvF lx dxEI θ θ− 22 2 F vxl xl EI −− 323 32 6 端点端点A处处 A Fl EI θ θ 2 2 A Fl v EI − 3 3 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 积分法积分法 l/2 x qo l/2 x x/3 o q l 4 oo qq x x x ll 2 21 2 o q x l 2 M Fs 如图所示简支梁承受三角形分布载荷，梁的抗弯刚度为如图所示简支梁承受三角形分布载荷，梁的抗弯刚度为EI，求，求 最大挠度。最大挠度。 解解 o q q x x l 2 oooo q lq xq lq xx M x xx ll −⋅− 23 4343 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 积分法积分法 oo q lq xd v EIx ldx − 32 2 43 oo q lq xdv EIxC dxl − 4 2 1 812 oo q lq x EIvxC xC l − 5 3 12 2460 边界条件边界条件 x l / dv v, dx 2 000 o 2 q l C, C − 3 1 5 0 192 ooo q lq xq ldv EIx dxl −− 43 2 5 812192 ooo q lq xq l EIvxx l −− 53 3 5 2460192 o max q l v EI − 4 120 Ans. SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 分段积分法分段积分法 F v 2a x1 B A a C vC x2 M1 F/2 x1x2F M2 如图所示，外伸梁受集中力如图所示，外伸梁受集中力F 作用。已知梁的弯曲刚度作用。已知梁的弯曲刚度 EI，， 求梁的挠度、转角方程。求梁的挠度、转角方程。 并并 求求C点的挠度。点的挠度。 解解AB段与段与CB段分别有段分别有 F Mx − 11 2 d vF EIx dx − 2 1 1 2 2 dvF EIxC dx − 2 1 11 4 F EIvxC xC − 3 11112 12 MFx − 22 d v EIFx dx − 2 2 2 2 dvF EIxC dx − 2 2 23 2 F EIvxC xC − 3 22324 6 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 分段积分法分段积分法 边界条件和连续条件边界条件和连续条件 22 v ; C ; C 1 000 0 00 3 21 FFa v a ; a C aC ; C− 2 11 20022 123 3 4 F v a ; a C aC ; − 23 00 6 −−− − 2 22 12 133 12 dv 2adv aFF7Fa ; 2a C [a C ]; C dxdx426 4 CFa − 3 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 分段积分法分段积分法 FFFa vxC xC xxFa EIEI −−− 2 333 2232422 117 666 C Fa v EI − 3 Ans. SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 间断函数法间断函数法 C A B y, v l θ θ2 θ θ1 bF/laF/l ba F x 简支梁受集中力简支梁受集中力F作用，作用， 求梁的挠度、转角方程。求梁的挠度、转角方程。 C点的挠度。点的挠度。 解解 bF MxFxaxl l −≤≤ 11 0 0 vbF EIxFxa l x − 2 d 1 2 d vbFF EIEIxxaC xl θ θ− 22 1 d d22 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 间断函数法间断函数法 bFF EIvxxaxC l − 33 12 C 66 梁两端的边界条件为梁两端的边界条件为 v0 0 , v（（l）） 0。。代入上式可得到代入上式可得到 C bFFbFb b lC lCl l −− 2 32 2 11 0 0, 666 Fb blxxa EIl θ θ ⎡⎤ −− ⎢⎥ ⎣⎦ 2222 3 23 Fbx vlbxxa EIl ⎡⎤ −−− ⎢⎥ ⎣⎦ 2223 6 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 间断函数法间断函数法 A Fab lb EIl θ θ − 6 B Fab la EIl θ θ 6 C点的挠度为点的挠度为 梁端点转角为梁端点转角为 c Fa b v EIl − 22 3 如果力如果力F 作用在梁的中点，那么作用在梁的中点，那么 c Fl v EI − 3 48 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 间断函数法间断函数法 Fb blxxa EIl θ θ ⎡⎤ −− ⎢⎥ ⎣⎦ 2222 3 23 Fbx vlbxxa EIl ⎡⎤ −−− ⎢⎥ ⎣⎦ 2223 6 C A B y, v l θ θ2 θ θ1 bF/laF/l ba F x 也可以分段表示为也可以分段表示为 AC段段 222 3 23 Fb blx EIl θ θ⋅− 222 6 Fbx vlbx EIl −⋅−− 2222 3 23 Fb blxxa EIl θ θ ⎡⎤ −−− ⎢⎥ ⎣⎦ 2223 6 Fbx vlbxxa EIl ⎡⎤ −−−− ⎢⎥ ⎣⎦ CB段段 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 间断函数法间断函数法 FAy FBy q x l l/2 y 122 3 8222 M x qlqql xxx − 2 2 122 3 8222 d v EI dx qlqql xxx − 233 1 3 16662 dvqlqql EIxxxC dx − 344 12 1624242 qlqql EIvxxxC xC − 2 0C 3 1 3 16 ql C SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 间断函数法间断函数法 FAy FBy M x l l/2 y 2 10 2 2 d vMl EIxMx ldx − 21 1 22 dvMl EIxMxC dxl − 32 12 622 MMl EIvxxC xC l − 2 0C 1 24 Ml C 21 1 2224 dvMlMl xMx dxEIl ⎧⎫ − ⎨⎬ ⎩⎭ 32 1 62224 MMlMl vxxx EIl ⎧⎫ − ⎨⎬ ⎩⎭ SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 静不定问题静不定问题 如图所示悬臂梁，自由端如图所示悬臂梁，自由端B由弹簧支承，弹簧刚度为由弹簧支承，弹簧刚度为k。。C点有集点有集 中力中力F 作用。假设梁的抗弯刚度为作用。假设梁的抗弯刚度为EI，试求弹簧的支承反力。，试求弹簧的支承反力。 C F a b A B l F FB x 2 2 d d B v EIM xFxFxb x − 解解x正方向向左，可以避免正方向向左，可以避免A端的剪力和弯矩作为未知量出现。端的剪力和弯矩作为未知量出现。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 静不定问题静不定问题 22 1 d11 d22 B v EIFxFxbC x − 33 12 11 66 B EIv xFxFxbC xC − 边界条件边界条件x＝＝l 时时 d 0 d x l v x 22 1 11 22 B CFaF l−得到得到 边界条件边界条件x＝＝l 时时 得到得到 0v l 32 2 11 3 36 B CF lFaal− B点的挠度点的挠度 2 0 B B CF vv EIk − 2 3 3 6 2 B ala F F EI l k − 将将C2代入上式，得到代入上式，得到 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 中间铰问题中间铰问题 MA FC D CB A a q Fqa aa FA F FA FC FF q MA 如图所示铰接外伸梁。如图所示铰接外伸梁。A 端为固支，端为固支，B为中间铰，为中间铰，C 为动铰支座。为动铰支座。AB段有均布段有均布 力力q作用，作用，D端有集中力端有集中力 F qa作用。梁的抗弯刚度作用。梁的抗弯刚度 为为EI，求梁的转角和挠度，求梁的转角和挠度 的表达式。的表达式。 解解 支座反力为支座反力为 ，， A qa M 2 2 A F0＝ C Fqa2＝ SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 中间铰问题中间铰问题 挠度的微分方程为挠度的微分方程为 v EIM xqaq xq xaqa xa x −〈 〉 〈− 〉 〈−〉 2 222 2 d111 22 222d 应注意，在求转角方程时，铰连接处的转角有一增量应注意，在求转角方程时，铰连接处的转角有一增量Δ Δθ θB，需作为，需作为 待定参数引入待定参数引入 B EIxqa xq xEIxaq xaqa xaCθθθθ−〈 〉 Δ〈− 〉 〈− 〉 〈−〉 23032 1 111 2 266 B EIv xqa xq xEIxa qa q xaxaC xC θ θ−〈 〉 Δ〈− 〉 〈− 〉 〈−〉 2241 43 12 11 424 1 2 243 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 中间铰问题中间铰问题 固支端的转角和挠度均为零，所以固支端的转角和挠度均为零，所以 A Cθ θθ θ 1 00 A vvC 2 00 C点的挠度为零点的挠度为零 C vva2 0 所以所以 B qa EI θ θΔ − 3 3 8 EIxqa xq xqaxaq xaqa xaθ θ−〈 〉 −〈− 〉 〈− 〉 〈−〉 233032 1131 2 2686 qa EIv xqa xq xqaxaq xaxa−〈 〉 −〈− 〉 〈− 〉 〈−〉 2243143 1131 2 4248243 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 叠加法叠加法 叠加法计算梁的变形叠加法计算梁的变形 在小变形条件下，梁内应力不超过材料的比例极限时，梁位移在小变形条件下，梁内应力不超过材料的比例极限时，梁位移 的基本微分方程是的基本微分方程是 式中弯矩为载荷（集中力、分布力、力偶矩等）的线性齐次函式中弯矩为载荷（集中力、分布力、力偶矩等）的线性齐次函 数。当梁上同时有几个载荷作用时的挠度（转角），应该等于各数。当梁上同时有几个载荷作用时的挠度（转角），应该等于各 载荷单独作用时的挠度（转角）的线性组合载荷单独作用时的挠度（转角）的线性组合。。 2 2 d d vM x EIx SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 叠加法叠加法 例题例题 C B A F l/2 y,v x l/2 C B A q l/2 y,v x l/2 vq C B A F l/2 y,v x l/2 vF 43 5 38448 BqF vvv qlFl EIEI −− SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 叠加法叠加法 CBA a F l y,v x θ θB M＝＝Fa v2 v1 F C B A M F θ θB v2 v1 θ θB C F 图示图示AC梁为等截面外伸梁为等截面外伸 梁，梁， 外伸长度为外伸长度为a，，AB段长度为段长度为 l，抗弯刚度为，抗弯刚度为EI，，C端受端受F 力的作用。试求力的作用。试求C点的挠度点的挠度 vC。。 解解 2 1 tan 3 BB Fa l vaa EI θθθθ⋅≈ − 33 B MlFal EIEI θ θ－－ AB段的变形，可以将段的变形，可以将 力力F静力等效到静力等效到B点，点， 相当于简支梁端点受力偶矩相当于简支梁端点受力偶矩M作用。作用。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 叠加法叠加法 CBA a F l y,v x θ θB M＝＝Fa v2 v1 F C B A M F θ θB v2 v1 θ θB C F BC段可以看成是固支于段可以看成是固支于B截面截面 的悬臂梁。的悬臂梁。 3 2 3 Fa v EI − 所以所以C点的总挠度为点的总挠度为 2 12 3 C Fa vvvla EI − SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 叠加法叠加法例题例题 C B A F2l/2 y,v x l/2a F1 D C B A l/2 y,v x l/2 F1 C B A l/2l/2 F1 MF1a θ θC θ θC x C B A l/2 x l/2 F2 θ θ’C 2 FC va⋅θ θ 2 2 16 C F l EI −θ θ F1 x 1 1 FC va⋅θ θ 1 3 2 1 3 F Fa v EI 1 3 C Fa l EI θ θ 22 12 316 − D FaalF l a v EIEI SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 叠加法叠加法 D D ll MB BC C A 2m y 1m1m F B q A2m y 1m1m F FB q x x MA FA 如图所示两端固支的梁由如图所示两端固支的梁由10号工字钢制成。已知均布力号工字钢制成。已知均布力q25kN/m，， 集中力集中力F50kN, 材料的弹性模量材料的弹性模量E200GPa, 梁截面惯性矩梁截面惯性矩 I245cm4。。 试求梁的内力。试求梁的内力。 解解 这是二次静不定问题。这是二次静不定问题。 悬臂梁悬臂梁AB为静定基。为静定基。 FB 和和MB为多余约束力。为多余约束力。 将力将力FB和力矩和力矩MB产生的产生的 位移叠加，位移叠加，使使B端的挠度和端的挠度和 转角为零。转角为零。 建立两个关于建立两个关于FB和和MB的的 联立方程。联立方程。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 叠加法叠加法 -32.81 MkN⋅ ⋅m 17.71 2.08 -15.1 -32.81 FSkN 17.19 -13.54 7.99 均布力均布力q单独作用在静定基上，单独作用在静定基上， B点的挠度和转角为点的挠度和转角为 434 7 8624 BqCqCq qlqlql vvll EIEIEI θ θ⋅ −−⋅ − 3 6 BqCq ql EI θθθθ − 力力F单独作用在静定基上，单独作用在静定基上，B 点的挠度和转角为点的挠度和转角为 323 1.5 1.5 27 0.50.5 3216 BFDFDF FlFlFl vvll EIEIEI θ θ⋅⋅ 22 1.5 1.125 2 BFDF FlFl EIEI θθθθ SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 叠加法叠加法 根据边界条件根据边界条件vB0和和θ θB＝＝0，得到，得到 32 43 2 2 727 0 241632 BB FlMl qlFl− 23 2 2 1.1252 0 62 B B Flql FlMl− 根据平衡条件可知根据平衡条件可知 A端支座反力端支座反力FA＝＝ 32.81kN，， 力偶矩力偶矩MA＝＝− −13.54kN⋅ ⋅m。。 可以求出可以求出B点的约束力点的约束力 FB＝＝− −32.81kN，， MB＝＝17.71kN⋅ ⋅m。。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 面积矩法面积矩法Moment-Area 2 2 z d vddv EIEIM x dx dxdx M ddx EI θ θ B B / A A M dx EI θ θ ∫ 面积矩第一定理面积矩第一定理挠度曲线任意两点的切向的相对夹角等于这两挠度曲线任意两点的切向的相对夹角等于这两 点之间点之间M/EI图形的面积。图形的面积。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 面积矩法面积矩法 F v l/2 AB C l/2 M EI AB C 2 Fl EI − Fl EI − l/2l/2 2 / 13 222 228 BB A FllFllFl EIEIEI θθθθ −− ⋅⋅⋅ − 2 / 1 22 CC A FlFl l EIEI θθθθ − ⋅⋅ − SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 面积矩法面积矩法 A B x x dx d θθ tA/B dt M EI AB x xA ∫∫∫ / BBB A B AAA M tdtxdxdx EI θ θ / B A BA A M txdx EI ⋅∫ 面积矩第二定理面积矩第二定理挠度曲线上点挠度曲线上点A 点相对于点相对于B点的切线的垂直偏离量点的切线的垂直偏离量 tA/B等于等于M/EI曲线在曲线在A，，B点之间图点之间图 形面积关于形面积关于A点的面积矩。点的面积矩。 xA是距离，为正值，是距离，为正值， tA/B与弯矩图与弯矩图 积分值的符号相同。积分值的符号相同。 一般情况下一般情况下tA/B并不是并不是A点挠度。点挠度。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 面积矩法面积矩法 应该指出应该指出tB/A不等于不等于 tA/B。。 AB x tB/A M EI AB x xB / B B AB A M txdx EI ⋅∫ SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 面积矩法面积矩法 如图所示悬臂梁，自由端如图所示悬臂梁，自由端 受力偶矩受力偶矩M作用。试求点作用。试求点 B和点和点C的挠度。的挠度。 解由于点解由于点A的切向是水平的切向是水平 方向，所以方向，所以B和和C的挠度可以的挠度可以 直接利用矩－面积法。直接利用矩－面积法。 2 / [ ] 428 BB A lMlMl vt EIEI − − 2 / [ ] 22 CC A lMMl vtl EIEI − − M l/2 BA C l/2 vB＝＝tB/A vC＝＝tC/A AB C ABC l/4 M EI − ABC l/2 M EI − SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 面积矩法面积矩法 q vB＝＝tB/A A B 如图所示悬臂梁，受均布载荷如图所示悬臂梁，受均布载荷q 作用。试求点作用。试求点B的挠度。的挠度。 解由于点解由于点A的切向是水平的切向是水平 方向，所以方向，所以B点的挠度可以点的挠度可以 直接利用面积矩法。直接利用面积矩法。 − − 22 / 31 [ ] 43 28 BB A lqlql vtl EIEI l A B M EI AB 3l/4 2 2 ql EI − SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 面积矩法面积矩法 l/4 3l/4 5l/83l/8 h 2lh/3 lh/3 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 面积矩法面积矩法 如图外伸梁，弯曲刚度为如图外伸梁，弯曲刚度为EI，， 求求C点挠度。点挠度。 F l/2 B A C l/2 M EI ABC l/2 l/2 2 Fl EI − tB/A tC/A A B C F 2F 解解 vC // 2 CC AB A vtt− 3 / 2 228 C A lFllFl t EIEI ⋅⋅ 3 / 11 2 2 23 248 B A lFllFl t EIEI ⋅⋅⋅⋅ 333 2 84812 C FlFlFl v EIEIEI −⋅↓ SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 刚度条件刚度条件 max [ ]vv≤ max [ ]θ θθ θ≤ 刚度条件刚度条件 [ ]0.0003 0.0005vl 长度为长度为l 的一般机械的轴，许用挠度为的一般机械的轴，许用挠度为 对于跨度为对于跨度为l l的桥式起重机的梁，许用挠度的桥式起重机的梁，许用挠度 在安装齿轮或滑动轴承处，轴的许用转角在安装齿轮或滑动轴承处，轴的许用转角 [θ θ]0.001 弧度弧度 在安装滚动轴承处，轴的许用转角在安装滚动轴承处，轴的许用转角 [θ θ]0.0016～～0.005 弧度弧度 11 [ ] 750500 vl SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 本讲结束本讲结束 End of This Chapter 宇宙之大，粒子之小，力学无处不在。宇宙之大，粒子之小，力学无处不在。 Thank YouThank You 谢谢谢谢