测量平差基础第4章间接平差原理.ppt

2020/7/6,第四章间接平差,1,第一节间接平差原理,间接平差法（参数平差法）是通过选定t个独立未知量作为参数，将每个观测值分别表达成这t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。先看一个确定三角形形状的例子令,要求,,,,,基础方程,误差方程,,,,平差值方程,参数的解,2020/7/6,第四章间接平差,2,第一节间接平差原理,一般地设有n个观测值令则有,,,,,,,,,一、间接平差原理设有n个观测值，必要观测个数为t,选定t个独立参数近似值取为，有平差值方程为令,,观测值平差值,2020/7/6,第四章间接平差,3,第一节间接平差原理,令则上式变为要求对自变量X求导，令一阶导数为0，即令则有,,将基础方程第一式代入第二式，得令则有法方程的解或观测值和参数的平差值,,,误差方程,,,,法方程,,基础方程,P为对角阵,2020/7/6,第四章间接平差,4,第一节间接平差原理,二、计算步骤1.确定t,选t个独立量为参数X.2.列立误差方程3.组成法方程式中,,4.解算法方程,求参数的改正数或5.求观测值改正数6.求平差值7.精度评定以后介绍,2020/7/6,第四章间接平差,5,第一节间接平差原理,三、例题P104-1061.选取、两点高程平差值为未知参数取其近似值定权C22.列立误差方程,,,,,,2020/7/6,第四章间接平差,6,第一节间接平差原理,3.组成法方程4.解算法方程5.求改正数6.求平差值,,,,,,,观测值平差值,参数平差值,2020/7/6,第四章间接平差,7,第二节误差方程的列立,一、参数个数的确定参数的个数等于必要观测个数。水准网有已知点等于待定点个数。无已知点待定点数减1。测角网有四个必要的起算数据，等于2倍待定点数。少于四个必要起算数据，等于2倍总点数减4。测边网、边角网、导线网有四个必要的起算数据，等于2倍待定点数。少于四个必要起算数据，等于2倍总点数减3。,,二、参数的选取可以选直接观测值的平差值，也可以选非直接观测量的平差值，甚至二者兼而有之。要保证参数独立。水准网一般选待定点高程平差值；三角网和导线网选待定点坐标平差值。三、误差方程的列立方法把观测值表示成所选参数的函数水准网和GPS网一般是线性的，三角网和导线网一般为非线性的。如图测角网，选D点坐标平差值为参数,2020/7/6,第四章间接平差,8,再如下图的测边网以上均为非线性形式，需要线性化。,,二、参数的选取可以选直接观测值的平差值，也可以选非直接观测量的平差值，甚至二者兼而有之。要保证参数独立。水准网一般选待定点高程平差值；三角网和导线网选待定点坐标平差值。三、误差方程的列立方法把观测值表示成所选参数的函数水准网和GPS网一般是线性的，三角网和导线网一般为非线性的。如图测角网，选D点坐标平差值为参数,,,第二节误差方程的列立,2020/7/6,第四章间接平差,9,四、误差方程的线性化一般方法按泰勒公式展开展开,,下面结合测角网和测边网，介绍其误差方程的线性化问题，并从中找出线性化的规律。1.测角网坐标平差的误差方程下面先求坐标改正数与方位角改正数之间的关系,第二节误差方程的列立,，，，,坐标方位角改正数,2020/7/6,第四章间接平差,10,四、误差方程的线性化1.测角网坐标平差的误差方程而代入上式得,同理得,第二节误差方程的列立,,,,,,,2020/7/6,第四章间接平差,11,四、误差方程的线性化1.测角网坐标平差的误差方程角度误差方程考虑到代入并令,,第二节误差方程的列立,坐标方位角改正数方程,注意四种特殊情况公式的变化见P110,,,,,将坐标方位角改正数方程代入即可，见P111,2020/7/6,第四章间接平差,12,四、误差方程的线性化1.测角网坐标平差的误差方程提示,,列立步骤1.计算网中各待定点近似坐标;2.计算各边的近似边长和近似坐标方位角;3.列出各边坐标方位角改正数方程,计算系数;4.列出角度误差方程.,第二节误差方程的列立,记忆规律,2020/7/6,第四章间接平差,13,四、误差方程的线性化1.测边网坐标平差的误差方程,,提示按J-K方向与按K-J方向列立的方程相同[例4-3]见教材P113-116,第二节误差方程的列立,,,,,,记忆规律,注意四种特殊情况,导线网是上述两种情况的综合,此时要注意观测值权的确定.,2020/7/6,第四章间接平差,14,第二节误差方程的列立,2020/7/6,第四章间接平差,15,第三节精度评定,一、单位权中误差其中顾及则而,二、协因数阵已知求基本思想把这些向量表示成已知协因数阵的量L的线性函数，然后用协因数传播律求解。具体表示方法要用到平差原理中的主要公式。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2020/7/6,第四章间接平差,16,第三节精度评定,二、协因数阵因所以其中根据协因数传播律则而,要想找，要么把化为的函数，要么先求如下协因数阵则,,,2020/7/6,第四章间接平差,17,第三节精度评定,三、参数函数的中误差设参数函数按泰勒公式展开顾及则而令,其实只需全微分即可参数函数全微分令则有令协因数中误差,,,,,,,,,,,,,,,权函数式,2020/7/6,第四章间接平差,18,第三节精度评定,四、参数的中误差参数的协因数阵对角线元素就是各参数的协因数，有参数的中误差,[例题]参阅教材P120-122,,权系数阵,2020/7/6,第四章间接平差,19,第三节精度评定,2020/7/6,第四章间接平差,20,第四节公式汇编,观测值个数n，必要观测个数t，选t独立量为参数近似值取有平差值方程误差方程常数项或法方程式中,法方程的解平差值单位权中误差参数协因数阵参数中误差,,2020/7/6,第四章间接平差,21,第四节公式汇编,参数函数权函数式式中其中函数协因数函数方差,*,,2020/7/6,第四章间接平差,22,第五节附有限制条件的间接平差,简介间接平差要求选ut个独立的参数，但有时所选参数的个数会大于t,即ut如图测角网，n18,又高精度观测了P1P2的边长和P3P4边的方位角，则t2X5-28,但在平差时，一般仍然选择各待定点的坐标平差值为参数，即u10t多选2个参数，在参数之间就会产生2个条件式,二、协因数阵除了要列立18个误差方程外，还要列出这2个参数之间的条件式。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2020/7/6,第四章间接平差,23,第五节附有限制条件的间接平差,一、平差原理设有n个观测值L，权阵为P，必要观测个数为t,选取ut个参数X，则不独立参数的个数为su-t方程总数为rurtsns（个）。其中包含n个误差方程和s参数之间的条件方程。一般形式为或,,根据第二章知，线性化后有要求满足组成新函数求一阶导数并令其为零转置后此式与函数模型一起称为“基础方程”,,,,函数模型,,,2020/7/6,第四章间接平差,24,第五节附有限制条件的间接平差,（1）基础方程（2）（3）（1）代入（3）上式变为令（4）（5）,,法方程解法一（显性形式）用左乘（4）-（5）得令则所以代如（4）代入（1）,,,,,,,法方程,,,改正数,参数改正数,2020/7/6,第四章间接平差,25,第五节附有限制条件的间接平差,代入误差方程求观测值改正数求平差值,解法二（矩阵形式）由前知（4）（5）上面法方程可写成如下形式法方程的解,,法方程,,,2020/7/6,第四章间接平差,26,第五节附有限制条件的间接平差,二、精度评定1.单位权中误差其中,,基础方程为,,,,,runs,,2020/7/6,第四章间接平差,27,第五节附有限制条件的间接平差,二、精度评定2.协因数阵,基本思想是把其它变量表示为已知协因数阵的量的线性函数。,,,,,,,,,,,,,2020/7/6,第四章间接平差,28,第五节附有限制条件的间接平差,二、精度评定3.参数函数的协因数,,其中如何求参数的中误差三、公式汇编及示例1.公式汇编函数模型法方程式中,,,,,,,,,,,,,2020/7/6,第四章间接平差,29,第五节附有限制条件的间接平差,三、公式汇编（续）参数的解式中平差值单位权中误差,,根据第二章知，线性化后有参数的函数权函数式式中函数的协因数函数的中误差如果要求参数X的中误差，直接从Qxx中抄其协因数，开方后乘单位权中误差。,,,,,,,,,,,,,,2020/7/6,第四章间接平差,30,第五节附有限制条件的间接平差,三、公式汇编（续）2.示例,,n18t2*5-28u2*510限制条件方程个数su–t2方程总数Cruns20误差方程数n18c-s详见课本P129-133第六节间接平差估值的统计性质（知道结果即可，自学）,