曲线变换型自由曲面结构的形态创建.pdf

建筑结构学报Journal of Building Structures 第 33 卷 第 5 期 2012 年 5 月 Vol. 33No. 5May 2012 004 文章编号 1000-6869 2012 05-0023-08 曲线变换型自由曲面结构的形态创建 武岳 1，李 欣 2，曹正罡1 1． 哈尔滨工业大学 土木工程学院，黑龙江哈尔滨 150090; 2． 中国建筑科学研究院 建研科技股份有限公司，北京 100013 摘要 基于结构形态学的基本概念， 通过将结构几何形状的建立方法与寻找合理受力性能的数值优化方法相结合， 提出了 一种适用于曲线变换型自由曲面结构的形态创建方法。以 B 样条函数表达母线和准线， 以应变能作为评价结构受力性能 的指标， 基于梯度法推导出结构应变能与 B 样条函数曲线控制点坐标间的导数关系， 根据应变能的变化梯度确定控制点坐 标的调整方向， 通过逐步调整控制点坐标， 获得一系列具有较小应变能的合理曲面形状。利用 FORTRAN 语言编制了相应 的形态创建程序， 并通过具体算例验证了方法的有效性。结果表明 该方法可保证结构在形态创建过程中， 曲面上曲线的 相对位置关系保持不变， 为进一步实现连续壳体的离散化提供了条件; 且由于控制点的数量远少于曲面上离散点的数量， 因此相比于直接调整曲面坐标的形态创建方法， 该方法计算效率更高。 关键词 自由曲面结构;形态创建;曲线变换;B 样条函数;结构应变能 中图分类号 TU33TU311. 4文献标志码 A Computational morphogenesis of curve-generated free structures WU Yue1，LI Xin2，CAO Zhenggang1 1． School of Civil Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150090，China; 2． CABR Technology Co．，Ltd，China Academy of Building Research，Beijing 100013，China AbstractBased on the principle of structural morphology，a new computational morphogenesis for curve- generated free structures was put forward，which combines the geometrical modeling and the optimal ． The basic idea of this can be illustrated as followB- spline technique is adopted to describe the generatrices and directrices of curve- generated surface，and the structural strain energy is taken as the uating indicator of structural perance; based on the gradient ， the relationship between the differential of structural strain energy and the differential of the coordinate of the control points of generatrices and directrices is deduced，thus the adjusted direction of control points can be determined according to the gradient of structural strain energy;by adjusting control points gradually，the profile of free structures can be modified to achieve a series of free surface structures with lower structural strain energy． This morphogenesis was programmed using FORTRAN language and some examples were carried out to verify the efficiency of this ． It shows that this can keep the constant relationship between generatrices and directrices in the process of morphogenesis，since the morphogenesis process starts from the generatrices and directrices rather than the generated surfaces，which makes this more suitable for the application of grid shells． Moreover，as the amount of control points are far less than the amount of points on surface，the adjusting of surface by control points is more efficient than some computational morphogenesis s which adjust the surface directly． Keywordsfree structure;computational morphogenesis;curve- generated surface;B- spline;structural strain energy 基金项目 国家自然科学基金项目 50978075 。 作者简介 武岳 1972 ， 男， 黑龙江哈尔滨人， 工学博士， 教授。E- mail wuyue_2000163. com 收稿日期 2010 年 10 月 32 0引言 自由曲面结构由于具有丰富的建筑表现力和强 烈的视觉冲击效果而得到广泛应用。作为一种形状 抵抗型结构， 自由曲面除须满足建筑适用、 美观等要 求外， 还应具有合理的受力性能 ［1 ］。由于现行的设 计步骤是建筑设计在先、 结构设计在后， 这种割裂式 的设计过程往往导致建筑师所设计的曲面在力学性 能上不尽合理。因此， 自由曲面结构的发展也应同 时伴随着设计思想的改进 ［2- 3 ］。以形态学观点指导 设计， 综合考虑建筑、 结构等方面的要求， 通过分析 生成具有合理受力性能的自由曲面， 是当今空间结 构发展的热点和前沿课题， 此过程称为形态创建。 针对自由曲面结构的形态创建问题， 国内外学 者已开展了相关研究工作。Gaudi 和 Isler 等 ［4 ］以索、 膜等柔性材料为研究对象， 预先设定曲面的边界形 状， 通过 “逆吊实验法” 创建符合建筑意图的、 美观的 自由曲面。Hangai 等 ［5 ］采用广义逆矩阵理论解决了 形状不稳定结构， 如悬索的初始形态确定问题， 实现 了 “逆吊实验法” 的数值化; 崔昌禹等 ［6 ］提出了一种 适用于空间结构曲面形态创建的高度调整法， 该方 法通过计算应变能对曲面高度的敏感程度， 对曲面 形状进行调整， 进而得到应变能较小的合理结构形 态。Kimuru 等 ［7 ］将基于非均匀有理 B 样条 NUSBS 技术的自由曲面创建方法与结构优化算法相结合， 将影响曲面形状的控制点及曲面厚度作为变量， 得 到了针对此类曲面的形态创建方法。总之， 目前关 于自由曲面结构形态创建方法的研究尚处于探索阶 段， 其中将结构的几何建模方法与力学性能最优相 结合的形态创建思路更具前景。 本文以实际工程中较为常用的曲线变换型自由 曲面为对象， 提出适合于此类曲面的形态创建方法。 首先建立曲线变换型自由曲面的解析表达式， 并确 定影响曲面形状的关键变量; 然后推导该类曲面结 构的应变能对曲面形状的敏感度表达式， 以此为依 据调整曲面形状， 进而得到造型丰富且受力合理的 自由曲面; 最后通过算例验证方法的有效性。 1曲线变换型自由曲面 1. 1基本原理 曲线变换型自由曲面是指通过对曲线进行平 移、 缩放、 旋转等操作所生成的自由曲面。其基本原 理为 任意构造两条曲线， 以其中一条为准线， 另一 条为母线， 将母线沿准线进行平移、 缩放、 旋转等操 作， 即可生成形式自由的曲面。由于此类曲面上的 曲线形状始终保持相同或相似， 因此有利于对连续 曲面进行网格化处理。图1 为平移曲面形成过程， 图 2 为平移、 缩放、 旋转组合变换曲面的形成过程。 a准线与母线的位置关系 b母线沿准线平移 图 1平移曲面 Fig． 1Translational surface a母线、 准线以及引导线 b母线缩放 c母线旋转 d母线平移 图 2组合变换曲面 Fig． 2Combined transation surface 1. 2曲面方程的建立 假设母线与准线方程分别为 fg xgi， ygi， zgi 0 1 fd xdj， ydj， zdj 0 2 其中， xgi， ygi， zgi与 xdj， ydj， zdj分别表示母线上第 i 点和准线上第 j 点的坐标。 准线起点至准线上第 j 点间的矢量记为 δ → j δ gxj ， δ gyj ， δ gzj ， 如图 3 所示。以曲线绕 y 轴旋转为 例， 曲面上点 Pij xij， yij， zij的坐标可表示为 xij sxj xgicosθj zgisinθj δgxj yij syjygi δ gyj zij szj［ xgi － sinθj zgicosθj］ δg { zj 3 其中 sxj、 syj、 szj分别为母线在准线上第 j 点处的缩放 因子， 当 sxj syj szj sj时， 表示曲线为等比例缩 放; 若 sj 1 表示曲线不进行缩放变换; θj 为母线在 准线上第 j 点处绕 y 轴的旋转角度， 当 θj 0 时为平 移曲面; 若 δ → j 0 且 θj≠0 表示缩放旋转曲面。类似 地， 也可求得曲线绕 x 轴或 z 轴旋转时的曲面表达 式， 这里不再赘述。 42 a准线与母线 b母线上的点 c准线上的点 d由母线与准线生成的曲面上的点 图 3曲面与曲线上点的位置关系 Fig． 3Relationship between points on curves and points on surface 1. 3基于 B 样条函数的曲面方程 通常圆、 椭圆、 抛物线等圆锥曲线不足以用来表 示任意自由的曲面形状， 而以 B 样条函数为基础的 曲线描述方法更适于建立自由曲线。以下将 B 样条 函数与曲线变换形式相结合来描述曲线变换型自由 曲面。准线与母线的 B 样条函数参数方程分别为 Sg u∑ M m 1 PgmBm， k 1 u 4 Sd v∑ N n 1 PdnBn， k 2 v 5 其 中 Sg u{ xg u ， yg u ， zg u } ， Sd v { xd v ， yd v ， zd v }分别表示母线与准线上的点 坐标; Pgm Pgxm， Pgym， Pgzm 、 Pdn Pdxn， Pdyn， P dzn 分别表示母线和准线的控制点向量; M 和 N 分别代 表母线及准线的控制点总数。顺序连接控制点可描 述曲线的大致形状及走势; Bm， k 1 u与 Bn， k2 v为 B 样条基函数， 以母线为例， 其递推表达式为 Bm， 1 u 1u ∈［ 珔um ， 珔 um1 0 { 其他 6 Bm， k 1 u u － 珔um 珔umk 1－1 － 珔umBm， k 1－1 u 珔umk 1 － u 珔umk 1 － 珔um1B m1， k1－1 u 7 母线与准线上的节点向量分别为 珔u { 珔u1 ， 珔 u2， 珔uMk 1－1}与 珔 v { 珋v1， 珋v2， 珋vNk2－1} ， k1－ 1、 k2－ 1 为多 项式次数。给定 u { ui}∈ 珔u i 1， ， I及 v { vj}∈ 珔v j 1， ， J ， 根据式 4～ 7 即可确定 B 样条曲线上点的坐标。 为获得式 3 中的缩放因子以及旋转角度， 需设 置与准线相对应的引导线， 记引导线与准线各点相 对应的参数向量为 w { wj} ， 与之对应的引导线点 坐标为 R wj { xr wj ， yr wj ， zr wj } 。 则式 3 中 δ → 的 B 样条函数表达式为 δ → j ∑ N n 1 Pdn［ Bn， k 2 vj－ Bn， k2 v1 ］ 8 等比缩放因子 sj的 B 样条函数表达式为 sj ‖Sd vj－ R wj ‖2 ‖Sd v1－ R w1 ‖2 9 式中 ‖ ‖2为 L2范数， 表示准线上第 j 点与相应参 考点之间的距离。 转角 θj表达式为 θj ψ vj， wj－ ψ v1， w1 10 其中 ψ vj， wj arctan ψ － z vj， wj ψ － x vj， wj 11 ψ － x vj， wj∑ N n 1 PdxnBn， k 2 vj－ xr wj 12 ψ － z vj， wj∑ N n 1 PdznBn， k 2 vj－ zr wj 13 1. 4曲面形状控制参数 由于曲线变换型自由曲面是由通过 B 样条函数 表示的母线与准线共同确定的， 而对 B 样条曲线， 控 制点坐标是影响其形状的主要参数， 因而亦影响该 类曲面形状。图 4 为改变 B 样条曲线某一控制点后 曲线形状的变化情况。 图 4控制点对曲线形状的影响 Fig． 4Influence of control points 改变控制点对曲线形状的影响体现在以下几个 52 方面 ①调整控制点坐标可实现曲线在较大范围的 改动; ②调整某个控制点仅影响与其相关的一段曲 线， 而不会完全改变曲线的整体形状; ③与曲线上的 众多生成点相比， 控制点的数量相对较少， 更有利于 调整曲线形状。 2曲线变换型自由曲面结构的形态 创建 2. 1问题表述 自由曲面结构形态创建的目标是获得具有合理 受力性能的曲面形状， 这就涉及到以何指标来评价 曲面的受力性能。通常采用的指标有曲面的弯矩、 平均位移、 应变能等。相比之下， 应变能可更好地反 映结构的整体力学性能， 应变能较小表明结构的力 学性能较优。因而本文选择应变能作为衡量结构受 力性能优劣的指标。 以下将曲面的 B 样条函数创建方法与结构优化 问题的梯度法相结合， 推导曲线变换型自由曲面结 构形态创建方法的相关公式。 2. 2方法的建立 由式 3 及式 8～ 13 可知， 曲面上点的坐标 可表示为准线与母线控制点的函数， 而结构平衡方 程是曲面坐标的函数， 因此结构平衡方程关于控制 点坐标的表达式为 K Pg， Pd U Pg， Pd F Pg， Pd 14 式中 K Pg， Pd为结构刚度矩阵;U Pg， Pd为结 构节点位移向量; F Pg， Pd为节点荷载向量。 假设结构在荷载作用下始终处于线弹性状态， 则结构应变能可表示为 C Pg， Pd 1 2 F Pg， Pd TU P g， Pd 1 2 U Pg， Pd TK P g， Pd U Pg， Pd 15 求解应变能函数 C Pg， Pd的最小值实际上是 求解非线性多元函数的无约束极值问题， 本文采用 梯度法实现。假设与初始曲面对应的母线与准线的 控制点坐标为 P* g { P* gm}和 P * d { P* dn} ， 由于应 变能表达式为定义在多维空间上的函数， 其一阶 Taylor 级数展开式为 C P* g ΔPg， P* d ΔPd C P* g ， P* d D［ C P* g ， P* d ］ o‖P * g ， P* d， ΔPg， ΔPd‖ 16 其中 ΔPg、 ΔPd分别为准线与母线的控制点坐标增 量; D［ C P* g ， P* d ］为应变能关于控制点的方向导 数， 如式 17 所示;o‖P* g ， P* d， ΔPg， ΔPd‖ 为与控 制点及其增量相关的高阶余项， 当坐标增量变化较 小时可忽略。 D［ C P* g ， P* d ］ ∑ M m 1 ［ Δ C P* gm TΔP gm］ ∑ N n 1 ［ Δ C P* dn TΔP dn］ 17 其中 Δ C P* gm 、 ΔPgm为母线上第 m 个控制点的应 变能梯度与坐标增量; Δ C P* dn 、 ΔPdn为准线上第 n 个控制点的应变能梯度与坐标增量。由式 16 和式 17 可以看出， 合理选择控制点坐标增量的方向及 大小将使得结构应变能减小， 即 C P* g ΔPg， P* d ΔPd≤ C P* g ， P* d 18 为计算应变能最小值， 需进行迭代计算， 并使控 制点坐标的增量与应变能负梯度方向一致。第 l 次 迭代的坐标增量 ΔPg l与 ΔPd l表示为 ΔP g l α l － Δ C ΔPg l－1 19 ΔP d l β l － Δ C ΔPd l－1 20 式中 α l 、 β l分别为步长， 且 α l 、 β l大于 0， 其值 由初始曲面形状、 支承条件、 荷载条件等确定。同时 给定步长 α l和 β l，准线与母线同时变化; 若设置 α l或 β l中某一项数值为 0， 仅对准线或母线进行 单独调整。 将式 19、 20 代入式 16 ， 可得第 l 1 次迭 代时的应变能表达式为 C Pg l1， Pd l1 C Pg l， Pd l－ α l ∑ M m 1 ［ Δ C Pgm l ］ 2 － β l∑ N n 1 ［ Δ C Pdn l ］ 2 21 由式 21 可知， 求最小应变能的关键是建立应 变能对控制点的梯度关系。以 q l代表 Pgm l或 Pdn l的坐标分量， 假设荷载 F l不随曲面形状的变 化而变化， 将式 14 对 q l求导可得 K l q lU l K l U l q l F l q l 0 22 将式 15 对 q l求导可得 Δ C q l 1 2  F l T q l U l F l T U l q l 1 2 F l T U l q l 23 联立式 22 与式 23 得到应变能梯度表达式为 Δ C q l － 1 2 U l T K l q lU l 24 将由式 24 计算得到的应变能梯度代入式 19 和式 20 ， 计算控制点的坐标增量， 调整后的控制点 坐标为 Pg l1 Pg l ΔPg 25 Pd l1 Pd l ΔPd 26 根据式 25 、 26 ， 由式 3～ 13 重新计算曲 面上的点坐标， 反复调整控制点， 即可逐渐得到受力 性能合理的自由曲面。 62 由式 24 可将应变能梯度的计算转化为刚度矩 阵对控制点的求导。由于刚度矩阵是结构上节点坐 标的函数， 即 K l f S l 27 因此， 刚度矩阵对控制点的导数可表示为 K l q l f S l q l 28 其中 S l为第 l 次迭代时曲面上某点的直角坐标， S l q l 为节点坐标对控制点坐标的导数。 2. 3曲面坐标对控制点的导数 以下以母线绕 y 轴旋转为例， 给出曲面上各点关 于控制点的导数计算公式， 具体推导过程略。 曲面坐标对母线控制点的导数为 x ij P gm sxjBm， k 1 ui ζxcosθj ζ zsinθj y ij P gm syjζyBm， k 1 ui z ij P gm szjBm， k 1 ui ［ ζx － sinθj ζzcosθj          ］ 29 其中 Pgm为母线对应的第 m 个控制点的直角坐标分 量; ζx 、 ζ y 、 ζ z为 x、 y、 z 向分量常数， 当 Pgm代表坐标的 x 向分量时， ζx 1、 ζy ζz 0; 当 Pgm代表其他坐标 分量时， 与之对应的 ζ 值为 1。类似地， 亦可以得到 曲线绕其他坐标轴旋转时的导数计算公式。 曲面坐标对准线控制点的导数为 x ij P dn s xj P dn xgicosθj zgisinθj sxj xgi cosθj P dn zgi sinθj P d n δgxj P dn y ij P dn s yj P dn ygi δgyj P dn z ij P dn s zj P dn［ x gi － sinθj zgicosθj］ szjxgi － sinθj P d n zgi cosθj P d [] n δgzj P d                n 30 其中 δgxj P dn δgyj P dn δgzj P dn Bn， k 2 vj 31 缩放因子 sj的导数为 s j P dn  ‖ Sd vj－ R wj ‖2/ Pdn ‖ Sd v1－ R w1 ‖2 32 式 32 需要根据准线上的点与引导线对应点的 距离确定。 与旋转角度对应的导数计算公式为 sinθj P dn ψ vj， wj P dn cosθj 33 cosθj P dn ψ vj， wj P dn － sinθj 34 当 Pdn代表准线控制点的 z 坐标分量时， ψ vj， wj P dn Bn， k 2 vj 1 ［ ψ － z vj， wj / ψ － z vj， wj ］ 2 35 当 Pdn代表准线控制点的 x 坐标分量时， ψ vj， wj P dn － Bn， k 2 vj ψ － z vj， wj / ψ －2 x vj， wj 1 ［ ψ － z vj， wj / ψ － z vj， wj ］ 2 36 根据式 24 及式 29～ 36 即可求得结构应 变能对控制点坐标导数的解析表达式。 2. 4形态创建步骤 基于 B 样条函数的曲线变换型自由曲面结构的 形态创建步骤如下 1 根据建筑给定的初始条件， 选择适当的曲线 变换方式， 并确定母线与准线的初始控制点向量 Pg 1、 Pd 1等参数信息。 2 给定支座条件、 结构材料以及荷载等信息， 设置误差允许值 ε。 3 确定曲面的调整方式， 即是否允许同时调整 准线及母线。 4 将迭代步数 l 置为 1。 5 根据式 24 计算应变能梯度。 6 根据式 19 和式 20 计算控制点坐标增量。 7 根据式 25 和式 26 调整控制点坐标并重 新计算生成曲面。 8根 据 式 21判 断 是 否 满 足 收 敛 条 件 C l1－ C l＜ ε; 若不满足， 则置 l l 1， 返回步 骤 5 重新计算; 若满足则停止计算。 2. 5本文方法特点 1 可保证曲面上曲线的相对关系不变， 有利于 进一步对曲面进行网格划分。 2 由于 B 样条函数曲线可通过少量控制点描 述， 因此在调整曲面时可有效减少变量的数量， 提高 计算效率。 3 可根据建筑需要同时调整准线和母线， 也可 仅进行单一方向的曲线调整。 3算例分析 根据上述方法， 本文利用 FORTRAN 语言编制了 72 相应的自由曲面结构形态创建程序。以下针对 3 种 具有代表性的曲线变换型自由曲面 平移曲面、 缩放 平移曲面、 缩放旋转曲面 进行形态创建分析。 假设结构材料为线弹性， 弹性模量 E 3. 0 104MPa; 泊松比 ν 0. 3。 有限元模型选取平面三角 形壳体单元进行模拟， 支座为周边三向铰支。选取 恒荷 活荷 均布向下， 2. 5 kN/m2 为计算荷载。 3. 1平移曲面的形态创建 设母线在 x- z 平面内长度60 m， 准线在 y- z 平面内 长度80 m， 如图5a 所示。初始模型形状如图5b 所示。 a初始模型的母线与准线 b平移曲面 图 5平移曲面初始形状 Fig． 5Initial shape of translational surface 3. 1. 1曲面形状的单向调整 假设在结构形态创建过程中仅允许调整母线形 状， 即令式 21 中的步长参数 β l 0。 为更好描述 曲面受力性能的变化过程， 定义应变能变化率为 C l－C 1 /C 1; 平均应力变化率为 σ l －σ 1 /σ 1， 其中， σ l为对第 l 次迭代时曲面上各点的弯曲或薄 膜应力绝对值的平均值。图 6 为应变能变化率随迭 代步数的变化情况， 由图可以看出， 随着迭代步数的 增加， 结构应变能逐渐降低并趋于稳定。本算例中， 当迭代至 1 000 步时， 结构应变能降低到初始曲面的 30。图 7、 8 分别为曲面最大位移与平均位移的变 化情况， 其中以 z 向位移最大， 随着迭代步的增加， 位 移减小、 刚度增加。图 9 为结构应力的变化情况， 可 以看出， 随着迭代次数的增加， 弯曲应力与薄膜应力 均大幅度降低， 且弯曲应力降低更大， 最终曲面转化 为以薄膜应力为主的结构。图10 为迭代过程中曲面 形状的变化情况。可见， 随着迭代的进行， 曲面产生 了较大幅度的突起和凹陷， 使得曲面的曲率产生了 较大变化， 显然这种变化是有利于结构受力的。 综合图 6 ～ 10 可以看出， 在迭代 200 步以后， 结 构的应变能、 位移及应力的变化已趋于平稳， 因此可 图 6应变能变化率 Fig． 6Evolution of strain energy 图 7节点最大位移的变化 Fig． 7Evolution of maximum nodal displacements 图 8平均位移的变化 Fig． 8Evolution of average displacements 以认为第 200 步至第 1 000 步的计算结果均可作为 建筑备选方案。这也反映了结构形态创建与结构优 化的区别， 即结构形态创建是以结构优化为手段， 目 的是获得具有合理受力性能的一系列结构形状， 而 非找到最优解。 3. 1. 2曲面形状的双向调整 假设在形态创建过程中允许同时调整准线与母 线形状。图11 所示为同时调整准线与母线所产生的 曲面形状， 可以看出， 图10 所示的曲面变化主要体现 在母线方向， 而图 11 的曲面在母线和准线方向均产 生了较大的曲率变化。 3. 2缩放平移曲面的形态创建 在缩放曲面的形态创建过程中， 需要计算与式 82 图 9结构平均应力的变化 Fig． 9Evolution of average stresses 图 10曲面形状单向调整变化过程 Fig． 10Progress of shape transation by uni- directional adjusting 图 11曲面形状双向调整变化过程 Fig． 11Progress of shape transation by bi- directional adjusting 9对应的缩放因子及相应的导数表达式。假定在 进行自由曲面形态创建时曲面的准线形状始终保持不 变， 曲面的准线与母线及初始几何形状如图12 所示。 由于边界形状保持不变， 因此， 缩放因子以 x 向 的长度进行度量， 式 9 可简化表达为 sj 1 ∑ N n 1 Pdxn［ Bn， k 2 vj－ Bn， k2 v1 ］ ∑ M m 1 PgxmBm， k 1 u1 37 图 12缩放平移曲面初始形状 Fig． 12Initial shape of scale- translational surface 曲面上的点坐标对控制点的导数表达式为 P ij P dxn Bn， k 2 vj－ Bn， k2 v1 ∑ M m 1 PgxmBm， k 1 u1 ∑ M m 1 PgxmBm， k 1 ui Bn， k2 vj ζ 38 式中， 对应曲面上 y、 z 向坐标时， ζ 0; 对应曲面上 的 x 坐标时， ζ 1。 图13 为在曲面形态创建过程中结构应变能的变 化情况， 规律与图 6 基本一致， 但应变能的变化幅度 更大 本算例降幅 90 以上 。图 14 所示为形态创 建过程中曲面形状的变化过程， 可以看出， 随着迭代 步的增加， 曲面沿母线方向的曲率产生了很大变化。 图 13应变能变化率 Fig． 13Evolution of strain energy 图 14缩放平移曲面形状的变化过程 Fig． 14Progress of shape transation of scale- translational surface 92 3. 3组合变换曲面的形态创建 组合变换曲面在形状建立的过程中除需要预先 设置准线与母线外， 还需要设置引导线。图 15 所示 为母线、 准线以及引导线之间的相互关系以及初始 曲面形状的建立过程。 a初始模型的母线、 准线及引导线 b平移、 缩放、 旋转组合曲面 图 15组合变换曲面初始形状 Fig． 15Initial shape of combined translational surface 假定在曲面结构形态创建过程中仅允许调整母 线形状， 图 16 所示为曲面形状的变化过程， 可以看 出， 随着迭代步的增加， 曲面沿母线方向的曲率明显 增加， 表明结构抵抗竖向荷载的能力得到提高。 图 16曲面形状的变化过程 Fig． 16Progress of shape transation of combined translational surface 4结论 本文提出了针对曲线变换型自由曲面结构的形 态创建方法， 并通过算例验证了方法的有效性。 主 要结论如下 1 将 B 样条技术应用于自由曲面的几何建模， 可以创建出更具建筑表现力的曲面形式。其中准线 与母线的控制点坐标是影响曲面形状的关键参数。 2 将基于曲线变换技术的自由曲面几何建模 方法与寻找最小应变能的梯度法相结合， 通过调整 控制点坐标， 可有效实现结构形态创建。 3 在形态创建的过程中， 可根据建筑需要单独 调整准线与母线， 也可对母线和准线同时调整。 4 自由曲面的形态创建可产生大量受力性能 合理的自由曲面形状， 从而为建筑方案的确定提供 较大的选择空间。 参考文献 ［ 1］ 李欣， 武岳， 崔昌禹． 自由曲面结构形态创建的 NURBS- GM 方法［ J］ ． 土木工程学报， 2011， 44 10 60-66． Li Xin，Wu Yue，Cui Changyu． NURBS- GM for computational morphogenesis of free structures［ J］ ． China Civil Engineering Journal，2011， 44 10 60-66． in Chinese ［ 2］ Pearce P J． Principles of morphology and the future of architecture［ J］ ． Journal of Space Structures， 1996， 11 1/2 103- 114． ［ 3］ Schlaich J，Schober H，Kurschner K． New Trade Fair in Milan- Grid topology and structural behaviour of a free- ed glass- covered surface［ J］ ． Journal of Space Structures， 2005， 20 1 1- 14． ［ 4］ 袁中伟． 找形研究 从高迪到矶崎新对合理形式的 探索［J］ ．建 筑 师， 2008，6 5 27- 30． Yuan Zhongwei． - finding studyfrom Gaudi to Arata Isozakionreasonableofexploration［ J］ ． Architect， 2008， 6 5 27- 30． in Chinese ［ 5］ Hangai Y，Kawaguchi K．Analysis for shape- finding process of unstable link structures［J］ ． Journal of the InternationalAssociationforShellandSpatial structures， 1989， 30 2 116- 127． ［ 6］ 崔昌禹， 严慧． 自由曲面结构形态创构方法高度