工程上常见几何体体积计算.pdf

第 1 5卷 第 3期 2 0 0 4 年 9月 水 资 源 与 水 工 程 学 报 J o u r n a l o f W a t e r Re s o u r c e s W a t ．e r En g i n e e r i n g VO【 ． 1 5 NO． 3 S e p．， 2 00 4 工程上 常见 几何体体 积计算 Cal c ul at i on o f v o l um e o f t he c o m m o n g e o m e t r i c a l b odi e s i n e ng i ne e r i n g 张艳 杰 ，叶 剑 ，刘 崇选 ，董 为 民 ，赵 小 利 1 ． 长 安大 学 特 殊地 区公路 工 程教 育部 重点 实 验室 ， 西安 7 1 0 0 6 4 ； 2 ． 西 安 市水 利建 筑勘 测 设计 院 ， 西 安 7 1 O O 5 4 摘 要 阐述 了工 程 上常 见 几何 体体 积 准确 计算 公 式 、 近似 计 算公 式 及误 差计 算 式 ， 指 出工程 上 常 用算 法 中存 在 的 问题 ， 最 后 推 荐一 种精 度较 高 的近 似算 法 。 关 键 词 常 见 几何 体 ；体 积计 算 ；工程 中图 分类 号 ； TV2 1 4 文 献标 识码 A 文章 编号 ；1 6 7 2 6 4 3 X 2 0 0 4 0 3 0 0 4 0 0 5 Z HA NG Y a n j i e ，Y E J i a n 。 ，L I U C h o n g x u a n 。 ，DONG We i mi n 。 ，Z HAO Xi a o l i 。 1 ． Ke y L a b o r a t o r y f o r S p e c i a l Ar e a Hi g h wa y En g i n e e r i n g o f Mi n i s t r y o f Ed u c a t i o n ， C h a n g ’ a n Un i v e r s i t y， Xi ’ a n 7 1 0 0 6 4 ， C h i n a ；2 ． Xi ’ a n S u r v e y a n d De s i g n I n s t i t u t e o f Hy d r a u l i c a n d Ar c h i t e c t u r e E n g i n e e r i n g，Xi ’ a n 7 1 0 0 5 4 ， C h i n a Ab s t r a c t Ac c u r a t e a n d a p p r o x i ma t e c a l c u l a t i o n f o r mu l a s a b o u t t h e v o l u me o f t h e c o mmo n g e o me t r i c a l b o d i e s i n e n g i n e e r i n g a r e d i s c u s s e d， a n d f o r mu l a s a b o u t e r r o r c a l c u l a t i o n a r e d e r i v e d i n t h i s p a p e r ． S o me p r ob l e ms e x i s t i n g a b o u t t h e c a l c u l a t i o n me t h o d s i n u s e a r e p o i n t e d o u t ． Ap pr o xi ma t e me t h o d wh i c h i s s i mp l e a n d e f f e c t i v e i s a l s o g i v e n ． Ke y wo r d st h e c o mmo n g e o me t r i c a l b o di e s；v o l u me c a l c u l a t i o n；e n g i n e e r i n g 考 虑边坡 稳 定 ， 水利 、 铁 路 、 公路 、 市 政 、 给水 等 工程 的边坡 常设 计 成斜 面 ， 因而 遇到 台体 的体积 计 算 问题 ， 如砂 、 石 、 土 堆 、 河 、 渠 、 沟 、 槽挖 方 、 路 基 、 河 堤 、 渠堤 填方 、 挡 土墙 、 桥 台 、 塘库 库容 、 水 池 等都是 台体 。 两平行平 面间的几何体称 台体 ， 平 行两面是 台 体底 面， 台体侧 面为斜面或圆 台面 含 圆锥面 。 对 于 侧面为扭 面及复杂 台体体 积计算亦可用 本文方法 。 教科 书及计算手册上 有关 台体体 积的计算公式 不易记忆 ， 工程上 常用 的计算方 法又存在一 定 问题 。 笔 者对各种 计算 方法 进行 了长 期深 入 的研 究 ， 揭 示 了台体体 积计算 的实质 和各种 算法 的内部联 系 ， 从 而提出解决 台体 体积计算 的较 好方法 。本 文主要论 述 以下几个 问题 1 提 出 台体 体 积 计 算 的另 一 种 普 遍 计 算 公 式 ， 该公式 几何意义 明确 ， 便 于记忆 ； 2 介 绍用积分法计 算 台体体积 ； 3 得 出常 见 台体 体 积准 确 和 近似 计算 公 式 、 误差计算式 ； 4 指 出工程上常用算法 其计算 复杂 、 误差大 ； 5 提 出另一种近似计算法 算法 2 ， 该法 计算 简单 、 且 误差 小 ； 6 提 出渠槽 、 路基等 工程 的一种新算 法 ， 该法 比工程上常用 的算法 简单 ， 且 误差小一倍 ； 7 提出渠 槽 、 路基 等工程 量的一种 简算法 ， 简 算法几何意义 明确 ， 便于记忆 ， 计算 简单 且精度满足 工程要求 。 图 1为一般台体平面 图 如砂 、 石 、 土堆 等 。 图 1 一 般 台体 平面 图 收稿 日期 2 0 0 4 一 O l 一 2 3 ； 修 稿 日期 2 0 0 4 0 5 1 9 作者 简 介 张 艳杰 1 9 7 O 一 ， 女 汉 族 ， 河 北省 人 ， 长安 大学 博 士生 ， 主要从 事公 路 环境科 学 研究 。 维普资讯 第 3期 张 艳杰 ， 等 工 程上 常见几 何体 体积 计算 4 1 1 台体体积计算法 1 ． 1 台体体 积计算方法 1 文献 [ 1 ] 中台体体积准确计算公式 为 V一 s t 4 S 中S 下 1 0 式 中 为体积 ； 为台体高 ； S 上、 S中 、 S 下 分别为台体 上底 面、 中截面及下底面面积 。 2 台体体积 的另一 种计算公式绘 出台体平 面图 ， 并从底面角 的顶点作另一底面对边 的垂线 ， 如 图 1中双点 画线 ， 这样便将台体分成中间棱柱 含圆 柱 ， 周围直 角三棱 柱及各 角处 的棱锥 含圆锥 。 1 1 VS 。 h 寺S 2 h S 3 h 2 式 中 S 为 台体 中间棱柱 含 圆柱 底 面积； S 为 台 体 周 围直 角 三 棱 柱侧 面 相 应平 面域 的面 积 之 和 ， S 一 s ， 当s 为凸多边形时， 其三棱柱长等于 l 1 S 的周 长 ； S 。为各 角 棱 锥 含 圆锥 底 面 积 之 和 ， S 。 一 s 。 ， 当s 。 为凸多边形时， s 。 外周长度为大 l 1 底面 S与小底 面 S 周长之差 。 3 用 积分法计算 台体体积 因台体上下底面 互相平行 ， 且侧面为斜 面 ， 因而可用积分法计算 台体 体积 。 与底 面平 行的截面面积可写成 台高 的函数 ， 如 长方 台、 楔体 、 面为梯形 的台体 、 棱 台 含 圆台 、 棱锥 含 圆锥 、 也包括棱柱 含 圆柱 ， 都可 以用积分法计 算 体积 。 为与 台体底面平行的截面面积 ， 即 W f h 广 则 V l f h d h 3 J 0 4 公式 2 的特例 ①几何体为棱柱 含 圆柱 时， 将 S o 、 S 。 一 0 代入 2 式 ， 得 V S h。 ②几何体为直角三棱柱时 ， 将 S 一 0 、 S 。 一 0代 入 2 式 ， 得 V 一 1 ／ z s h。 ③几何体为棱锥 含 圆锥 时 ， 将 S 一 0 、 S 一 0 代入 2 式 ， 得 V 1 ／ 3 s。 h。 根 据 以上 特例可知 ， 公式 2 适 用于棱柱 含 圆 柱 、 棱锥 含 圆锥 、 棱 台 含 圆台 及一 般 台体 的体 积计算 。 1 ． 2 台体体积近似计算法 1 算法 1 工程 上常用计算 台体 体积的近似 算法是 台体体积 等 于台体上下底面面积的平均 值乘 以台高 。 V1 一 s 上 S 下 4 2 算法 2 台体体积 等于台体 中截面面积 乘以台高 。 V2 S h 5 1 ． 3各种计算方法比较 以上 计算方 法各有 利弊 ， 近 似算 法 2比近 似算 法 1 计算简单 ， 且误 差小 ， 建议用计算 法 2计算 。 2 工程上常见台体体积计算 2 ． 1 I类长方台 上下 底面 为矩形 、 且上下底 面的对应边互 相平 行 的台体 ， 叫长方台 。 长方 台的一个底 面的边均在另 一 底面的外边 ， 称 I 类 长方 台， 见图 2 。如砂、 石 、 土 堆、 人工塘库 、 水池 、 鱼池的 四个边坡坡度一般相等 。 a 平面图 L ． Ⅲ L ， - ，一 I - o h } ’ h ／ 2 - 、 一 h l l d h 图 2 I 类长 方 台 1 体积的准确计算 ①用 1 式计算 。 v 一 吉 [ 4 专 n 寺 6 1 b 2 a z b 2 ] 一 口 1 b 2 a z b 1 2 a 1 b 1 2 a 2 b 2 6 ②用公式 2 计算 。 用辅助线 双点画线 将台体 分成 四棱柱 、 三棱 柱、 四棱锥 。 V S ah 丢 h 4 h 4 一 a l b l h 寺h a 1 6 2 一 b 1 b 1 口 2 一 口 1 ] 口 2 一 口 1 6 2 一 b 1 一 口 l b 2 a z b 1 2 a 1 b 1 2 a 2 b 2 维普资讯 4 2 水 资 源 与 水 工 程 学 报 2 0 0 4年 ③ 用积分法 。选 直角坐标 系 h o b ， 如图 2 6 。 a a。十 ，6 6 。 W a b ． d W d h 一 口 l b 2十 口 2 b l 2 a l b 1 2 a 2 b 2 以上三种方法 计算结果相 同 ， 上式 可写成 a b h l 。 2 7 n 4 h 。 6 式 中 一 a 。 a ， 一 6 。 b 2 2 体积 的近似计算 ①算 法 1 l 一 口 l b l a 2 b 2 一 a b h 4 ml 垅。 2 t 。 7 绝 对 误 差 lV V l 一一 1 ml 。 2 。 8 V。 比真值 大 ， 相对误差 I I 一 2 3 c 9 ②算法 2 V2一 a b h 1 0 2 一 VV2 一一 l 1 1 比真值小 。 I I 一 I I 1 2 2 ． 2 Ⅱ类长方 台 长方 台的一个底面 的边 长与另一个底面边 长 比 较 ， 一个 短 ， 一个 长 ， 称 Ⅱ类长方 台。 如梯形 含矩形 、 三角形 河渠上 的土石坝体 ， 见 图 3 。 1 体 积计算用 2 式计算 V S lh ∑ 。 告 ∑ i 害 1 u 1 一 口 2 b l h h C a 2 6 2一 b 1 b l 口 l 一 口 2 ] h 口 l 一 口 2 6 2一 b 1 一 口 l b l 十 口 2 b 2 2 a l b 2 2 a 2 b 1 1 3 或V 一 口 b h一 l 。 2 t 。 1 4 2近 似 计 算 ①算法 1 。一 口 。 6 。 口 6 1 一 一a b h一 1 l 。 2 。 。 一 百 1 。 。 。 。 V。比真值小 。 I I一 1 5 1 6 3 睾 1 ] [ ② 算法 2 1 3h 一 1 l 3 。 V2一 一ab h 一 号 。 V 比真值 大 。 I I 一 1 I J I J a 2 ． 。 目 S2 l ． ●● I I 一 S2 { 。 Sl 2 2 苣 I I 2 3 ●● 一 图 3 Ⅱ类 长方 台 1 7 1 8 1 9 2 ． 3底面 为梯 形的台体 一 单元 段河 、 渠 、 沟、 槽 挖方及 水 体体 积 ， 路基 、 河堤 、 渠堤填 方 ， 挡土墙工 程量等都是底 面为梯形的 台体 ， 所 谓一 单元段 ， 即在纵 断 面图 中 ， 单 元段 内渠 槽 底线 以渠槽 为例 及地面 线为 一直 线 ， 这两 条线 在横 断面图 中为一水平线 。 下面 以单 元段渠槽为例 ， 说 明体 积的计算方 法 图 4 。 1 用 积分 法 计算 在 图 4 b 中选 直 角坐标 系 Lo h ，可 得 h h l L，b b 1 L 上 l上 1 一 mh 2 ．d V W al L 维普资讯 第 3期 张 艳杰 ， 等 工程 上常 见几 何体 体积 计算 4 3 一 Ⅲd 一 吉 6 。 2 。 L 。 吉 6 2 - L - - L 。 一 。 L 。 2 0 上式 为非棱柱形 渠槽土方量及水 体体积计算公 式 ， 如渐变段 。 h 0 一 b 纵断面图 图 4 底 面为 梯 形的 台体 图 2 棱 柱 形 渠槽 ① 当 b 。 一 b 一b时， 2 0 式变为 一 6 。 L。 。 2 L。 { ～h i z L 。 2 1 或 一 万 Ll lm h 2一 1 Ll 2 1 式 中 万一 1 。 h 2 ② 近似计算法 1 。 l一百 1[ l } 2 h 3 L l 2 2 绝 对 误 差 。一 ～ 一 hi z L。 2 3 算法 1计算结果 比真值大 。 J 6 1 J 一 6 b ． 12 bh】 2一 h 1 7 2一 h1 3 1 1 2 4 ③ 近似计算法 2 。 V2一 Ll 一 ， 算 法 2计算结果 比真值小 。 2 5 2 6 I I 1 I I 2 7 2 ． 4梯形 含矩形 、 三角形 河渠上的库 容 或水量 西安 市环城河 一段 库容 或水 量 ， 可视 为梯 形 横断 面的台形下底退化为一直 线如图 5 。 图 5 梯 形 河渠上 库 容 1 用 公 式 2 计 算 一 2 s 壹 i 1 s 一 1 6 L 1 I B b L 一了 1 B 2 b Lh 2 8 2 当横 断面为三 角形 时 ， 将 b一 0代人上 式 得 一 1 Bh L 2 8 ， 3 当横 断 面为 矩形 时将 B b代人 2 8 式 得 一 1 Bh L 2 8 ，， 、 4 当河 渠横 断面为抛物线 时 一 3． 15 Bh L 2 9 2 ． 5楔 体 如图 6 ， 可视 为长方 台一底 面退 化为 一直 线 ， 令 6 式 中 b 一0 ， 则得楔体体 积 一 1 _ 6 l 口 2 2 a 1 3 0 或用 2 式计算 一 吉 。 一 n 。 b l 1 _ 6 I 口 2 2 a 1 丁 上 T●刮 一 维普资讯 4 4 水 资 源 与 水 工 程 学 报 2 ． 6圆 台 如图 7 ， 用 2 式计算 1 1 V S l h X 2 7t R h 7 c Z h 厶 1 7 t R h 7 t R r n h ． irn h 。 3 1 0 上式表 明， 圆台体 积等于 3个 几何体体积之和 ① 以圆 台小底 面 为底 、 高 为 h的 圆柱 ； ② 周边 是 直角三棱 柱 ， 截面直 角三 角形 一条 边 长为 mh， 一 条 边 长为 h， 柱长 为园台小底 面圆周 长 2 7 t R； ③ 周边为 圆锥 ， 底 面半 径为 mh， 周长 为 圆 台大底面 周长 与小 底 面 圆周 长之差 ， 即 2 7 t C R mh 一 R]一 2 7 t mh ， 圆锥高 为 h。 一 ／ ／s 。 S z i 2 2 ＼ 图 6 楔 体 图 7 圆 台 上式与一般几 何书上 圆台体积计算公式完全相 同 ， 这证 明了本文推倒 公式 的正确性 。 令 上式 中 O 、 R一 0 ， 可分别 得圆柱 、 圆锥体 积计 算公式 。 3 1 式也可 写成 V 丌 i rn 川 h 3 1 式中 一RR m h ① 近似计算法 1 V1 一 7 c [ R R m h 3 h 3 2 1 一一 7【 h 。 3 3 算法 1计算 结果 比真值大 。 I 一 一 3 4 。 1 2 h 1 1 ②近似计 算法 2 V 27 c h 一 算法 2计算 结果 比真值小 。 3 5 3 6 I I 1 I I 3 7 2 ． 7 举 例 当用分段 法计算非棱柱形及 棱柱形 明渠非 均匀 流水 面 曲线 时 ， 工程上 常用首 尾 断面水 深计 算首 尾 断面 的水力要 素 ， 然后 取其平 均 值来计 算该 段平 均 水力坡度 。 分段法假 定在每一段 内 ， 水面线 为一直线 ， 因而 每 段 水 体为 一横 断 面 为梯形 其 它形 状 亦可 的 台 体 。 根据 本文方法 ， 用 中截面 面积计算该段水 体体积 即用近 似算法 2 比用 首尾断 面面积 的平 均值 计算 水 体体积 即近似算 法 1计 算 简单 且 精度 高 ， 对棱 柱形渠槽来说 ， 前者 误差 比后者小一倍 。这就是说 ， 用 中截面 代表该段 水 体 的平 均断 面 ， 应该 说更 符合 实际 。据此提 出棱柱形及非棱 柱形 明渠非 均匀流水 面 曲线 的简算法[ 2 ] 。 3结语 综 上所述 ， 可得如下结论 。 结论适用 于一般 台体 的体 积计算 。 1 近似算 法 2比算法 1简单 ； 2 近似算 法 2比算法 1误差小 1倍 ； 3 近 似算 法 的误差 随 中间棱 柱部分 的增大 而 减小 ， 随四周斜角部分 的增 大而增大 ； 4 建议 采用近似算法 2计 算 台体体积 。 参考文献 [ 1 ] 立体几何 高级中学课本 [ z ] ． 北京 人民教育 出版社 ， 1 9 8 3 ． 1 0 第 一 版 1 1 4 ． E 2 3 刘崇选 ， 等． 棱柱形 明渠非均匀流水面曲线一种简算法 [ J ] ． 灌溉排水 ， 2 0 0 2 ， 2 1 6 1 8 1 9 ． E 3 3 高双强 ， 等． 棱柱形明渠非均匀流水面曲线一种简算法 F J 3 ． 西北 水力 发 电 ， 2 0 0 3 ， 1 9 1 5 9 6 4 ． 维普资讯