样条函数线法分析壳体非线性问题.pdf

中国矿业大学学报990 2 15 中国矿业大学学报 JO U RNA L O F CH I NA U NI VERSI T Y O F M I NI NG T U 333 Sp l i n e Fu n c t i o n M e t h o d o f Li n e s f o r A n a l y z i n g No n l i n e a r Pr o b l e m o f Sh e l l s Zh a n g W e i l i n Co m p u t a t i o n Ce n t e r o f A n h u i I n s t i t u t e o f A r c h i t e c t u r e , H e f e i 2 30 0 2 2 Ni u Zh o n g r o n g D e p a r t m e n t o f A p p l i e d M a t h e m a t i c s a n d M e c h a n i c s , H e f e i U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y , H e f e i 2 30 0 0 9 A b s t r a c t T h e s p l i n e f u n c t i o n m e t h o d s o f l i n e s i s u s e d i n a n a l y z i n g n o n l i n e a r p r o b l e m s o f c y l i n d r i c a l s h e l l s . T h e i n t e r p o l a t i o n o f B-s p l i n e f u n c t i o n c o m e s i n t o u s e f o r c h a n g i n g p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i n t o o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o n a s e r i e s o f l i n e s . T h e O D Es i s s o l v e d b y O D E s o l v e r IVM O D E. T h e i n c r e m e n t e q u a t i o n s o f t h e s p l i n e f u n c t i o n m e t h o d o f l i n e s a r e a l s o g i v e n o u t f o r a n a l y z i n g t h e n o n l i n e a r p r o b l e m . T h e a n a l y z e d r e s u l t c o r r e s p o n d w e l l t o t h e e x i s t v a l u e s . K e y w o r d s s p l i n e f u n c t i o n , m e t h o d o f l i n e s , a n a l y s i s o f n o n l i n e a r , i n c r e m e n t e q u a t i o n 样条函数线法与其他线法［1］一样，是以常微分方程求解器为支撑软件的半解析 数值方法，由作者为求解薄板和筒壳的力学问题而提出并在壳体的线性分析［2 ］中得 到了应用. 该方法以一组径向的结线对壳体进行离散，然后利用环向样条插值，导出定 义在结线上的常微分方程组和边界条件，最后由常微分方程求解器［3］进行求解. 本研究将样条函数线法应用于圆筒壳及具有闭口截面的壳体的几何非线性力学分 析. 沿壳体的环向采用样条函数插值，对能量泛函求变分导出一组用径向结线位移增量 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 15. h t m （第 1／8 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 15 中国矿业大学学报990 2 15 表示的非线性常微分方程组和边界条件. 然后用常微分方程求解器迭代求解. 例题的结果 表明，该方法计算工作量小、精度高、结果稳定，除了用于线性、非线性问题，还可 用于动力及稳定性分析，为力学计算的半解析数值方法增添了新的内容. 1 样条函数线法的非线性增量方程 本文的推导过程以圆筒壳为例，其结果同样适用于具有各种开、闭口截面的壳体. 取坐标系x 1x2x3, 其中x1为径向坐标，x2为环向坐标，x3为横向坐标. 圆筒壳的中面位移为 δ x 1, x2 { u1 u2 u3}T，其中u1为径向位移，u2为环向位移，u3为横向位移. 几何非线 性应变分量及其增量为［4］ 1 式中e 2 2 u2 ，2-u3／R R为筒壳半径 ；其它分量ei j ；上标n 表示第n 次 增量时的值，相应的内力分量为 2 式中E* Ed / 1-ν2）；D Ed 3／12 1-ν）2；E为弹性模量；ν为泊松比；d 为壳厚. 设壳体表面A 上受面力p { p 1 p2 p3｝T的作用，考虑第n 1次增量时总势能为 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 15. h t m （第 2 ／8 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 15 中国矿业大学学报990 2 15 将位移沿x 2方向采用B样条函数插值. 由于在x2方向是封闭的，因此样条函数是周期 性的. 设插值矩阵［5］为φl, 维数为1g g 为插值点数 ，即u l φlU l l 1, 2 , 3 ，其中U l 是各 结线上的位移函数组成的向量，它是坐标x 1的函数向量，而φl 是x 2的函数向量，代入 式 1 各应变增量中，可得 4 将式 4 代入式 3 ，且令系数矩阵 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 15. h t m （第 3／8 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 15 中国矿业大学学报990 2 15 5 式中上标 m 表示m 次导数；NLi j为Nn i j 的线性部分. 插值后的式 3 为 6 式中；上式已略去增量步小时的微量. 对插值后的式 6 求变分，考虑各δU l 的任意性，得到用结线位移增量表示的非线 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 15. h t m （第 4／8 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 15 中国矿业大学学报990 2 15 性常微分方程体系 （7 a - 7 b 7 c 8 a 8 b 8 c f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 15. h t m （第 5／8 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 15 中国矿业大学学报990 2 15 8 d 式 8 为壳体上非线性常微分方程组 7 的边界条件，这里的系数K s t i j , Ls t i j i , j 1, 2 ; s , t 0 , 1 是内力Nn i j , NLi j的函数，因而也是未知位移U l 的函数，并以此表现出非线性性质. 在小变形下式 7 , 8 退化为线性体系［2 ］. 2 非线性增量微分方程的求解器解 用样条函数线法将壳体非线性弯曲问题化成非线性增量常微分方程体系 7 ，8 后，可以直接利用文献［2 ，3］中的常微分方程求解器I VM O D E求解. 求解时采用荷载 增量法，取前一步荷载作用时的解答作为当前步的初始解，并由此求出系数K ，L， X，Y，然后再一次调用求解器求出当前解. 在计算系数矩阵的导数如 Xmi j l ′， Ls t i j ′ 时，采用了差分格式. 用本文方法计算了下面两个例题. 例1 计算半径为R 0 . 6 7 2 m ，长度L 1. 52 4m ，厚度d 0 . 0 2 54m ，弹性模量E 1G Pa ， 泊松比ν 0 . 3，受内压p 3 单位k Pa 的高压容器的非线性解. 取半边容器计算，沿x1插 值点13个，沿x 2插值点2 0 个，计算结果列在表1中. 表1 横向位移逐次迭代结果 T a b l e 1 T h e i t e r a t i o n s o l u t i o n o f c r o s s w i s e d i s p l a c e m e n t s t e p b y s t e p 序号 坐标/ m 解析解 p 3 3. 447 4 荷 载 值/ k Pa 3. 447 38 4. 136 8 6 5. 515 8 1 1 0 0 . 0 7 8 6 120 . 0 7 6 412 0 . 0 91 6 8 3 0 . 12 2 2 97 30 . 12 70 . 0 7 8 6 8 10 . 0 7 6 56 80 . 0 91 90 5 0 . 12 2 58 9 50 . 2 540 . 0 7 9 548 0 . 0 7 7 2 51 0 . 0 92 8 7 1 0 . 12 3 7 0 1 70 . 38 10 . 0 8 1 8 390 . 0 7 9 0 2 6 0 . 0 94 8 7 2 0 . 12 6 456 90 . 50 80 . 0 7 8 7 0 70 . 0 7 7 0 33 0 . 0 92 433 0 . 12 3 2 6 5 110 . 6 350 . 0 46 8 970 . 0 44 935 0 . 0 53 16 7 0 . 0 7 2 0 2 6 130 . 7 6 20 . 0 0 0 0 0 00 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 15. h t m （第 6 ／8 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 15 中国矿业大学学报990 2 15 注迭代结果的单位为m m . 例2 计算圆柱形贮液罐的非线性变形，已知贮液罐高h 18 . 2 8 8 m ，半径 R 9. 144m ，壁厚d 0 . 30 48 m ，弹性模量E 1G Pa ，泊松比ν 0 . 3, 装满了容重q 的液体，沿 径向插值点11个，沿环向插值点12 个，计算结果列在表2 中. 表2 横向位移逐次迭代结果 T a b l e 2 T h e i t e r a t i o n s o l u t i o n o f c r o s s w i s e d i s p l a c e m e n t s t e p b y s t e p 序号 高度/ m 文献［6 ］ 的解 荷 载 值/ k N.m -3 9. 8 1013. 7 34 17 . 6 58 1 1 18 . 2 8 8 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 46 0 . 0 0 0 0 6 8 0 . 0 0 0 2 17 314. 6 30 40 . 0 0 9 8 53 0 . 0 0 9 8 47 0 . 0 13 2 46 0 . 0 2 2 141 510 . 97 2 8 0 . 0 19 7 0 40 . 0 19 6 8 9 0 . 0 2 6 111 0 . 0 42 58 8 77 . 315 20 . 0 2 9 518 0 . 0 2 9 50 0 0 . 0 41 2 52 0 . 0 7 0 50 4 93. 6 57 60 . 0 41 32 9 0 . 0 41 2 45 0 . 0 56 6 36 0 . 0 8 8 0 33 110 . 0 0 0 00 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 注迭代结果的单位为m . 3 结 论 本文利用样条函数线法成功地分析了圆筒壳的非线性问题，其特点有 1 由能量泛函的变分原理出发，经过样条函数的环向插值，导出了标准的非线性 常微分方程问题，从而可利用任何标准的常微分方程求解器求解. 2 样条函数的紧凑性保证了常微分方程体系系数矩阵的稀疏性，在程序设计时充 分考虑这一因素，可使计算效率和计算精度大大提高. 3 可以证明，文献［3］中导出I VM O D E求解器的插值矩阵解以离散区间的同阶小 量一致收敛于解析解，同时求出的各阶导数具有相同精度，这使得位移、内力及内力 导数有相同精度. 从计算结果中可以清楚地看出这一点. 作者简介 张伟林，男，1954年生，研究员，工学硕士 作者单位张伟林安徽建筑工业学院计算中心 合肥 2 30 0 2 2 牛忠荣合肥工业大学应用数学力学系 合肥 2 30 0 0 9 参考文献 1 袁 驷. 计算力学的有限元线法. 力学进展，1992 ，2 2 2 2 0 8 ～2 16 2 张伟林，干 洪，牛忠荣. 环板弯曲计算的样条函数线法研究. 安徽建筑工业学院学 报，1998 ，6 2 1～5 3 牛忠荣. 线性常微分方程组多点边值问题的插值矩阵法. 合肥工业大学学报，1996 ， f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 15. h t m （第 7 ／8 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 15 中国矿业大学学报990 2 15 19 1 35～39 4 吕和祥，蒋和洋. 非线性有限元. 北京化学工业出版社，1992 . 2 11～2 34 5 张伟林，干 洪. 圆柱壳分析的环状样条超级单元. 安徽建筑工业学院学报，1996 ，4 4 1～5 6 吉布森 J E. 薄壳计算与理论. 徐家礼，孙孝纯译. 北京国防工业出版社，198 9. 7 3～7 4 7 熊洪允，曾绍标，毛云英. 应用数学基础 下 . 天津天津大学出版社，1994. 18 ～34 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 15. h t m （第 8 ／8 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 15