数论变换与周期性序列关系在图像压缩中应用.pdf

第3 6 卷第5 期中国矿业大学学报 v 0 1 ．3 6N o ．5 2 0 0 7 年9 月J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆T e c h n o l o g y S e p 。2 0 0 7 文章编号1 0 0 0 1 9 6 4 2 0 0 7 0 5 0 6 7 5 0 5 数论变换与周期性序列关系在图像压缩中应用 张虹，刘兵，蔡正兴 中国矿业大学计算机科学与技术学院，江苏徐州 2 2 1 1 1 6 摘要利用数论变换的性质、整型变换的特点、变换速度快和算法简单的优势，结合图像数糖的 特点以及嚣雏序列岛变换系数之间的关系，提出并证明了数论变换转置定理和周期性二维序列 岛变换系数关系定理。该定理凳麓于二馕鬻傣莲壤奠定了理论基础，耪嬲是割爱髑期槛二维房籁 与变换系数间的关系来判断图像是否具有周期性，进而确定其行列周期，以达到提高压缩比的爵 的．使用图际电报电话咨询委员会 C C I T T 推荐的8 幅二值图像进行验证，结果表明数论变换 快速算法及证明砖鼹个定理，瘸子靖霞像数据酶燕绩是可行酌，若分块适娄可提篱运算速度，减 少存储空间，提高压缩比．提出的算法在图像压缩中应用具有较大的理论意义和威用价值． 关键词数论变换；整型变换；图像压缩；快速算法 巾图分类考T P3 9 1文黻檬识码A A p p l i c a t i o n so fR e l a t i o n s h i pB e t w e e nN u m b e r T h e o r e t i cT r a n s f o r mC o e f f i c i e n t s a n dP e r i o d i cS e q u e n c ei nI m a g eC o m p r e s s i o n Z H A N GH o n g ，L I UB i n g ，C A IZ h e n g - x i n g S c h o o lo fC o m p u t e r ．C h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆T e c h n o l o g y ，X u z h o u ，J i a n g s u2 2 1 1 1 6 ，C h i n a A b s t r a c t F o rm a k i n gu s eo ft h ep r o p e r t yo fN T T N u m b e rT h e o r e t i cT r a n s f o r m w e l l ，w h i c h i si n t e g e r ，f a s ta n ds i m p l e ，c o m b i n i n gw i t ht h ec h a r a c t e r i s t i c so fi m a g ed a t aa n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nN T T c o e f f i c i e n t sa n d2 一Ds e q u e n c e ，t h et r a n s p o s ea l g o r i t h mo n2 - DN T Ta n dt h e t h e o r e mo nt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nN T Tc o e f f i c i e n t sa n dp e r i o d i c2 一Dd a t aw e r ep r o p o s e d 。 T h ea b o v et h e o r e me s t a b l i s ht h et h e o r yf o u n d a t i o nf o rN T Tw h i l eu s i n gi ni m a g ec o m p r e s s i o n ， e s p e c i a l l yf o ru t i l i z i n gt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nN T Tc o e f f i c i e n t sa n dp e r i o d i c2 - Dd a t at oju d g e p e r i o d i c i t yo fi m a g e s ．B a s e do nt h a t ，t h i sp e r i o d so fr o w sc a nb ec o n f i r m e d ，t h ec o m p r e s s i o n r a t ec a nb ei m p r o v e dt o o ．W eu s ee i g h tb i t l e v e li m a g e sr e c o m m e n d e db yC C I T Tf o rc e r t i f i c a t i o n ，a n dt h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ef a s ta l g o r i t h mo fN T Ta n dt h et w op r e s e n t e d t h e o r e mc a nb eu s e di ni m a g ec o m p r e s s i o n ，a n di ft h eb l o c ks i z ei sp r o p e r ，t h e yc a ni m p r o v e p r o c e s s i n gs p e e d ，r e d u c es t o r a g es p a c ea n di m p r o v et h ec o m p r e s s i o nr a t i o ．T h ea l g o r i t h m sp r 0 9 p o s e di nt h i sp a p e rh a v eb i g g i s ht h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a lv a l u e ，a n dt a k et h ef i r s ts t e pf o rN T T a l g o r i t h mi nt h ea p p l i c a t i o no fi m a g ec o m p r e s s i o n ． K e yw o r d s n u m b e rt h e o r e t i ct r a n s f o r m ；i n t e g e rt r a n s f o r m ；i m a g ec o m p r e s s i o n ；f a s ta l g o r i t h m 收穑日期2 0 0 6 0 9 0 6 蔫金项目国家自然科学基龛项目 6 0 3 7 2 1 0 2 ，高等学校博士学科点专项科研项目 2 0 0 3 0 2 9 0 0 1 1 撵毒蓠赍张j 臣 ．1 9 4 2 一 ，女，教授，博士生导耀，从事多媒搏技术、嘲像压缩、软佟工程、数撂畿技术等方瑶的辑究。 E - m a i l h o n g z h c u r e t ，e d u 。c n ’T e l 0 5 1 6 8 3 8 8 4 1 8 9 万方数据 6 7 6 中国矿业大学学报第3 6 卷 经典的无损压缩方法如霍夫曼编码、算术编码 等，没有考虑图像数据本身的特点，图像编码率很 低，难于满足现代图像处理的要求．为了改善这些 不足，国内外专家纷纷研究如何在传统浮点变换的 基础上构造整型可逆变换，并将其应用于图像无损 压缩，此类方法成为当前图像压缩领域的研究热 点‘1 伽． 在文献E C 中叙述了提升的方法．如果变换矩 阵可以分解成多个主对角线元素为1 的三角形矩 阵的乘积，只要对每一个三角形矩阵分别找到它所 对应的可逆整型变换，并按其分解顺序依次变换， 可构造出整个变换的整型变换．基于提升方案的第 二代小波变换实现了图像的整数到整数的变换，而 且图像的恢复质量与变换时边界采用何种延拓方 式无关，克服了第一代小波的缺陷．但是整数小波 变换后数据的动态范围要比第一代小波变换后数 据的动态范围广，这在一定程度上影响了数据的压 缩效果．文献E T ] 使用提升方法，利用傅立叶变换 F F T 的蝶型构造完成了离散余弦变换 D C T 的 从整数到整数的变换．文献[ 8 ] 利用对变换矩阵分 解的方法计算得到整型D C T 变换矩阵．可见，当 前整型可逆变换大多是在传统浮点变换基础上采 用提升方法重新构造得到．文献[ 9 一l o ] 提出了构造 整数模M 剩余类环Z M 上的离散傅立叶变换 D F T ，即数论变换[ 1 1 - 1 2 ] n u m b e rt h e o r e t i ct r a n s f o r m ，N T T ，把数论方法引入到数字信号处理 中．与D C T 和小波变换相比，N T T 变换没有舍入 误差，不需要存储三角函数，在相同变换长度下运 算速度优于D C T [ 1 引．更重要的是N T T 本身就是 整型变换，无须进行提升操作就可以达到完全可逆 的变换．本文在描述数论变换原理、性质和快速算 法的基础上，利用了N T T 整型变换的性质、特点、 快速算法等优势，提出二维数论变换转置定理和周 期性变换系数关系，将数论变换系数矩阵的周期性 序列关系应用二值图像压缩编码中，获得较好的压 缩效果，为数论变换开拓了应用领域。 1 数论变换拓展的两个定理 在研究一维、二维数论变换与N F T 快速算法 的基础上，为了充分利用其整型变换的性质、变换 速度快和算法简单的优势[ 1 ，考虑到图像的特点 和压缩的要求，以及为了提高压缩性能，有必要拓 展数论变换算法，为此本节针对数论变换矩阵和周 期性二维序列与变换系数关系进一步研究，提出数 论变换转置定理和周期性二维序列与变换系数关 系定理并给予证明． 1 ．1二维数论变换转置定理 定理1设M N 矩阵F 的元素为z m ， 咒 m 一0 ，1 ，⋯，M 一1 ；靠一0 ，1 ，⋯，N 一1 ，X 忌， M - 1N - - 1 z 兰∑∑x m ，n a 砸∥ m o dP 愚 o ，l ，⋯， m i O 月 0 M 一1 ；Z 0 ，1 ，⋯，N 一1 是Z P 上的一个二维数 论变换，其矩阵表示形式为X 兰％F T N m o dP ， 若口一p ，M N ，则X T 三％F T 虱 m o dP ． 证明已知 M 一1N l X k ，z 兰∑∑x m ，7 2 ∥∥ r o o dP ㈥0 0 为Z P 上的二维数论变换，又口 p ，M N ，上式 可写为 壬一1M 一1 X k ，z 三∑∑x m ，咒 口破口耐 m o dP ． m O “ 一0 设F 7 中的元素为z 7 优，以 优 0 ，1 ，⋯，M 一1 ；竹一0 ，1 ，⋯，M 一1 ，Y 三％F 1n m o dP ，Y 中的元素为Y k ，z ，则 f 一1M - - l Y k ，z 三∑∑z T 优，n a 础口d m o dP 三 掰 0 Ⅳ 0 M 一1 扣l ∑∑x n ，m a 砸口癌 m o dP 三 埘 O H 一0 M 一1 仁1 ∑∑x n ，m ∥口础 m o dP 三 ㈥0 0 X Z ，志 r o o dP ， 忌一0 ，1 ，⋯，M 一1 ；Z 0 ，1 ，⋯，M 一1 ． 所以F 三T M F T T N m o dP ． 证毕． 当参数满足口一卢，M N 时，该定理反应了 二维序列转置前后变换系数矩阵间的关系，为二值 图像的分析处理奠定了理论基础． 1 ．2 周期性二维序列变换系数关系 1 ．2 ．1 周期性二维序列 若对于二维序列x m ，咒 有x m ，n x m T r ，咒 T c L 为列周期，t 为行周期 ，则称此 二维序列是周期性的，周期为t T c ． 如选取数论变换参数为口。 口。 4 ，M N 8 ，F 。 2 5 7 F t 为模数 ．图1 ～3 分别是不同周 期的二维序列与对应的变换系数矩阵． 21212I 2 、r 1 5 0 0 01 7 70 0 95959590 00 000 0 21 2121 2 00 0 000 0 959595 9 00 0 0000 2121212 18 1 0 0 04 80 0 959 5 9 5900 0 000 0 212121200 0 000 0 95959 59J L0 0 0 0 00 0 图12 2 周期性二维序列及变换系数矩阵 F i g ．1 2X22 - DP e r i o d i cs e q u e n c ea n d t r a n s f o r m e dc o e f f i c i e n t sm a t r i x 万方数据 第5 蘩张薤等数沦交换与震期蛙痔瓣关系在垂像鬟缧孛应震6 7 7 3 002 2 702 2 502 2 30 00000000 1 3 7000 00 00 00000000 1 2 00000 00 00000000 1 2 10000000 0 0 0000 0 0 图24 4 周期性二线譬列鹩变换系数缎阵 F i g ．2 4 42 - DP e r i o d i cs e q u e n c ea n d t r a n s f o r m e dc o e f f i c i e n t sm a t r i x 豳31 8 周期性二继侉列豹变换系数戆阵 F i g ．3 lx82 - DP e r i o d i cs e q u e n c ea n d t r a n s f o r m e dc o e f f i c i e n t sm a t r i x 文献[ 1 4 ] 对周期性二维序列变换系数矩阵进 行了如下理论分析 设x m ，斑 表示周期为t t 的二维序列， 曩为模数，镪和馥为变换核，弼经过数论变换后， 得 r M ／T r N ／L lt 一1 丁c 一， 黝圆一J圣蚤“m 狂 ∥汹甜黝～ 忌一M i ／t ，l N 歹／T o ， 1 0 其他 ， i 一0 ，1 ，⋯，t 一1 ；歹一0 ，l ⋯，t 一1 ． 医戴，如果二维序残懿闵嬲隽t t ，鲻N 零T 嚣 的非零数据的个数小于等于t t ，区变换后结 果满足式 1 ． 1 ．2 ．2 周期性二维序列与变换系数关系定理 文献[ 1 4 ] 虽然铮对属期牲戆二维痔别指窭．『 变换系数矩阵中非零元素个数与周麓的关系，但并 没有讨论如何从变换系数矩阵出发判断原二维序 列是否具有周期性。本文在对周期性二维序列变换 系数特点分析的基础上对文献[ 1 4 ] 进行了进一步 拓震酶研究，提出数论变换系数与蔫麓健二维序剜 关系定理． 定理2设M N 二维序列的元索为z m ， 咒 值为0 或1 ，且 矗f l5 t - - 1 X k ，z 兰yy z ㈣嚣 ∥∥ m o dP ， 』- JJ - J ’ 册一O Ⅳ一0 惫 0 ，1 ，⋯，M 一1 ；Z 一0 ，1 ，⋯，N 一1 ， 是Z P 上的一个二维数论变换 穗≯1 ，卢≠1 ，M 和N 为2 的方幂 ． P ，刘二维序襄的行璃麓 r 瓦≤芸的充要条件是X k ，1 淤0 r o o dP 惫一 0 ，1 ，⋯，N 一1 ． 争t i i 若M N ，∑∥ 。 证明i 充分性 f _ l 卜1 已知X k ，z 拦∑∑x m ，n a 砸f l 耐 m o dP m 每0 ”一0 为Z P 上鹤二维数论变换，又M N ，则 N 一1 N 一1 X k ，z 三y z 掰，订 a 械∥ m o dP J i _ 』- J ’ 埘黼0H 0 N 一1 ∑a 糠 m 然0 x m ，以 ∥l m 。dP ． 又X 蠢，1 拦0 m o dP 蠢一0 ，1 ，⋯，N 1 ，则 m三篡∥{圣N-1Xkxm00 ∽舻} m o ㈣戮 ，1 三∑∥{ ∑，聍 舻} m o dP 戮 卅搿、 一 ， 0 r o o dP 。 则 N l 令L ∑x m ，挖 p m o ，1 ，．．，N - - 1 ， H 端0 ’ [ Ky 。⋯y №。] l 1 ● l 王 口Ⅳ．1 ● 口她1⋯∥ⅣI - 1 2 [ o0 ⋯o ] m o dP 。 所以Y 。三0 r o o dP m 0 ，1 ，⋯，N 一1 ． 又∥三一1 m o dP ，得 善N - - 1 芦 x m , i - - x 删 譬 燮。e m 。㈣． 若 N _ ，I _ 1 ∑∥ i 一0 N ， 善∥ p ，则 z 卅，i 一z m ，i 譬 一o ． 2 芦 争∑础 N 一 髓 善 冷 4 8坨氅l 8 比 3 7 n 珏3 7 U 2 2 6蛐疆2 6 m H l S 9 拈l S 9 ” 4 8始掩毒8糟 3 7 n 捧3 7 n 2 6 №H 0 6 m H 1 5 9 撼l 5 9 培 ” o o o O o o o ∞O O 0 0 O O o I ∞o o o o o o o tO O O O O O O O I6 O O 0 O O 0 O ll2 O O 0 0 O O O I62 0 O O O O O O l O 0 O 0 O 0 O O 0 O O O O 0 O O 0 O 0 O O O 0 O O O e e O O O O O O O O O O O }i I l ；i l L O 0 O O 0 O 0 O O 0 O 0 0 O 0 O ∑棚 ，J●●，1，I ，l 口 ．．． 万方数据 6 7 8中国矿业大学学报第3 6 卷 式 2 成立当且仅当x m ，i ∥f m ，i 譬1 、厶， r． fi 一0 ，1 ，⋯，鲁一l { 。羁二维序残x m ，箨 是溺 、o， r 期性的，其行周期t ≤芸． 厶 必簧性。奏式 1 黧，若l ≠N 歹／T o j 0 ， 1 ，⋯，T 0 1 ，则X 惫，Z 蔓0 m o dP ，因为N 为2 r 的方幂，所以当二维序列的行周期t ≤芸时，总 厶 有X 惫，1 兰0 m o dP 惫一0 ，1 ，⋯，N 一1 ． 同理可证定理i i ． 证毕。 该定理阐明了周期性二维序列与变换系数间 的关系，为周期性 值图像的分析处理奠定了理论 基础。若构造宙的二维N N 数论交换满足上述 定理，则可通过对N N 的二值序列进行变换，然 后由相应变换系数来判断其是否具有周期性，进而 确定其行燕震裳． 2 图像压缩算法与验证 2 ．{ 羹法 依据文献E 1 1 ] 中的求解算法构造出能够满足 本文定瑗l 的4 组数论变换参数N 一3 2 ，F l 一 6 5 5 3 7 ，建一声一2 ；N 1 6 ，F 。 2 5 7 ，搿一筘一2 ；N 8 ，F 。一2 5 7 ，口一卢一4 ；N 一4 ，F 。 1 7 ，口一p 一 4 。把图像数据分别按3 2 3 2 ，1 6 1 6 ，8 X 8 方式划 分．首先黠图像按3 2 3 2 遂褥初始分块，形成若干 个子图像，并对各子图像按顺序进行二维快速数论 变换；再对其变换系数矩阵用定理2 ，判断子图像 是否具霜周期性，若是猁遂行统诗，否刚将子图再 划分为1 6 1 6 的予块进行同样处理，依次类推赢 到划分炎2 2 的子块处理为难。然后，用同样方法 分别再选取1 6 1 6 和8X8 作为初始分块分痢进 行上述处理，最终获得压缩后的数据． 2 。2 验证与分努} 2 。2 ．1 初始分块大小的影响 依据上述算法试验，对于不同初值的分块方法 获得周期性子块数是不同的，如表l 所示。由表l 可以看出，当初始分块大小为8 8 时，周期性结构 的子块数远远多于后两种分块方法的结果．初始分 块大小力1 6 1 6 穰3 2 3 2 对应酶实验结果相差 不大．可见初始分块越小，所统计的周期性结构的 子块数越多．也可以看出，不同分块大小对所需的 空阕和时阀会产生影璃，困戴，在设计算法时应考 虑初始分块的大小问题． 表1 不同初值分块的周期性子块数 T a b l e1P e r i o d i cb l o c kn l l m b e rO fd i f f e r e n tb l o c ks i z e s 2 ．2 ．2 性能分析 对于无损联缩主要考虑压缭院秘解码速度，在 配置为C P UP 42 ．6 6G H z ，lM BR A M ，W i n - d o w s 2 0 0 0s e r v e r 的实验环境下，用C C I T T 推荐的 8 瞩标准溅试图像，按扔始分块大小划分失8 8 ， 对J B I G l 和本文算法进行了测试，测试结果如表2 所示． 表2 本文羹洼麓J B I G | 算法经能 T a b l e2P e r f o r m a n c e so fJ B I G la n d t h ep r o p o s e da r i t h m e t i c 从表2 中可以看出，本文算法的压缩比低于 J B I G l 压缩算法，丽解码速度却优予J B I G l 鹾缩算 法．尽管本文算法的压缩比低一些，但是本文舞法 表明了一种新的算法，即数论变换在图象压缩中应 用的可行性。秘耀文中定理和数论变换快速算法是 较好的获得和处理周期性子块的方法．具有算法简 单、容易实现、解码速度快的优点．同时，本算法还 有较大改进纛傀他的空闻，例如根据变换系数翻行 列周期性关系，蓿分块恰当可提高运算速度，减少 存储空间，提高压缩比．因此，从综合性能考虑本文 算法具有一定的理论意义程应矮价篮。 3结论 巅尾数论变换是整蘩变换的特点纛变换速度 快的优势，结合图像特点，提出了二维数论变换转 置定理和周期性二维序列与变换系数关系定理并 分另l 给予证暖，在此基羲l ；上设诗了算法，楚矮 C C I T T 推荐的8 幅二值图像进行验证，结果表明， 万方数据 第5 期张虹簿数论变换与周期性序列关系在黼像压缩中应用 6 7 9 本文算法的鹾缩毙稍低警J B I G l ，傻该算法具有筒 单、容易实现、解码速度快等优点。若对初始分块的 大小和周期性子块的分配方法进一步优化还有提 高蘧绽性戆的空阕。本文提出的定理秘算法怒一种 新方法在图像压缩中的应用，具有一定的理论意义 和应用价值． 参考文献 [ 1 ]M E M O NND ，S A Y O O DKN A G L I R A ssS ．L o s s l e s sc o m p r e s s i o no fm u l t i s p e c t r a li m a g ed a t a [ J ] 。 I E E ET r a n s a c t i o n sG e o s c iR e m o t eS e n s i n g ，1 9 9 4 ，3 2 2 2 8 2 - 2 8 9 ． [ 2 3s w E L D E N SW ．L o s s l e s si m a g ec o m p r e s s i o nu s i n g i n t e g e rt oi n t e g e rw a v e l e tt r a n s f o r m s [ J ] 。I n t e r n a - t i o n a lc o n f e r e n c eo ni m a g ep r o c e s s i n g ，1 9 9 7 1 1 t 5 9 6 5 9 9 。 [ 3 3 G O Y A LVK 。T r a n s f o r mc o d i n gw i t hi n t e g e r - t o - i n t e g e rt r a n s f o r m s [ J ] ．I E E ET r a n s a c t i o n so nI n f o r m s - t i o nT h e o r y 2 0 0 0 ，4 6 2 4 6 5 4 7 3 ． [ 4 3A D A M SMD ，K O S S E N T I N IF ．R e v e r s i b l ei n t e g e r - t o - i n t e g e rw a v e l e tt r a n s f o r m sf o ri m a g ec o m p r e s s i o n p e r f o r m a n c ee v a l u a t i o na n da n a l y s i s [ J ] ．I E E ET r a n s - a c t i o n sI m a g eP r o c e s s i n g ，2 0 0 0 ，9 6 1 0 1 0 1 0 2 4 。 [ 5 3D E E V E RAT ，H E M A M ISS ．L o s s l e s si m a g ec o m p r e s s i o nw i t hp r o j e c t i o n - b a s e da n da d a p t i v er e v e r s i b l e i n t e g e rw a v e l e tt r a n s f o r m s [ j ] ．I E E ET r a n s a c t i o n s I m a g eP r o c e s s i n g ，2 0 0 3 ，1 2 5 4 8 9 。4 9 9 。 [ 6 ] D A U B E C H I E SI ，S W E L D E N SW ．F a c t o r i n gw a v e l e tt r a n s f o r mi n t ol i f t i n gs t e p s [ J ] ，J o u r n a lF o u r i e r A n a l y s i sA p p l ，1 9 9 4 ，4 3 2 4 7 2 6 9 。 [ 7 ] 同宇松，稽青云．可遒D C T 整裂变换与无失真图像 压缩[ J ] 。软侔学报，2 0 0 0 ，1 1 5 6 2 0 - 6 2 7 ． Y A NY u - s o n g ．S } { lQ i n g - y t m ．R e v e r s i b l eD C T m a p p i n gi n t e g e r st Oi n t e g e r sa n dl o s s l e s si m a g ec o r n p r e s s i o n [ J ] ．J o u r n a lo fS o f t w a r e ，2 0 0 0 ．1 1 5 6 2 0 - 6 2 7 ． 【8 ] 嚣A 0P e n g - w e i 。S H IQ i n g - y u n ．M a t r i xf a c t o r i z a t i o n sf o rr e v e r s i b l ei n t e g e rm a p p i n g [ J ] ．I E E E T r a n s a c t i o n sonS i g n a lP r o c e s s i n g ，2 0 0 1 。4 9 1 0 2 3 1 4 - 2 3 2 4 。 [ 9 3A G A R W A LRC 。B U R R U ScS ．F a s tc o n v o l u t i o n u s i n gf e r m a tn u m b e rt r a n s f o r m sw i t ha p p l i c a t i o nt O d i g i t a lf i l t e r i n g [ J ] 。I E E ET r a n s a c t i o n so nA c o u s t i c s S p e e c ha n dS i g n a lP r o c e s s i n g ，1 9 7 4 ，2 2 2 8 7 9 7 ． r 1 0 ]A G A R W A LRC 。B U R R U SCS ．N u m b e rt h e o r e t i c t r a n s f o r m st Oi m p l e m e n tf a s td i g i t a lc o n v o l u t i o n [ J ] 。 I E E ET r a n s a c t i o n so nA c o u s t i c sS p e e c ha n dS i g n a l P r o c e s s i n g ，1 9 7 5 ，2 3 1 2 5 5 0 5 6 0 ． [ 1 1 3 蒋增荣．数论变换[ M ] 。上海科学技术出舨社， 1 9 8 0 。 [ 1 2 ] 孙琦，征德勋，沈仲琦．快速数论变换I - 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