基于EMD的单自由度体系地震瞬态与稳态反应计算与分析_项洪.pdf

振 动 与 冲 击 第 39 卷第 13 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol. 39 No.13 2020 基金项目 福建省高校产学合作项目2019Y4011;福建省新世纪优秀 人才支持计划项目GYZ-160144;福建工程学院科研发展基金 GYZ-160126;福建省教育厅中青年教师教育科研项目JT180321 收稿日期 2018 -12 -13 修改稿收到日期 2019 -03 -08 第一作者 项洪 男,博士生,1991 年生 通信作者 吴琛 女,博士,教授,1978 年生 E-mailwuchen2001126. com 基于 EMD 的单自由度体系地震瞬态与稳态反应计算与分析 项 洪1,3, 吴 琛2,3, 杨 超2,3, 陈柯丹2,3 1. 福州大学 土木工程学院,福州 350108;2. 福建工程学院 土木工程学院,福州 350118; 3. 福建省土木工程新技术与信息化重点实验室,福州 350118 摘 要结构的地震响应通常无法区分瞬态反应和稳态反应。 通过经验模态分解将地震动分解成若干个固有模 态函数,基于固有模态函数的半波简谐特性和谐波理论,提出半波拟简谐分析法,实现地震作用下结构瞬态与稳态反应的 剥离。 对不同类型地震作用下的长周期和短周期结构的瞬态反应、稳态反应以及对应的反应谱进行分析,研究结果表明 在地震作用等宽频带信号作用下,瞬态与稳态反应表现出异于单一分量信号的特征。 不论长短周期结构、不论何种地震 类型,其瞬态反应和稳态反应都在位移总响应中发挥重要作用,且二者互相制约,忽略两者中的一种反应成分,均将高估 了总反应,使得在结构设计时偏保守,不经济。 关键词 经验模态分解EMD;半波拟简谐;瞬态反应;稳态反应;反应谱 中图分类号 TU311. 4 文献标志码 ADOI10. 13465/ j. cnki. jvs. 2020. 13. 028 Calculation and analysis for seismic transient and steady-state responses of a single-DOF system based on EMD XIANG Hong1,3, WU Chen2,3, YANG Chao2,3, CHEN Kedan2,3 1. School of Civil Engineering, Fuzhou University, Fuzhou 350108, China; 2. School of Civil Engineering, Fujian University of Technology, Fuzhou 350118, China; 3. Fujian Provincial Key Laboratory of Advanced Technology and Inatization in Civil Engineering, Fuzhou 350118, China Abstract It is often unable to distinguish between transient and steady-state responses for those of aseismic structures. Here, the empirical mode decomposition EMD was used to decompose a structural response into several intrinsic mode functions IMFs, and based on the half-wave simple harmonic feature of IMF and the harmonic wave theory, a half-wave quasi-simple harmonic analysis was proposed to realize separation of seismic transient and steady-state responses. Transient responses, steady-state ones and response spectra of long-period and short-one structures under different types of earthquakes were studied. Results showed that the characteristics of their transient and steady-state responses under action of broadband seismic signals are different from those under action of single-component seismic signal; transient responses and steady-state ones of structures with different periods under different types of earthquakes play an important role in the total displacement response, and both of them are mutually restricted; if one of the two responses is ignored, the total response can be over-estimated to make structural design be conservative and uneconomic. Key words empirical mode decomposition EMD; half-wave quasi-simple harmonic function; transient response; steady-state response; response spectra 传统的结构动力学理论[1]认为,由于阻尼的影响,由自由振动和伴生自由振动构成的瞬态反应随时间很 快就消失了,因此通常不予考虑,而只强调稳态反应的 作用。 目前许多隔震、减震、抗震措施及理论如结构施 加阻尼耗能减震、结构振动调谐质量阻尼控制[2]等均 是基于这个理论提出的。 关于瞬态反应对结构的影响,祁皑等[3-5]以简谐荷 载为输入,通过位移解析解分析认为高柔的结构、基础 隔震结构等长周期结构的瞬态反应不能被简单地 ChaoXing 忽略。 在实际工程中,结构往往受到复杂地震动的作用, 采用数值分析法进行地震响应分析,无法区分瞬态解 与稳态解,并进行各自分析。 为解决这一难题,吴琛 等[6-8]以简谐地震反应为理论基础,将地震动进行小波 包分解,并通过线性调幅的方式拟合为简谐震动,进行 了多自由度体系在实际地震动作用下的稳态与瞬态反 应计算。 但是,小波基的有限长会造成信号的能量泄 漏,且只有经过足够多层数的多分辨分析后,才能得到 可视同单一频率的窄带小波分量,因而该方法难以推 广使用。 Hu 等[9-10]结合快速傅里叶变换,利用频域方 法推导了任意周期激励下线性多自由度系统的瞬态反 应闭合形式解,并将提出的方法进一步推导以任意功 率谱密度函数为特征的随机激励下单自由度系统的瞬 态均方响应闭合形式解。 综上,传统计算方法要区分瞬态反应和稳态反应 具有一定难度,结合小波变换虽然实现了技术瓶颈的 突破但仍存在计算量和准确度的局限性;由频域方法 推导的闭合形式解虽提高了准确度,但推导计算较为 复杂。 本文基于经验模态分解提出固有模态函数半波 拟合简谐的方法。 该方法不仅可以有效区分瞬态与稳 态反应,而且计算简便、高效、适用范围广泛,对研究地 震动作用下结构瞬态反应的振动规律、结构抗震、结构 减隔震、结构振动控制以及地基不均匀沉降的危害分 析等具有重要的意义。 1 基于 EMD 的半波拟合简谐原理 1. 1 EMD 基本原理 Huang 等[11]提出了一种处理非线性、非平稳信号 的时频分析方法 经验模态分解Empirical Mode Decomposition,EMD。 EMD 方法将任意宽频带非平稳信号中不同尺度的 波动或趋势逐级分解开来,产生一系列具有不同特征 尺度的数据系列, 即固有模态函数 Intrinsic Mode Function,IMF。 一般 IMF1 频率最高,此后频率逐渐降 低。 每一个有效的 IMF 分量应满足两个条件信号的极 值点的数目与过零点的数目相等或至多相差一个;信号 的局部极大值和局部极小值定义的包络均值为零。 以上 两个条件使得 IMF 分量的半波具有简谐特性,这正是本 文提出 IMF 分量半波拟简谐原理的重要基础。 1. 2 IMF 分量的半波拟合 界定 IMF 分量两个相邻零点之间的距离为半波 长,利用 IMF 分量半波曲线与简谐函数曲线之间的相 似性,可将分量中每个半波拟合为简谐函数,简称为半 波拟简谐。 具体步骤为如下 首先,将第 i 个 IMF 分量信号进行线性插值,以保 证高频分量中半个波长内有足够的分析数据。 设线性 插值后的 IMF 分量为 Cit[xt1,xt2,,xtm][x1,x2,,xm]1 其中,时间序列 t [t1,t2,,tm] [t1,t2,,tm] 2 将 Cit的零点个数记为 k,tIj表示第 j 个极值 点时刻,tLj表示第 j 个零点时刻。 半波的幅值记为 U,其取值如图 1 所示。 当 Cit的第 1 个零点时刻先 于第 1 个极值点时刻时,第 1 个半波的幅值为 U1; 反之,第 1 个半波的幅值为 U2。 即 Pj UjtI1 tL1 Uj 1tI1 tL1 b 第 1 个零点时刻后于第 1 个极值点时刻时 tI1 tL1 arccosx1/P1 - θ1t1 tI1 tL1 2≤j≤k -2 [tL2,tLk -1 π 2 j k -1[tLk -1,tm] π 2 2 宽频带信号作用下结构稳态与瞬态反应计 算方法 2. 1 IMF 分量作用下稳态与瞬态反应数值解析解 针对宽频带信号的每一个 IMF 分量,以 1. 3 节中 第一个半波的末时刻位移和速度作为第二个半波的初 始响应,依次类推,直至最后一个半波。 同时将每个半 波求得的瞬态与稳态反应依次放入数组中,则第 i 个 IMF 分量的瞬态反应 Yti、稳态反应 Ysi及全解 Yi为 Ytit [yt1t,yt2t,ytjt,ytk-1t] Ysit [ys1t,ys2t,ysjt,ysk-1t] Yit Ytit Ysit i 为整数且 1 ≤ i ≤ n9 式中k 为 IMF 分量的零点个数,ytjt、ysjt分别表示 在第 j 个半波作用下的瞬态与稳态反应。 2. 2 宽频带信号作用下稳态与瞬态反应计算 利用式9得到的结果将各个分量进行叠加,计算 宽频带信号作用下单自由度体系中的瞬态反应 Dt、稳 态反应 Ds及结构总位移反应 D Dtt ∑ n i 1 Ytit Dst ∑ n i 1 Ysit Dt Dtt Dst 10 式中n 为宽频带信号采用 EMD 分解获得的 IMF 分量 的个数;Yti、Ysi分别表示在第 i 个拟简谐 IMF 分量作用 下的瞬态与稳态反应。 3 地震瞬态与稳态反应规律分析 地震波作为典型的宽频带信号,可采用 EMD 分解 形成若干个 IMF 分量。 现以加速度时间间隔为 0. 02 s,持时 30 s 的 El Centro 南北向地震波为例,进行 EMD 分解,形成 9 个 IMF 分量和 1 个残余量,进而进行瞬态 和稳态反应研究。 3. 1 IMF 分量拟合简谐 采用式1 式5,依次将 IMF 分量的半波拟合 为简谐信号。 为检验该方法的准确性,任意取 IMF5 分 量对比拟合信号的吻合度,如图 2 所示。 由图 2 可知, 该方法具有足够的准确度。 图 2 IMF5 分量与半波拟简谐 Fig. 2 Comparison between IMF5 and half-wave quasi-simple harmonic function 3. 2 IMF 分量作用下稳态与瞬态反应计算 将 IMF5 分量的拟合简谐信号输入自振周期为3 s, 阻尼比为 0. 05 的弹性单自由度系统。 由本文方法得 到的位移数值解析解与 Duhamel 积分数值解进行比 较,如图 3 所示,验证了本文提出的方法是可靠的。 采用本文方法计算 IMF5 分量作用下的瞬态与稳 态反应,结果如图 4 所示。 由于 4 5 s 时间段内的荷 载频率与结构自振频率相接近,两者发生共振,稳态反 应在 5 s 后出现幅值快速衰减,而瞬态反应衰减缓慢, 且总位移的形态、幅值也更接近于瞬态反应的情况,该 结论与文献[3-8]相符合。 可见,单分量信号的瞬态反 应在长周期结构分析中不能被忽略。 591第 13 期项洪等 基于 EMD 的单自由度体系地震瞬态与稳态反应计算与分析 ChaoXing 图 3 IMF5 分量作用下本文方法与 Duhamel 积分计算结果的 比较 Fig.3 The comparison between the proposed and Duhamel integral under the action of IMF5 component 图 4 IMF5 分量作用下得到的瞬态反应与稳态反应 Fig. 4 Transient response and steady-state response under the action of IMF5 component 3. 3 地震波作用下稳态与瞬态反应计算 依式10,将 EMD 分解出的 9 个 IMF 分量作用下 的反应进行叠加,获得 El Centro 地震波作用下瞬态反 应、稳态反应及位移全解。 如图 5 所示,对比本文计算 的位移全解与 Duhamel 积分数值解,两者具有良好的 吻合度,进一步说明本文方法的合理性,可剥离出地震 作用下的瞬态与稳态反应。 图 5 还反映出瞬态与稳态 反应的峰值是相近的,可见地震作用下长周期结构的 瞬态和稳态反应不能被忽略。 4 地震位移反应谱分析 为进一步分析普通地震动、远场类谐和地震动、近 场脉冲地震动作用下结构瞬态与稳态反应特征,选取 三种类型的 6 条地震波[12]如表 2 所示,分别计算自振 周期 0. 1 6 s 范围内的瞬态反应与稳态反应峰值比, 如图6 所示,两者的比值主要集中在0. 6 1. 8 范围内, 可见在短周期结构地震反应中,不存在有占主导作用 的稳态反应;在长周期结构地震反应中,瞬态反应也并 非是占主导作用。 由图 7 不同类型地震作用下瞬态反 应谱、稳态反应谱及总位移反应谱可知,不论长短周期 结构、不论何种类型地震波,在多数情况下地震稳态反 应谱与瞬态反应谱相接近且大于总反应谱。 说明稳态 与瞬态反应相互制约,忽略两者中的一种反应成分,都 将高估总反应。 图 5 El Centro 地震作用下瞬态反应、稳态反应及总位移与 Duhamel 积分数值解的比较 Fig. 5 Displacement components and its comparison with Duhamel integral under El Centro earthquake action 表 2 不同类型地震动的基本信息 Tab. 2 The basic ination of different types earthquake ground motions 编号地震名称年份台站-分量 地震动 类型 B1 Imperial Valley-02 1940 El Centro Array 9-NS B2 San Fernando 1971 LA-Hollywood Stor FF-180 普通 B3 Chi-Chi_ Taiwan 1999TCU003-EW B4 Chi-Chi_ Taiwan 1999ILA004-NS 远场类 谐和 B5 Chi-Chi_ Taiwan 1999TCU051-NS B6 Chi-Chi_ Taiwan 1999TCU052-EW 近场 脉冲 图 6 不同类型地震波作用下的瞬态与稳态反应峰值比 Fig. 6 Peak ratio of transient response and steady-state response under different types of earthquake actions 691振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing a El Centro Array 9-NS b LA-Hollywood Stor FF-180 c TCU003-EW d ILA004-NS e TCU051-NS f TCU052-EW 图 7 不同类型地震作用下瞬态反应谱、稳态反应谱及总位移反应谱 Fig. 7 Response spectra for complete, transient, steady-state solutions under different types of earthquake actions 5 结 论 基于 IMF 分量的半波简谐特性,将 IMF 分量拟合 成多段简谐函数。 以谐波理论为基础,推导了实际地 震瞬态与稳态反应的数值解析解。 算例表明该方法计 算结果可靠,且算法易实现,计算速度快,精度高。 地震瞬态与稳态反应被成功区分后,传统方法无 法探究的振动规律得以揭示。 在单一分量信号作用 下,短周期结构以稳态反应为主,长周期结构以瞬态反 应为主,但在地震作用等宽频带信号作用下,不论是长 短周期结构、不论何种地震类型,稳态与瞬态反应均是 影响总位移的关键成分,两者相互制约,忽略两者中的 一种反应成分,均将高估总反应,使得在结构设计时偏 保守,不经济。 此外,本文提出的瞬态反应计算方法还可用于分 析解释许多难以用稳态反应理论解释的特有现象如 研究阻尼耗能减震对于长周期结构也有较明显的耗能 减震效果,基础不均匀沉降所产生的结构初始位移引 起结构较大响应等。 这一内容将另文详细阐述。 参 考 文 献 [ 1] R. 克拉夫,J. 彭津. 结构动力学修订版 [M]. 2 版. 王 光远,译. 北京高等教育出版社,2006. 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