关于薄层与单界面模型弹性反射透射系数的讨论_张川.pdf

第43卷第2期 2015年4月 煤田地质与勘探Vol. 43 No.2 Apr. 2015 COALGEOL汇盯Y 2.中国科学院地质与地球物理研究所，北京100029 摘要在均匀各向同性水平层状介质假设下，采用位移与位移位两种不同的平面波表示方式，推 导了层状介质的传播矩阵；并对层状模型逐步简化，依次给出了薄层、羊阻抗差界面纵波入射时 的反射、透射系数公式，指出了位移与位移位函数这两种不同形式下各公式的异同和适用条件， 对于薄层地震反演精度的提高具有一定的指导作用。 关键词位移位；住移；层状介质；传播矩阵；薄层；单界面 中图分类号文献标识码ADOI l 0.3969/j .issn.1001-1986.2015.02.018 Discussion on elastic reflection and transmission coefficients of thin-bed and single interface models ZHANG Chuan1, YANG Chun2, WANG Yun1 I. Inst山teof Geochemistry, Chinese Academy of Sciences, Guiyang 550002, Chma; 2. Institute of Geology and Geophysics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100029, China Abstract By using displacement and displacement potential functions of plane waves respectively, this paper de- rives the corresponding propagation matrixes in case of isotropic horizontal layered media, and then simplifies the model to obtain the corresponding reflection and transmission coefficients in thin bed and differential interface of single impedance The suitable conditions and the difference between ulas the propagation matrixes, or, the reflection and transmission coefficients corresponding to displacement and displacement potential were pointed out respectively, which will be helpful to improve the precision of seismic inversion. Key words displacement potential function; displacement; layered media; propagation matrix; thinbed; single interface 随着我国化石能源勘探开发的深入发展，薄层 的地震预测与反演成为研究难点与热点，以多波为 研究对象的弹性波波场模拟和阻抗反演受到越来越 多的关注。因此，基于均匀各向同性介质假设的 Zoeppritz方程及其各种形式的近似公式、层状介质 的传播矩阵理论被大量的引用和重提［1-6］，并开始更 多地侧重于非单纯纵波的入射、透射及波型转换。 近十年来，国内外对于单界面与薄层反射特征 的差异已经有了足够的重视和认识［7-10］。但目前的 商业反演软件和生产单位依然使用单界面的反、透射 系数公式来反演薄层反射或进行AVO/A特征分析。 理论上，基于均匀各向同性层状介质假设的传 播矩阵理论在不考虑各向异性的条件下可以模拟任 意水平的厚、薄互层的介质波场，在特殊情况下可 收稿日期2013-10-16 以蜕化适应单薄层的波场模拟；在薄层厚度为零时， 可以进一步退化为单界面情形，从而变为与 Zoeppritz方程相同的公式。但实际上，由于Zoeppritz 方程与传播矩阵推导过程中存在2种平面波函数假 设的方式位移位或位移，会出现2种不同的结果， 分别对应Knott方程与Zoeppritz方程。但在近些年 的相关研究文献（2,5,7］查阅中发现有些作者并没有 注意到这些细微的差别，从而造成了公式使用的混 乱和不满足假设条件。地震波的位移函数与位移位 函数具有相同的表达形式，但代表的意义不同。在 现有的薄层研究中，前人都采用了位移位函数［1-71, 退化为单界面时与Zoeppritz近似公式对比，由于所 得的反射系数Rpp恰好与Zoeppritz近似公式一致， 由此忽略采用波函数的差异造成了其他3个反、透射 基金项目杰出青年基金项目（41425017）；国家重点基础研究发展计戈tl973计划）项目（20l 4CB440905）；矿床地球化 学国家重点实验室“十二五”项目群（SKLODG-ZY125-01 . 作者简介张Jill988），男，江西萍乡人，硕士研究生，从事地球物理崩莫与探布模式研究E-mailyangchunanhui 引用格式张川，杨春，王资关于薄层与单界面模型弹性反射透射系数的讨论[J］.煤田地质与勘探，2015,432 86-90. ChaoXing 第2期张川等关于薄层与单界面模型弹性反射透射系数的讨论 87 系数的不同，可能产生错误。故本文在分析位移位与 位移函数的基础上，具体分析对比了两种形式波函数 对应的层状介质传播矩阵及薄层公式，并给出薄层公 式退化为单界面的公式，方便读者正确引用。 l 层状介质的反射与透射 1.1 层状介质的传播短阵 模型如图l所示，考虑二维水平层状介质，共 n层介质，n-1个界面。设各层的参数均为已知，第 t层的纵横波速度、密度和厚度分别为Vp；、Vs；、ρg 和儿，在其中传播的纵波的波射线与法线的夹角为 衔，横波的波射线与法线夹角为此。 x 11- I z 图l层状介质模型示意图 Fig. I A diagram of layered media model 。 h ’-1 x 1 1 z 〉指示议的传播方向；。＞指示议的振动正方向（II] 图2任意层（第t层）波的传播情况 Fig.2 Waves in a random layer the ith layer 建立如图2所示的坐标系统，则可设第t层中 各波的位移函数为 tpi AV exp {j[ cvt -（εp;Xd;z]} lf Bi（儿xp{J[cvt一（＆s;xs;z]} tpp Af）叫{j[cvt-X-d;z]} li st exp{[ cvt -x - s;z ]} 式中ll为第1层中下行纵波的位移函数；tpt）为 第i层中上行纵波的位移函数；l}i）为第i层中下行 横波的位移函数；I/ff）为第t层中上行横波的位移函 数；AP为第i层中下行纵波的位移振幅；4i）为第 、 .. J l rE飞 t层中上行纵波的位移振幅；sP为第i层中下行横 波的位移振幅；sP为第1层中上行横波的位移振 幅；w为圆频率；kp，为第i层中纵波波数；lp；为纵 波的水平披数；功为纵波的垂向波数；ι，为第i层中 横波波数；ls；为横波的水平波数；s，为横波的垂向波 数；振幅下标l表示下行波，下标2表示上行波。 设第t层的厚度为h（为简单起见以下第i层的 参数都暂略去标记i），计算当zh时（即第i层底面） 的位移和应力值，并记为［u 、‘自／ 鸣，，－ rE飞 1』 、EJ x s e, . ω rE飞 , J [ nr x ρLW 2 2 AB -- AB 、‘，／ 川V B f飞 一－ ’ t z tx Z z wσσ sexp{j[mt-sx-s1z]} 6 B,I h A,c, 才,ci x 2 3 z 〉指示波的传播方向“〉指示波的振动正方向［JJJ 图3薄层介质中的反射和透射 Fig.3 The reflection and transmission of P-wave in thin bed 第3层介质中的纵横波的位移函数分别为 （川3）川叫x叫Jwt叫 7 f//[3 B[xp[-Js3 z -h ]exp[J wt-[; 21 I 21 ,_ m31 I 31 m41J a41 , -Smαl a，句a,,a,. 11 - II cosα1 a句句a、2a句AII _ _ 一，.II Jρ，mνPl COSL.pl a34 II 2 II v ’ a42 a43 a44」1-Jp,m」ιsin却l [ Vp1 a13 a14 I\ -cos/J1 \ α23α24 II -sinp, I α33 a34ll-jρ1mv51 sin2βI I a43α“＼＼－｝ρ1mv51 cos2βI I a32 a33 [;l[i\ m22 a21 a22 m32 a3, a32 m42α41 a42 [} 23 33 43 33 βuα 句，， 向句， ，“ 03nu i0 江 向dm 叫 “ 户户3斗3 ．凰 ”SY电句403－nr － Kα 问且以－ v scωω 33 ρρ ,, d s ’ ’ -- ChaoXing 第2期张川等关于薄层与单界面模型弹性反射透射系数的讨论 89 [t I osA J m24 I I -sin /J3 I m34 I I iρ30Vs3 sin 2/33 I m44 J L-j p3mvs3 cos 2/33 J l llJt m11 m12 m13 m14 I I “ I I I m21 m22 m23 m24 11 R I I n2 m31 m32 m33 m34 11 rJ I I n3 m41 m42 m43 m“」IrJ I L n4 根据克拉默（Cramer）法则［12］，可获得薄层的位移反 射、透射系数。 对于位移位函数情况也可获得类似矩阵方程 j ii I h, h, h, h, I R I g l 9 h1 I h12 h13 h14 I -“-pp I gl I 2 I 鸟I句2鸟3句4I rfl I g3 h41 h42 h43 h44 I rJl I g4 ω j一－smαl Vp1 [fJ{ f iJ ω a22 a23 a24 -1一－cosα1 Vp1 a32α33 a34 p1m2 cos2β1 a42 a43 a44 一ρ102一v....sin、αl VI ω [t}[i. a12 a13 a14气IJ-;;cos /31 hi2 a21 azz a23 a24 mβl 1-sm 2 a31 α32 a33 a34 Vs1 h42 a41 a42 a43 a制－ρ1m2sin 2βl 一ρ1m2cos2/J1 w m /33 -1－一－smα3 1-cos ltJ Vp3 .[] V53 w -1一－cosα3 m . /33 Vp3 -1一－sm －ρ3w2 cos2/J3 Vs3 －ρ302 sin2/33 2 vl3 2 一ρ3W一2-smα3 ρ3m2 cos2/J3 Vp3 -1一－smαl VpJ lf l{i. ω a22 a23 a24 -1一－cosαl Vp1 a32 a33 a34 －ρ1m2 cos2β1 a42 a43α44 －ρ1a2 isinL句α1 νP I 对比所得到的位移反射系数与位移位反射系 数，则有 R ＝生LRW Vp1 R ＝生L峪） V51 10 rJ＝增 Vp3 rJ ＝－增 V53 上式说明位移反射、透射系数（上角标为1 与位移位反射、透射系数（上角标为2）相差速度比关 系（数值比值为相应速度比），尤其透射PS系数相差 负速度比关系（数值比值为相应速度比取负）。负号 主要是由振动正方向的确定和位移位公式求取位移 方向的差异造成的。 对于薄层特例进一步特殊化，设定第二层厚度 hO 即获得单界面模型。式（8）和式（9）分别退化成 薄层顶、底介质形成的单界面反射、透射矩阵方程， 与Zoeppritz方程和Knott方程一致，也证实了薄层 公式的正确性。 2 薄煤层反射与透射 设定如下薄煤层模型参数如表l。 表1煤层楼型参数 Table I Parameters of coal 岩性Vp/ms-1 Vs ms-1 Density/ gm-3 砂质泥岩2 400 I 200 2.600 煤I800 800 1.400 泥岩2 500 I 300 2.650 设定煤层厚度为9m，人射角为0。～70。，考察 频率为50Hz情况下的位移与位移位反射、透射情 况，如图4o位移与位移位反射系数的模对比可知 除Rpp外，其他反射、透射系数都不相等，且位移 Rps、Tps都要比相应位移位的值大。据图4i可知， 分别约为位移位情况下的2倍（等于生＿）和1.846 V51 倍（等于生＿）；位移Tpp小于位移位Tpp，约为0.96 V53 倍（等于生＿）。相位对比可知位移与位移位反射 Vp3 系数Rpp、Rps、Tpp都是相等的，对于透射系数Tps, 位移与位移位相差π，即上面所提到的Tps相差负 速度比关系。 3结语 在论述平面波函数采用位移与位移位两种表示 ChaoXing 90 0.8 0.7 0.6 写05 0.4 。.3 0.2 。 -0.1 -0.2 -0.3 E也A斗4 -0.5 -0 6 -0.7 。 0.4 0.3 I 02 。l 20 40 60 Angle／（。） a -Rps1-p 十Rps2-p 20 40 60 Angle／（。） i2 煤田地质与勘探第43卷 0.5 -Rpp1 P 」也 0.4 0.2 0.1 。｜乒Ll 20 40 60 80 。20 40 60 80 Angle／（。）Angle/（。） 。） c -2.25 -2 50 - 3.00 -3.25 -3.50 80 。 0.9 0.8 t 0.7 0.6 0.5 04 80 。 3.0 29 2.8 2.7 2.6 。。9ι － nv 斗斗 Aυ 。。 Aυ ，。 。 ‘’ UU 3l 4吨作 A nu 句，－ 20 40 60 80 Angle／（。） （。 2.5 ←→却p1-wRpp2 -Tpp 1-wTpp2-M-Tps1-wTps2-M 20 40 60 80 25 6 25 ,it 65功。020 40 Angle／（。）Angle （。）Angle／（。） g h i a-Rpp的模I为位移情况，2为位移位情况）；b-Rpp的相位；c-Rps的模；dRps的相位；e-Tpp的模， g一TPs的模；h-Tps的相位；i一模的比值。 图4薄煤层位移与位移位反射、透射系数的对比 2.0 1.5 1.0 0.5 60 8 f-Tpp的相位； Fig.4 Comparison of displacement and displacement potential, reflection/transmission coefficients of thin seam 方式的基础上，推导出两种函数形式的层状介质传播 矩阵。 a.位移函数与位移位函数两种情况下的传播矩 阵相同。 b.薄层位移反透射系数（上角标l表示）及位移 位反射、透射系数（上角标2表示）存在速度比关系 Ri ＝生LRW; Ri Rw ; rJ』＝卫＇＿＿rJ）; Vpt Vst Vp3 时＝－碍。其中，Vp）、vs，分别为薄层顶部围岩 Vs3 纵波、横波速度；Vp3、Vs3分别为薄层底部围岩纵波、 横波速度。 c.单界面的位移与位移位反射、透射系数也存在同 样的规律，且分别对应着Zoeppritz方程与Knott方程。 这些都说明，在薄层理论研究与弹性反演应用 中，需注意所用子波函数或地震数据是位移反透射系 数或位移位反透射系数，如不加说明，将容易用错， 造成速度比的差异。 参考文献 川戈革地震波动力学基础［M］.北京石油工业出版社，1980. 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