基于量纲分析的非充分采动导水裂缝带高度预测_娄高中.pdf

第 47 卷 第 3 期 煤田地质与勘探 Vol. 47 No.3 2019 年 6 月 COAL GEOLOGY 2. Coal Production Safety Collaborative Innovation Center in Henan Province, Jiaozuo 454000, China; 3. No.1 Coal Mine, Pingdingshan Coal Mining Co. Ltd., Pingdingshan 467000, China Abstract In order to accurately predict the height of water flowing fractured zone under subcritical mining, mining thickness M, mining depth H, inclined length of working face L, dip angle of coal seam α, overburden mechanical properties R, overburden structure characteristics S were selected as the main influencing factors on the height of water flowing fractured zone under subcritical mining. Dimensionless relations between the height of water flowing fractured zone and M, H, L, α, S were established by dimensional analysis. Based on 30 sets of measured data, the optimal function relation of dimensionless relation was obtained by multiple regression. The prediction model is validated with field examples from two subcritical working faces, the prediction values are in good agreement with the measured values, and the relative errors are 3.64 and 2.93 respectively, the prediction accuracy of the pre- diction model can meet the field requirements of safe production in coal mine. Keywords subcritical mining; height of water flowing fractured zone; dimensional analysis; multiple regression 随着我国煤炭资源的高强度开采以及浅部煤炭 资源的逐步枯竭， 开采深度以 812 m/a的速度增加， 东部矿井更是达到 1025 m/a。随着开采深度的增 加，工作面倾斜长度与开采深度之比即采动系数不 断减小，当采动系数小于 1.2 时，工作面为非充分 采动，当采动系数小于 1/3 时，工作面为极不充分 采动，此时地表任意点的下沉值均未达到该地质采 矿条件下的最大值[1-2]。非充分采动工作面上覆岩层 移动和破坏稳定后，按破坏程度分为垮落带、裂缝 带和弯曲下沉带，其中垮落带和裂缝带合称为导水 裂缝带。导水裂缝带高度是煤矿保水开采、防水安 全煤岩柱留设和瓦斯抽采的重要参数，因此，准确 确定非充分采动工作面导水裂缝带高度对于煤矿安 全生产具有重要意义。目前，非充分采动导水裂缝 ChaoXing 148 煤田地质与勘探 第 47 卷 带高度计算常用方法有理论分析、现场实测、相似 模拟、数值模拟等[3-6]。其中，现场实测结果最为可 靠，但工作量大，成本较高；理论分析往往对实际 情况进行了理想简化，适用性不强；数值模拟和相 似模拟中岩体力学参数难以准确确定，模型建立与 简化因人而异，计算结果更适合定性分析。 量纲分析，是物理领域中建立数学模型的一种 方法。对于某些复杂研究问题，往往难以建立数学 模型从而采用数学方程准确表述，或者方程求解过 程复杂，不方便在实际中应用，采用量纲分析可以 明确各物理量对研究问题的影响作用，在数学上给 出各物理量之间明确的函数关系式。非充分采动导 水裂缝带高度受多种因素影响，与影响因素之间存 在复杂、难定量的非线性关系，因此笔者把量纲分 析引入到非充分采动导水裂缝带高度计算中，考虑 导水裂缝带高度主要影响因素，根据不同矿区导水 裂缝带高度实测数据，采用多元回归分析，建立基 于量纲分析的导水裂缝带高度预测模型，为非充分 采动导水裂缝带高度预测提供了方法和参考。 1 非充分采动导水裂缝带高度影响因素 导水裂缝带高度影响因素众多， 根据理论分析、 现场实测、相似模拟、数值模拟等方法对非充分采 动导水裂缝带高度的研究，非充分采动导水裂缝带 高度主要影响因素包括开采厚度 M、煤层埋深 H、 工作面倾斜长度 L、煤层倾角 α、覆岩力学性质 R 和覆岩结构特征 S。 a. 开采厚度 M 开采厚度是导水裂缝带高度的主要影响因素， “三下”开采规范中的经验计算公式[7]中导水裂缝 带高度仅与开采厚度有关。当其他条件一定时，薄 煤层单层开采或厚煤层第一分层开采时，导水裂缝 带高度与开采厚度近似呈线性关系；厚煤层分层开 采及综放开采时，导水裂缝带高度与开采厚度近似 呈分式函数关系。中硬覆岩条件下导水裂缝带高度 与开采厚度间的回归公式[8-9]为 0.11278 li 176.360 03 1 e M H  （） 1 2 li 111 0.05410.0980.000 9 HMM   2 b. 煤层埋深 H 当煤层埋深为 252 700 m 时，铅直应力基本上 等于上覆岩层的重力。因此铅直应力随着煤层埋深 的增大而增加，煤层开采后上覆岩层破坏程度越剧 烈，导水裂缝带发育高度越大。导水裂缝带高度与 煤层埋深间的回归公式[10-11]为  li exp 2.0110.014HH 3 li 0.0225.16415.49613.96HHMb 4 式中 b 为预计导水裂缝带高度范围内硬岩厚度与 预计导水裂缝带高度的比值[12]。 c. 工作面倾斜长度 L 工作面基本顶断裂前可视为由煤壁和边界煤 柱支撑的固定梁，工作面的倾斜长度越大，基本顶 向下弯曲的程度越大， 断裂后形成的导水裂缝带高 度越大。在覆岩破坏未达到充分采动时，导水裂缝 带高度随着工作面倾斜长度的增加而增加， 当覆岩 破坏达到充分采动后， 不再受工作面倾斜长度的影 响。 导水裂缝带高度与工作面倾斜长度间的回归公 式[12-13]为 li 1.89ln3.47228.36 426.243 0.13exp228.366.04 HLMb H   5 2 li 0.00010.076 955.714 0HLL  6 d. 煤层倾角 α 煤层倾角影响导水裂缝带的形态和高度。对于 水平及缓倾斜煤层、倾斜煤层和急倾斜煤层，导水 裂缝带在倾斜方向上的形态分别为马鞍形、抛物线 形、椭圆形。当煤层倾角小于 45时，导水裂缝带 高度随着煤层倾角增大而增大；当煤层倾角为 45 60时，导水裂缝带高度随着倾角的增大而减小[9]。 导水裂缝带高度与煤层倾角间的回归公式[9]为 li 2.530 47 9.407 940.133 75 0.064 8836.942 49 HMH L    7 e. 覆岩力学性质 R 与结构特征 S “三下”开采规范中，根据覆岩的单向抗压强 度，将覆岩力学性质分为坚硬、中硬、软弱和极软 弱 4 类。受采动影响后，坚硬和中硬覆岩易产生裂 隙而下沉量较小，覆岩断裂后裂隙不易闭合和恢复 其原有隔水能力；软弱和极软弱覆岩不易产生裂隙 而下沉量较大，覆岩断裂后裂隙容易闭合并恢复其 原有隔水能力。因此，覆岩越坚硬，导水裂缝带高 度越大。按从直接顶到基本顶的顺序，导水裂缝带 高度范围内的覆岩结构特征可以分为坚硬坚硬、 坚硬软弱、软弱坚硬、软弱软弱 4 种类型。 一般情况下，导水裂缝带高度由小至大对应的覆岩 结构特征分别为软弱软弱、坚硬软弱、软弱 坚硬、 坚硬坚硬， 在定量分析中分别量化取值 0.2， 0.4，0.6，0.8[14-15]。导水裂缝带高度与覆岩结构特 征间的回归公式[16-17]为 ChaoXing 第 3 期 娄高中等 基于量纲分析的非充分采动导水裂缝带高度预测 149 li 10.06159.419 50.0661 0.044 50.597 720.338 HSMH L   8 li 27.41711.1320.021 0.3140.33126.586 HSMH L   9 2 非充分采动导水裂缝带高度的量纲分析预测 模型建立 2.1 量纲分析 量纲分析，是在理论分析和实验的基础上，利 用物理量量纲提供的信息，根据量纲齐次原则确定 物理量之间关系，在此基础上根据物理原理构建各 物理量之间的方程，然后建立数学模型进行求解。 运用量纲分析研究非充分采动导水裂缝带高度的具 体步骤如下[18-19] a. 根据理论分析和实验，正确选择研究问题中 包含的物理量。如果某个研究问题由n个物理量 12 ,,, n q qq组成，则可以表示为 12 ,,,0 n f q qq 10 根据式10，非充分采动导水裂缝带高度Hli可 以表示为 li ,, , , ,,0fH S L R M H 11 b. 确定各物理量的量纲表达式。假设基本量纲 为 12 ,,, m XXXmn，则qj的量纲可以表达为 1 1,2,, ij m a ji i qXjn    ， 12 物理量的基本量纲只有7个， 对于纯力学类问题 仅涉及3个基本量纲 质量、 长度和时间， 分别用M、 L、T表示。则物理量qj的量纲又可以表示为 ML T1,2,, jjj abc j qjn  ， 13 导水裂缝带高度属于力学类问题，因此式11 中的7个物理量均为基本量纲M、L、T的组合，根 据式13，7个物理量的量纲见表1。 表 1 物理量量纲 Table 1 Dimensions of physical quantities 量纲 α/ H/m S L/mR/MPa M/mHli/m [M] 0 0 0 0 1 0 0 [L] 0 1 0 1 –1 1 1 [T] 0 0 0 0 –2 0 0 根据表1，量纲矩阵 A 形式为 0000100 0101111 0000200       A 14 c. 设 12 ,,, n q qq满足关系 1 j m y j i q   ，其中yj 待定。根据量纲齐次原则，等号两端的量纲必须一 致，因此得到    12000 12 M L T n yyy n qqq 15 展开式15可以得到 1122 1122 1122 0 0 0 nn nn nn a ya ya y b yb yb y c yc yc y           16 求解式16等价于求解线性方程组Ay0的基本 解。若矩阵 A 的秩rankAr，Ay0的nr-个基本 解可以表示为 T 12 ,1,2,,,,, ssssn yyyysnr- 17 式14中量纲矩阵 A 的秩rankA为2，因此 Ay0有5个基本解y11,0,0,0,0,0,0T，y20,0,1,0, 0,0,0，y30,–1,0,1,0,0,0，y40,–1,0,0,0,1,0，y5 0,–1,0,0,0,0,1T。 d. 根据式17得到nr-个无量纲量πs的表达 形式为 1 ij n y sj j a    18 根据量纲矩阵 A 的基本解计算结果，无量纲量 π计算结果见表2。 表 2 无量纲量 π 计算结果 Table 2 Computation result of dimensionless quantity π π α H S L R M Hli π1 1 0 0 0 0 0 0 π2 0 0 1 0 0 0 0 π3 0 –1 0 1 0 0 0 π4 0 –1 0 0 0 1 0 π5 0 –1 0 0 0 0 1 根据表2和式18，可以得到5个无量纲量π 的表达式分别为π1α，π2S，π3 L H ，π4 H M ， π5 li H H 。 非充分采动导水裂缝带高度函数式11的无量 纲表达式为 li , ,,,0 HLM fS HHH （） 19 2.2 非充分采动导水裂缝带高度多元回归分析 非充分采动导水裂缝带高度的无量纲表达式 19中的函数f形式未定， 为了得到非充分采动导水 裂缝带高度定量预测模型，采用多元回归方法进行 分析。多元回归分析的基本模型为 01 12 2pp yxxx 20 ChaoXing 150 煤田地质与勘探 第47卷 式中 01 ,,, p 为常数，ε为相互独立且服从 2 0,N的随机变量。 根据最小二乘法， 01 ,,, p 的最小二乘解 01 ,,, p b bb满足 2 1 2 01 12 2 1 ˆ min q ss s q ssspps s Qyy ybb xb xb x      21 1, , p bb的计算公式为 11 112 211 21 122 222 1 12 2 SPSPSPSP SPSPSPSP SPSPSPSP ppy ppy ppppppy bbb bbb bbb              22 式中 1 SPSP q rkkrrsrksr s xxxx  ； 1 SP; ,1,2,, q ryrsrs s xxyyr kp   根据式22计算出 12 ,,, p b bb后，b0的计算公 式为 0 1 p rr r byb x 23 为了判断回归方程的准确性，必须计算因变量 y与自变量 12 ,,, p x xx的决定系数R2，R2越大，自 变量与因变量之间的线性关系越密切。 2 SS SS R y R  24 式中 SSR为p个自变量的回归平方和，SSR 1 SP p rry r b  ；SSy为因变量y的离均差平方和，SSy  2 2    y y q 。 实际问题研究中，因变量与自变量之间除了线 性关系外还存在非线性关系，常见的多元非线性关 系有多元幂函数、多元对数函数和多元指数函数。 非线性函数可以变换为线性形式后按照线性回归进 行求解。 根据相关文献收集了我国部分矿区非充分采动 导水裂缝带高度实测数据[20-21]，见表3。根据表3中 实测数据，采用Matlab软件，分别用多元线性函数、 多元幂函数、多元对数函数和多元指数函数对导水裂 缝带高度无量纲表达式19进行了回归分析，通过比 较相关系数R2和误差平方和SSE确定最优函数关系 式，R2越大，SSE越小，相应的函数关系式最优。4 种函数回归计算结果见表4，从表4中可以看出，多 元线性函数的相关系数R2最大，误差平方和SSE最 小，多元线性函数为最优函数关系式。因此，基于量 纲分析的非充分采动导水裂缝带高度预测模型为 li 0.007 50.021 20.000 2 0.070 311.7401 H S H LM HH   25 式25适用于非充分采动工作面导水裂缝带高 度计算，即工作面倾斜长度L与煤层埋深H之比小 于1.2的情况。从式25可以看出，非充分采动导水 裂缝带高度与覆岩结构特征S、煤层倾角α、工作面 倾斜长度L与煤层埋深H之比、 开采厚度M与煤层 埋深H之比、煤层埋深H有关。 3 工程验证 为了进一步检验基于量纲分析的非充分采动导 水裂缝带高度预测模型的可靠性和适用性，选择济 宁三号煤矿1301、新集一矿1303两个非充分采动 工作面进行现场工程验证。 济宁三号煤矿1301工作面开采3下煤，煤层厚 度为3.467.84 m， 平均厚度为6.3 m； 煤层倾角为0 10，平均倾角为4。工作面走向长度为1 614.8 m， 倾斜长度为170 m，开采深度为445515 m，平均开 采深度为480 m。覆岩结构特征为坚硬软弱型。工 作面采用综采放顶煤开采， 全部垮落法管理顶板。 将 以上地质与采矿参数带入非充分采动导水裂缝带高 度预测模型式25中，1301非充分采动工作面导水裂 缝带高度预测值为71.1 m， 根据井下钻孔法现场实测 确定的导水裂缝带高度为68.6 m[22]，预测模型预测 值与现场实测值的绝对误差为2.5 m，相对误差为 3.64。 新集一矿1303工作面开采13-1煤， 煤层厚度为 6.6410 m，平均厚度为7.76 m；煤层倾角为610， 平均倾角为8；工作面走向长度为645 m，倾斜长度 为134 m，开采深度为323335 m，平均开采深度为 329 m，覆岩结构特征为软硬坚硬型。工作面采用 综采放顶煤开采， 全部垮落法管理顶板。 将以上地质 与采矿参数带入非充分采动导水裂缝带预测模型式 25中，1303非充分采动工作面导水裂缝带高度预测 值为86.4 m， 根据地面钻孔冲洗液漏失量法现场实测 确定的导水裂缝带高度为83.94 m[23]。预测模型预测 值与现场实测值的绝对误差为2.46 m，相对误差为 2.93。 ChaoXing 第3期 娄高中等 基于量纲分析的非充分采动导水裂缝带高度预测 151 表 3 非充分采动导水裂缝带高度实测数据 Table 3 Measured data of the height of water flowing fractured zone under subcritical mining 序号 α/ H/m S L/m M/m Hli/m 1 8 232 坚硬软弱71 4 33 2 17 484 坚硬软弱143.3 3 40 3 2.3 359 软弱软弱150 3.6 30 4 7 330 软弱软弱150 4.1 38.8 5 11.5 270 坚硬坚硬120 6.4 62 6 2 331.5 软弱坚硬93.4 9.9 125.81 7 23 360 坚硬软弱70 3.7 56.8 8 6 368 坚硬坚硬125 5.77 70.7 9 15 541 坚硬坚硬175 5.3 67.5 10 6.5 357 坚硬软弱170 8.6 65.5 11 6 320 坚硬软弱65 1.7 27.5 12 9 409 坚硬软弱192 6.36 72.9 13 8 450 坚硬软弱170 8 86.8 14 5.5 168 软弱软弱137 3 27.8 15 28 475 软弱坚硬149 5.13 45 16 8 120 软弱坚硬75 1.2 31 17 8 460 软弱坚硬207 11.4 194.6 18 6 580 软弱坚硬150 10.73 193.4 19 4 263 坚硬软弱180 6.5 83.9 20 5 350 软弱坚硬135 2.5 20 21 60 43 坚硬坚硬30 3 35 22 6 409 坚硬软弱198 8.7 65.5 23 7 302 软弱软弱120 9.58 112 24 7 310 软弱软弱120 9.09 111 25 25 212 坚硬软弱120 5.3 61.1 26 8 552.5 软弱软弱180 5.8 65.2 27 6 285 坚硬软弱180 1.6 30.8 28 9 350 软弱软弱136 4 35 29 20 173 软弱坚硬70 1.9 26.7 30 5 350 软弱坚硬135 2.5 20 表 4 多元函数表达式 Table 4 Expressions of multivariate functions 函数形式 函数表达式 R2 SSE 多元线性函数 Hli/H0.007 50.021 2S0.000 2α–0.070L/H11.740M/H 0.928 8 0.002 0 多元幂函数 li 0.047 20.04800.39841.1346 ///12.3678LHMHHHS   0.886 9 0.055 3 多元指数函数 li/ 0.0502exp0.30430.001 90.1456 /57.782 8/HHSL HM H 0.859 9 0.043 3 多元对数函数 li/ 0.94140.0026ln0.0085ln0.100 1ln/0.1968ln/HHSL HM H 0.838 8 0.002 0 济宁三号煤矿1301工作面和新集一矿1303工 作面的工程验证结果表明，基于量纲分析的非充分 采动导水裂缝带高度预测模型是可行的，其预测精 度能够满足煤矿现场安全生产需要，可以为煤矿保 水开采、 防水安全煤岩柱留设和瓦斯抽采提供参考。 4 结 论 a. 通过现场实测、理论分析、相似模拟、数值 模拟等方法，确定非充分采动导水裂缝带高度的主 要影响因素为开采厚度M、煤层埋深H、工作面倾 ChaoXing 152 煤田地质与勘探 第47卷 斜长度L、煤层倾角α、覆岩力学性质R、覆岩结构 特征S。 b. 基于量纲分析，建立了非充分采动导水裂缝 带高度与煤层倾角α、覆岩结构特征S、工作面倾斜 长度L、煤层埋深H、开采厚度M之间的无量纲表 达式。根据非充分采动导水裂缝带高度实测数据， 采用多元回归分析得到了无量纲表达式的最优函数 关系式。 c. 选取济宁三号煤矿1301工作面和新集一矿 1303工作面导水裂缝带高度现场实例对基于量纲分 析的非充分采动导水裂缝带高度预测模型进行了工 程验证，预测模型预测结果与现场实测结果的绝对 误差分别为2.5 m和2.46 m， 相对误差分别为3.64 和2.93，预测精度可以满足煤矿现场安全生产需 要，为非充分采动导水裂缝带高度预测提供了方法 和参考。 参考文献 [1] 郭文兵，谭志祥，柴华彬，等. 煤矿开采损害与保护[M]. 北京煤炭工业出版社，20137–37. 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