基于MATLAB算法的机械优化设计.pdf

2 0 0 4年第 1 1 期 煤 矿 机 械 文章编号 1 0 0 3 ． 0 7 9 4 2 0 0 4 1 l 一 0 o l 1 - 0 2 基于 M A T L A B算法的机械优化设计 刘鹤松 ．姜昌 哈尔滨工业大学 汽车工程学院 ，山东 威海 2 6 4 2 0 9 摘 要 结合工程 实例 ， 介绍 了MA T L A B优化工具箱在机械优化设计 中的应 用。以齿轮减速 器为例 ， 根据其设计要求和特点， 建立了减速器的优化设计数 学模 型， 在保证零件强度和 刚度等前 提条件下 ， 要求设计的齿轮组两轮子的体积及相关轴的体积均最小。利用 MA T L A B优化 工具箱求 解优化 问题， 不用编写大量算法程序 ， 提高了设计效率， 算法可靠， 非常实用。 关键词M A T L A B ；机械优化设计 ；应用实例 中图号T H1 2 2 1 前 言 机械优化设计是 以数学规划 为理论基础 ， 以计 算机为工具 ， 寻求最佳机械设计方案的现代设计方 法之一。是在给定 的载荷或环境条件下 ， 在对机械 产品的性 态、 几何 尺寸关系或其他 因素的限制 约 束 范围内， 选取设计变量 ， 建立 目标函数并使其获 得最优值 的一种新的设计方法 。 目前 ， 已有很 多成熟的优化方法程序可供选择， 但它们各有 自己的特点和适用范围。实际应用时必 须注意因为优化方法或初始参数选择而带来的收敛 性问题及机时问题。而 M A T L A B语言的优化工具箱 则选用最佳方法求解 ， 初始参数输入简单 ， 语法符合 工程设计语言要求 ， 编程工作量小， 优越性明显。 2 M A T L A B语言及优化工具箱 MA T L A B是 由美国 M a t h w o r k s 公司开发的集科学 计算、 数据可视化和程序设计为一体的工程应用软 件 ， 分总包和若干个工具箱， 可以实现数值分析、 优 化、 统计 、 偏微分方程数值解、 自动控制、 信号处理、 图 像处理等若干个领域的计算和图形显示功能， 已被广 泛应用于教学和科研 中。其中优化工具箱的应用包 括 线性、 非线性最小化 ， 方程求解 ， 曲线拟合 ， 二次规 划等问题中大型课题的求解方法 ， 为优化方法在工程 中的实际应用提供了更方便、 快捷的途径。 3 MA ⅡAB优化工具箱中有约束规划应用 由于机械优化设计多数是非线性约束最小化问 题 ， 目前 ， 对于非线性约束优化问题的解法很多 ， 但 这些算法仅仅能解决一类特殊的非线性规划问题 。 早期 的方法通常是通过构造惩罚函数来将有约束的 最优化问题转化为无约束最优化问题进行求解。现 在 ， 这些方 法 已经被 更 有效 的基于 KT K u h n T u c k e r 方程解 的方法所取代。KT方程是有约束 最优化问题求解 的必要条件 ， 是非线性规划算法 的 基础 ， 这些算法直接计算拉格朗 日乘子 。通过拟牛 顿法更新过程 ， 给 KT方程积累二阶信息， 可以保 证有约束拟牛顿法的线性收敛。这些方法称为序列 二次规划法 S Q P法 ， 因为在每 次主要 的迭代 中都 求解一次二次规划问题。MA ⅡA B中 S Q P法 的实现 主要分 3步 ， 即 1 拉格朗 日函数 H e s s i a n矩阵的更新 ； 文献标识码 A 2 二次规划问题求解 ； 3 一维收索和 目标 函数的计算 。 非线性多变量约束优化问题可做如下描述 m i n S ． t ． A x ≤b 线性不等式约束 A 6 线性等式约束 c ≤0 非线性不等式约束 c 0 非线性等式约束 b 0 IL b d≤ ≤ 调用 f m i n c o n函数实现求解约束优化 问题。 f m i n c o n函数的调用格式如下 【 x o p t ， f x o p t J f m i n c o n U s e r F u n o t i o n ， x 0 ， A ， b ， Ae q， b e q， L Bn d，Ub n d， No n Li n C o n s t r ，o p t i o n s ， pl， p 2， ⋯ 4实例 如图 1 所示 ， 齿轮减速器 由 2个齿轮组 成齿轮 组 ， 其 中一个为主动轮 ， 另一个为从动轮。要求设计 的齿轮组两轮子的体积及相关轴的体积均最小 。该 问题中有 7个设计变量 X[ l ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ] T 其中， 。 为齿宽 ， 为模 数 ， ，为从 动轮 的齿 数， ． 为轴承 1两端的距离 ， 为轴 承 2两端 的距 离 ， 为轴 1 的直径 ， ，为轴 2的直径。 图 1 齿轮减速器 F j g ． 1 Gl l r l l o x 1 ． 轴承 2 2 ． 轴 承 1 3 ． 轴 1 4 ． 轴 2 设计 目标 为求所有轴总体积 的最优解 ， 该 问题 描述如下 m i 厂0 ． 7 8 5 4 x l 茗 3 ． 3 3 3 3 x 1 4 ． 9 3 3 x 3一 维普资讯 ． 1 2 ． 基于 MA T L A B算法的机械优化设计刘鹤松 ， 等 2 0 0 4年第 1 1 期 4 3 ． 0 9 3 4 一1 ． 5 0 8 x 。 ； 7 ， 4 7 7 ； 0 ． 7 8 5 4 ． ； 长度单位为c m 其中每个变量的上下限 2． 6≤ 1 ≤ 3． 6 7． 3≤ 5 ≤ 8． 3 0． 7≤ 2≤O． 8 2． 9≤ 6≤3． 9 1 7≤ 2 ≤ 2 8 5． 0≤ 7≤ 5． 5 7． 3≤ 4 ≤ 8． 3 约束条件 齿轮的弯 曲应力约束 1≤0 g 一乏 ， ≤u 齿轮的接触应力约束 g 一 ≤。 轴 1的偏差约束 g ， 一 ≤。 M E的偏差约束 g ． 一 ≤。 轴 l 的应力约束 一 1 1 0 0≤ 0 轴 2 的应力约束 g -s s 间隔限制约束 g ， 2 3 4 0 0 间隔限制约束 g 8 5 x 2 一 1 ≤0 间隔限制约束 g 9 1 1 2 x 2 ≤O 轴规格约束 g l o 1 ． 9一 4 1 ． 5 x 6 ≤0 轴规格约束 g 1 ． 9 一 5 1 ． 1 1 ≤0 由以上约束条件可得 A b q 0 L [ 2 ． 6 ， 0 ． 7 ， 1 7 ， 7 ． 3 ， 7 ． 3 ， 2 ． 9 ， 5 】 [ 3 ． 6 ， 0 ． 8 ， 2 8 ， 8 ． 3 ， 8 ． 3 ， 3 ． 9 ， 5 ． 5 ] 广一1 5 0 0 0 0 0 1 ． I 1 1 2 0 0 0 0 0 I l 0 0 0 1 0 1 ． 5 0 I l 0 0 0 0 1 0 1 ． 1 j b[ 0 0 1 ． 9 1 ． 9 ] f r n i n c o n用到的 2个函数定义如下 f u n c ti o n f G e a r O b j F u n c t x f 0 ． 7 8 5 4*x 1 *x 2 2* 3 ． 3 3 3 3*x 3 2 1 4 ． 9 3 3 4*x 3 一4 3 ． 0 9 3 4 一1 ． 5 0 8*x 1 * x 6 -2x 7 2 7 ． 4 7 7* x 6 3x 7 3 0 。 7 8 5 4* x 4 *x 6 2 x 5 *x 7 2 f u n c t i o n [ c ， C e q ] G e a r N o n L i n C o n s t r x C 1 1 ／ x 1 *x 2 -2*x 3 一1 ／ 2 7 ； C 2 1 ／ x 1 *x 2 -2*x 3 2 一1 ／ 3 9 7 ． 5 ； C 3 x 4 3 ／ x 2 *x 3 *x 6 4 一1 ／ 1 ． 9 3 ； C 4 x 5 3 ／ x 2 *x 3 * x 7 4 一1 ／ 1 ． 9 3 ； C 5 s q r t 7 4 5* x 4 ， x 2 *x 3 - 21 6 ． 9 *l 6 ， 0 ． 1 *x 6 3 一1 1 0 0 ； C 6 s q r t 7 4 5*x 5 ， x 2 *x 3 2 1 5 7 ． 5 *1 0 6 ／ 0 ． 1 *x 7 3 一8 5 0 ； C 7 x 2 *x 3 一4 0 ； C e q [] ； 程序为 x 0 [ 2 ． 6 ， 0 ． 7 ， 1 7 ， 7 ． 3 ， 7 ． 3 ， 2 ． 9 ， 5 J ； L B n d [ 2 ． 6 ， 0 ． 7 ， 1 7 ， 7 ． 3 ， 7 ． 3 ， 2 ． 9 ， 5 J ； U B n d [ 3 ． 6 ， 0 ． 8 ， 2 8 ， 8 ． 3 ， 8 ． 3 ， 3 ． 9 ， 5 ． 5 ] ； Az e r o s 4 ， 7 ； A 1 ， 1 一1 ； A 1 ， 2 5 ； A 2 ， 1 1 ； A 2 ， 2 一1 2 ； A 3 ， 4 一1 ； A 3 ， 6 1 ． 5 ； A 4 ， 5 一1 ； A 4 ， 7 1 ． 1 ； b[ 0 0 1 ． 9 1 ． 9 J [ x ， f ]f m i n c o n G e a r O b j F u n c t ， x 0 ， A， b ， [] ， [] ， L B n d ， U B n d ， G e a r N o n L i n C o n s t r 执行结果为 [ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ] [ 3 ． 5 0 0 ， 0 ． 7 0 0 ， 1 7 ． 0 0 0 ， 7 ． 3 0 0 ， 7 ． 7 1 5 ， 3 ． 3 5 0 ， 5 ． 2 8 7 ] f 2 9 9 4 ． 3 5 结 语 通过 以上实例可 以看 出， 应用 MA T L A B优化 工 具箱进行机械优化设计 问题求解 ， 不用编写大量算 法程序 ， 提高 了设计效 率， 从 而获得很好 的优化 结 果 。 参考文献 [ I ] 苏金 明， 阮沈勇 ．M A T L A B实 用指南 [ ] ． 北 京 电子 工业出版社 ， 2 0 0 2 ． [ 2 ] E d w a r dB， M a g r a b ， 高会 生 ， 等 ． M A T L A B原理 与工 程 应用 【 M] ． 北 京 电子工业出版社 ， 2 O O 2 ． 【 3 ] 刘惟信 ． 机械最优化 设计 第 二版 【 M] ． 北京 清华 大学 出版 社 ， I ． 作者简介 刘鹤松 1 9 6 1 一 ， 女 ， 内蒙古海拉尔 人， 副教授 。 主要 从事计算机辅助 设计 及机 械优 化设 计等 方 面 的教学 与研究 工 作 ． Te l 0 6 3 15 6 8 7 0 5 0， E m a i l l i u h e a o n g wh s o u h． c o in． 收稿 日期 2 0 0 4 - 0 4 - 1 9 Op t i mu m de s i g n 0 f me c h a n i s m b a s e d 0 n MA Ⅱ B 一 一 L I U He s o n g- J I A NG J l n g ． S c h o o l o f Au t o m o b i l e E n g i n e e r i n g - H a r b i nI n s ti t u t e o f T e c h n o l o g y ，We i h a i 2 6 4 2 0 9， C h in a J Ab s t r a c tT h i s p a p e r i l l u s t r a t e s h o w t o a p p l y o p t i mu m t o o l b o x o f M A n。 A B i n o p t i mu m d e s i g n o f me c h a n i s m ．Ac c o r d i n g t o t h e d e s i g n r e q u est a nd c h a r a c t e m o f g e a r bo x。the o p t i mu m ma the ma t i c al roo d e l o f i t i 8 s e t u p t o d e c r e a s e g e a r s an d a x - i s ’ s v o l u me wh e n the s t r e n g t h an d s t i e s s o f t h e p a r t s a r e p e r mi t t e d． Th e res u l t ma n ife s t s tha t t h e o p t i mu m t oo l b o x o f MA1 1 rJ A B i s v e r y p r a c t i c a l i n tha t the o p t i mu m i s s u e c an b e s o l v e d wi tho u t d e s i g n i n g a g r e a t d e al o f a r i t h me t i c p r o 姗 me。t h e d esi gn e t i i c i e n c y c a n b e i mp rov e d an d i t ’ s a rit h me ti c i s v e r y rel i a b l e． Ke y wo r d sMATL ABo p timu m d e s i gn ；p rac t i c ali t y 维普资讯