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第三章 真空中的静磁场 1 第三章第三章 真空中的静磁场真空中的静磁场 磁现象的研究与应用即磁学是一门古老而又年轻的学科 说她古老 是因为关于磁现象的发现和应 用的历史悠久 说她年轻 是因为磁的应用目前越来越广泛 已形成了许多与磁学有关的边缘学科图 3.1 磁现象是一种普遍现象即一切物质都具有磁性任何空间都存在磁场所以我们可以毫不夸张地说 磁学犹如一棵根深叶茂的参天大树 2 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等 尽管人们对物质磁性的认识已有两千多年 但直至 19 世纪 20 年代才出现采用经典电磁理论解释物质 磁性的代表安培分子环流假说而真正符合实际的物质磁性理论却是在 19 世纪末发现电子20 世 第三章 真空中的静磁场 3 纪初有了正确的原子结构模型和建立了量子力学以后才出现 因此在经典电磁学范围研究物质的磁性时我们虽然采用传统的观念即安培分子环流假说和等效 磁荷两种观点但必须强调我们要在原子结构模型和量子力学的基础上建立一个正确的概念即物质 的磁性来源于电子的轨道磁矩和自旋磁矩图 3.2 只有这样我们才能准确理解物质的抗磁性顺磁性和铁磁性尤其是磁畴结构在外磁场中的变化是 铁磁性物质在外磁场中的磁化特点图 3.3 4 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等 3-1 磁现象与安培安律 一基本磁现象 对基本磁现象的认识可以分成三个阶段 1.早期阶段磁铁 ⇔ 磁铁 天然磁铁吸铁石能吸引铁镍钴等物质条形磁铁的两端称作磁极中部称作中性区图 3.4 第三章 真空中的静磁场 5 将条形磁铁的中心支撑或悬挂起来使它能够在水平面内运动则两极总是指向南北方向分别称作 S 极和 N 极这是因为地球本身是一个磁场图 3.5所以条形磁铁指南针可以与地磁场发生相互作用 条形磁铁与地球磁场之间以及条形磁铁之间的相互作用图 3.6说明同号磁极相互排斥 异号磁极相互 6 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等 吸引 进一步分析发现 将一磁铁可以一直细分成很小很小的磁铁 而每一个小磁铁都具有 N S 极图 3.7 自然界中有独立存在的正电荷或负电荷但迄今却未发现独立的 NS 极尽管在近代理论中有人认为 可能存在磁单极子 第三章 真空中的静磁场 7 2.电流 ⇔ 磁铁 电流 ⇔ 电流 1820 年 7 月 21 日奥斯特实验图 3.8打破了长期以来电学与磁学彼此独立发展和研究的界限使人 们开始认识到电与磁有着不可分割的联系 8 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等 由图 3.8 可以看出电流对磁铁的作用由图 3.9 可以看出磁铁对电流的作用电流和电流之间也有相 互作用图 3.10 第三章 真空中的静磁场 9 进一步发现一个载流螺线管的行为很像一根磁棒图 3.11 10 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等 由此我们可以用右手定则来判断载流线圈的极性图 3.12 3.电流 ⇔ 磁场 ⇔ 电流 类似于静止电荷之间的相互作用力是通过电场来传递的,上述的各种相互作用都是通过磁场来传递 的1822 年安培提出了一个假说组成磁铁的最小单元磁分子就是环形电流这些分子环流定向地排 列起来在宏观上就会显示出 NS 极来图 3.13 第三章 真空中的静磁场 11 当时人们并不了解原子的结构因此不能解释物质内部的分子环流是如何形成的现在大家都知道 原子是由带正电的原子核和绕核旋转的负电子组成电子不仅能绕核旋转而且具有自旋在分子原 子等微观粒子内电子的这些运动形成了分子环流这就是物质磁性的基本来源的经典解释 小结无论是导线中的电流传导电流产生的磁场还是磁铁分子环流产生的磁场本源都只有一 个即电荷的运动也就是说前面介绍的各种实验中出现的现象都可以归结为运动着的电荷即电流 之间的相互作用这种相互作用是通过磁场来传递的 注意电荷之间的磁相互作用与电库仑相互作用的区别在于无论电荷是静止的还是运动的它们 之间都存在着库仑相互作用但是只有运动的电荷才存在着磁相互作用 12 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等 二安培定律 这一节主要研究电流与电流之间的磁相互作用的规律 正如点电荷之间的相互作用的规律库仑定 律是静电场的基本规律一样 电流之间的相互作用规律-----安培定律是稳恒磁场的基本规律 稳恒电流只 能存在于闭合回路之中而闭合回路的形状和大小可以千变万化两载流闭合回路之间的相互作用又与 它们的形状大小和相对位置有关这就使问题变得复杂不过在研究两个有一定形状和大小的带电体 之间的静电相互作用时我们可以把带电体分割为许多无穷小的带电元每个带电元看作是点电荷只 要研究清楚任意一对点电荷之间相互作用的规律之后我们就可以通过矢量叠加把整个带电体受的力 计算出来仿照此法我们也可以设想把相互作用着的两个载流回路分割为许多无穷小的线元叫做电 流元只要知道了任意一对电流元之间相互作用的基本规律整个闭合回路受的力便可通过矢量叠加计 算出来 注意点电荷和电流元之间的重要区别因为在实验中无法实现一个孤立的稳恒电流元从而无法直 接用实验来确定它们的相互作用电流元之间的相互作用规律只能间接地从闭合载流回路的实验中倒推 出来因此下面介绍的安培定律并不是直接从实验得到而是在安培设计得很巧妙的四个实验和一个 第三章 真空中的静磁场 13 假设的基础上与相当高超的数学技巧相结合得到的 安培定律的数学表述是如图 3.14 所示的电流元对电流元的作用力为 11 l d I r 22 l d I r 0 r r 12 r 1式中是电流元到受力电流元方向的单位矢量 12 r 11 l d I 22 l d I 0 7 2 0 121122 12 r l d I l d I kFd r rr r r 讨论 1 式中 是比例系数 k 在国际单位制中, π40 104 − π 牛顿/安培 2 2 电流元之间 的相互作用力不一定满足牛顿第三定律原因是实际上不存在孤立的稳恒电流元它们总是闭合回路的 一部分可以证明若将沿闭合回路积分 12 Fd r 得到的合成作用力总是与反作用力大小相等方向相反 k 3电流强度单位安培的定义为 一恒定电流若保持在处于真空中相距 1 米的两无限长圆截面可 14 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等 以忽略的平行直导线内在此两导线之间产生的力在每米长度上等于 210-7 牛顿N则此恒定电流的 电流强度定为 1 安培A 我们还可以根据下面两个式子计算两个体电流元和两个面电流元之间的作 用力 11dV J r 22dV J r 11dS i r 22dS i r 2 12 0 121122 12 r rdVJdVJ kFd r rr r 2 3 2 12 0 121122 12 r rdSidSi kFd r rr r 三安培的四个示零实验 安培首先设计制作了如图 3.15 所示的装置并将它取名为无定向秤他用一根硬导线弯成两个共面 的大小相等的矩形线框线框的两个端点 AB 通过水银槽和固定支架相连接通电源时两个线框中 的电流方向正好相反 整个线框可以以水银槽为支点自由转动 在均匀磁场如地磁场中它所受到的合力 和合力矩为零处于随遇平衡但在非均匀磁场中它会发生运动 第三章 真空中的静磁场 15 实验一安培将一对折的通电导线如图 3.16移近无定向秤以检验对折导线有无作用力 结果是否 定的这说明电流反向时电流产生的作用力也反向大小相等的电流产生的力的大小相等 实验二将对折导线中的一段绕在另一段上成螺旋形如图 3.17通电后将它移近无定向秤 结果表明无定向秤仍无任何反应这表明一段螺旋状导线的作用与一段直长导线的作用相同从而证明 电流元具有矢量性质即许多电流元的合作用是各单个电流元作用的矢量叠加 16 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等 实验三如图 3.18 所示弧形导体 D 架在水银槽 AB 上导体 D 与一绝缘棒固接棒的另一端 架在圆心 C 处的支点上这样既可以通过水银槽给导体 D 通电弧形导体 D 又可绕圆心 C 移动,从而构 成一个只能沿弧形长度方向移动不能沿径向运动的电流元安培用这个装置检验各种载流线圈对它产 生的作用力结果发现弧形导体 D 不运动这表明作用在电流元上的力与电流本身垂直即这种作用具 有横向性 第三章 真空中的静磁场 17 实验四如图 3.19 所示ABC 是用导线弯成的三个几何形状相似的线圈其周长比为 1kk2 AC 两线圈相互串联位置固定通入电流 I1线圈 B 可以活动通入电流 I2实验发现只有当 AB 间距与 BC 间距之比为 1k 时线圈 B 才不受力即此时 A 对 B 的作用力与 C 对 B 的作用力 大小相等方向相反这表明电流元长度增加作用力增加相互距离增加作用力减小如果两电流 18 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等 元的长度及相互距离增加同一倍数相互作用力不变 安培提出的假设两个电流元之间的相互作用力沿它们的连线 3-2 磁场与毕奥萨伐尔定律 一安培公式与磁场感应强度 B 两个电流元及之间有力作用 11 l d I rr 22 l d I 设是对的作用力 12 Fd rrr 11 l d I 22 l d I 3 12 1211 22 0 12 4r r l d I l d IFd rr π r r 1 rr 公式1称为安培定律其中是由指向的距离矢量 12 r r 11 l d I 22 l d I 例 如图 3.20两个相互平行的电流元相距为 r12它们之间的作用力为 z 图3.20 IdlIdl r12 y x 4 4 2 12 22110 3 12 1211220 12 x xzz e r dlIdlI r eredlIedlI Fd r r − π π rrr 2 第三章 真空中的静磁场 19 从式 2 看到安培定律与库仑定律 2 120 21 12 4r qq F πε 很相像 注意到对应关系 0 0 222111 1 ,, ε dlIqdlIq 公 式2与库仑定律就可以互换 因此两个电流元之间的相互作用不满足牛顿第三定律 对于两个线圈来说牛顿第三定律成立参见图 3.22 图 3.21 参见图 3.21 有 0, 4 21 22110 12 Fde dlIdlI Fd z r r r π Idl Idl r12 思考 20 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等 21 3 21 21 2211 2211 3 12 120 3 12 12 11212 4 21 2121 F r r l d I l d I dlIdlI r r r r l d IlIdF LL LLLL r r rr rrr −− − ∫∫ ∫∫∫∫ π rr L2 r12 Idl Idl dF12 图 3.22 L1 证毕 磁感应强度 从 B r 1式可记 Bdl dIFd 22 rrr 3 这里 3 0 4r r lIdBd rr π r 4 称为由 l d I1 r 即 11 l d I r 为了书写方便将可以不写的下标略去产生的磁感应强度回路线圈 L电 流为 I所产生的磁场强度可根据叠加原理由 B r 4式推出 3 0 4r r lIdB L r rr ∫ π 5 第三章 真空中的静磁场 21 叠加原理 这是电磁学中反复用到的原理本处设场源所产生的磁感应强度为 ii l d I r i Bd r 则由场源联 合产生的场强是的几何叠加的结果 B r i Bd r ∑ i i BdB rr 二毕奥萨伐尔实验与定律 4式即毕奥萨伐尔定律简称为毕萨定律1820 年毕奥和萨伐尔在实验上确定了载流导线 和它所产生的场强H r 之间的关系然后拉普拉斯从数学上导出电流元及其场强 lIdrHd r 或 HdBd rr 0 之间的关系因此4式又称为毕奥萨伐尔拉普拉斯Biot-Sarvart-Laplace定律毕奥萨伐尔 的重要实验是弯折导线的实验参见图 3.23 实验结果是 1 r I ∆pm α O z 坐标架原点在 O 点 y x 图 3.23 1 常用物理概念精析 雷树人陈秉乾等编著科学出版社第 189 页 22 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等 2 tg r H ∝ αI 或者 y etg r kH r 2 1 I r α 6 由6式即可推出毕萨定律4式 P0 证明 由于磁场的特性及对称性的分析图 3.23 的弯折导线的上半段和下半段所产生的磁场都是 2/H r 参照图 3.24从 A 到 A1 的所产生的磁场 lIdr 3 1 2 1 2 2 1 1 2 1 sin 2 ] 22 sec 1 2 [ 2 2 1 2 1 2 r r lId k e r Idl k e d r tg r dr I k e d tg drr tg r I k Hd y y y r r r r r r − − α ααα ααα 7 这就是毕萨定律4参数 k1 需要由实验确定 π2 1 k 1 8 Idl 图 3.24 A1 A αdα α dα r rdr 第三章 真空中的静磁场 23 背景对称性如果认为静电规律和静磁规律之间有对称性即它们之间有严格的对应关系那么 相应于库仑定律有磁荷的库仑定律 2 0 4 21 r qq F mm π 9 并且从电学的讨论知道对应地在磁学中9式应当作为磁学的基础 从磁学与电学的对称性出发仿照电学的电偶极子成场公式磁偶极子的成场公式是磁场 m p r ] 3 [ 4 1 23 0 r r rp p r H m m r rr r r ⋅∆ ∆−∆ π 10 利用10式计算图 3.23 中 P0 点的场强H r 由于电流为 I 的磁偶极子面积为的圈电流可 看作是磁偶极矩为 zxS∆∆∆ 11 nzxIpm rr ∆∆∆ 0 的磁偶极子而折线电流 I 的成场效应可用在其左侧一系列圈电流代替并且考虑到10式 yy xtg xtg etg r I zxr e IdzdxHH rr rr ∑∫∫ − ∆ − ∞− π α π α α 2 1 2][4 1 22 0 0 0 . 12 24 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等 12式与6式完全一致并且确定了 π2 1 k 1 如果采用电磁对称性仿照电学来处理磁学问题那么毕萨定理可以完全从理论中推导出来包括 系数在内都是理论的自然结果 三三求磁场举例求磁场举例 [例 3-2-1] 无限长直线电流 I在距 I 为 r0 处一点 P1 的磁场见图 3.25 Z 图 3.25 r0 O P1 Y z Idl X 解 z eIdzlId r r 相应的用毕Bd r 萨定律求出 2/322 0 00 4zr ezer eIdzBd zx z − rr r r π 第三章 真空中的静磁场 25 磁场 ∫∫ ∞ yy e I rzr BdB r rr 0 0 2/322 0 0 24π π ∞ dz re Ir 0 [例3-2-2] 半径为 r0的圆形电流 I在轴线上距离为 z 的 P1点的磁场B r 解 见图 3.26采用柱坐标系 rr 2/322 0 2 00 2zr Ir ez r 2/322 0 0 0 2 0 0 4zr erez edeIrB rz − ∫ r r π θ π 图 3.26 r0 I z Y X P1 Z 附录 26 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等 关于公式7的推导 参见图已知实验定律P0 点的磁场强度是 6 y etg r I kH r r 2 1 α 设折转导线的顶点为 A即图 3.23 的原点 OA 以上部份的电流 I 在 P0 点所产生的磁场正好是全部 折线电流所产生的一半记这部份磁场为 H r 有 附图 1 A1 αdα rdr α A Idl dα r 附 1 y etg r IkH H r r 222 1 α r 可参见附图 1附 1成立的理由是因为以 AP0 为轴将折转导线旋转 180则下半截导线与上半截 第三章 真空中的静磁场 27 导线重合由这个特点就能推出下半截导线与上半截导线产生的磁场是相等的都是现在 A 点附近 取一点 A1参见图 5 或附图 1令 AA1dl考虑到 A1 以上段的半直线电流可以看成以 A1 为顶点的折 线电流的上半段因它在 P0 点所产生的磁场为 附 2 2 H y etg r IkH H r r r 222 “ 1 1 11 α drr 附图 2 dl r rdr A1 A P0 这里而1 是上半段载流导线与 P0A1 的夹角可记 α−ααd 1 附 3 rAP≡ 110 从附图 1 看到 dr 及 d都随 dl0 而趋于零并且 dr 及 d均是正的小量现在找出 drd与 dl 的 关系讨论其中的P0AA1参见附图 2A1-dA-, P0d 利用正弦定理 sinsin 0 α−α ∠d r P dl 28 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等 可以推出 附 4 dldr lIdr r dl d α α sin 而将折线 A1AP0 在 A1P0 上投影有关系 drrdrddlαα−αcoscos dlαcos Hd r 保留到的一阶有 附 5 y e r tgtgIk HHHd r rrr 2/2/ “ 1 11 αα −− H r2 从附图 1 知道所产生的磁场为 r αdtgtg r 2 sec 2222 1 1 1 − αααααd r dr rdrr 1 11 2 2 − − 这里见附 1见附 2注意到小量展开保留到的 1 阶有 dl tg “H r 附 7 dl F r Ik 2 1 dtg r dr r Ik dH 2 sec 2 1 2 2 21 α αα 将附 7代入附 6保留到的一阶有 附 8 第三章 真空中的静磁场 29 这里因子 α αα cossin 2 sec 2 1 2 2 r dl α αα dtg dr Fsec 1 2 r222 将关系附 4及附 5代进上式得到 α αα αα αα sin 2 cos2 2 22 cos 2 r dl tg r dl tgtgtg r dl F 将所得的关系代入附 8即得文中的7式 2. 关于12式的证明 记积分 附 9 2/322 0 ][2 zxr dz dxrG xtg xtg − ≡ ∫∫ − ∞− α α α 则按照12式需要证明 附 10 0 [r dy ytg ∫ α 2 α αtgG 将附 9中的积分变量 x 换成-y 有 2/322 0 2/322 0 ]][2 zy dz r zyr dz dyrG ytg ytg ≡ ∫∫∫ ∞ − ∞α α α 附 11 30 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等 易于算出 1 附 12 2/3222 2 11 2/3222 0 ]1[ 1 sec ][ α α αα tgyy ydy tgyyrd 2 0 2/322 00 ][ 2 yr dy r zyr dz dyrG π ∫∫∫ ∞∞∞ 现在将附 11两方对参量求导 2/32 2 133 22 11 0 2/32222 1 11 0 2/32 1 2 1 2 1 11 0 2/3 1 22 1 2 11 0 11 0 2 ] 1 sincos cos [cossin 1 coscoscos ]sincoscos[ 1 cos ]coscos2[ cos ] 12sec[ sec 1 sec − ′ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ αα α αα ααα ααα α αα α α α α α α y ydy y ydy uyy ydy yy ydy dyyr dG G 引进代入上式有 αα sincos 1 2 y y 第三章 真空中的静磁场 31 附 13 2 sec 222 sin 2 cos 2 2 α     tg 2 sec 2 1 2α α α d dG 2/32 3 33 2/32 2 22 0 1 1 sin 1 ] 1[ 1 sin 1 − −′ ∫ ∫ ∞ ∞ y ctgydy ctgy ctgctgydyG ctg α α α αα α α α α− π θ 2 令 y3tg更改附 13中的积分变量则下限 y3ctg相当于上限 y3相当从附 13有 0 C 2 π θ 11 cos 1 2 2 2 1 2 sincossin2 sin 1 sin 2 sin 2 cos 2 sin2 ]cossin[ sin 1 ]sincos[ sin 1 ][cos sin 1 2 2 2/ 2/ 2 2 αααα α α ααα α α α απ αααα α θαθ α αθθθ α α π απ π α π          − −       − − −−−′ − − ∫ tg tg ctg ctgctg ctgctgtgdG 附 14 22α     考虑到附 14 对于这个一阶微分方程有通解下式中 C0 是积分常数 附 15 2 tgG α α 32 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等 由端点条件附 12定出 C00这样得到 , 所以附 10成立证毕 2 α αtgG 3-3 磁场的高斯定理和环路定理 一磁感应线与磁通量 与电场中引入电场线相似磁场中可引入磁感应线又称磁力线的概念 1.磁感应线 定义磁感应线即磁场空间中一些有方向的曲线其上每点的切线方向与该点的磁感应强度方向一 致 实例图 331 磁感应线实例 第三章 真空中的静磁场 33 a 直线电流 34 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等 b 两根平行直线电流 第三章 真空中的静磁场 35 c 圆环电流 d 有限长螺线管电流 36 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等 e 电磁铁 第三章 真空中的静磁场 37 为了表达磁场中某点磁感强度大小我们规定绘图时作到过该点垂直于磁感应一的截面的数密度 与磁感应强度成正比即 S || ∆ ∆Ν B v B ∆Φ,称为通过S∆的磁通量S ≡∆⋅ vv 形像地说是垂直通过S∆的磁感应线根数 磁通 SB S vv d⋅ ∫∫ ΦΒ 3-3-1 1W Wb1T/米 2磁 S 的磁通量等于零即 ∫∫ ⋅SB0d vv 3-3-2 2.磁通量 定义 B进一步可引 S 的入通过某曲面量 磁通量的单位为韦伯W Wb,通量也和B v 一样满足叠加原理 二高斯定理 高斯定理通过任意闭合曲面 S 物理意义反映了磁场的无源性即孤立磁荷不可能存在 38 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等 [证明]因为任 B 意一磁场 v 都是由许多电流元产生的磁场叠加而成其磁通量也满足叠加原 理所以只需证明电流元产生的磁场遵守高斯定理 元 vvv 取电流 l dI 为坐标原点沿电流元强度的方向作图 332Z 轴 图 332 电流元磁场的高斯定理的证明 第三章 真空中的静磁场 39 此式表明以 Z 为轴的任意图上的大小相同方向与圆相切 Bd v ϕ θ π 0 vv v d 4 d lI B v2 sin r 于是穿过以 Z 为轴的任一环形管内任意截面的磁通量为常量与截面在管中的位置以及取向无 关见图 332a 0 2211 ∆∆−∆∆⋅⋅SBSBSBSB vvvvvvvv 对于任一封闭曲面 S上述环形管每穿过 S 一次均会在 S 上切出两个面元见图 332 中 S1S2其磁通量 对曲面 S 上任一面元都可作一个环形管且可找到 S 上的另一个面元与之对应 同上理这两个面元的磁通量之和为零 故穿过 S 的总磁通证毕 , 0d⋅ ∫∫ SB S vv 40 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等 三安培环路定理 仿照引入静电场环流的作法可引入磁场的环流如下 lB L vv d⋅ ∫ 环流 安培环路定理沿任何闭合曲线 L 磁感应强度的环流等于穿过 L 的电流强度的代数和的 0倍即 333 .dIlB L vvv Σ 0∫ ⋅ 物理意义反映了磁场的有旋性 I 的正负根据回路 L 的绕行方向按右手定则规定见图 333在设定了 L 绕行方向后采用右手 定则四指沿 L 方向则电流方向与大姆指一致时取正反之取负 第三章 真空中的静磁场 41 图 333 I 和 L 绕行方向的右手定则 [证明] 因为任何磁场都是由一些稳恒线闭合电流产生的只要证明对其中任一稳恒线闭合电流 I 和任一闭 合回线 L 满足 42 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等    ⋅ ∫ 正向穿过 不穿过 LI LI lvv vv . , 0 d 0 B L vv 433 433 b a −− −− 则按照叠加原理安培环路定理便成立 1首先证明公式334a,一闭合线电流 I 不穿过闭合回路 L如图 334 图 334 闭合线电流的分解 以电流回路为边界作一任意曲面并将曲面分割成许多面元设每个面元边缘的电流强度度为 I则 第三章 真空中的静磁场 43 面元间领接线上的电流相互抵消以至全体面元的总和与所考察的闭合线电流 I 等效 即闭合线电流 I 的磁场等于全体元电流 I 的磁场的叠加 ∫ ⋅ L lE0d vv 上述任一元电流 I磁偶数在远处的磁场和电偶极子的电场函数形式相同由静电场的环路定理 , 0d ∫ ⋅ L lB vv 对任一元电流 I 也有334a得证 1 进一步证明公式3-3-4b 考虑 I 正向穿过 L 的情况如图 3-3-5a 图 335 线电流正向穿过回路L 44 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等 另作任一回路 L,定义其正向如图I 穿过 L 在回路 L 与 L上切开一小口形成一个新的回路 ABLCDLA方向如图 335b其中 DLA 的 方向与a中 L 同BLC 的方向与a中 L规定方向相反 于是由已证明的公式334a知 ∫∫∫ ⋅⋅⋅ ∫ ⋅ ∫ ⋅ ′′ CLBDLAABCDLALAB lBlBlBlBlB0ddddd vvvvvvvvvv CD lBlBlBlB lBlB LDLALCLB CDAB vvvvvvvv vvvv Q dd,dd ,dd ⋅ ∫ ⋅ ∫ ⋅ ∫ ⋅ ∫ ⋅ ∫ ⋅ ∫ − − ′′ lBlBlBlB LLL vvvvvvvv dd, 0dd⋅ ∫ ⋅ ∫ ⋅ ∫ ⋅ ∫ ′ −∴即 L′ 由 L的任意性 可将它取成半径为 r0的圆 圆心位于电流 I 回路上 圆面垂直于 I 见图 335c 使 r0 电流 I 的曲率半径则 L回路上的场近似为一无穷长直电流 I 的场由例 321 可知 第三章 真空中的静磁场 45 Ir2 r2 d 0 0 0 0 ′ π π ⋅⋅ ∫ I lB L v vv 安培环路定理证毕 四环路定理应用举例 [例 331] 一无限长直圆柱导线截面半径为 R电流沿截面均匀分布电流强度为 I求导线 内外的磁场分布 [解] 根据电流分布的轴对称性磁感应强度应沿与圆柱共轴的圆回路的切线方向B v 大小只与离轴 线的距离有关设圆回路L的为r则由安培环路定理得 ,2 0I rBdlB L ∫ ′π⋅ 其中 Iˊ为通过圆回路 L 的电流易证    ≥ π ., 2 0 Rr r      π ,, 2 2 0 I Rr R Ir B [例