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第九章 介质中的电磁理论 1 第九章 介质中的电磁理论64 学时 9-1 介质中的麦克斯韦方程组 在第六章中我们已经学习了真空中的电磁理论这为我们奠定了好的基础许多的实际问题要我 们去解答各种介质中的电磁场这就要求我们掌握介质中的电磁理论本章将从普通物理的电磁学角度 来讨论这类问题 与第六章类似真空中的电磁理论的核心是真空中的麦克斯韦方程组介质中的电磁理论的核心是 介质中的麦克斯韦方程组它是麦克斯韦在前人所取得的科学成果的基础上发展和创造后取得的麦 克斯韦的贡献在于作了两个大胆的推广和两个重要的假设 一两个大胆的推广 1. 麦克斯韦认为介质中静电场的通量定理对变化的电场同样适用即 2 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻 119; 000 −−⋅∇⋅ ∫∫∫∫∫ ρρDqdVSdD SV vvv v 其中为介质中的电位移矢量D 0 ρ为介质中的自由电荷密度V为闭合曲面 S 所包围的体积 2. 麦克斯韦认为介质中稳恒磁场的通量定理对变化的磁场同样适应即 2190; 0−−⋅∇⋅ ∫∫ BSdB S vvv 这两个推广的基础是设想库仑定律与安培定律在有介质时仍然成立 二两个重要的假设 1. 涡旋电场假设随时间变化的磁场会激发涡旋电场或称为感应电场感生电动势正是来源于感应 电场所产生的非静电力于是得到新的环路定理其数学表达式为 319−−⋅⋅ ∂ ∂ − ∫∫∫ l d ESd t B CS vv ε v v 它是法拉第电磁感应定律与涡旋电场假说的结果 2. 位移电流假设随时间变化的电场和电流包括传导电流极化电流和磁化电流一样能激发磁 第九章 介质中的电磁理论 3 场引入位移电流密度 t P t E t D jd ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ vvv v 0 ε其中第一项表达电场随时间的变化率第二项表示电束缚 电荷的微观运动产生的极化电流于是磁场的环路定理应表达为 419 00 −−⋅ ∂ ∂ ⋅⋅ ∫∫∫∫∫ Sd t D jSdjj l d H S d SC v v rvvvvv 这个假说的产生源于麦克斯韦研究稳恒磁场的环路定理他发现稳恒电流的条件 0 0 ⋅ ∫∫ Sdj S vv 能保证Sdj l d H C SC vvvv ⋅⋅ ∫∫∫ 0 右边积分值的唯一性所以这定理对稳恒磁场是合理的但是对于非稳恒 电流这时只能有电荷守恒定律成立即 0 0 0 ⋅ ∫∫ dt dq Sdj S vv 将式9-1-1代入上式得 0 0 ⋅⋅ ∫∫∫∫ SdD dt d Sdj SS vvvv 即 0 0 ⋅ ∂ ∂ ∫∫ Sd t D j S v v v 于是定义了位移电流密度0, 0 ⋅ ∂ ∂ ≡ ∫∫ Sdjj t D j d S d vvv v v 是电荷守恒定律的结果在非稳恒电流情况下成立 4 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻 这就产生了新的环路定理它是电荷守恒定律和位移电流假说的结果 我们可以将介质中非稳恒情况下的电磁场规律表达为如下的麦克斯韦方程组 积分形式 微分形式 819.. 719, 0, 0 619,, 519,, 00 00 −− ∂ ∂ ∇⋅ ∂ ∂ ⋅ −−⋅∇⋅ −− ∂ ∂ −∇⋅ ∂ ∂ −⋅ −−⋅∇⋅ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫∫∫ t D jHSd t D j l d H BSdB t B ESd t B l d E DdVSdD SC S SC VS C v vvv v vvv vvv v vv v vv ρρ vvv 从麦克斯韦方程组的积分形式9-1-59-1-8出发作圆柱形曲面或矩形回路横跨并无限接近 两介质的界面从而得到边值关系 v 1219, 1119, 0 1019, 0 919, 012 12 12 012 −−− −−−⋅ −−− −−−⋅ iHHn BBn EEn DDn vvv v vv v vv v σ v v v 其中 0 σ是界面上的面电荷密度 0 i是界面上的面电流密度 第九章 介质中的电磁理论 5 9-2 电磁场的能量动量和角动量 在第六章中我们已学过真空中电磁场的能量动量对静止各向同性介质中的电磁场场的能量 密度w能流密度又称坡印适磁量动量密度g v 角动量密度 表达式如下l v 9− S v 429. 329, 229, 22 −− −− −− grl BDg HES vv v vv v vvv 12, 11 −⋅⋅HBEDw vvvv 于是体积 V 中电磁场的总能量总动量和总角动量分别为如下体积分 529,,,−− ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ dVlLdVgGWdVW vv v vv VVV 能量守恒定律的表达式为 629−−−⋅ ∫∫ n WW d AdS vv Ad v dt 上式中为积分的面元是非电磁的总能量可将上式与电荷守恒定律比较以便加深理解 n W v 6 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻 图 9-2-1 轴向均匀磁场中 的圆柱电容器 为加深对电磁场角动量的理解我们可以作一个简单的实验如图 9-2-1一圆柱形介质电容器长度为 l充满介电常数为 的均匀各向同 性介质 ε 内外半径为 r1r2绕轴的转动惯量为 I板极充电荷为Q置 于一均匀磁场中B v 当电容器放电后 电容器便绕轴旋转 其角速度为ω 的大小可通过电磁场的角动量计算如下 ωC 略去边缘效应电容器中 0 ε Q SdE S ⋅ ∫∫ vv , 2 , 2 2 , 2 0 0 Z l QB grl rl QB BDg r rl ED lr E vv v vv v π ε ϕ π ε π εε επ − − ⋅⋅ 得 QQ vv ε 于是电容器内电磁场的总角动量为 ZrrQBZlrr l QB dVlL V 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 −−⋅−−∫∫∫εππ π vv ε vv 放电后电容器内00DCE由总角动量守恒则 第九章 介质中的电磁理论 7 . 2 1 2 1 2 2 rrQBICLLn−−εω即 vv 于是得 2 1 2 1 2 2 rrQB I −−εω 上式中负号表示电容器逆时针旋转 9-3 介质的电磁性能方程和平面电磁波 一介质的电磁性能方程是电磁场和介质相互作用的宏观描述 其形式表达为如下函数      −− −− −− 339., 239,, 139,, 00 BEjj BEHH BEDD vvvv vvvv vvvv 研究某种介质的电磁场不知道这种介质的电磁性能方程是无法取得结果的从数学上看麦克斯 韦方程是一组偏微分方程组它本身是不闭合的在任何介质中它的形式都相同只有加上所要研究 8 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻 的介质的电磁性能方程才能得到这种介质中的电磁场的解所以研究某种介质中的电磁场问题必须 要知道该介质的电磁性能方程 如何得到介质的电磁性能方程呢回答是由实验直接确定或是由建立在实验基础上的合理分析得 到例如我们已经学过的不同性质的介质有 1. 各向同性介质 实验得        ≡⇒−≡ ≡≡ . 1,; 1,; 0 0 0 000 Ej HBM B HHM EPEDEP mm ee vv vvv v vvv σ χ χ χεεεεεχ 其中 其中 vvvvvv 最后写成      −− −− −− 639 539 439 0 0 0 Ej HB ED vv wv σ εε vv 2. 各向异性电介质 实验得 739.−− jijei EPχ 第九章 介质中的电磁理论 9 e χ是张量 ije χ是分量于是 也是张量ε其分量为 ij ε 3. 铁磁质 M v 与的实验关系复杂H v 且与磁化历史有关 一般为形如图 9-3-1 的曲线 关系称为磁滞回线写成公式为 图 9-3-1 磁滞回线 839. 0 −−MHB vvv 二研究均匀各向同性介质中自由空间的平面电磁波 1. 波动方程 这是一个重要的实例 我们从式 9-1-59-1-8 微分形式的麦克斯韦方程和式 9-3-49-3-6 均匀各向同性介质的电磁性能方程出发 自由空间的含意是0, 00 00 σρ研究jC v 的介质中的电磁场于是可得下面的方程组 10 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻          −− ∂ ∂ ∇ −− ∂ ∂ −∇ −−⋅∇ −−⋅∇ 1239. 1139, 1039, 0 9390 0 0 t E H t H E H CE v v v v v εε v 将它们与真空中自由空间的麦克斯韦方程组相比较容易发现在方程9-3-11中右边项仅多了磁导 率在方程9-3-12中右边项仅多了电容率ε在均匀各向同性介质中ε和是与时间 t 和空间位置 无关的r v 于是可以仿效真空情况下的作法得到        −−∇− ∂ ∂ −−∇− ∂ ∂ 1439 . 0 1 1339, 0 1 2 00 2 2 2 00 2 H t H E t E v v v εε εε 2 v 这是典型的波动方程即脱离了场源的电磁场是以波的形式在无界的自由的均匀各向同性介质中传播 它的传播速度为 1539. 1 00 −− ε εε C V C 是真空中的光速 第九章 介质中的电磁理论 11 2. 定态电磁波的解 进一步设电磁波的激发源以确定的频率作简谐振动ω因而辐射的电磁波也以相同频率作简谐振动 这种以一定频率作简谐振动的波常称为定态电磁波或单色波一般的非单色的电磁波可以用傅里叶 分析方法分解为不同频率的单色波的迭加因此只须研究定态电磁波 这时可设其解的形式为      −− −− − − 1739 1639 jwt tj eZHH eZEE vv vv ω 意即设电磁波沿 Z 轴正向传播其场强在与 Z 轴正交的平面上各点有相同的值其中只是坐标 Z 的函数 ,ZHZE vv 于是HAE vv 仅与 Z 和 t 有关与坐标 y, x 无关这种电磁波称为平面电磁波 将形式解9-3-169-3-17分别代入波动方程9-3-139-3-14中立即得到        −− ∂ ∂ −− ∂ ∂ 1939 . 0 1839, 0 00 2 2 2 00 2 2 2 ZH Z ZH ZE Z ZE v v v v εεω εεω 其解      −− −− 2139. 2039, 0 0 jKZ jKZ eHZH eEZE vv vv 12 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻 其中是积分常数 00,H E vv 它们是常矢量由已知的激发源确定代表电磁和磁场的振幅其中 00ε εω≡K于是有V K ε Cω 电磁波传播速度 λ 22 ≡ VV K 000000 −−HEHEεεεε 22 式9-3-29说明的幅值成比例HE和在介质中任一点任一时刻其电场能量密度与磁场能量密度相等 vv 4 式 9-3-28 说明电磁波的传播速度为 ε K V ωC 麦克斯韦预言光即是电磁波 于是可得n V C 是介质的折射率εn一般情况下介质是电磁波的频率的函数ε和ω所以 εnK V ωCC 它 也是的函数ω又称色散关系 9-4 超导介质的电磁特性 自然界中的介质按其导电性能划分为三大类导体半导体和绝缘体人类很早就发现许多金属物质 具有良好的导电性能并测量出其电阻率或电导率与其温度有关ρσ寻找电阻率为零的理想导体是人 类曾经追求的目标之一 ρ 廿世纪初取得了重大突破并研究了其电磁性能这里我们把它作为例子之一 向大家介绍如何从实验出发经过合理分析取得该介质的电磁性能方程再与麦克斯韦方程组合起来正 确表述和研究超导介质的电磁特性 第九章 介质中的电磁理论 15 一四个重要的实验事实 1. 超导电性 1911 年荷兰物理学家昂纳斯Onnes第一次发现了超导 电性他用水作实验使它降温并测量它的电阻在约 4.2时K水银的电阻几乎突然地完全地消失见图 91-4-这一 发现开辟了一个新的物理领域超导大量的实验和理论研究随 之而来迄今我们知道大约廿多种元素数百种合金和金属化合 物是超导体 它们从正常态 有电阻跃变到超导态电阻为零的 温度转变温度或称临界温围从约 0.12K 到 15 约 0K当 C T时T 物质表现为常正态当 C T≤时T它的电阻跃到∞σ,ρ0在表 9 4-1 中- 我们列出几种元素的临界度 银Hg 度 TC范 图 9-4-1 水银电阻温度特性 变零即 温TC 表 9-4-1 几种元素的临界温度 TC和 B0值 16 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻 族元素 族元素 族元素 TCK B0T TCK B0T TCK B0T Al 1.18 0.0105 Zn 0.875 0.0053 Ga 1.09 0.0051 Ca 0.56 0.0030 In 3.40 0.293 Sn 白 3.72 0.0309 Hgα4.15 0.0412 T1 2.39 0.0171 Pb 7.19 0.0803 2. 临界磁场效应 1914 年昂纳斯企图用超导线圈获得强磁场时发现大于某一个值时B vv C B线圈的超导性受到破坏 而变成正常态他把称为临界磁场 C B v C B v 随不同的物质和不同的温度而变化对大量的超导物质BC 与 T 的关系可表为 [] 149,/1 0 −−− CC TTBB 2 第九章 介质中的电磁理论 17 其示意图为图 9-4-2其含意是1当 T时TCBC0即在临界 温度时只有在无外磁场的情况下物质才是现超导B0是 将 T 延伸到零时的 BC值 一些超导介质的 B0值示于表 9-4 此图可看成超导介质的超导态和正常态的相变图曲线以下区域表 示物质的超导态即要求 TT和B C BC两个条件曲线以上区 域表示物质的正常态 只满足 TTC或者 BBC两个条件之一要物 质就进入正常态磁场 B 即包括了外场又包括超导介质内电流产生 以由临界磁场容易理解必定存在临界电流 态2 -13 的磁场所IC []249./1 2 0 −−− CC TTII 图 9-4-2 临界磁场临界温度 曲线 处于超导态的介质当其内部电流 IIC时介质将从超导态跃变到正常态这主要是由于电流 I 产生的 磁场 BBC所致 3. 完全抗磁性迈斯纳效应 1933 年迈斯纳Meissner和奥克逊菲尔德Ochsenfeld发现超导体除了有理想的导电性外还 具有完全的抗磁性当 T 2 由此可得出结论外磁场的存在是等离子各向异性的根源 各向异性等离子体对电磁波的效应不仅 取决于电磁波的传播方向而且还与电磁波的偏振状态有关 0 B v 3. 法拉第旋转效应即一个线偏振波在的等离子体中传播的情况0 0 ≠B v 本部分可以看成是上部分2.1.b的具体应用和深入研究 42 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻 1物理解释 实验观测得知一个线偏振电磁波的电矢量通过各向异性介质后将发生旋转这种现象称为法拉 第旋转效应 法拉 第旋转效应按照波的合成理论一个线偏振波总可以分解为左右圆偏振波图 9-5-3 表示进入等离 子体前一个线偏振波的情况 图 9-5-3 一个线偏振波可以分解为左右旋圆偏振波进入等离子体前 由于这两种成分在各向异性介质中传播的相速不同则在传播过程中该两波电矢量的合矢量将发生 旋转如图 9-5-4 所示穿过等离子体后合成的线偏振波的偏振面与进入等离子体之前图 9-5-3 的偏振面比较旋转了一个角度φ具有法拉第旋转效应的介质一般称为旋光介质各向异性等离 子体便是一种旋光介质 第九章 介质中的电磁理论 43 0 B v φ 图 9-5-4 在沿外磁场方向穿过等离子体后 合成的线偏振波的偏振面转了一个角度 2定量分析旋转角 与波在旋光介质中传播距离的关系φ 设传播方向沿外磁场的 z 轴方向 0 B v 并取旋光介质中某点为坐标原点该处电磁波中电矢量沿 x 方向 偏振即0, 0≠ yx EE则合成该线偏振波的左右旋圆偏振波在旋光介质中的波动方程如下 左圆                    −             − .sin ,cos 0 0 z C n tEE z C n tEE l yl l xl ω ω 右圆                    −−             − .sin ,cos 0 0 z C n tEE z C n tEE r yr r xr ω ω 9-5-44 44 电磁学网上课件