跳汰分配曲线存在最大最小密度点的数学推导.pdf

第卷第期 , 年月 长沙交通学院学报 念 跳汰分配曲线 存在最大最小密度点的数学推导 胡浩 长沙交通学院 基拙科 学部长沙 。 。 提要〕本文简要说明了跳汰分选方法在选煤工艺中的地位 , 以及分配 曲线的 重要性阐述了计算机技术在选煤 中的作用和意义 , 回顾了分配 曲线及其数学模型的研 究历史概况证明了分配 曲线最大最小密度点的存在 。 关键词 分配曲线数学模型 最大最小密度点存在性 中图分类号 选煤工业在 我 国国 民经济中占有相 当重要 的位置 , 而分配曲线在重选中是不可缺少的 。 多年来 , 分配 曲线以及它的数学模型的研究大都在中间密度级而很少在两端 , 即最大最小 密度级 。 本文作者就跳汰机的分配曲线两端的情况进行了初步研究 , 对最大最小密度点的存在 性给予 了数学证明 , 这无疑给分配曲线数学模型的建立以及计算机模拟带来极大的好处 。 跳汰选别方法在选煤工艺中的地位 选煤 的方法 有很 多 , 如重选 , 浮选 , 磁选 , 风选 , 电选等等 。 跳汰选别方法是属于重选之列 , 重选就是利用煤和 杂质的密度差别在运动的介质中使其分离的一种选煤方法 。 然而 , 当原煤的 可选性适宜时 , 跳汰选别方 法是 优先被采用的 , 因为它具有工艺系统简单 , 操作维修方便 , 处理 量大 , 投资少 , 成 本 低 , 对环境污染小等等优点 。 国外用跳汰法处理 的原煤量约占全部入选原煤 量的一 , 国 内达到左右 。 部分 国家跳汰法占选煤方法中的比率见表 「’了 。 跳汰在稀有金属和有色金属 矿 石的选别中也有广泛的应用 。 作为跳汰机的设计 、 制造和使用者 , 最关心的一个问题就是它的分上效杜 。 表 , 年部分国家跳汰法所 占百分 比 国名国名国名肠 澳大利亚 。 印度波兰 比利 时智利 。 英国 南非 。 美国日本 。 法国罗马尼亚 。 德国 收稿口期年月 环日 第期胡浩跳汰分配曲线存在最大 最小密度 点的数学推 导 计算机技术在选煤中的作用和意义 电子计算机在选煤 中应用的研究 , 国外在年代初期就开始了 。 目前 , 主要有个方面的 内容选煤厂计算机辅助设计 选煤厂计算机辅助管理选煤厂计算机控制 。 许多选煤工作者都希望通过电子计算机来提高选煤的技术水平和经济效益 , 提高企业的 管理 水平和市场竟争能力 。 这样 , 以计算机为基础的先进技术在选煤 中开始应用 , 这些先进技 术中的一项就是数学模型 , 它和过程控制 、信息管理、 机 电一体化等 , 成为选煤专业与计算机应 用的桥梁 。 数学模型和计算机的应用是一个不可分割的整体 。 数学模型的建立和求解依赖于电子计 算机 , 而 电子计算机在科研 、 设计 、管理 以及生产过 程的控制 中的应用又往往是通过 数学模型 来实现的川 。 分配曲线及其数学模型的研究简况 前面已经提到 , 作为跳汰机的设计 、制造 和使用者来说 , 最关心的一个问题就是 它的分选 效果 。衡量分选效果依赖于分配 曲线, 不仅如此 , 分配 曲线还对跳汰机的控制 、 分选结果预测等 起到关键性的作用 。 国内外选煤选矿界有很多专家学者花了不少时间和精力对分配曲线进行 了深入的研究 。 年提 出分配 曲线 的概念 ‘〕 一 一一 ﹄ 泊川尸一刀 状 气 淤 吧赶人协 只是 用曲线表达 了不 同密度 的物料在分选 产物 中的分配情况 图 。 在年 提出用正 态分布的特性参数作为度量分选 误差的指标 可能偏 差 。 年代 ,, 等人认为 正 态分布函 数应是分配曲线的数学模型 。 事实上 , 分配 曲线是由若干个分配率数据点连接起来的 一 条 曲线把它 同正 态分布 曲线 联 系在 一 起 , 只是考虑 了两者的 “ 形似 ”而 已 , 并不意 味着分配曲线符 合正态分布 。 年代以来 , 随着计算机的普及和选 “ ’。 卜一一一一一 一 』 刀户 密度 图 训匕汰 才几分配曲线 国 矿数学模型研究的深入 , 人们开始采用计算机模拟分配曲线 , 并运用计算机进行重选效果的评 定 、 预测及优化 。 从事这方面工作的有沃尔特斯于年提 出用插值法在计 算机 上模拟分配曲线 ‘ 」 伊拉兹马斯 。 年提出用反正切模型年 哥特菲利 德提 出用韦伯方程拟合分配 曲线年路迈西中国矿业大学 研 究 了用种不 同的数学模型拟 合分配 曲线 。 纵 观前后 国内外学者的研 究成果还 没有发现对分配 曲线两端进行研究的论文 。 本文对分 配 曲线两端 点 , 最大最小密度点 的存在给予了数学证明 。 长沙文通学院学报第卷 证明过程 分配 曲线是通过对跳汰机进行单机检查而得到的 。单机检查 的步骤如下①采样②制样 ③浮沉试验④试验资料的整理和分析⑤绘制浮沉试验表和分配率计算表 。 在三产品精煤 、 中煤和歼石的浮沉试验表表中的各项数据是通过跳汰机的单机检查得到的 。 表株洲选煤厂浮沉试验表 卜煤中 密度级 原煤精煤 写 研石 舀︹ 吕 任倪甘 一 勺 ︸ 挑︸︸哎口 ⋯ 叮‘月了一工 ︸几,几 ‘‘ 。 。 , 小计 。 。。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 ⋯ 丹‘哎︺勺‘ 根据表和实际产率就可以计算出各个密度级在重产物中的分配率 。 实际产率通常用全量计量法 , 数质量平衡法及格 氏法进行计算 , 结果如表所示 。 表株洲选煤厂跳汰机分配率计表 密度级 精煤中煤研石 纬 二 分配率 二 一兰一 合计 一 一一 从跳汰分选过 程的机理来看 , 它的分选主要依据是物料颗粒的密度 。 密度大的颗粒比密度 小的颗粒分在下层的机会要大 , 反之 , 密度小的颗粒比密度大的颗粒分在上层的机会大 〔’」 。 因 此 , 跳汰机的分配 曲线 必须满 足一个 最基 本 的原则 如果用横坐标表示密度 , 纵坐标表示分配 率 , 则分配 曲线是一条单调递增的连 续光滑 曲线 。 建立数学模型的目的之一就是通过分配率计 算表来找到这样一条曲线 。 我们认为 , 在分配率计算表 中 , 每个密度级 的分配率数值应该代表这个密度级的平均 分配 第期胡浩跳汰分配曲线存在最大最小密度点的数学推 导 率从分配率计算表可以得到如图所示 的递增 阶梯图 , 我们要从这个单调递增阶梯 图求出分 配 曲线 。 如前所述 , 每个密度级上的分配 味 气 哥碳尔 率代表了分配 曲线在 这个密度 级上 的平均值 , 而分配曲线是单调递增的 连续光滑 曲线 , 所以分配曲线和每个 密度级分配率矩 形 图顶部 水平直线 必有且只有一个 交点 , 如图所示 。 如用表 示分配 曲线 , 任一 密度 级〔 ‘, ‘一 〕上的分 配 率为 , 则 几、 丁 ,一 ‘‘一、 , 图 密度 设最 大密度级 下 限 为 。, 分配 率为 尸 , 最小密度级上 限为 , , 分配 分配率阶样图 率为 尸 , , 分配 曲线为 , 最大 密度级情况 如 图所示 。 现 要证 明有一最大密度点 。 假 设不 存 在 二, 则 向十无 限延伸 。 又因为 二 是在 此密度 级 上的平均值 , 单调递增连续光 滑 , 根据数学分析理论 , 必有 一点专 使得函数 一尸 二 与函数 了有且只有一个交点 , 即帕 一 。, 故由应有 分配曲线 卜 ⋯ 味 叭 哥碳求 图 , 密度 分配曲线与阶 梯图 、 了‘、 厂 产 二 一二 二几尸 。 工 一 成立 。 任取一点言 刀 , 必有 力匀六种 一 几 一 ,, 丁 , 一二 二弘 。 一 介 刀 五灭丁二三万 , 子一 , , 一泞 , 二 一分 十 长沙交通学院学报 第卷 卜 味 气 讲 旧旧水 中 介 从一 八 。 一句 加 “ ’ 。 一泞 子一 , 一一一一一万 ‘ 十 二了 卜 卜 八 一只 十伽 ’“ 。 一子 一】 二 一 子 尸才一 ’ ’下 。 刀 泞 密度 丁 ’‘ “ 一 。 图最大密度 级图示 丁 厂 ’‘。 尸一子 当 右时 , 匀厂种 。 , 故有 , ”“ 、了‘, ” 一了‘, 二 一‘, 从而有 加 ”’ 。 一泞 架举生类 一 、 一 少 匀 、 于了二万 尹夕 又丫少 因此推出 丁 。 “ ’“ 一 , 这与已知条件矛盾 , 所以 , 有 一最大密度点 。 。 最小密度级的情况如 图所示 。 用类似方 法可以证明 , 必存 在一 个最 小 密 度 点 ‘。 。 因此 , 密度的变化范围为 。 与之 间 , 为这 个范围 内的一 条单调递 增 连 续 光滑 的 曲线 其 中 而 。 为 最 小值 , 为最大值 。 ‘。。 卜一 一 夏 左 士 五 口 二口卜口 丈 ⋯ 爹 皇 洲 ”’ 二牙一州 ‘” 仁 密度 户 反 应 跳 汰 机分选 效果 的分 配曲线 是 一 条 有密渡上下 限的连 续 、 光 滑 、 单调递 增 的曲线 。 图最小密度 级图 示 本文从 数学 上 证 明了密度上 下界的存在为最大最小密度点的确定以及分配曲线建模提供了 进一步 的条件 。 第期胡浩 刃匕汰分配曲线存在最大最小密度点的数 学推导 参考文献 张鸿起等重力选矿北京 煤炭工业 出版社 , 冯绍灌选煤数学模型北京 煤炭工业出版社 , 。 李松仁等选矿数学模型长沙 中南工业大学出版社 , 路迈西选煤厂经营管理 北京 煤炭工业出版社 , 块 , 王振生 选煤厂生产技术管理北京 煤炭工业出版社 , ,, , , , 张荣曾分配曲线形态及特性参数的研究分离效率 , 北京 煤炭工业出版社 , 口 块 , , 一 飞一飞 , 一一一 记 , 一 飞一一 一一