地幔矿物光子热传输理论的研究.pdf

第 卷第 期 年 月 光子学报 地慢矿物光子热传输理论的研究 何安明 西安工程学院基础部 , 西安 申礼文 西北大学物理学系 , 西安 摘要 本文采用非平衡 量子统计方法 , 讨论了地慢矿 物 光子热传输的四种不同情况 , 并得到 了光子热导率的计算公式 若地慢中不存在相 干结构的辐射 热传输 时 , 在上 地慢下部和过渡 带 , 光子的热导将不是 热传递的主 要机 制 关钮词 光子 热传输 昨平 衡蚤子统计法 矿物 地慢 引言 近年来 , 矿物物理学作为一门新兴的边缘学科迅速发展 , 它将近代物理的理论和方法广泛地应用于 地质科学 , 将地质科学推进到一个崭新的阶段 其中 , 对于地慢矿物的热传输机制的理论研究就是一项 重要的课题 , 它引起各国地学工作者的关注 在以往的热传输模型中 , 把地慢看作是电绝缘体或半导体 一般情况下 , 电子对矿物热导率的贡献 很小 , 可以忽略不计 在靠近地壳的地方 , 热能是通过声子来传递 的 ‘ 进一步研究又提出 , 在平衡热辐 射状态下大量热能借助于辐射作用光子在地慢 中传输 , 从而使矿物的有效热导率增加 ’ , 一个数值 本文拟在前人的工作基础上 , 采用非平衡量子统计方法研究地慢矿物的光子热辐射传输机制 , 给出 四种不同情况下的概率密度 , 得到 了较全面的结果 从而使文献 、 所讨论的有关间题成为我们理论 的一个特殊情况平衡辐射 辐射体系的量子描述 自然界任何固体 , 在任何温度下都在发射各种波长电磁波 这种辐射在量值上和按波长分布方面 都取决于辐射体的温度 , 所以叫做热辐射 , 根据电磁场的量子理论 , 我们可以把辐射体系看成光子气体 的集合 若地慢 内某一种矿物的热辐射体系是我们研究对象 , 那么它是一个开放体系 由于环境不断地对 体系加以随机扰动 , 使得体系的状态只能用概率论的语言描述 设体系处于某一状态】伞的几率为 如 , 则可定义描述体系的密度算符为 一 艺 , , 叫 其中 , 满足艺 , 一 设能量为 , 的本征 态么可用态矢 来表示 , 即 , 一 万 , 相干 态是这样定 义的 收稿日期 一一 光子学 报 卷 相 二 二 ,, 、, 户一一二 一」 尸 ‘ 气厂 丫 、 丁沂 ’”尸 因为能量本征态 是一组确定的态 , 所以 的每一个取值就对应一个确定的态 , 这个态叫相干态 干态的全体集合构成一组连续基 , 它满足完备性关系 青 , ’ “ ’ 一‘ 其中 为单位算符 , 积分遍及整个复平面 任何态矢都可用相干态 展开 , 一 斋丁 , ,, 设密度算符 存在 尸 表示 , 即 一 其中尸 可理解为相干态 的概率密度 下面我们分四种情况讨论 辐射体系处于热平衡状态 由平衡统计 , 体系的密度算符为 一几丁 丁砍石功 ‘ 其 中 , 是体系的哈密顿量 , 是玻耳兹曼常数 , 是温度 , 表示对括号中的算符求迹 到单模情况 , 则 如果只考虑 , 二 , 、 口 ’ 口州 卜二丁少 乙 式中 , 和 分别是频率为 , 的光子的产生算符和湮没算符 可以得到 在粒子数表餐 电令 右一“呱 , 则 由式 尸一一 一‘ 艺 一‘ 利用式 和式 , 可以得到 , 一一 一‘艺一‘ ’ 。、 一 。 “ 摊 一一 一子一‘一一,’ 作傅里叶变换 万 二 , 一 乏 卜 一‘ ‘。一, 。一 一‘ ‘ ’’‘ , 乙‘ 一 正一。一杏 一盛 一 泛一咨〕 一 二众 。一‘一。一‘ 一 沉 一 兀 一一一一 、 平均分子数为 一 一艺 , ” ” 而 户 一 一‘一‘ ’ 一 子一 一, 这是通常的 分布 将式代入式 可得 芬 , 一工 一 , 对上式作傅里 叶反变换即得到 一 ,、 “一,、份, 厂姆 , 少一石二 ‘ 、一’ 一 ‘ ,左 少左 乙,、 冗 , 宁 期 何安明等 地馒矿物光子热 传输理论 的研究 了 。 尸一 一间 公 在复变量 的相平面上 , 这是峰值在原点的高斯分布 进行 用上面的方法 , 同样可以得到以下三种情况中的 纯相干态 。 。 对这种情况的详细讨论 , 我们把它放到第 部分 尸 由式6 可得 Pa占2a一a。 19 式中“ 2一 满足丁 “ 2一 dZ 一 1 实际地慢的辐射体系都是开放体系 , 又寸于开放体系不可能实现真 正的纯态 . 1.3 混合相干态 在一般情况下 , 体系具有微弱的辐射激发 . 当有适当的能量输入后 , 也就是体系工作超过闽值以上 时 , 某一频率光子集团有选择地实现光放大 , 出种一种新的 “相 干结构 ”, 这时体系可以认为是理想的激 光体系 . 它具有相同幅值 } a。 并且幅角均匀分布的相干态的混合态 , 其密度算符为4 P一艺 {气{一常数 P }a 。 a。 } 2 0 其中P为常数 , 并对模为 }a 。 }的所有相干态求和 .尸 表示为 尸a 1 2二 a。 } 占}a {一{a 。 } 2 1 在复平面 上它是半径为 } a。 }的 “ 圆桶状 ”分布. 如果下地慢的某一种矿物是透明的 , 而且它的辐射能可 以通过相干结构 , 以吸收 一放大发射的方式 传过矿物晶体 , 那么这种热传递将是十分有效的 . 当然一个 体系如果没有隐含的相干结构 , 则 不会发生上述现象 . 1.4 热光辐射与相干辐射的里加 很多物质具有热发光性质 , 除导体外 , 一般非金属矿物都有受热而产生发光的性质 . 热光和激光两 者各具有完全不同的统计性质 . 实际上激光总含有 自发辐射的热光成份 , 因此它可近似地看作是一个 热光场与一个理想激光场的线性叠加体系 . 叠加体系的 尸 表示可以由分量场的 尸 表示的褶积求出 p一 丁 pl一p Z‘ 一 , dZ 2 2 将式17 、式 21作为尸 , 、 尸2代入式2 户 , 立即可得到这种叠加体系的p表示为 尸 a 1 _ 加卜 { 。。} {2 五万石下e 心 23 它为 “ 火山口状 ”分布 . 如果这种情况存 在 , 那末在地慢中光子辐射将是热传递的主要机制 2 平衡热辐射的k r 由式15 可知 一 11 e石一1一e儿/泛T 一1 而介质中的光速 。 与真空中光速 。。 之 间有如 「 关 系 l 5 ‘ v c。 / n 彻 24 式中 n 为介质的折射率 , 又为波 长 . 那么在d , 频率范围 内 , 单位时间内从黑体表面的单位面积上所发射 的辐射能可以用 e加d, 表示 .eb, 为黑体的单色辐射本领 . 利用15 式和2 4 式 , 可以得到 eb , T 2 7 t h ,3n 2 c 若e 右一l 这就是普朗克辐射定律 , 通常表示为 n 一l 真空的形式 25 当研究黑体向 n并1 的周围介质辐射时 , 必须 把 n 考虑在内 . 黑体的总辐射本领用 e, T表示 , 它表示 在单位时间 内从黑体表面单位面积上发射的所有频率电 光子学报 26卷 磁波的总能量 , 即 , 、 f ‘ , 、,, 2 7 t 护T 咯介 户 e‘Ll l e ‘,又1 Q F n “ 一一下1二于一 -下,一一万O 心 J o ‘6几 ’ J o e ’ 一1 26 泞 “ e‘一1 80 . .J e, T一丫口T2 7 其中 。一 粤澳 奥 一5.67 x 。 一 s w . m 一 2 . K 一 ; 1匕c乙h ‘ 6 称为斯式藩恒量 . 在统计热力学中 , 黑体辐射本领 e, T与平衡辐射能量密度 u 之间关系为 u 4e, T / v 石是光子在介质中的平均速度 . 则 u 4n “d T 4 / v 那末单位体积比热容为 28 du ‘ a万 ;-16n2叮T 3 / v 29 设矿物内温度梯度为dT/ d x , 则在矿物内将有热流密度Q单位时间内通过单位面积的热能流过 , 则 Q一krdT/dx 30 式中 , k r 为光子有效热导率 . 光子从矿物晶体的一端传到 另 一端时 , 它可以传递热能 , 对热传递做出贡 献 . 热流密度Q等于单位时间内通过单位面积的光子所传送的能量 . 设光子的平均 自由程为 l , 能量为 。 x , 光子粒子数密度为N , 平均速度为石 , 则由x一x 。一l 处出发 的光子在单位时间内沿 X方向流动的热流密度为1/6N石 。x 。一l, 同样从 x一x 。 l 处出发的光子 沿一 X方向流动的热流密度为1/6 N石 。 x 。 1 . 归结起来 , 在单位时间内沿十x方向流过 x一x 。 处 截面的净热流密度为 1 、, 一 尸 , , 、, ., 、, 叼 万了IVv LCL x o 一‘一CLx o十艺 」 O 、 告 、。 {。 x 。 一, 一 音 N石一 2 1 轰 dc ,尸 、 二d￡ , 、 下- 1一}￡Lx 。 十l 不 一 l全 QX 一一 a X 一 1 一 , 、, 一气 一公t义 V 乃 d ￡ d T d Td x 3 1 式中Nd。/ d T Q - 等于整个体系的单位体积比热容 , 则 dT dx 32 将式3 0 与式32对比 , 则光子的有效热导率 1 一 , 左, 几万‘刀 t j 3 3 把式29代入式33 , 则 *r一 些 , Zo T 3 1一 些 。2。T jJ口 3 4 式中 a 是介质的吸收 系数 . 该式只适用于 黑体射情况 . 地慢矿物各自具有一定特征的辐射谱 , 通常把 非金属 矿物视为灰体 . 那么对于地慢矿物的热辐射传输还应再乘一个因子爪产 1 , 即 16 , _ , 左r一不二产丫口 1 - 口戒 该式就是平衡热辐射地慢矿物光子有效热导率的经验公式 . 35 在一般情况 下 , 产和频率 、 温度及压力有关 . 期何安明等 . 地慢矿物光 子热传输理论的研究 891 3 有关的实验及讨论 在一定的压力 和温度范围 内 , 很 多硅酸盐矿物对于红外辐射都是透明的 . 在这种情况 下 , 热能由红 外辐射来传输 . 由式3 5 可以看出kr与洲成正比 , 因而 在地慢条件下随着温度的升高 , 光子的热传输 曾经被认为是占主 导 的传热机制 1. 但是 , 近年来的一 系列实验发现 , 在高压下橄榄石 、 尖晶石和镁方铁 矿具有很 强的压致光 吸收性 , 而 且吸收限迅速向低频区偏移 . 这种效应的发现 , 促使人们对传统的地慢 热传输模型做进一 步 的修正 工作 , 以使其更 加 完善 . 毛河光发现在高压 下橄榄石 、 尖 晶石 和镁方铁矿具有很 强的压致光吸收性2.在3x 10 1 “P a 相当 于 下地慢顶部 looo km 深处的压力下 , 组分为Fe22M g78的镁方铁矿在波长为15oo nm 的吸收系数增加到 15oocm 一‘, 在波长为 7oo nm 处增加 到l0000 cm 一 1 25 ‘ C . 这比通常所讨论的地慢中辐射热传递时所提 到的橄榄石的吸收 强一倍 , 有效地阻止 了波长 短于 15oo nm 的辐射 . 一般辐射能量大部分都集中在。一 150Onm 波长范围内 , 所以在镁方铁矿中就基本上 阻挡了光子的热传输 . 在地慢的过渡带 中 , 铁镁硅酸 盐大约是主要的相 . 在过渡带的 压力 下 , F e Z S io ‘ 尖晶石变为不透明 . 如果用橄榄石 和镁方铁矿来类 推 , 则富镁的 F e , M g 2 5 10 、 也会发生同样压致光 吸收效应 , 那么在过渡带中光子有效热导率将减低 . 我们认为发生上 述 压致光 吸收 效应 的原 因是 , 在高温高压下 , 矿物的 吸 收系数 a 急剧 增 加 ;从而限 制了 kr的增长 趋势见式35 . 地 慢矿物属 于 不导电介质 , 其平均自由程 Z可以由两个部分来确定1 吸收平均自由程l* 2 散射平均 自由程l 。, 它们关系为 36 l 一几 1 一l A 一一 l 一 z 一一 a 随着温度和 压力的升高 , 矿物发 生高散射效应 , 散射平均自由程减少很多 . 尽管吸收平均自由程变化不 大 , 但是总的平均自由程减小 , 从而 吸收 系数增大 , 则 光子有效热导率也相应减小 . 对于 上地慢的矿物 , 由于 压力还不够高 , 所以还不能产生压致光吸收效应 . 但在上地慢下部 , 在压力占优势的情况下 , 若矿 物发生强烈压致光 吸 收效应变为不透明时 , 吸收系数将急剧增大 , 从而导致光子有效热导率相应急剧减 小 . 例如纯方铁矿在 1护Pa 的压 力 下就近于不透明2 , 纯铁橄榄石 在 1.5又 1 0 ‘“ P a 的压力下变得完全不 透明 . 总之 , k r 的数值在 loo km 深度以内是比较小的 , 当深度超过 loo km 温度超过180。℃ 时 , 它开始 随温度升高而增加 , 但远低于T , 规律所预 测的数值 . 而在上地慢下部和过渡带压力占优势的情况下 , 温度和压力引起的光 吸收综合效应将使光子有效热导率 k r急剧 减小 , 所以 , 若在地慢中不存在着相干 结构的辐射热传输时 , 那么在上地慢下部和过渡带 , 光子的热传输将不是主要的热传递机制 . 本文写作过程 中 , 国家地 震局地球物 理研究所曾融生院士和北京师范大学汪凯戈教 授提了不少宝 贵意见 , 特此致谢 . 参考文献 1IJubimovaE A .T he Earth ,s M an t l e . Ed二a、k o llTF . A e a dP r e s s , 1967 259 266 2 M ao H K . C arne gl ns t w as h i n g t on y e ar b ‘川k. 19 73 56 1 一5 63 3 萨晋 M等 . 激光物理学 . 北京 科学 出 版仁_.198 27 5 一8 7 4 汪凯戈 . 相干态表象与光场量子统计性质的描述 . 大学物理 , 19 8 5 , 1 2 4