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岩 石 边 坡 稳 定 第一章 概论 岩石边坡是地壳表面具有侧向临空面的地质体，包括坡面、坡 顶、坡肩、坡脚及下部一定深度的坡体。岩石边坡有的直接就是水 工建筑物的一部分，有的则与水工建筑物相邻并对建筑物的安全性 产生重大影响 一、边坡分类 （1） 边坡按高度可分为 超高边坡（大于100米） 高边坡（50到100米） 中边坡（20到50米） 低边坡（小于20米） （2）按成因可分为 剥蚀边坡 侵蚀边坡 塌滑及人为边坡 （3）按其人工改造程度可分为 自然边坡（天然河谷或库区岸坡等） 人工边坡（基坑、坝肩、洞脸等） （4）按与水利水电工程的关系可分为 工程边坡 非工程边坡 （5）工程地质部门通常对边坡进行岩性、结构、变形三级分 类 1）按物资组成可分为 岩质边坡 黄土边坡 沙土边坡 土石混合边坡 2）岩质边坡按边坡岩体结构可分为 图1-1 碎裂结构边坡 图1-2 块状结构边坡 图1-3 层状结构边坡 水平结构同向缓倾结构 同向陡倾结构反倾结构 斜向结构 3）按边坡岩体变形破坏的基本形式可分为 图1-4 滑动变形边坡 图1-5 张裂变形边坡 图1-6 崩塌变形边坡 图1-7 蠕动变形边坡 倾倒型扭曲型 松动型塑流型 滑动变形边坡，系指边坡的一部分岩体，沿一定的滑面，相 对于另一部分岩体产生过剪切位移的边坡。工程上称大量岩 体在重力作用下，沿一定的面作整体下滑的现象为滑坡 通过对水利水电工程的统计，滑动破坏占到70％以上 边坡失稳是很多水利水电工程建设和运行过程中常见而多发的 主要地质灾害之一。1963年10月9日，瓦依昂水库发生巨大规模滑 坡，损失惨重，震惊世界；法国马尔巴塞拱坝坝肩岩体失稳事故是 世界坝工史的重要事件；中国湖南柘溪水库库岸发生滑坡，距下游 大坝1.5km，滑体以25m/秒速度滑入山区水库，激起高达21m的巨大 涌浪，跃过未建完的大坝顶部向下游倾泄，造成40余人死亡；此外 中国的漫湾、天生桥等工程在建设过程中也都发生过较大规模边坡 失稳事故。据有关资料介绍，近20年来，仅意、日、美、俄、印（ 度）、中、捷及奥（地利）、瑞（士）等国，各国每年因滑坡灾害 所造成的经济损失，平均达15～20亿美元，总和平均每年可达120 ～160亿美元 法国马尔巴塞拱坝右岸坝肩尚存 法国马尔巴塞拱坝左岸完全摧毁 二、水利水电工程边坡的主要特点 1）边坡与水的关系更加密切 2）边坡受工程荷载的影响显著 3）水库运行直接影响边坡变形与稳定 4）对边坡稳定的要求随边坡所处部位要求不同而异 三、影响边坡稳定与变形的主要内在因素 1）原始应力状态 2）地下水状态 3）岩石的构成及特征 4）边坡形状 5）岩体结构特征 6）岩体中软弱带分布特征 四、影响边坡稳定与变形的主要外在因素 1）施工开挖引起的卸荷和应力调整 2）施工爆破引起的岩体损伤和动力荷载 3）由于库水位变化、降雨、泻洪雾化雨而引起的地下水位变化， 等 五、边坡稳定性的评价方法 1）历史分析法 2）工程地质类比法 3）刚体极限平衡法 4）应力应变分析法 六、边坡整治 1）消除或减轻水的作用。可分为阻排地表水、阻排地下水、防 止水对边坡的冲刷与浪蚀 图1-8 地表排水工程平面布置图杨家槽滑坡 图1-9 地下排水工程平面布置图杨家槽滑坡 图1-10 地下排水工程立面布置图杨家槽滑坡 2）改善边坡的力学平衡条件。可分为削坡、减重反压、设置抗滑 挡墙、抗滑桩、锚固、抗剪键等 图1-11 小湾水垫塘边坡锚筋桩 图1-12 小湾电站进水口边坡预应力锚索（施工） 图1-13 小湾电站进水口边坡预应力锚索（部分完工） 3）增强弱面的物理力学性质。可分化学灌浆、石灰加固法、陪 烧法、电渗排水和电灌法、爆破灌浆法等 七、主要参考文献 [英]E.Hoek J.WBray著 卢世宗等译，岩石边坡工程，冶金工业 出版社，1983.5 陈祖煜，土质边坡稳定分析-原理。方法。程序，北京中国水 利水电出版社，2003 陈胜宏.高坝复杂岩石地基及岩石边坡的稳定分析.北京中国水 利水电出版社，2001 第二章 边坡稳定性的定量评价 刚体极限平衡法 原则 1）针对不同类型和破坏机理的边坡，提出不同的分析方法 2）计算方法、计算参数和安全指标要配套 岩石边坡工程中的安全系数大体有两种不同的定义 “超载安全系数”如果将荷载增大K倍，体系即将失稳。计算 中，将荷载乘以K，并将K逐渐增大，直到体系达到极限平衡 ，此时所对应的K值即为所求安全系数。地基基础设计规范中 采用的安全系数即与此相似 “强度储备安全系数” 如果将岩土抗剪强度降低K倍，体系即 将处于失稳状态。计算中，逐渐增大K值，使岩土抗剪强度不 断降低，直到体系达到极限平衡，此时所对应的K值即为所求 安全系数。土石坝设计规范中采用安全系数即属此类 在边坡稳定性分析和防治工程设计中，目前多趋向于采用“强 度储备安全系数”。原因主要是 ①边坡外荷载较为明确，而岩土体的强度变化较大，又不易 精确测定，其取值较无把握，设计中要留有余地 ②自重往往是边坡最主要的荷载，但自重即产生下滑力，也 产生阻滑力，采用“超载安全系数”概念不明确 第一节 碎裂结构边坡 图2-1碎裂岩石 图2-2三板溪电站进水口边坡 一、直线滑动 图2-3 直线滑动边坡示意 1）摩擦公式 （2-1） 式中，k为安全系数；ΣV和ΣH分别为作用于滑动面以上计算单元 的全部荷载在滑动面上的法向分力（包括扬压力）和切向分力，kN ；f为摩擦系数 ∑ ∑ H Vf k 2）抗剪断公式 （2-2） 式中，为计算单元的底滑面积，m2；ΣV和ΣH分别为作用于滑动 面以上计算单元的全部荷载在滑动面上的法向分力（包括扬压力） 和切向分力。f′和c′分别为抗剪断摩擦系数和凝聚力（KPa） ∑ ∑ ′′ H AcVf k A 二、 折线滑动分析法 可能出现折线滑动的情况有滑坡底滑面为若干控制断层组合 而成，非粘性均质滑坡，滑坡体由于部分浸水 图2-4 典型折线滑动面示意图 折线滑动分析时，将滑动土体视为刚体，并在折线的转折点处用 铅直的或倾斜的错动面将滑动土体划分为若干个块体，逐块进行力 的平衡计算，计算时要假定若干组可能出现的折线滑动面，经试算 求出最小安全系数所对应的折线滑动面为最危险滑动面，最小安全 系数应满足设计规范的要求 可作为曲线滑动的特例 三、曲线滑动 既适用于均质地基，也适用于非均质地基，并可考虑渗流、孔隙压 力和地震力等因素的影响。常用条分技术。 1）根据滑裂面的不同形状，有圆弧滑动分析法，任意曲线滑动分 析法和组合滑动稳定分析法 2）根据对滑动体内部受力条件的不同假定，有不计入滑动体条块 间作用力和不计入滑动体条块间作用力的分析方法 3）根据计算手段不同，有数解法、图解法和试验分折法 4）考虑到滑体在承受外荷载作用时，控制滑体材料的强度的并不 是作用在任意面上的总应力，而是材料骨架所承受的有效应力，因 而上述方法中又有总应力法和有效应力法之分 5）根据考虑空间效应的情况，有二维和三维分析方法 四、 Sarma法的原理 岩质边坡的失稳大都是沿各种软弱结构面发生的。滑体在滑动过 程中，侧向结构面也常常发生相对滑移，而且侧向（或者竖向）节 理面并不总是垂直的 （1） Sarma法的特点 1 可以根据滑体的地质特性、结构面构造，按照节理构造对滑体 进行斜条分以及不等距条分，使各个条块尽量能够模拟实际风化岩 体 2 可以较为详尽的模拟侧面节理、断层造成的滑体强度特点 3 滑体滑动时，不仅滑动面上的各种力达到了极限平衡，侧面上 也达到了极限平衡 （2） 计算步骤 1 选择典型的、重要的软弱夹层、节理面、破碎带等结构面，记 录其产状 2 根据滑裂面的形状以及结构面的产状，将边坡体划分为如干个 土条，其中也可以加入一些人工设定的土条分界面 图2-5 三板溪滑坡条分模型 Y top bottom δ water YB XBi, id i i b i α δi XW XT i YW YT i, i, i i i β i1i1,XTYT i1,XBi1YB YW i1 XWi1, i1d i1 i1 X 图2-6 Sarma法几何模型 3 取第号条块作为脱离刚体进行分析。对条块施加一个虚拟的水 平向地震系数，然后建立水平向和竖直向的力平衡方程 Y N i iU WW CB ΦB K W i CS ΦS T i,i W i,i i i i i γ2i γ i1 iX CS ΦS i1,i1 KWi i E PW i i1 E i1 PW Xi i1 X 图2-7 Sarma法力学模型 4 将条块底部和条块分界面上的土体强度参数都降低倍，建立两 个抗剪极限平衡方程 对于第i（I1,n）个块体，由，得到 （2-3） ∑ 0X ∑ 0Y [][] 0cossinsin sincossincos 11111 ⋅−− −−− iiiiiiiiii iiiiiiiiii WKTUNWWWK XPWEXPWE ααβ δδδδ [][] 0sincoscos cossincossin 11111 −− − iiiiiiii iiiiiiiiii TUNWWW XPWEXPWE ααβ δδδδ （2-4） 其中， （2-5） （2-6） 由式2-3～式2-6消去、、、得到与的关系 （2-7） 其中 F StgEdCS X iiii i φ F BtgNbCB T iiii i φ i X 1i X i T i N 1i E i E iiiii EeKpaE− 1 1 − i ii i ce RYRX a ζ 1 − i i i ce W p 1 i i i ce ce e FBtgtg FBtgtg ii ii φα φα ζ − 1 ζφδδφδδFStgFStgce iiiiiii cossinsincos− FdCSdCSbCB WKUWWPWPWRX iiiiiiiii iiiiiiiiiii δδα αβδδ sinsincos sinsincoscos 111 11 − ⋅−−− FdCSdCSbCB WUWWPWPWRY iiiiiiiii iiiiiiiiii δδα αβδδ coscossin coscossinsin 111 11 − −−− 5 根据上述方程和边界条件，推导出水平向地震系数的显示求解 表达式 由式（2-7）得到 当 i1 时， 当 i2 时， 依此类推，又由边界条件可知，最终可以得到 （2-8） KpaEeKpaE 1111112 −− KeppeaaEeKpaE 21221222223 −− 0 1 n E nnnnnnnn nnnnnnnn eeeepeepepp eeeeaeeaeaa K 1321121 1321121 −−−− −−−− ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ 6 假定F1，可以得到极限平衡状态下的水平地震系数K。若 ，则调整F的值，重新进行计算，直至K等于或接近 于零，此时的F即为边坡的稳定安全系数 0≠K 五、三维分析 图2-8a 龙滩右岸坝肩边坡（碎裂结构） 图2-8b 龙滩右岸坝肩边坡（碎裂结构） 图2-8c 龙滩右岸坝肩边坡（碎裂结构） 图2-8d 龙滩右岸坝肩边坡（碎裂结构） 图2-8e 龙滩右岸坝肩边坡（碎裂结构） 图2-9 具有三维效应的滑坡 （水布垭） 把滑坡分成若干空间柱体，考虑四个侧面的相互作用，求解底滑面 的反力，进而求出安全系数 六、不足与改进 1）未考虑滑体内部的应力应变关系，无法分析滑裂面的渐进破 坏机理 2）仅考虑滑动体上力的平衡条件，没有考虑滑动体上力矩的平 衡条件 3）未考虑破坏面上剪应力分布的不均匀性 4）极限分析方面，根据弹塑性的上限解和下限解，结合条分技 术与线性规划技术，进行滑坡稳定性的极限分析，可求得滑坡稳定 安全系数的上限解和下限解 5）考虑材料蠕变特性的稳定分折方法和所谓“能量法”，也在研 究之中。能量法的物理概念是滑动体的滑动速度所作的外功功率 超过滑裂面上吸收功的功率时，滑动体就失稳 第二节 块状结构边坡 图2-10 典型块状岩体边坡小湾） 一、块体组合与破坏模式 1）块体系统识别 2）搜索块体组合 3）破坏模式判别 ①无滑动面的自由脱落 ②单面滑动 ③双面滑动 二、单面滑动 计算方法与碎裂结构边坡的直线滑动相同 三、双面滑动 以岩坡中楔形体稳定分析为代表 图2-11 小湾水垫塘边坡 图2-12 岩坡中的楔形体 设外荷与CD的夹角为 γ1, 与过CD铅直面的夹角为 γ见图2- 8b和图2-8c。 该荷载被分解为沿CD的下滑力和与CD 垂直的 力，其量值为 SE cosγ1 NE sinγ1 （2-9） 与两滑面上的反力和相平衡,而和又可 进一步分解为滑面上的剪切力和及法向力和图2- 8d N1＝Nsinθ2－γcosα1-θ1／sinθ1＋θ2; N2＝Nsinθ1＋γcosα2-θ2／sinθ1＋θ2; T1＝Nsinθ2－γsinα1-θ1／sinθ1＋θ2; T2＝Nsinθ1＋γsinα2-θ2／sinθ1＋θ2; （2-10） E → S → N → N → R1 → R2 → R1 → R2 → T1 → T2 → N1 → N2 → 记滑面1 和 2 的面积为 A1和 A2, 两滑面的摩擦系数和凝聚力为f1、 f2、c1、c2, 则强度储备抗滑稳定安全系数是 （2-11） S kTcAfNkTcAfN k 2 2 2 2222 2 1 2 1111 −− 问题 由于角度 θ1和 θ2不知,故反力T1、T2、N1、N2是超静定的, k 实际上不能解出。 为此,人们引用了假定 θ1＝α1 θ2＝α2 从而有 N1＝Nsinα2－γ／sinα1＋α2 N2＝Nsinα1＋γ／sinα1＋α2 T1＝T2＝0 （2-12） k ＝N1f1＋A1c1＋N2f2＋A2c2／S （2-13） 四、不足与改进 ① 式2-12 便是著名的 “法向分解假定“Londe, 1965结果偏于 不安全 ② 在公式的推导中,仅用了力矢的平衡条件而未考虑转动平衡 结果偏于不安全 为求改进，可以 用有限单元法分析 考虑滑动面的变形与强度特性 利用塑性理论的极限分析 图2-13小湾水电站进水口边坡（顺层状结构） 第三节 层状结构边坡 图2-14小湾水电站坝前边坡（反倾层状结构） 图2-14天生桥水电站厂房边坡（反倾层状结构） 图2-14天生桥水电站厂房边坡（反倾层状结构） 一、 层状结构边坡的基本破坏模式 ①顺层滑动计算方法与碎裂结构边坡的直线滑动相同 ②倾倒 ③弯曲倾倒 二、弯曲倾倒边坡的特点 1 岩层走向与边坡走向大体一致 2 岩层倾角大于500-600, 大多数为 700-800 3 岩石边坡与层面夹角小于900 三、分析方法 可用组合梁法（王思敬）。该法把边坡视为一系列平行梁组合，根 据全黏结组合弯曲梁理论，可逐层计算以模拟边坡的渐进破坏 缺陷 不能考虑层面的摩擦角 第四节 安全指标 一、经验安全系数设计法 以上计算要求满足 （2-14） 允许安全系数[k]按经验确定，主要考虑 边坡的部位（重要性） 计算方法（简化程度） 参数取值标准（抗剪，抗剪断；屈服值，峰值，残余值） 各国习惯 [ ]kk ≥ （1）常规设计准则 以前，水利水电工程专业尚无边坡设计规范，故设计时通常的做 法是参照同类工程的设计方法，首先合理确定工程等级，而后认 真分析影响边坡稳定的各种因素，据其认识深度并参照同类工程的 实践经验及邻近专业的规程规范（碾压式土石坝设计规范（ SDJ218-84），建筑物地基基础设计规范（GBJ7-89），岩土 工程勘察规范（GB50021-94），水利水电工程地质勘察规范 （GB50287-99）），经综合分析后，针对不同设计工况，分别拟定 相应最小稳定安全系数及相应的计算方法进行分析计算和方案设计 。当对上述问题及影响边坡稳定分析的各敏感因素把握较准时，可 选用较小的安全系数，如1.05～1.10；否则，必须采用较大的安全 系数，如1.15～1.25 2003年颁布水电枢纽工程等级划分及设计安全标准（DL5180- 2003）后，水电枢纽工程边坡的安全标准有了明确的标准。该标 准首先对边坡进行级别划分（表2-1）,然后该标准规定采用刚体法 的下限解法时，应满足表2-2所列的安全系数取值 表2-1 边坡级别划分 边坡级别所影响的水工 建筑物级别 1级1级 2级2，3级 3级4，5级 表2-2 安全系数取值 边坡 级别 荷载组合 基本组合 （正常工 况） 特殊组合I （非常工况） 特殊组合 II（非常 工况） 1级1.3-1.251.20-1.151.10-1.05 2级1.25-1.151.15-1.051.05 3级1.15-1.051.10-1.051.00 该标准还规定,对1、2级边坡，应采用两种或两种以上的常规分 析方法，包括有限单元法 （2）相对设计准则 对于现状稳定状态尚好，但因所处环境改变（如受水库蓄水和 人类活动影响）后稳定性有所降低的边坡；或因要在边坡体上修 建重要建筑物、或因有重要保护对象等原因，需要提高边坡稳定 性的防治工程设计，可以按维持稳定现状或在现状基础上适当提 高安全标准设计方法进行设计。即先计算出因环境改变后的各种 不利因素使边坡降低的安全系数值，或分析论证需在现状基础上 提高的安全系数值，然后通过采取适当工程措施，使边坡安全系 数增加相应的值，从而补偿因环境改变对边坡稳定造成的不利影 响或因修建工程而需增加的安全富余度。采取的工程措施以确保 边坡的稳定条件不致进一步恶化或能有所改善为原则，从而达到 维持或改善边坡稳定状态的目的 二、概率设计法 水准1“半经验半概率法”，对某些参数进行数理统计分析，并与 经验相结合引入某些经验系数，如极限状态法。 水准2“一次二阶矩法”，“近似概率法”， 运用数理统计，对结构 或截面设计的“可靠概率”进行较为近似的估计。 水准3“全概率法”，如蒙特-卡罗法 （1）极限状态设计法 属于水准1的“半经验半概率法”，特点是 存在三种极限状态承载力极限状态，变形极限状态，裂缝极限 状态 在承载力极限状态中，对材料强度引入各自的材料强度系数和工 作条件系数，对不同的荷载引入各自的荷载系数（超载系数），对 构件还引入构件工作条件系数 材料强度系数和荷载系数，是将材料强度和荷载作为随机变量， 用数理统计方法分析确定 中国的水利水电工程结构可靠度设计统一标准（GB 50199- 94）规定，在水利水电工程结构设计中采用分项系数极限状态设计 法代替传统的定值安全系数设计法。分项系数极限状态法的设计表 达式由一组分项系数和基本变量代表值组成，它们反映了极限状态 方程各基本变量的不定性和变异性，并按目标可靠指标优选分项系 数，因而隐含了概率的意义。 对岩基上水工建筑物沿建基面、软弱夹层面的抗滑稳定性应按承 载能力极限状态设计。对应于作用（即荷载）效应基本组合采用下 列极限状态设计表达式 （2-15） 对应于偶然组合则为 （2-16） , 1 ,, 1 0k m k d kkQKG a f RaQGS γγ γγψγ≤ , 1 ,,, 2 0k m k d kkkQKG a f RaAQGS γγ γγψγ≤ 上两式中，S 为作用效应函数，R 为结构抗力函数，为结构重 要性系数，ψ为设计状况系数，、分别为基本组合和偶然组合 的结构系数，、Gk为永久作用的分项系数和标准值，、为可变 作用的分项系数和标准值，、为材料性能的分项系数和标准值， Ak为偶然作用代表值，ak为几何参数标准值（可作定值处理）。以 上的分项系数和标准值的确定方法或取值参见水利水电工程结构 可靠度设计统一标准（GB 50199-94）、水工建筑物荷载设计 规范（DL 5077-1997） ⋅ ⋅ 0 γ 1d γ 2d γ G γ Q γ K Q m γk f 按抗剪断公式审查岩基上混凝土重力坝沿水平建基面的抗滑稳定 可靠性时，相应的作用效应函数S和抗力函数R分别为 （2-17） （2-18） 上两式中，ΣHR、ΣVR分别为坝基面上全部切向作用、全部法 向作用设计值，kN；C′为建基面抗剪断凝聚力设计值，kPa；为 建基面抗剪断摩擦系数设计值；为建基面截面积，m2。ΣPR、 ΣWR的设计值为分项系数乘标准值， 、 的设计值则为标准值除以 分项系数。按式（2-17）和式（2-18）分别计算出基本组合、偶然 组合的S 和R ，然后代入式（2-15）、式（2-16）；并按上式规范 规定，对、ψ、和取值，即可核算基本组合和偶然组合情 况下，坝体沿建基面的抗滑稳定极限状态 ⋅⋅ ∑⋅ R HS ∑ ′′⋅ RRRR ACVfR R f ′ R A R f ′ R C′ 0 γ1d γ 2d γ （2）“一次二阶矩法”，“近似概率法” 水准2方法。 将抗力和荷载效应作为随机变量，按给定的概率分布，计算失效 概率或可靠指标。 名称来历采用平均值和标准差两个统计参数，对设计表达式进 行线性化处理。 ①中心点法 假定随机变量服从正态分布或对数正态分布，导出结构构件的 可靠度解析表达式，失效概率或可靠指标。分析时，采用泰勒级数 在平均值（中心点）展开 状态函数（功能函数） （2-19） ,...... 1n XXgZ 极限状态方程 （2-20） （2-21） Z0 可靠， Z0）。若总计进行了Nt模拟, 块体系统破坏了Nf次,破坏概率即为 25 为保证计算精度,模拟次数必需满足 26 从破坏概率Pf易得安全指标β tff NNP/ ft PN/100f 第三章 边坡稳定性的定量评价 应力应变分析法 有限元法的思想早在40年代形成 1956年航空工程用于飞行结构的应力分析 1960年Clough在其计算结构分析论文中提出有限单元法（Finite Element ）这一名称 国内对有限元法的研究始于20世纪60年代初（刘家峡大坝） 一个有限元法完整的分析过程一般包括 ①前处理建立实体模型、离散计算区域 ②有限元分析 ③后处理结果输出等三部分 与传统的极限平衡法相比，有限元法进行边坡稳定分析的优点可 总结如下 ①能够对具有复杂地貌、地质的边坡进行分析； ②可以事先不假定破坏面的形状或位置； ③考虑了变形协调的本构关系，因此也不必引入假定条件，保证 了严密的理论体系； ④有限元结果提供了应力、变形的全部信息。 有限单元法有不少经典专著（Zienkiewicz，1970；Owen Hinton，1080，朱伯芳，2002） 第一节 应力应变有限单元法基本原理 把连续介质转化为离散介质（单元）的组合，各单元通过结 点联系，单元内位移由结点位移用形函数插值获得，通过变分 或虚功原理建立求解结点位移的联立方程，然后再计算单元内 应变，最后计算单元内应力 图3-1 有限元网格 ΔF3y Δv3ΔF3xΔu3 43 21 一、单元分析 图3-2 块体单元的位移增量与荷载增量 第n步（小时，天等）的单元内部的位移增量与结点位移增量为 3-1 单元内部的位移增量可以由结点位移增量通过形函数插值而来 {Δu}n [N]{ Δδ}n3-2 {} T n vuvu]...........[ 4411 ΔΔΔΔΔδ {} T n vuu][ΔΔΔ 按小变形假定,单元内部的应变增量为 {Δε} n [B]{ Δδ} n（3-3） 按弹性理论 {Δσ} n＝[D]{Δε} n[S] { Δδ} n（3-4） 式中[B]为应变矩阵,[S][D][B]为应力矩阵。 面力，体力等外荷按静力等效的原理分配到相干结点上 （3-5） 二、平衡方程 根据虚功原理可推出 ∫∫∫Ω[B]T {Δσ} dΩ{ΔF} （3-6） {}[] T yxyx fffff 4411 .......ΔΔΔΔΔ 把式（3-4）代入单元平衡方程（3-6），然后绕结点进行组合， 给出全体结点位移与全体结点荷载增量的关系 [K]{ΔU}{ΔF} （3-7） 式中[K]为整体刚度矩阵，由单元刚度矩阵[k]组合而成。整体 位移向量{ΔU}和整体荷载向量{ΔF}也通过组合而成 [k]＝∫∫∫Ω[B]T [D] [B]dΩ（3-8） （3-9） （3-10） 由式（3-7）解出位移增量,然后由式（3-3）计算各单元内部的 应变增量,再式（3-4）计算各单元内部应力增量。以上各量分别叠 加后,即可得出在某一荷载步下结构的位移,应变和应力总量 {} T nn e n VUVUU]...........[ 11 ΔΔΔΔΔ {} T nynxyx e n FFFFF]...........[ 11 ΔΔΔΔΔ 第二节 非线性问题有限单元法基本原理 一、几何非线性---大变形 二、物理非线性 1） 弹塑性问题，用增量法，迭代法求解。 2）徐变、粘塑性问题等，例如岩土材料的弹粘塑性应力应变关 系为 （3-11） ---弹性应变增量 ---粘塑性应变增量 一般用初应变法或初应力法求解 （3−12） 从而 （3-13） 代入变分方程 [K]{ΔU}{ΔF}{ΔFvp} （3-14） 式中右端增加了由粘塑性因素引起的等效荷载增量 {ΔFvp}＝∫∫∫Ω[B]T [D]{Δεvpn}dΩ（3-15） [ ] []epDD,σσΔ {}{} {} vp n e nn εεεΔΔΔ {} e n εΔ {} vp n εΔ {}{}σεΔΔ −1 ][D e {}[ ]{}[ ]{} vp nn DDεεσΔ−ΔΔ 三、安全指标 ①应力总和安全系数 （3-16） ②超载安全系数 （3-17） ③强度储备安全系数 （3-18） ④ 随机有限单元法分析 ∑ ∑ ii iiii l lcf K τ σ 0 P P K c c f f K 00 第三节 渗流问题的有限元法 在岩石边坡工程中，渗流占有很重要的地位 有限元法被应用到渗流计算领域中始于1965年Zienkiewicz和Cheung 20世纪70年代，有限元法相继扩展到求解随时间变化的非稳定渗流 问题、非饱和渗流问题、岩体裂隙渗流问题以及渗流和应力场耦合 的问题 近年来，渗流有限元分析计算技术发展非常迅速，已经基本取代了 以前广泛采用的电模拟试验方法 渗流有限元算法通常利用泛函的变分原理建立 无压渗流问题是已广泛研究了的课题。记 Φ＝y＋p／γ 为水头函 数，其控制方程是 （3-19） 边界条件是 Φ｜г1＝Φ03-20 3-21 自由面是一种特殊边界，需满足 （3-22） 式中{n}是边界的单位法线向量 f z k zy k yx k x zyx ∂ Φ∂ ∂ Φ∂ ∂ Φ∂ ∂ Φ∂ ∂ Φ∂ ∂ Φ∂ gl z kl y kl x k zzyyxx − ∂ Φ∂ ∂ Φ∂ ∂ Φ∂ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ Φ∂ ∂ Φ∂ ∂ Φ∂ Φ 0 zzyyxx l z kl y kl x k z 自由面 г2 г 1 图3-3 渗流边界 对应的变分方程是 （3-23） .min ][ 2 1 2 2 2 ΓΦ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Φ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Φ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Φ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Φ∂ Φ ∫ ∫ Γ dg dRf z k y k x kI zyx R 记水头Φ的结点值为，则在单元内部有 （3-24） 将式3-20代入式3-19可得出 （3-25） 其中，导水矩阵和右端项为 （3-26） （3-27） − Φ }]{[ − ΦΦN }{}]{[FHΦ − [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] dR z N z N k y N y N k x N x N kh T z T y T x R ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫ ][ Γ ∫∫ Γ gdNfdRNF R ][][}{