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第 17 卷第 5 期铁道科学与工程学报Volume 17Number 5 2020 年 5 月Journal of Railway Science and Engineering May 2020 DOI 10.19713/ki.43−1423/u.T20190698 考虑土体剪胀性的富水盾构隧道 掌子面支护反力非线性上限解 张佳华 1，凌涛2 1. 湖南科技大学 南方煤矿瓦斯与顶板灾害预防控制安全生产重点实验室， 煤矿安全开采技术湖南省重点实验室，湖南 湘潭 411201； 2. 中铁五局集团 第一工程有限责任公司，湖南 长沙 410117 摘要考虑土体剪胀性和孔隙水效应，在非线性破坏准则下研究盾构隧道掌子面的稳定性。利用极限分析上限法构建盾构 隧道掌子面的对数螺旋曲线破坏机构， 根据虚功率原理推导掌子面支护反力的解析解， 利用序列规划算法得到了支护反力的 最优解。研究结果表明，假定土体服从相关联流动法则，会明显低估支护反力，相对误差可达到 29。不考虑孔隙水效应， 会显著低估支护反力，相对误差可达到 56。此外，土体剪胀系数以及孔隙水压力系数对掌子面的破坏范围也有显著影响。 建议在计算盾构掘进推力时，应该考虑土体的剪胀性、破坏准则的非线性以及孔隙水效应，否则会造成结果严重偏小而导致 掌子面发生坍塌破坏。 关键词隧道掌子面；极限分析；非关联流动法则；孔隙水；支护反力 中图分类号TD315文献标志码A文章编号1672−7029202005−1219−09 Upper bound solution of supporting pressure of shield tunnel faces considering soils dilatancy and the pore water under the nonlinear failure criterion ZHANG Jiahua1, LING Tao2 1. Work Safety Key Lab on Prevention and Control of Gas and Roof Disasters for Southern Coal Mines, Hunan Provincial Key Laboratory of Safe Mining Techniques of Coal Mines, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China; 2. The First Engineering Co. Ltd. of China Railway Wuju Group, Changsha 410117, China Abstract The stability of shield tunnel faces was investigated with the nonlinear failure criteria considering the pore water effect and dilatancy of soils. A logarithmic spiral curve failure mechanism of shield tunnel faces was constructed by using the limit analysis . The analytical solution of support pressure was derived according to the virtual power principle. The optimal solution of support pressure was obtained by the sequence programming algorithm. The results show that if soils are assumed to obey the associated flow rule, the support pressure will be underestimated obviously, whose relative error can reach 29. Similarly, if the pore water is not considered, the relative error of support pressure will be to reach 56. In addition, the dilatancy coefficient of soils and the pore water pressure coefficient also have a significant impact on the failure scope of tunnel faces. It is suggested that soil dilatancy, nonlinearity of failure criterion and pore water effect should be taken into account to solve the driving force of shield, otherwise the results would be too small to cause collapse of tunnel faces. Key words tunnel face; limit analysis; non-associated flow rule; pore water; support pressure 收稿日期2019−08−04 基金项目国家自然科学基金资助项目51804113；湖南科技大学博士启动基金资助项目E51768；湖南科技大学博士后科研基金资助项目E61610； 南方煤矿瓦斯与顶板灾害预防控制安全生产重点实验室开放基金资助项目E21734 通信作者张佳华1983−，男，湖北天门人，讲师，博士，从事隧道与地下工程方面研究；E−mail1010090 铁 道 科 学 与 工 程 学 报2020年5月1220 在盾构掘进过程中，掌子面经常发生坍塌事 故，造成盾构机“卡死”，这不仅严重影响施工进 度，还有可能造成地面塌陷而引起重大安全事故。 因此，维持隧道掌子面稳定性是盾构安全施工的关 键，也是现阶段工程师们研究的重点和难点[1]。极 限分析方法是研究隧道工程稳定性问题的一种有 效途径[2−3]。基于线性 Mohr-Coulomb 破坏准则，邱 业建等[4]采用上限法计算了隧道围岩的支护反力； 陈峥等[5]利用上限法探究了超前支护下的隧道掌子 面稳定性。 事实上， 土体一般服从非线性破坏准则， 线性破坏准则只是非线性破坏准则的一种情 况[6−8]。 张佳华等[7]通过求解非线性准则下隧道支护 反力及安全系数，验证了非线性系数对隧道稳定性 有较大影响；张道兵等[8]基于非线性破坏准则，探 究了硐室中围岩压力最优上限解，为支护设计提供 有效依据。但是，上述研究均假定土体服从相关联 流动法则，然而，众多学者研究发现，土体材料服 从非关联流动法则[9−10]。赵炼恒等[11]研究了非关联 流动法则下剪胀系数对隧道稳定性的影响。吕绍文 [12]基于非关联流动法则研究双线隧道之间的影响。 以上文献在研究隧道的稳定性方面取得了一系列 重要的成果，但是均没有考虑孔隙水的影响。众所 周知，孔隙水广泛赋存在土体中，且影响不容忽 视[13−14]。因此，本文基于非线性 Mohr-Coulomb 破 坏准则，同时考虑土体剪胀性和孔隙水效应，研究 隧道掌子面的稳定性，求解掌子面所需要的支护 反力。 1定义与定理 1.1非线性 Mohr-Coulomb 破坏准则 为了准确反映土体的受力特征，工程上一般采 用非线性 Mohr-Coulomb 破坏准则进行计算，其表 达式如下[15] 1 n 0 t 1 m c        1 式中τ为剪应力；σn为正应力；c0为土体初始黏聚 力，m 为非线性系数；σt为轴向抗拉强度。 1.2非关联流动法则 研究表明，由于土体材料具有剪胀性，在发生 塑性流动时，一般服从非关联流动法则[9−12]。如果 假定土体服从相关联流动法则，往往会高估了剪胀 角，给计算结果带来较大误差[10−11]。在考虑土体服 从非线性 M-C 破坏准则和非关联流动法则时， 一些 学者提出对非线性 M-C 破坏准则中的初始黏聚力 c0进行修正，如图 1 所示，修正后的非线性 M-C 破 坏准则为[16−18] 1 n 0 t 1 m c        2 相应的切线表达式为 ** tnt tanc3 如果联立式2和式3，可得服从非线性 M-C 破坏准则和非关联流动法则的土体黏聚力 * t c和内 摩擦角 * t 之间的关系[16-18] 1 * 1 ** tt t0tt 0 1 * 0n t tt tan1 tan tan1 m m m mm cc mc c m                        4 图 1修正后的非线性 M-C 破坏准则及其切线 Fig. 1Modified nonlinear M-C failure criterion and its tangent 1.3孔隙水压力效应下的上限定理 孔隙水普遍赋存在土体中，对工程的影响不容 忽视[19−20]。 Bishop 在计算孔隙水压力时认为孔隙水 压力是土重应力的一部分。由于概念清晰，计算简 单，该方法得到了广泛的推广和应用，其表达式如 下[20] u urz5 第 5 期张佳华，等考虑土体剪胀性的富水盾构隧道掌子面支护反力非线性上限解1221 式中ru为孔隙水压力系数；z 为土体任意点到地 表的竖直方向上的距离；γ为土体容重。 在采用极限分析法研究孔隙水压力影响时，通 常将孔隙水压力当作内力或者外力计算，但 2 种方 法结果一致，具体表达式为[21−22] dd wiwi VV ii hZ v Vv V xx      dd iji i VV uVun v S  6 式中等号左侧为孔隙水压力作为内力做的功率， 实质上就是渗透力和浮力做的功率之和；等号右侧 为将孔隙水压力作为外力时做的功率，实质上就是 孔隙水压力使土体发生体应变做的功率与边界上 做的功率之和。其中，γw为水容重；h 为水头；V 为体积；Z 为高程水头；vi为破坏面上速度；u 为孔 隙水压力； ij 为体应变；ni为破坏面上单位外法线 向量。 然而，将孔隙水压力视为外力时，其物理意义 更清晰，因此该方法得到广泛应用[21−22]。本文也将 孔隙水压力作为外力进行计算。综上所述，在机动 容许的速度场中，在外力做功功率与土体内部能量 耗散功率相等的情况下，计算得到的荷载是大于或 等于极限状态下的真实荷载，考虑孔隙水压力效应 的上限定理可以表述为[23−24] ddd ij iji ii i ASA ATV SFV A   ≥ d[]d i ijii Al uAu Vl  7 式中内能耗散功率为在塑性区域 A 中应力σij在虚 应变场 ij 中做的功率； 外力做的功率为面力 Ti在边 界 S 上做的功率、 体力 Fi在区域 A 中做的功率以及 孔隙水压力在区域A中和速度间断线l上做的功率。 由上限定理给出以下 2 点假设[25] 1 土体材料 为理想塑性体，其在破坏面上的正应力和剪应力遵 循非线性关系。根据土体材料破坏时发生的剪胀效 应，破坏面上任一点的速度[Vi]方向与速度间断线 l 的夹角为 * t ；2 滑块为刚性块体，即虚应变场中 0 ij ，能量耗散全部发生在速度间断线上。孔隙 水压力 ui在虚应变场 ij 做的功率为 0。 2破坏机构 本文构建的盾构隧道掌子面双对数螺旋曲线 破坏机构如图 2 所示，破坏机构区域由 AE 和 BE 2 条对数螺旋曲线和隧道掌子面 AB 构成，且 2 条 对数螺旋线都以角速度ω绕 O 点旋转。 图 2盾构隧道掌子面双对数螺旋曲线破坏机构 Fig. 2Double logarithmic helical curve failure mechanism of shield tunnel faces 土体服从非关联流动法则和非线性 M-C 破坏 准则，对数螺旋曲线上任意一点的速度与该点切向 方向的夹角为 * t ，如图 2 所示，对数螺旋曲线 AE 和 BE 方程分别为 * 1a2t exp[tan]rr8 * 2b1t exp[tan]rr9 式中θ1和θ2表示 OB 和 OA 与竖直方向的夹角； ra和 rb表示 OA 和 OB 的长度。 通过图 2 中的几何关系可得 1 a 21 sin sin rd     10 2 b 21 sin sin rd     11 12 312 * t 1lnsin/sin 2tan        12 式中 d 为掌子面高度； θ3为 OE 与竖直方向的夹角。 3计算过程 3.1土体重力功率 若直接计算土体重力做功功率较为复杂，本文 铁 道 科 学 与 工 程 学 报2020年5月1222 采用叠加法将土体 OBE 区域拆分为 OB′E，OAE， OBB′，OAB 4 个区域，分别计算各区域土体重力 功率。 区域 OB′E 重力做功功率，记为 Pγ1 3 2 2 γ122 21 sin d 32 Prr     3 b123 ,rf  13 其中 * 3 1 t 2 [3 tan] 123 1 ,sin d 3 fe          * 13 t t [3 tan] * 33 {3tansincose     * 12 t t [3 tan] * 22 3tansincos}/e     t 2* [319tan]14 同理，OAE 区域内土体重力做功功率记为 Pγ2 3 2 2 γ211 21 sin d 32 Prr     3 a223 ,rf  15 其中 * 3 2 t 2 [3 tan] 223 1 ,sin d 3 fe           * 32 t [3 tan] t33 {3tansincose     tt *2* 22 cos3tansin}/[319tan]16 OBB′区域内土体重力做功功率记为 Pγ3 2 1 2 γ322 21 sin d 32 Prr     3 b312 ,rf  17 其中 * 2 1 t 1 [3 tan] 312 1 ,sin d 3 fe          * 12 t t [3 tan] * 22 {3tansincose     tt *2* 11 cos3tansin}/[319tan]18 OAB 区域内土体重力做功功率记为 Pγ4 2 1 2 2 11 γ4bb 2 1 sin2sin sin d 2 sin3sin Prr         3 b412 ,rf  19 其中 2 1 3 1 412 2 1sin ,d 3sin f         3 12 1 12 1coscos sin 3sinsin        20 综上所述，土体 ABE 重力做功功率为 γγ1γ2γ3γ4 PPPPP 33 b134a2 rfffrf  21 3.2孔隙水压力功率 孔隙水压力在边界 AE 和 BE 上做功。首先， 孔隙水压力在边界AE上的功率为 3 t 2 2* u1u11 sin[ cosPrrr     a2 cos]dhr  t 3* ua sinrr t 2* 523ua ,sinfrr  a2623 cos,hrf 22 其中 * 3 2 t 2 [3 tan] 523 ,cos dfe           * 32 t t [3 tan] * 33 {sin3tancose     tt *2* 22 sin3tancos}/19tan23 * 3 2 t 2 [2 tan] 623 ,dfe          * 32 t t [2 tan] * {1}/2tane    24 其次， 孔隙水压力在边界BE上的做功功率为 3 t 1 2* u2u2 sinPrr     2b1 [ coscos]drhdr t 3* ub713 sin,rrf  t 2* ubb1813 sincos,rrhdrf 25 其中 * 3 1 t 1 [3 tan] 713 ,cos dfe          * 13 t t [3 tan] * 33 {sin3tancose     tt *2* 11 sin3tancos}/19tan26 * 3 1 t 1 [2 tan] 813 ,dfe         * 13 t t [2 tan] * {1}/2tane    27 综上所述，孔隙水压力所做的总功率为 t 2* uu1u2ua sinPPPrr t 2* a5a26ub [cos]sinrfhrfrr b7b18 [cos]rfhdrf28 3.3支护反力功率 如图 2 中的破坏模式，均布荷载σT为所求支护 反力，且只在掌子面 AB 上做功，其功率为 第 5 期张佳华，等考虑土体剪胀性的富水盾构隧道掌子面支护反力非线性上限解1223 2 1 bb T1T 2 sincos sinsin rr P        2 2 1 1T 2 2 1sin sind1 2sin b r         29 3.4内能耗散率 由于内部能量损耗只发生在速度间断线 EA 和 EB 上，内能耗散率为 3 2 ** VV1V21tt1 cos dPPPrcr     3 1 ** 2tt2 cos drcr     * 32t [2 tan]*22 tta cos{1cre     * 13t [2 tan]2* bt 1}/2sinre    30 式中PV1为速度间断线 EA 上的能量耗散率；PV2 为速度间断线 EB 上的能量耗散率。 3.5支护反力上限解 由上述公式可得支护反力解析解，具体为 γuV T 2 2 1 b 2 2 2 sin 1 sin PPP r           31 从式31可知，支护反力σT是关于θ1，θ2，φt 的函数，即 * T12t ,,f  。并且式31中的变量 满足以下约束条件 12 23 ab 0π / 2 π rr          32 式31满足式32约束条件下，通过 Matlab 中 序 列 二 次 规 划 算 法 SQP 可 求 解 函 数 T  * 12t ,,f  的最优值， 也就是盾构隧道掌子面维持 稳定所需要的支护反力。 4结果分析 4.1对比 姚聪等[16]求解了盾构隧道掌子面维持稳定所 需的支护反力，为了与其进行对比，本文令孔隙压 力水系数 ru0，即不考虑孔隙水作用，将结果与文 献[16]对比。参数取值如下d8 m，γ18 kN/m3， σt30 kPa，h30 m，c010 kPa，m1.2，η0.8， ru0.10.5。 如表 1 所示，当孔隙水压力系数 ru0 时，本文 和文献[16]结果一致，求解的盾构掌子面支护反力 σT都为 85.6 kPa，验证了本文计算方法的正确性。 本文考虑孔隙水效应，令 ru0.10.5 时，随着孔隙 水压力系数 ru增大，掌子面支护反力σT也增大。与 不考虑孔隙水压力ru0时求解的掌子面支护反力 σT相比，相对误差最小为 56，最大为 282，表 明孔隙水对隧道掌子面支护反力有显著影响，因此 孔隙水效应不容忽视。建议在富水区段施工时，应 加强掌子面支护反力， 以防止发生坍塌事故。 此外， 文献[16]没有考虑孔隙水效应，只是本文研究成果 中的一个特例。 表 1不同孔隙水压力系数下的支护反力 Table 1Support pressure under different pore water pressure coefficients 孔隙水压力系数 ru支护反力σT/kPa相对误差/ 085.6 0.1133.256 0.2181.0111 0.3229.2168 0.4277.8224 0.5326.8282 4.2支护反力 考虑土体剪胀性和孔隙水效应，在非线性 M-C 破坏准则下求解盾构隧道支护反力。各参数取值如 下初始黏聚力 c01018 kPa，非线性系数 m 1.11.5，土体容重γ18 kN/m3，轴向抗拉强度σt30 kPa，隧道直径 d10 m，地下水位线高度 h1050 m， 剪胀系数η0.61.0， 孔隙水压力系数 ru0.10.5。 如图 3 所示， 当非线性系数m增大或初始黏聚力 c0 减小时，隧道掌子面支护反力σT增大。这是由于非 线性系数 m 越大或初始黏聚力 c0越小， 表明土体稳 定性越差，因此掌子面支护反力也就越大。当剪胀 系数η增大时，隧道掌子面支护反力σT减小。将剪 胀系数η1.0土体服从相关联流动法则与η0.6， η0.9相比较， 掌子面支护反力相对误差分别为29 和 5，由此可见，剪胀系数对盾构隧道掌子面支 护反力有较大的影响。当孔隙水压力系数 ru增大或 地下水位线高度 h 增大时，盾构隧道掌子面支护反 力σT增大。不考虑孔隙水效应时ru0与考虑孔隙 铁 道 科 学 与 工 程 学 报2020年5月1224 水效应时ru0.10.5的隧道支护反力σT之间的最 小相对误差为 56，最大达到 282。由此可见， 孔隙水压力系数 ru对掌子面支护反力影响显著。 a m-c0-σT; b c0-m-σT; c η-c0-σT; d η-m-σT; e ru-h-σT; f h-ru-σT 图 3各参数对掌子面支护反力的影响 Fig. 3Influence of various parameters on support pressure of tunnel faces 4.3破坏面 为研究各参数对隧道掌子面破坏面影响，各参 数取值如下 d10 m， γ18 kN/m3， σt30 kPa， h30 m，c010 kPa，m1.3，η0.8，ru0.3。当非线性系 数 m 增大或初始黏聚力 c0减小时， 掌子面的破坏面 向外延伸，破坏高度增加，破坏范围增大。当孔隙 水压力系数 ru增大时，破坏面向洞内靠近，破坏高 度减小，破坏范围减小。随着地下水位线高度 h 增 加，破坏面逐渐向外发展。随着剪胀系数η减小， 隧道破坏面向外延伸，破坏高度增加，破坏范围增 第 5 期张佳华，等考虑土体剪胀性的富水盾构隧道掌子面支护反力非线性上限解1225 大。由此可见，非线性系数 m，初始黏聚力 c0，剪 胀系数η，孔隙水压力系数 ru以及水位线高度 h 对 隧道掌子面潜在破坏面均有较大影响。 a 非线性系数；b 初始黏聚力；c 剪胀系数；d 孔隙水压力系数；e 水位线高度 图 4各参数对掌子面潜在破坏面的影响 Fig. 4Influence of various parameters on the potential failure surface of tunnel faces 5结论 1 基于非线性Mohr-Coulomb破坏准则及非关 联流动法则，推导了孔隙水作用下隧道掌子面支护 反力的解析解，采用序列二次规划算法得到了掌子 面支护反力的最优上限解。 2 不考虑孔隙水时， 令 ru0，本文求解的支护 反力与文献[16]结果一致，验证了本文计算方法的 正确性，同时也表明文献[16]只是本文研究的一种 情况。 3 当非线性系数 m 增大、 初始黏聚力 c0减小、 剪胀系数η减小、孔隙水压力系数 ru增大或地下水 位线高度 h 增大时，掌子面支护反力σT增大。对比 铁 道 科 学 与 工 程 学 报2020年5月1226 m1.1 与 m1.5，支护反力相对误差为 13。对比 η1.0土体服从相关联流动法则和η0.6土体服从 非关联流动法则， 支护反力相对误差为 29。 对比 ru0不考虑孔隙水与 ru0.5考虑孔隙水，支护反 力相对误差为 282。如果假定土体服从线性破坏 准则、相关联流动法则或不考虑孔隙水效应，会严 重低估盾构隧道掌子面的支护反力。 4 当非线性系数 m 或地下水位线高度 h 增大 时，掌子面破坏面向外延伸，破坏高度增加，破坏 范围增大。当初始黏聚力 c0,剪胀系数η或孔隙水压 力系数 ru增大时，破坏面向洞内靠近，破坏高度减 小，破坏范围减小。 参考文献 [1]吴梦军, 陈彰贵, 许锡宾, 等. 公路隧道围岩稳定性研 究现状与展望[J]. 重庆交通学院学报, 2003, 222 24−28. WU Mengjun, CHEN Zhanggui, XU Xibin, et al. The present and prospect of highway tunnel surrounding rock stability[J]. Journal of Chongqing Jiaotong University, 2003, 222 24−28. [2]黄茂松, 宋春霞, 吕玺琳. 非均质黏土地基隧道环向开 挖面稳定上限分析[J]. 岩土工程学报, 2013, 358 1504−1512. HUANG Maosong, SONG Chunxia, L Xilin. Upper bound analysis for stability of a circular tunnel in heterogeneous clay[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2013, 358 1504−1512. [3]Subrin D, Wong H. Tunnel face stability in frictional material A new 3D failure mechanism[J]. Comptes Rendus Mecanique, 2002, 3307 513−519. [4]邱业建, 彭立敏, 雷明锋. 浅埋偏压隧道围岩压力上限 法解析解[J]. 土木工程学报, 2015, 486 106−113. QIU Yejian, PENG Limin, LEI Mingfeng. Upper bound solutions for surrounding rock pressure of shallow bias tunnel[J]. China Civil Engineering Journal, 2015, 486 106−113. [5]陈峥, 何平, 颜杜民, 等. 超前支护下隧道掌子面稳定 性极限上限分析[J]. 岩土力学, 2019, 406 2154−2162. CHEN Zheng, HE Ping, YAN Dumin, et al. Upper-bound limit analysis of tunnel face stability under advanced support[J]. Rock and Soil Mechanics, 2019, 406 2154−2162. [6]张佳华, 杨小礼, 张标, 等. 基于非线性破坏准则的浅 埋偏压隧道稳定性分析[J]. 华南理工大学学报自然科 学版, 2014, 428 97−103, 121. ZHANG Jiahua, YANG Xiaoli, ZHANG Biao, et al. Stability analysis of shallow bias tunnels based on nonlinear failure criterion[J]. Journal of South China University of Technology Natural Science Edition, 2014, 428 97−103, 121. [7]张佳华, 张标. 非线性破坏准则下浅埋隧道支护参数 上限解[J]. 铁道科学与工程学报, 2018, 158 2062− 2071. ZHANG Jiahua, ZHANG Biao. Upper bound solutions of support parameter for shallow tunnels in nonlinear soil masses[J]. Journal of Railway Science and Engineering, 2018, 158 2062−2071. [8]张道兵, 王卫军. 用非线性 M-C 破坏准则计算深埋硐 室围岩压力上限解[J]. 矿业工程研究, 2017, 324 1−8. ZHANG Daobing, WANG Weijun. Upper bound solution to surrounding rock pressure for deep cavity by using nonlinear M-C failure criterion[J]. Mineral Engineering Research, 2017, 324 1−8. [9]孔位学, 芮勇勤, 董宝弟. 岩土材料在非关联流动法则 下剪胀角选取探讨[J]. 岩土力学, 2009, 3011 3278− 3282. KONGWeixue,RUIYongqin,DONGBaodi. Determination of dilatancy angle for geomaterials under non-associated flow rule[J]. Rock and Soil Mechanics, 2009, 3011 3278−3282. [10] 王凤云, 钱德玲. 基于统一强度理论深埋圆形隧道围 岩的剪胀分析[J]. 岩土力学, 2019, 405 1966−1976. WANG Fengyun, QIAN Deling. Dilatancy analysis for a circular tunnel excavated in rock mass based on unified strength theory[J]. Rock and Soil Mechanics, 2019, 405 1966−1976. [11] 赵炼恒, 孙秋红, 黄阜, 等. 非关联流动准则对浅埋隧 道稳定性影响的上限分析[J]. 公路交通科技, 2012, 2912 101−106. ZHAO Lianheng, SUN Qiuhong, HUANG Fu, et al. Influences of non-associated flow rule on shallow tunnel stability based on upper bound limit analysis[J]. Journal ofHighwayandTransportationResearchand Development, 2012, 2912 101−106. [12] 吕绍文. 非关联流动法则对双线平行隧道上限解的影 响分析[J]. 公路工程, 2014, 393 260−263, 303. L Shaowen. The influence analysis of non-associate 第 5 期张佳华，等考虑土体剪胀性的富水盾构隧道掌子面支护反力非线性上限解1227 flow rule on the upper limit solution of two parallel tunnels[J]. Highway Engineering, 2014, 393 260−263, 303. [13] 宋子亨, 杨强, 刘耀儒. 考虑孔隙水压力作用的岩土体 弹塑性模型及其有限元实现[J]. 岩土力学, 2016, 37增 1 500−508. SONG Ziheng, YANG Qiang, LIU Yaoru. Elastoplastic model for geomaterial considering effect of pore water pressure and its finite elements implementation[J]. Rock and Soil Mechanics, 2016, 37Suppl 1 500−508. [14] 黄阜, 杨小礼, 黄戡, 等. 考虑孔隙水压力效应和非线 性破坏准则的浅埋地下洞室支护力上限分析[J]. 岩土 工程学报, 2011, 3312 1903−1909. HUANG Fu, YANG Xiaoli, HUANG Kan, et al. Upper boundsolutions ofsupporting pressure of shallow cavitiessubjectedtoore waterpressure basedon nonlinearfailurecriterion[J].ChineseJournalof Geotechnical Engineering,