离散元的基本原理、方法和应用.pdf

7 1 一镪 第 1 3卷 第 2期 河 ． 海 科 技 进 展 1 9 9 3年 6月 离散单元法的基本原理、方法及应用 卓家寿赵宁 ，一～ 河海 大 学工程 力学 系南京2 1 0 0 2 4 己 摘要 本文介绍了离散单元法的基本原理 及其基本解法。 该法可用于研究边坡失稳、 国岩稳定 等不连续介质的大位移问题． 采用动卷松驰法求解 ． 离散元能够模拟出结构的失稳、 凿道爆破的 1 引 言 离 散单元法 d i s c r e t e e l e r a e n t me t h o d ，简称 DE M是近年来 解决 非连 续介 质问题 的一 种颇 具特色 、富有发展前景 的数 值方法 。它已在采矿工程 、岩土 工程 如边坡 及围岩 的稳 定等 领域 中得到成功 的应 用 ，并愈来愈 引起 工程界和学术 界的重 视。 D E M 是美国 C u n d a l l ，P ．A于 1 9 7 1 年提 出的0 】 ，最初是从研 究具有裂 隙节 理的岩体 开 始的 。它把岩 体视为被节理切 割而成的若干个块 体的组合体 l基 于岩 体的变形 主要依赖于软 弱结构面 如裂隙、节理及层面等的客观事实，提出了岩块为刚性的假定，以刚性元及其 周界的几何 ，运 动和本构方 程为基础 ，采 用动 态松驰迭代格式 ，建 立了求解 节理岩块非连续 介质大变形 的差分方 程。 1 9 7 8年 ，Ma i n [ ，T ．和 C u n d a l l ，P ．A等 进一步改进 了原来的剐块离 散元模型 ，考虑 了岩 块 自身的变形 ， 提 出了可变形块体 模型的通 用程序 UD E C Un i v e r s a l d i scr e t e c l e m e n t c ode 】 ， 并 将其推 广至 模拟岩块破碎和爆炸 的运动过 程一 。同一时期内 ，C u n d a l l 与 S t r a e k等还开 发了二 维 圆形块体 的 B a l l 程 序r ， 用于研 究颗粒介 质的力学 行 为 ， 所得结果 与 D r e s c h e r 等人 用光弹 技术所获得的实验结果相当吻合，这使离散元方法名声大振 ，并为研究颗粒散体介质的本构 关 系开 辟了一条新途径 。 离散单元 法可以与边 界单元法 或有限单元 法藕合应 用口 ] ， 解决 了远 场 岩体 为连续 介质 ，近场 为不连续 介质 的问题 ，大大 拓宽 了应用范围 ，此 外 ，离散单元法还 用于研 究散 体动力学和边坡 的动 力稳定性 。 Wi B a me ， J ．R，H o c k i n g ， G在 l 9 8 5年发表了 “ 离 散元 的理 论基础”一文 ；日本 的 K a w a i 在离散元基础 上提 出 了固体力学数 值分析的 一种 新方法 刚体一 弹簧元 r i g i d e l e me n t s p r i n g 收 碥 J I l 『 ，l 9 9 2 - I l 0 9 维普资讯 m e t h o d l2 - ， 高效且成功地解决了裂隙附近弹塑性应力场等非线性问题的分析 ． 由此 ， 人们 认识到 离散元的深刻 的学术价值 。 离散元的理论 依据是 牛顿第二 定律 ，正如有限元 的理 论依据是 能量原理 ，边界元的理 论 依据是 B c t t i 功互 等定理一样 ，是经 典的固体力学原理 ，其基础是 牢靠 的 。从块体单 元的 几何 形状上 ，离散元分 为任意多边形 ，圆形和 椭圆离散元 }从 块体单元 的变 形特征上 ，又有 刚性 块 离散元和可变形块 离散元 。 本文主要介绍 任意 多边形刚性 块离散元及其应用 。 2 离散元的基本假定与计算模型 2 ． 1 刚性离 散元 的基 本假 定 圈 I 块 体接 触 ‘离 ＼ 、 。 图 3 块体 的集 合体 及 作用于 I 块 体上 的 力 维普资讯 由牛顿第二定律 描述 I 块 形心的运 动方 程为 n 1 m ￡ ∑ 1 r 式 中m为 I 块 的惯性 质量 ； 为接触 点 C处 的刚度阻 尼力 {，一 接 触力 外 荷 ， “ 1 接触 力必须满足 秭0 无张拉 和 I ≤ Mo h r C o u l o mb准则 { a 为质 量阻尼系数；∑ 为对I 块上所有的接触点求和。 f 3 离散元的基本方程 3 ． 1 几 何关系 由于刚性 块体 没有形变 ，只有刚体位 移 ，所 以每 一刚块 只颓 用 3个 自由度 形 心点的水 平 、竖 直位移分量和块 体绕其形心的转 动量 描 述 ，便可 以得到块体上任 意一 点的位移 见 图 4 图 5 图 1 接触 点 C处的相对位 移以增量形式所示 为 f 血 [ △ 一 扩 一 △ ]一 [ 曲 一 扩一 ， ] l A u ；一 [ ； r 一 一- △ ]一 [ 曲； 一 一 △ ] 如果采 用接 触面 局部坐标 表示 见图 5 ，则为 { 竺 血 c o sa jn 3 ． 2 物 理条件 3 ． 2 ． 1块 体 接 触 点 的 力一 位 移 关 系 块 体接触点的 力一 位移关 系 见图 6 f 行 一 K． 曲 或 ＆ n 一 K。 血 ⋯ l △ K。△ ‘ L 1 J f n 0一 ． ． 【 一 0 血 E 其 中， o 表 示初 值或者 为上一次 迭代 的终值 n 为接触 点处的法 向接触 力 ， 以压为正 ， 拉为负 ． ， ．分 别为接触点处 的法向 、 切 向接触刚 度 ， 对 于两个弹性 体 的接 触 见图 7 。 图6 ] I l j _ 3 ’ 2 3 维普资讯 图 7 {篓 二 萋 ㈣ 作 为经验 值 ，取 K, , ／ K． l ～3 ，保持 K l 0 1 ～ l 0 9 k g ／ m[ ，若 K 取 得过大 ，反力变化 幅值大 ，且时 步很小 I若 K 取得 过小 ，收敛较慢 。 3 ． 2 ． 2 质 量 阻 尼 力 由于采用 图 2所示的粘性阻 尼元件 ，则 ．￡ I - 一 c 1 7 对于 平动 c am，对 于转 动 c a， 。m，， 分 别为块体的质 量及绕形 心转动惯量 ，质 量 阻尼 比 a 2 f ，，为系统基频 ，为临界阻尼 系数 。 对连 续介质 ，，，比较容易确定 ，但是对 于非连续介质 ，加上块体 之间有滑 动和分离 情 况 ，， ，确定较困难 ，一般需经反复试 算才能得到一个对 于某一基频 而言 为近似 的临 界阻 尼 值 ，使计 算迅 速收敛 。若所解 问题具有过 阻尼 ，欲获碍 平衡状态 ，所需迭 代次数 甚多 I若 不 施加阻 尼 ， 系统将 出现振荡 而得不到准静态解 。 在离散元 中 ． 采 用 C u n d a l l 提 出的 自适 应阻尼 ， 应用伺服 机理 对计 算中的质量阻尼进行 自适 应调整- J ，先按 8 式计算能量 比值 ㈣ 式中 岛为阻尼所吸收能量率； 为 块体动能的变化率I ∑ 为对整个系统 求和 实验表 明 ，在 R值接近 0 ． 5时 ，对 应的阻尼效 果接 近于临 界阻 尼 }如果 R 0 ． 5 ，说明阻 尼吸收能量过多 ，应 减小质量阻尼 在 R 0 ． 5时 ，说 明系统 动能改变过大 ，应考虑加大质 量 阻尼 。计算表 明 ，质量 阻尼 的取 值对收敛影 响较 大 ，在 目前质量 阻尼难 以确 定的情况下 ，采 用上述方法是 比较 前效的 。 3 2 ． 3刚 度 阻 尼 力 坼 和 接触点处 的刚度阻尼 力 脚 和 上 刍 ，与 该点的相对 位移方 向相 反 ，根据离散元 的假定有 f 蠊一∥ ’ K ．v ‘ △ 婚 ⋯ 1 鹏 ．K ． △ 式 中 ， 为刚度阻 尼系数 ， 2 Y ． ，，含义同 7 式 。计算表 明，采 用这 种形式 的刚度 阻尼力 ， 的取 值对收 敛影响不大 。 3 2 ． 4摩擦 阻尼 力 如果法 向接触 力 0 ，根据无拉 力准则 ，有 0 砖 0 】 0 I 蚺 0 鹏 0 若 J J 0 S i g n0 一 0 f 0 L 一 】 0 l i ． 3 动力平衡 即运 动方程 以 图 4中块 体为倒 ，其动力 平衡 方程 为 r m ㈣ 。 { tjl l ， ∞ j1 ． ， 一“lT I。g 1 2 【 ， - f - a P M 其 中 ， 式 】 3 中 f ∑ ‰ I { ∑ - f- i 埘 。 ∑[ 一 一iv , 扩 一 ] f 一 n- f -D D c o s a一 n s i n a l 开 一 B - f - s J n t l- f - 一 啦 c o ∞ 3 离散单元法的基本解法 1 3 1 离散元的基本解法有动态松驰法和静态松驰法。前者为显示差分格式 ，而后者为隐式差 分格式 。 目前 以动态松驰法应 用较为广泛 。 动态橙驰法是把非线性静力问题转化为动力学问题求解的一种数值方法 ，该方法的实质 是对 临界阻尼振 动方 程进 行逐 步积 分 为了保证得到 准静力 解 ，引入 了质 量阻尼和刚度阻 尼吸收系统 的动能。 当阻 尼取 得稍稍 小于临界值时，系统的振动很快消失，块体系统收敛于准静态值。 利用中心差分 ，将时间序列离散 ，有 f 0 t 拳 一 { 一 一 譬 ] ／ I { 0 [ 。 ． - ] ／ 2 ． 将 式 】 5 代 人式 i 2 ， 得 争 哺 ‘一 】 一 鲁 出 ] ／ 1 扣 一 [ 一 】 ． I 一 鲁 一 ] ／ I -f- 告 TA t 1 6 l 争 r-0 争 】 一 等 孚 ] ／ 1 -f- 等 由于 一 争， 一 争 及 一 一 争 是 已知的 ，从N I I D “ 便地求 得在 - f - 时刻 的 ， ， 和 ， 则从 - f -A t 时段 的位 移增量 为 5 维普资讯 f 血 争 { 幽 ， 争- 】 7 【 争 在 时 刻块 体的位移 全量 为 f “ ’ 曲 { J 曲， 1 8 l ’ 按上 述公式交错求解 ，直到各块体 位移和力收敛于平 衡状态或到达 某一循环次数 而停止 其 流程如图 8所示 加遣虚 速度 位移 力 图 8离散 元循 环 交错 求 解特性 鉴于本解法 为显示差分格式 ，根据 无阻尼单 自由度弹性系统 的差 分解 得知 ， 敛 ，必须使时 步满足 ≤ 2√ 2 ／ q T 考虑 到节理岩体 由若 干块质量 不同的，刚度 系数 相异的块体组成 ，为使 出满 足 欲使解能 收 1 9 1 9 式 ，取 ≤ 2 r n J n、 丽 2 0 因为系统的最小 固有 振动周期 总大 于其中任何一个单元 的最 小周 期值 ， 所 以在 离散元计算 中 ， 按式 2 1 取 值 ≤ ／ J 0 2 ra i n 而 2 1 若考虑 阻尼 ，应将 进一步降低 △ f ≤ - 兰 _ 、 丌 干 一 式 中 ，‰ 为系统最大圆频率 } 为相 应的阻尼 比。 为了扩大时步 ．提高效 率 ， ’ 常用虚拟 密度法 密度 比例法 。 一 2 2 取 m 代替 Ⅲ， “ 。 计算 2 3 式 中 ，Ⅳ为系统 中块体 单元敬 。 若将块体 质量 区分为惯性 质量 m ， 和重 力质量 m ，对 方 向的 动力平衡方 程有 6 ， 维普资讯 坍 ∑ D i 一仇 o 仇 ， 或写成 ∑ F ． 一 一 一 。’ r 2 4 由式 2 4 可见 ，在相 同外力作用下 ，各块体 会产生相同的加速度 ，但各块 体的重力仍 然具 有原来的作 用效 果 。虚拟 密度 法可用于求解准 静力问题 ，但不能 用于求 解动 力问题 5 离散单元法的应用 5 ． 1 离散元用于边坡稳 定性分析 “ 边 坡”是将 5 d个块体 置于斜面上 ，不断地 改变 斜面的倾角 ，使 。 边坡 ”失稳 。用离散 元 计算了 “ 边坡 ”失稳过程 见图 9 ，斜 面端 部的块 体超 出了计算 区域 ，故 不再列入 计算范 围 。 采用的计算参数 “ 2 ． 0 1 0 4 g ／ c m， 如一j ． 0 1 0 7 g ／ c m， 块体与斜面之间的摩擦系数 ， 。 一 0 ． 8 0 ，块 体上下面的摩擦 系数 0 ． 6 0 ，块 体竖直 面的摩擦 系数为 ， 3 0 ． 4 5 ，块体 间的凝 聚 力取 为 0 一 图 9边坡 失 豫过程 5 ． 2 圆柱体 自然塌 落- C u n d a ] l ，P ．A建立了 图 1 0 a 所示的 ，由 2 0个圆柱体组成 的计算模型 。用离散 元计算 了圆柱体 在 自重 作 用下 的塌 落失稳 见 图 1 0 b ． c ， d ， e 。在此基础上 ，魏 群 开 发了椭 圆离散 元 ，计算 了如图 1 1 所示的椭 圆块体 的 自然下落过 程 }王泳嘉。 改进 了 C u n d a l l ， P ．A的颗粒 离散 元 ，提出了线性变刚度和 非线性常刚度两 种模型 。 5 ． 3 爆 破对 围岩 的影响- 图 1 2表 示了爆炸后 岩体响 应的全过 程。离散元 很好地模 拟 围岩受到 冲击荷 载后逐 渐隆 起 ，到达最高点速度 为零 ，下落至最后 平衡位置 文献一 均 是采 用离散元分析块 体及颗料 材 料的动力响 应 5 ． 4 离散单 元法与其 他数 值方法耦合 7， 维普资讯 盒盒盛 魅 图囡 b 图 】 0 圆柱体的下落过程 粤篦 单 筚 翻 I I 翻 I 2 爆炸对围岩的影响 a { 】】 始状态}轴稳定状卷 离散单元法与其它数值方法 如边界单元法、有限单元法及差分法等耦合 ，拓宽了离 散元的应用范围。 L a r ig ， L T和 B r a d y ， B ．H将离散元与边界元耦合， 用边界元充分反映远场 完整性较好的岩体弹性变形 ，用离散元于近场，可以较地模拟该地 区复杂的变形，从而成功 地解决了洞室开挖问题 王泳嘉等给出了离散元与边界元耦合的理论分析及公式推导 1 ．1 离散元能很方便与有限元结合应用 ，与杆单元或粱单元耦合，很好地解决了锚杆支护与岩 石 的相 互作用 6 离散单元法的改进 在 高应力 的岩体或是岩 体埋藏 较深的情况 下，岩 体的变形 特征就 不仅仅取决 于节理 ，断 层等不连续面。而必须考虑岩块 自身的变形，即不仅要有模拟节理弱面的不连续单元，而且 还要有能模拟连续介质弹性应变的变形单元 可变形离散单元按变形程度分 为充分变形和简 单变形两种 。 6 ． I 充分 变形单元法 充分变形单元法是在刚性块体模型的基础上，将块体分鹪成几个常应变 的三角形 ，采用 拉格朗日显式和大应变方程求鹪三角形的变形， 而块体的变形假定为线性 根据 G a I 1 定理和 Wi l k i g s的大变形有限差分 法r z ，得三角形某一边速度 梯度平均值 为 见图 I 3 a 。 圭 ∑[ ] △ 2 5 一 - 式 中 ，一 分 别为块体单元 的体积和边敬 。 从而三 角形单 元的应变增量 A ％和转角 为 -8 ‘ 维普资讯 囝I 3 a 站 血速膻 ，站 点 * { b l 分 路耗 l ． 一 { 2 6 l 一 ～ L 消除了单元 的刚 体位移后 ，可求得三角形 的应 变和 转角 由 L a me公式可 求得应力增量 ， 一 口 d _ 4 -2 A e , J 其中 ，A ， 是 密常数 ， 一曲／[ I 4-v I 一2 v ] { 一 ／ [ 2 I ] ，E， 分 别为弹性模 量和泊松 比} A e ． z 为体积应变增量 。 求 得应力 ％后 ，可求 得作 用于某一结点上 的台力 ，从而 建立 该结 点的运动 方程 ，得 到该 结 点的速度和位移 ， l 钆 拈∑口 M M l m ． 一 4- 一 ’ 哪 ． r ． 2 7 ． l “ ． 出 J r ． l “ ． d t 式中 作用于结点 _Y上的合力 f 砰 为结点 所受的外荷载} ． 为积分路径I n 为积分路途 的法线方 向 } 为积 分路径 长度 }M 是 包国结点 的所有区域 见 图 1 3 b 。 充分变形离散单元法可 以模拟高应力 岩体 的变形 而简单变形块 体模型 介于刚性模 型 圈 I 4 刚体 ～弹 簧模 型 和 充分变形块体 模型之间 ， 允许 块体以简单 的方 式 自由变 形 ； 我 们 还 可以将离 散单 元法 与有限单元法耦 合起 来 “，用离散元计算块 体的 刚体 位移 ，而有限元 计算变形体的变形 。 6 ． 2 刚体有限单元 法 一离散单元 法的新发展 C u n d a l l ， P A的离散单元法 j ，有效地 解决 了不连续 介质的 大变形问题， 在此基础上， K a w a i 提出的刚体 一弹簧模型， 是求解 静态 问题 及非线性 问题 的高 效方法 。这种模 型 如图 】 4所示 将 岩体视 为 由若 干刚性块体和 其交界面上 的弹簧 系统组 成 ，构遣出 9 ‘ 维普资讯 了以刚性块 之间相对位 移反映整个岩体变形 的不连 续的位 移场 ， 可 很好地处理 固体 的滑移、 断裂及接触等 问题 。刚体有 限元以刚体位移 为基本未知 量 ，从而大大减 小了总刚度 矩阵的体 积和缩短 了最大 半带宽 ，并且改变了有限元 中应力的精度 低于位移这一特 ，使应 力的精度 不低于位移 ，从而有 利于 结构 的弹塑性分析 。它的理 论依据 是能量原理 ．和 有限元一 样 ，从 平衡条件 、几何条件 及物理 条件出发求解 ．从而刚性有 限元 的基 础是 可靠的 ，并在结构 的概 限分析及安 定分 析中得 以应 用一 一 划。 7 离散单元法 的评价及发展方 向 离散单元法是一 种动态分析方法 ，它能考虑块体或颗粒 受力后的运 动状态及 由此 导出的 受力 状态随时闻 的变化 ，以不连续体力 学的方法 研究单元之 间的相互作 用，多种类型 的单元 适应 不同问题的需要 。该 方法 原理 简单 ，结 论直 观明了 ，随 着今 后进一步 的改进 、完 善 ，其 生命 力将 更加旺盛 。 离散单元法与其它数值 方法 一样 ，存在 着一定的局限性 a ．主要参数的选取 。 文中谈到 ， 选 择不 同的 参数将 影响到离散元 计算的收 敛性 如刚度 、 质量阻尼和 刚度阻尼等 ，同时 ，参数 直接 关系到岩土 问题运 动过程 的正 确性 。 b ．计算时步 的确 定。目前确定计算时步是 以数学方 程的解收敛 为原 则的 ，却没有与真实 的时 间概 念联 系起 来 {采 用动 态松 驰方法求解 ，往往迭代 次数甚多 ，消耗 C P U时间较多 。 针对上述 存在的问题及研究离 散元 的现状 ，笔者 认为今后的工作 主要 在以 下几 个方面 a ．改进 迭代 方法 ，以减 小迭代次数 当然这 与参数的选 择有 关 {进行 离散元 计算参数的 灵敏度分析 。 b ． 在现有 的较 为成熟的二维离散元基 础上 ，进 行三维离 散单元法的研 究 。 c ．从实 际工 程的需要 出发 ，开 发能考虑渗流问题的 岩石稳定功 能的离散元 。 参考文献 1 Cu nd aU P． A、 A c o m ／ r mo de l f or s i m ul a t i n g p r o gr e s s i v e lar ge s c a l e m o m en i n bi o c k y r o c k s t c m ． Pr o c e - i n g 。 It he Symp o s i u m 。 It h e ] nt c r n a t i on a d So c i e t y 。 I Ro c k Me cha ni c *． 1 ，Pa r No ． Ⅱ一 8， 1 9 7l 2 C n d aI 1 P A．The me ns u r e me n t and an at y sis of a c c e l e m t i on J n r o ck s i o pe s ．Ph． D、Diss e r t at i o n．Un i ve r s i l y o f L0n d0nl m p er i a l Uog e 0 I Sc i en c e an d Te chn ol og y ． 1 97l 3 Ma l n i T．Cu n d a l l P A、C o mp a ct mo d e l i n g o fj 0 j n t e d r o o kma s s ， AD AO6l 6 5 8 ， 1 9 7 8 4 C u n d a l l P A-UDE C A g e n e r a l i z ed d i l i n c t e ] e me n t p r ogr a m f o r mo d e n g j o i n t e d r o c k ．R e p o r t P CAR-- l 一 80 P* t c r C n d a l l As s oc i a 1 c s．Eur op e an R,e ar e h Of f i c eU- S． Ar my M a r c h I 98 0 5 C u n d a l l P A．B AL L A P r ogr a m t o mod e l g r a n u h a r me d i a u n g t he d i s t i n c t e l e me n t me t h o d ．Da me s＆ Mo o r e Ad van c e d Te c hn o l oGr o up， Lo n do n．Apr i l 20t 1 97 8 ‘ 6 S t r a ck 0． D- L．Cu nd a l 1 ．P A- The dis t i n ct l e mc nl m e t h od as a t o 0 1 f or r s c ar c h i n gr a nu l ar m e di a ． p ar t l - Dep t ． o f C i v i l a nd M i n e r a l En B】 ne e r i ng， Un i v e r s i t y 。 I M i nn e s o t a， Na t i on a l Scie nc e Fou n da t i on- Nov c r mb e r 1 97 8 7 L o wl o J V- A hyb r i d di s t i n c t e l e mcu t c o r n p ut at i o n a]mod e ]f or t he h al f Di a ne ． M ． S． The s is． Un i v er t y 0 f Mi nne s ot a． 1 9 83 8 L ov i g，L T- A hy br i d c omi mt at i or m]mo de l f o r ex c av a t i on a n d s up p or t d e ．s i g n i n J 。 i n t ed m。 d j 丑 ． P h．d．Th e s i s 1 0 维普资讯 Uni v e r s i t y of Mi n ne s ot a， 1 984 9 L 0 r L T．B r a d y B H G．Ou n d t l P A．Hyb r i d d i s l J n C t [ me n t -- i o u n d a r y e l e me n t ．a n a l y s i s o f j o i n t ed r o c k ． I nt ．J． Ro Ck Me ch．M i n ． S c i ．a nd Ge ome ch． Ab s t r ．，23． 3 033l 2． 1 9 86 1 0 Kawa i T． Ne w d i s c r ete mo d e l s an d t he i r a pp li c atio n 1 0 s ei s mi c r e s p on s e a na l y s i s o f r uc t ur ， nu c l e a r En 一 ne tt i ng an d De ． s i gn，v o1 ． 4 B， 1 97 8，2D7 229 1 1 Kawa J Tt To i Y． A n w e l e men t i n r c I e a n a l ys i s o f p l a n s t r a i n pr o bl e ms ． S i s an Ke nk yu． 1 077．29 4 20 4 ～ 2 0 7 1 2 Ka wa iT．A n e w d ／ s c r e t emo e l f o r a n a l y s i so f s o l i dme c h a n i c s p r o b l e m．S e i s a n k e n k y n，l 9 7 7，2 9 { 20 8 ～ 2l 0 1 3 Cun d al J P A． Ada p t i v e dc r t s i t y s c al i n g f o r I j me-- e xp [ ict c al e nl a t i o t L s．pr o c e e n g s o f I he 4t h I nt ． o 0 n f ．on NIl r r 1 ． M e t h od i n Ge ome c h ani c s．Vot ． I，J un e I 982 1 4 魏 群 ．椭 圆离散 单元 法 ⋯一 种新 的颗 粒数 值模拟 方法 ．水 电与矿 业工 程 中的岩 石 力学 问题．北 京 ； 科学出版社 ．1 9 9 0 1 5 邢继 波 ．王 泳嘉 ．离 散元法 的改进 及其 在颗 粒介 质研 究中 的应用 。岩 土工 程学 报 ． 1 9 9 fl ，1 2 5 I 6 W i 1 1 i a ms J ．R．D r e t e e l e me n t an a l ys i s 0f g r an ul a r ma t e r i a l un d e r dyn a mi c l o ading． Nu mb e r i c al Me t ho d s i n Ge o m e c h an i c s t nns b l a l c k，1 98 8 I 7 Ta Ts u o Omac h i ． Dy na mi c f a i t ur e o f r o c k f i t l mo de l s s i mu t ed by t he di s l i n讲 e l e men t metho d． Nume r i c al Me t h od i n go o me c h anic s，I nn ．s br u ck． J 9 88 l 8 T． R． Bu t k ov i c h ，0 R． W a r [ o n，F E He u z e ． 1 n s i g h cs i n c r a z e r i n g p h e n me n do g y p r o v id e d b y d i s c r c z e e l - 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