计算金属矿床模块净价值的一般参数.doc

表14－1中的经济参数种类繁多，为建立价值模型时使用方便，需 要对各项成本进行分析归纳和单位换算，并标明归纳后每项成本的作用对象（矿或岩）。表14－2是根据表14－1中的成本参数归纳后的结果。 表14－1 计算金属矿床模块净价值的一般参数 矿物参数 可利用矿物地质品位％（g/t） 采矿回收率％ 选矿回收率％ 粗冶回收率 ％ 精冶回收率％ 成本参数 开采成本 穿孔/ t 矿岩 爆破/ t 矿岩 装载/ t 矿岩 运输/ t 车.小时 排土/ t 岩石 排水/ t 矿石 与开采有关的管理费用/ t 矿石 / t 岩石 选矿成本 矿石二次装运/ t 矿石 选矿/ t 矿石 精矿运输/ t 精矿 与选矿有关的管理费用/ t 矿石 / t 岩石 冶炼成本 粗冶/ t 精矿 与粗冶有关的管理费用/ t 矿石 / t 岩石 粗冶产品运输/ t 粗冶金属 精冶/ t 粗冶金属 销售成本/ t 精冶金属 金属售价/ t （/ g） 对于岩石块，只有成本没有收入，所以其净值（NVw ）为负数。 NVw ＝ -TwCw（14 - 10） 式中，Tw为岩石块重量；Cw为表14－2中作用于岩石块的所有单位 成本之和。 表14－2 用于建立价值模型的成本归类及作用对象 成本项岩石块矿石块 开采成本（/ t ）aH b cH d 选矿成本 选矿（/ t ）X 运输（/ t ）X 管理成本 / t 矿石X / t 岩石XX / t 金属X 精冶成本 / t 或g最终产品X 销售成本 / t 或g最终产品X 注1、由于每一块的开采成本与深度有关，所以开采成本 一般用深度H的线性函数表示； 2、“X”表示该项成本的作用对象。 对于矿石块，其净值为收入与成本之差，一般为正数，简化的计算公式为 NVo To pgr - ToCo（14 - 11） 式中，To为矿石块的重量；p、g和r分别为矿石块中矿物的售价、 平均品位和综合回收率；Co为表14－2中所有作用于矿石并换算成吨矿 成本的单位成本之和。 从以上的讨论可以看出，矿床价值模型是地质、成本与市场信息的 综合反映。 第四节 最终开采境界的计算机优化方法 建立了矿床价值模型，矿床中每一模块的净值变为已知。那么，确 定最终开采境界就变成一个在满足几何约束（即最大允许帮坡角）条件下找出使总开采价值达到最大的模块集合的问题。本节介绍求解这一问题的浮锥法与LG－图论法。 一 浮锥法 图14－20a是一个二维价值模型的示意图，图中每一模块中的数值为模块的净价值。除地表的模块外，由于几何约束条件的存在，要开采某一模块，就必须采出以该模块为顶点、以最大允许帮坡角为锥面倾角的倒锥内的所有模块。以图14－20a中第二行第四列上的模块（记为 B2,4）为例，如果左右帮最大允许帮坡角均为45。，且模块为正方形， 那么B2,4的开采只有当B1,3、B1,4和B1,5全被采出后才能实现。因此，在 确定是否开采某一模块时，首先要看该块的净价值是否是正值，若该块的净价值为负，那么最好不预开采，因为它的开采会减少境界的总值。但有时为了开采负块下面的正块，不得不将负块开采。另一方面，开采一个正块不一定能使境界的总价值增加，因为以该正块为顶点的倒锥中的负块很可能抵销正块的开采价值。因此，在考察是否开采某一块时， 7 6 5 4 3 3 2 2 1 1 -1 -1 2 -1 -1 -1 -1 -2 -2 -2 1 4 -2 -2 -3 -3 -3 2 3 5 -3 a 7 6 5 4 3 3 2 2 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -2 -2 -2 1 -2 -2 -3 -3 -3 2 3 5 -3 b 7 6 5 4 3 3 2 2 1 1 -1 -1 -1 -2 -2 -2 -2 -2 -3 -3 -3 2 -3 d c 7 6 5 4 3 3 2 2 1 1 -1 -1 -1 -2 -2 -2 -2 -2 -3 -3 -3 2 -3 4 5 3 1 5 3 e 7 6 5 4 3 3 2 2 1 1 -1 -1 -2 -2 -2 -2 -3 -3 -3 2 -3 5 f 7 6 5 4 3 3 2 2 1 1 -1 -2 -2 -2 -3 -3 -3 -3 2 7 6 5 4 3 3 2 2 1 1 -1 2 -1 -1 -1 -1 -2 1 4 -2 3 5 g 图14 － 20 浮锥法境界优化步骤 必须将倒锥的顶点置于该块的中心，以锥体的净价值（即落在锥体内包括顶点块的所有块的净价值之和）做为根据。这就是浮锥法的基本原理。以图14－20a为初始价值模型，浮锥法的算法步骤如下 第一步将位于地表的正模块B1,6采出。由于地表模块没有其它模块覆 盖，不需使用倒锥。开采B1,6后，价值模型变为图 14－20b； 第二步将倒锥的顶点从左至右依次置于第二层的正块上，找出落在锥内的模块并计算锥体价值。若锥体价值大于或等于零，则将锥体内的所有模块采出；否则，将倒锥的顶点“浮动”到下一正块。以B2,4为顶点的锥体价值为1，将锥体内的模块采去后， 价值模型变为图14 - 20c。以B2,5为顶点的锥体只包含 B2,5一块 ， 将其采去后，模型如图14 - 20d所示。 第三步逐层向下重复第二步，直至所有价值大于（或等于）零的锥体全部被采出。从图14 － 20d可以看出，以B3,3为顶点的锥体价 值为-1，故不予采出。以B3,4为顶点的锥体价值为0，采去后得 图14 －20e。这时以B3,3为顶点的锥体价值变为2，开采后得 图14 - 20f。虽然B3,5为正块，但 其锥体价值为-1，故不予采 出。 将浮锥法用于图14 -20a所示的价值模型得到的最终开采境界由上述 过程中所有被采出的块组成图14 - 20g，若按照此境界进行开采，开 采终了的采场现状如图14 - 20f 所示。境界总价值为6。若岩石与矿石 比重相等，境界平均剥采为75 1.4。虽然在这一简单算例中，应用 浮锥法确实得到总价值为最大的最终开采境界，但该方法是“准优化”算法，在某些情况下不能求出最佳境界，下面是两个反例。 [反例一] 遗漏盈利块集合 当倒锥的顶点位于某一正块时，锥体价值若为正数是由于锥中正块的价值足以抵销锥中负块的价值的结果，换言之，负块得以开采是由于正块的“支持”。当位于两个正块的锥体有重叠部分时，单独考察任一锥体时，锥体的价值可能为负；但当考察二锥的联合体时，联合体的总价值为正。结果，浮锥法遗漏了本可带来盈利的块的集合。图14-21即 为这种情形。根据前面的浮锥法，结论是最终境界只包括B1,2一个块， 因为以B3,3、B3,4和B3,5为顶点的锥体价值均为负数。但当考察三个锥体的联合体或三者中任意二者的联合体时，联合体的价值为正数。所以，最佳开采境界应为粗黑线所圈定的块的集合，总开采价值为6。 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -3 -3 8 3 10 -3 -3 图14－21 浮锥法反例一 [反例二] 开采非盈利块集合 1 2 3 4 5 1 -1 -1 -5 -1 -1 2 6 -6 6 3 5 a 位于某一正块的锥体值为正，可能是由于锥体内其它未被开采的正块的作用。如图14 －22所示，在考察B2,2和B2,4时，两锥均为负值，故 不予开采。当倒锥顶点移到B3,3时，锥体值为2。结果浮锥法给出的境 界为图14 - 22b所示块的集合，境界总值为2。因此，浮锥法使境界包 容了本不应该采的、具有负值的模块集合（即B2,3和B3,3）。本例中的 最优境界应是图14 － 22c，其总价值为3。 一些研究者对浮锥法进行了改进，试图克服上述问题。如Lemieux 浮锥法和Dowd浮锥法。改进浮锥法的基本思路是对锥体重叠部分进行某种处理，这里不予详细介绍，有兴趣的读者请参考书后的有关参考文献。 以上对于浮锥法的讨论是在二维空间进行的。在三维空间，浮锥法的基本方法和步骤与在二维空间相同，只是锥体变为三维锥体，确定落于锥体之内的模块转为复杂、费时。图14 －23a是一个三维倒锥体示意 图，将这样一个倒锥体的顶点置于价值模型中的正块时，找出落于其内的所有块在算法上较为困难。一个便于计算机编程、且较为节省计算 -1 -1 -5 -1 -1 6 -6 6 5 b -1 -1 -5 -1 -1 6 6 c 图14 -22 浮锥法反例二 时间的方法是“预制”一个足够大的“锥壳模板”。如图14 －23b所示 ，三维锥壳在X-Y面上的投影被离散化为与价值模型中模块的X、Y方 向上尺寸相等的二维网格，网格内的数字表示锥壳在网格中心的X、Y 坐标处距离顶点的垂直高度，这一高度不等于锥壳的真实高度，而是与真实高度最接近的台阶高度（台阶高度等于模型中的模块高度）的整数倍。模板的中心点与锥体的顶点相对应，其高度为 0；其余点的高度均 为正整数。例如，图14 － 23b中第6行第9列网格中的数字“4”表示锥 壳在该点距顶点的高度为4个台阶。锥壳模板在编程中可用一个二维数 组表示。 4 3 2 1 0 图14 - 23 三维倒锥体与锥壳模板 Z X Y a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4 4 4 2 44 4 3 3 3 4 4 3 4 3 2 2 2 3 4 4 4 3 2 2 1 2 2 3 4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 6 4 3 2 2 1 2 2 3 4 7 4 3 2 2 2 3 4 8 4 4 3 3 3 4 4 9 4 4 4 。 N Y ＋ 水平 i 1 水平 i 锥顶模块 Y N 。 水平 i 2 图 14 - 24 锥壳模板应用举例 Y N 。 水平 i 1 。 水平 i 顶板模块 有了预制的锥壳模板，在应用浮锥法时，将模板的中心网格置于模型中的正块Bo上，如果Bo上方某一模块Bi的台阶水平与 Bo 所在水平的 高差大于或等于与该模块的X、Y坐标相同的模板网格上的高度值, 则模 块Bi落在以Bo为顶点的倒锥体内；否则，落在倒锥体外。例如，在图14 - 24中，锥顶模块是第i水平的一个正块，上一个水平 （i1 ）上标 有Y 的那一块落于锥体内，因为该块所对应模板网格上的高度值为1 ，而两 个水平的高度差也为1；i1水平上标有N的那一块落于锥体外，因为两水平的高度差小于这一块所对应的模板上的高度值。同理，i2 水平上 标有Y的那一块落在锥体内，而标有N的那块落在锥体外。 应用锥壳模板不仅便于计算机编程，而且便于处理在不同方位具有不同帮坡角的情况。因为不论帮坡角如何变化，锥壳在模板某一网格上距顶点的准确垂直高度很容易用三角函数算出，求出准确高度后，将其用最接近的台阶高度的整数倍代替即可。 二 Lerchs__Grossmann图论法（LG图论法） LG图论法是具有严格数学逻辑的最终境界优化方法，只要给定价值模型，在任何情况下都可以求出总价值最大的最终开采境界。 一 基本概念 在图论法中，价值模型中的每一块用一节点表示，露天开采的几何 约束用一组弧表示。弧是从一个节点指向另一节点的有向线。例如，图14 - 25说明要想开采i水平上的那一节点所代表的块，就必须先采出i1 水平上那五个节点代表的5个块。为便于理解，以下叙述在二维空间进 行。 i1水平 i水平 图14 - 25 露天开采几何约束的图论表示 图论中的有向图是由一组弧连接起来的一组节点组成。图用G表示 ，图中节点i用xi表示。所有节点组成的集合称为节点集，记为X，即X ＝{xi}；图中从xk到xl的弧用akl或（xk，xl）表示，所有弧的集合称为弧 集，记为A ，即A{aij}；由节点集X和弧集A形成的图记为GX，A。 如果一个图GY,AY中的节点集Y和连接Y中节点的弧集AY分别是另一 个图GX,A中X和A的子集，那么，GY,AY称为 图GX,A的一个子图 。子图可能进一步分为更多的子图。 图14 - 26a 是由6个模块组成的价值模型，xi i 1,2,......,6表示第 i 块的位置，块中的数字为块的净价值。若模块为大小相等的正方体，最大允许帮坡角为45。，那么，模型的图论表示如图14 - 26b所示。图14 - 26c 和图14 - 26d 都是图14 -26b的子图。模型中模块的净价值在图中称为节点的权值。 -1 -1 -1 4 -2 2 －1 x1 x1 x4 x4 x3 x3 x2 x2 x6 x6 x5 x5 b a -1 -1 2 4 -2 x4 x3 x2 x6 c -1 -1 2 4 x4 x3 x6 d -1 -1 4 图14 - 26 方块模型与图和子图 从露天开采的角度，图14 - 26c构成一个可行的开采境界，因为它满 足几何约束条件，即从被开采节点出发引出的弧的末端的所有节点也属于被开采之列。子图14 - 26d不能形成可行开采境界，因为它不满足几 何约束条件。形成可行的开采境界的子图称为可行子图，也称为闭包。以闭包内的任一节点为始点的所有弧的终点节点也在闭包内。图14 - 26b中，x1，x2，x3和x5形成一个闭包；而x1、x2、x5不能形成闭包， 因为 以x5为始点的弧（x5、x3）的终点节点x3不在闭包内。闭包内诸节点的 权值之和称为闭包的权值。G中权值最大的闭包成为G的最大闭包。 树是一个没有闭合圈的图。图中存在闭合圈是指图中至少有一个这 样的节点，从该节点出发经过一系列的弧（不计弧的方向）能够回到出发点。图14 -26b不是树，因为从x6出发，经过弧x6,x2、 x5,x2 、x5,x3 和x6,x3可回到x6，形成一个闭合圈。图14 - 26c和图14 -26d都是树； 根是树中的特殊节点，一棵树中只能有一个根。 如图14 - 27所示，树中方向指向根的弧，即从弧的终端沿弧的指向 可以经过其它弧（其方向无关）追溯到树根的弧，称为M弧；树中方向背离根的弧，即从弧的终端追溯不到根的弧，称为P弧。将树中的一个弧xi,xj删去，树变为两部分，不包含根的那部分称为树的一个分支 。 在原树中假想删去弧xi,xj得到的分支是由弧xi,xj支撑着，由弧xi,xj 支撑的分支上诸节点的权值之和称为弧xi,xj的权值。在图14 - 27所示 的树中，由弧x3,x1支撑的分支节点只有x1 ，故该弧的权值为-1。由 x8,x5 支 撑的分支节点有x2、x5 、x6和x9 ，该弧的权值 为5。 权值 大于0的P弧称为强P弧，记为SP；权值小于或等于零的P弧称为弱P弧，记为WP；权值小于或等于零的M弧称为强M弧，记为SM；权值大于零的 M弧称为弱M弧，记为WM。图14 - 27是一个具有全部四种弧的树。 强P弧和强M弧总称为强弧，弱P弧和弱M弧总称为弱弧。强弧支撑的分支称为强分支，强分支上的节点称为强节点。从采矿的角度来看，强P弧支撑的分支（简称强P分支）上的节点符合开采顺序关系，而且总价值大于零，所以是开采的目标。虽然弱M分支的总价值大于零，但由于M弧指向树根，不符合开采顺序关系，故不能开采。由于弱P分支和强M分支的价值不为正，不是开采目标。 3 -1 -2 5 2 1 -1 -1 图14 - 27 具有各种弧的树 -4 x0 x2 x1 x5 x6 x4 x3 x8 x9 x7 WP WP WMM WP SP WP SM WP SP 根 二 树的正则化 正则树是一个没有不与根直接相连的强弧的树。正则化步骤如下 第一步在树中找到一条不与根直接相连的强弧xi,xj，若xi,xj是强P 弧，则将其删除，代之以x0,xj；若xi,xj是强M弧，则将其 删除，代之以x0,xi。（x0是树根，以下相同。）； 第二步重新计算第一步得到的新树中弧的权值，标注弧的种类。以 新树为基础，重复第一步。这一过程一直进行下去，直到找 不到不与根直接相连的强弧为止。 图14 - 27中树的正则化过程如图14 - 28所示。 3 -1 -2 5 2 1 -1 -1 a 去掉图14 - 27 中的弧x7,x4， 代之以弧xo,x7，得树T1 -4 x0 x2 x1 x5 x6 x4 x3 x8 x9 x7 WP WP WMM SP SP WP WP WP SP 根 3 -1 -2 5 2 1 -1 -1 b 去掉T1中的弧x8,x4， 代之以弧xo,x4，得树T2 -4 x0 x2 x1 x5 x6 x4 x3 x8 x9 x7 WP WP WMM SP SP WP WP WP SP 根 3 -1 -2 5 2 1 -1 -1 c 去掉T2中的弧x8,x5，代之以弧xo,x5， 得树T3，T3为正则树 -4 x0 x2 x1 x5 x6 x4 x3 x8 x9 x7 WP WP WMM SP SP WP WP WP WP 根 图14 - 28 树的正则化举例 三 图论法境界优化定理及算法 从前面的定义可知，最大闭包是权值最大的可行子图。从采矿角度来看，最大闭包是具有最大开采价值的开采境界。因此求最佳开采境界实质上就是在价值模型所对应的图中求最大闭包。 [定理] 若有向图G的正则树的强节点集合Y是G的闭包，则Y即为最 大闭包。证明从略。 依据上述定理求最终境界的图论算法如下 第一步依据最大允许帮坡角的几何约束，将价值模型转化为有向图G（图14- 29）； 第二步构筑图G的初始正则树T0（最简单的正则树是在图G下方加一 虚根x0，并将x0与G中的所有节点用P弧相连得到的树），根据弧的权值标明每一条弧的种类图14 - 30a； 第三步找出正则树的强节点集合Y图14 - 30a所示T0的强节点集合为 Y＝{x5，x6}，若Y是G的闭包，则Y为最大闭包，Y中诸节点 对应的块的集合构成最佳开采境界；否则，执行下一步； 第四步从G中找出这样的一条弧xi，xj，即xi在Y内、xj在Y外的弧， 并找出树中包含xi的强P分支的根点xr，xr是支撑强P分支的那 条弧上属于分支的那个端点（由于是正则树，该弧的另一端 点为树根x0。然后将弧x0，xr删除，代之以弧xi，xj，得一新树。重新标定新树中诸弧的种类； 第五步如果经过第四步得到的树不是正则树即存在不直接与根相连 的强弧，应用前面所述的正则化步骤，将树转变为正则树； 第六步如果新的正则树的强节点集合Y是图G的闭包，Y即为最大闭 包 ；否则重复第四和第五步，直到Y是G的闭包为止。 [例14 - 1] 二维价值模型如图14 - 29a所示，利用图论法求最佳境界。 解上述算法的第一、第二步完成后，初始正则树如图14 - 30a所示。 强节点集Y{x5，x6}不是G的闭包。从原图G中可以看出，Y内的x5与Y 外的x1相连，树中包含x5的分支只有一个节点，即x5本身，所以这一分 支的根点也是x5。应用算法第四步的规则，将x0，x5删除，代之以 x5，x1，初始树T0变为T1图14 - 30b。T1为正则树，所以不需执行算 法第五步。 x6 -4 -4 -4 10 10 -4 -4 x1 x1 x4 x4 x3 x3 x2 x2 x6 x5 x5 b a -4 -4 -4 10 图14 - 29 价值模型及其图论表述 10 T1的强节点集Y{x1，x5，x6}仍不是G的闭包。从G可以看出，Y内 的x5与Y外的x2相连。T1中包含x5的强P分支的根点为x1。所以将x0，x1 删除，代之以x5，x2，T1变为T2图14 - 30c。T2仍为正则树。 T2的强节点集Y{x1，x2，x5，x6}仍不是G的闭包。从G可以看出，Y内的x5与Y外的x3相连。T2中包含x5的强P分支的根点为x2。所以，将 （x0，x2删除，代之以x5，x3，得树T3图14 - 30d。T3仍为正则树。 T3的强节点集合Y{x6}仍不是G的闭包。从G可以看出，Y内的x6与Y外的x2相连，x6本身为其所在强P分支的根点。将x0，x6删除，代之 以x6，x2，得树T4图14 - 30e。因为x5，x2变为强弧，T4不是正则树 。将T4正则化得T5图14 - 30f。 T5的强节点集合Y{x1，x5，x3，x2，x6}仍不是G的闭包。从G可以 看出，Y内的x6与Y外的x4相连。T5中包含x6的强P分支的根点是x2。将 x0，x2删除，代之以x6，x4得T6图14 - 30g。T6为正则树。 T6强节点集合Y{x1，x5，x3，x2，x6，x4}是G的闭包，因此Y也是G的最大闭包，闭包权数为4。最佳开采境界由原模型中的全部6个块组成。如果应用浮锥法，本例的结果会是零境界，即境界不包含任何块。 小结 本章较详细地介绍了确定露天开采境界的手工方法和计算机优化方法。浮锥法和LG图论法在发达国家的应用最为广泛，这两种方法均基 于矿床的价值模型，所求得的最佳境界由被开采的块的集合组成。在某一水平的平面投影图上，境界线是由该水平上的一组方块的外轮廓线构成，呈阶梯状。因此，实践中需要对最终境界的优化解进行光滑处理并加入运输通道，使之成为实际可行的最终境界设计方案。在光滑处理时应使处理后的境界与处理前的优化解之间的偏差尽可能小，以保持最后结果的优越性。 x6 -4 x1 x4 x3 x2 x5 a T0 -4 -4 -4 10 10 x0 根 WP WP SP SP WP WP x6 -4 x1 x4 x3 x2 x5 b T1 -4 -4 -4 10 10 x0 根 WP WM WP SP SP WP x6 -4 x1 x4 x3 x2 x5 c T2 -4 -4 -4 10 10 x0 根 WP WP SP WM SP WP x6 -4 x1 x4 x3 x2 x5 d T3 -4 -4 -4 10 10 x0 根 WP WP WM WP SP WP x6 -4 x1 x4 x3 x2 x5 e T4 -4 -4 -4 10 10 x0 根 SP WP WM WM SP WP x6 -4 x1 x4 x3 x2 x5 f T5 g T6 -4 -4 -4 10 10 x0 根 SP SP WP WM WM WP x6 -4 x1 x4 x3 x2 x5 -4 -4 -4 10 10 x0 根 SP WP WP WM WM SP 图14 - 30 L-G图论法境界优化举例 最终境界的设计往往是在矿山投产前完成的，而最终境界的形成是在矿山开采十几年或几十年后。从本章的内容可知，最终境界是各生产工序的成本和产品价格的函数。在市场经济条件下，由于技术的进步、市场行情的变化等因素，矿山的生产成本和产品销售价格在矿山开采寿命期内会发生很大变化。因此，在矿山投产前设计的最优境界方案，在矿山开采一定时期后可能不再是最优方案，甚至可能是经济上很不合理的方案。鉴于此，在进行可行性研究和初步设计时，往往要针对不同的成本和产品价格设计出多个境界方案，用以分析最终境界随这些参数变化的灵敏度。同时，在矿山开采过程中，每隔几年应用当时的经济技术参数对最终境界进行重新优化是非常必要的。 33