复合加载模式下条形基础承载力下限分析.pdf

第3 7 卷第3 期中国矿业大学学报 V 0 1 ．3 7N o ．3 2 0 0 8 年5 月 J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g T e c h n o l o g y M a y2 0 0 8 复合加载模式下条形基础承载力下限分析 张其一，栾茂田，赵少飞，王忠涛 大连理工大学土木水利学院，辽宁大连1 1 6 0 2 4 摘要为了求解复合加载模式下条形基础的极限承载力，本文在塑性极限分析理论与M e y e r h o f “等效宽度”概念的基础上，构造了可变的静力许可应力场，推导了复合加裁模式下条形基础承载 力的下限解，给出了简易的承载力计算公式．并采用了通用有限元软件A B A Q U S 进行了数值验 证．结果表明，构造的静力许可应力场能够较好地反映地基的破坏模式；推导的基础承载力下限 解，能够较好地求解复合加载模式下地基的极限承载力；给出的承载力简易计算公式及下限解答 与A B A Q U S 数值分析结果较吻合． 关键词复合加载；等效宽度；极限承载力；条形基础；下限分析 中图分类号T U4 3 2文献标识码A文章编号1 0 0 0 - 1 9 6 4 2 0 0 8 0 3 0 3 6 4 0 5 L o w e r B o u n dL i m i tA n a l y s i so fB e a r i n gC a p a c i t yo f S t r i pF o o t i n gD u et oC o m b i n e dL o a d i n g Z H A N GQ i y i ，L U A NM a o - t i a n ，Z H A OS h a o f e i ，W A N GZ h o n g t a o S c h o o lo fC i v i la n dH y d r a u l i cE n g i n e e r i n g ，D a l i a nU n i v e r s i t yo fT e c h n o l o g y ，D a l i a n ，L i a o n i n g1 1 6 0 2 4 ，C h i n a A b s t r a c t B a s e do nt h ee f f e c t i v ew i d t ho fs t r i pf o o t i n ga n dt h ep l a s t i c1 i m i ta n a l y s i st h e o r y ，a v a r i a b l es t a t i cs t r e s sf i e l da n dal o w e rb o u n ds o l u t i o no fs t r i pf o o t i n gu n d e rc o m b i n e dl o a d i n g w e r ep r e s e n t e d ．As i m p l ef o r m u l ao ft h eu l t i m a t eb e a r i n gc a p a c i t yu n d e rc o m b i n e dl o a d i n gw a s o b t a i n e d ．T h ef i n i t ee l e m e n fm o d e l F E M s o f t w a r eA B A Q U Sw a su s e dt ov e r i f yt h er a t i o n a l i - t ya n da p p l i c a b i l i t yo ft h el o w e rb o u n ds o l u t i o na n dt h es i m p l ef o r m u l a ．T h er e s u l t ss h o wt h a t t h es t a t i cs t r e s sf i e l du n d e rc o m b i n e d1 0 a d i n gp r e d i c t st h ef a i l u r em e c h a n i s mo fs o i lf o u n d a t i o n p e r f e c t l y ．T h eb e a r i n gc a p a c i t yi sp r e d i c t e de q u a l l yw e l la n dt h er e s u l t sa r ec o i n c i d e n tw i t h t h o s eo fA B A Q U S ． K e yw o r d s c o m b i n e dl o a d i n g ；e f f e c t i v ew i d t h ；b e a r i n gc a p a c i t y ；s t r i pf o o t i n g ；l o w e rb o u n d l i m i ta n a l y s i s 建筑物基础下的地基往往同时受到水平荷载 H 、竖向荷载V 与力矩荷载M 的共同作用，此时地 基的受力模式称为复合加载模式．复合加载模式 下，地基极限承载力不仅与基础型式和地基土强度 有关，而且与荷载组合方式密切相关，承载力公式 也往往是在经典竖向极限承载力T e r z a g h i 公式的 基础上进行修正．M e y e r h o f 通过采用“等效宽度” 的概念，提出了竖向荷载和力矩荷载共同作用下的 理论计算公式，但没有考虑水平荷载的作用[ 1 ] ． G r e e n 给出了竖向荷载与水平荷载共同作用下的 理论计算公式，但公式没有考虑力矩荷载的作 用∞] ．栾茂田利用变分原理求解了条形基础在水平 荷载与竖向荷载共同作用下的地基极限承载 力[ 3 q ] ，该方法具有严密的理论基础，但求解过程非 常复杂．B r a n s b y 与R a n d o l p h 利用有限元法求得 了地基的破坏包络图[ 5 。6 ] ．所谓破坏包络图是指，水 收稿日期2 0 0 7 一0 8 2 2 基金项目国家自然科学基金项目 5 0 5 7 9 0 0 6 ，5 0 1 7 9 0 0 6 作者简介张其- - 1 9 7 7 一 ，男，山东省青州市人，工学博士。从事土工基本理论与数值分析、海洋土力学计算等方面的研究 E - m a i l Z h a n g q i y i 2 9 7 1 y a h o o ．c o r n ．c n T e l l0 4 1 1 8 1 3 1 3 4 5 0 万方数据 第3 期 张其一等复合加载模式下条形基础承载力下限分析3 6 5 平荷载、竖向荷载和力矩荷载共同作用下，地基达 到极限平衡状态时，各个荷载分量的组合在三维荷 载空间 V ，H ，M 中形成的一个外凸曲面． 在极限平衡原理与滑移线场理论的基础上，本 文提出了一种复合加载模式下地基破坏时的静力 许可应力场．通过求解该应力场所对应的应力平衡 方程，精确求得了复合加载模式下条形基础极限承 载力的下限解，并给出了简易的承载力计算公式． 为了进一步验证下限解的正确性与合理性，以及本 文给出的简易计算公式的适用性，本文利用有限元 软件A B A Q U S 对其进行了数值验证． 1 地基承载力下限分析 1 ．1 静力许可应力场的建立 由土体极限分析下限定理可知，在所有静力许 可的应力场中，真实的应力场对应的外荷载最 大[ 7 ] ．换言之，由静力许可应力场所确定的极限荷 载一定不大于真实的极限荷载． 针对宽度为B 的条形基础，本文做出如下假 定1 条形基础为完全刚性体，基础与地基接触 面在力矩荷载作用下可以分离，按照M e y e r h o f “等 效宽度”的概念来考虑接触面的等效宽度，等效宽 度范围内基础与地基为完全粗糙接触，如图1 所 示；2 地基材料为理想刚塑性体，满足相关联流 动法则，且服从M o h r - C o u l o m b 屈服准则；3 基 础等效宽度下的土体破坏时，破坏滑裂面角度按照 M o h r 圆确定． 一V L ．旦一一l I 鲨硝 a 基础实际宽度B b 基础等效宽度 1 2 e B 图1 复合加载模式下条形基础受力模式 F i g ．1 P a t t e r no fs t r i pf o o t i n gu n d e rc o m b i n e dl o a d i n g 根据土体极限分析下限定理，建立与图2 所示 破坏模式相适应的静力许可应力场．通过M o h r - C o u l o m b 破坏准则 r f a t a n9 所对应的M o - h r 圆，可求得基础下方主动破坏区的滑裂角度0 1 ， 如式 1 所示，其中M o h r 破坏圆如图3 所示． 0 1 一号土虿1a r c c 。s 百j H 丽i ， 1 式中0 1 为土体滑裂角度；妒为土体内摩擦角；H 为 基础形心上的水平荷载；y 为基础形心上的竖向荷 载；e 为竖向荷载偏心距；B 为基础宽度；R 为M o h r 破坏圆半径．其中，R 可以按照式 2 计算． R2 计赢t a n 9 器， 2 式中V 一为单一竖向荷载作用下条形基础的极 限承载力；c 为地基土体黏聚力． 肘心日 x1 F ’5 ＼Z 矿掣 图2复合加载模式下地基破坏模式 F i g ．2 F a i l u r em o d eo ff o u n d a t i o n u n d e rc o m b i n e dl o a d i n g r 。 C，，；瑟奏． 一一一万百 ～～- 粤．． 磊＼印 2 ∥＼I 研／l 扩 。c | t a n 争 ～P ～．- ．、叉毒匕上 图3V 与H 共同作用下的M o h r 破坏圆 F i g ．3 M o h rf a i l u r ec i r c l eu n d e rVa n dHl o a d i n g 1 ．2 土体平衡微分方程与极限平衡条件 土体中某一点达到塑性极限平衡状态时，该点 附近的应力状态一定满足平衡方程式 3 与极限平 衡条件 4 f 卺 鲁 o ， 【鲁 篝一y ，- 式中y 为地基土体的容重；吒，o 与r 。分别为平 面应变情况下破坏土体内的应力分量． 1 吼一p 1 s i n 卵o s2 ∞一面C ， JO y p 1 - - s i n 卿s2 口 一忐， ’ 【岛一户s i n 妒s i n2 口， 式中0 为滑移线场中最大主应力方向与X 坐标轴 的夹角嘲；P 一石三 半，如图3 所示． 1 ．3 土体极限平衡微分方程 将式 4 带入式 3 中，化简并整理得 髦 1 专s i n 卿s2 0 凳y P s i n 卿n 2 0 2 p s i n 妒s i n 2 0 - - 万O 歹0 c 。s2 口 一。， 5 筹 1 “n 弘。s2 0 髦x p s i n 倒n2 口 2 硝n 驴 筹s i n2 0 _ c o oo S 2 臼 y ， 万方数据 3 6 6中国矿业大学学报第3 7 卷 式 5 为一阶非线性偏微分方程，可以按照特征线 解法来求解阻1 0 ] ． 引入全微分方程关系式 6 『d p 一瓦8 p 一下瓦8 p d y ， k 器如 乳 邸’ 可以将偏微分方程 5 化简为两族滑移线方程 I r d y t a n 口一p ， d z ．{ d 夕一2 p t a n d 0 一 7 fv l 三乇 c o s 驴d y s i n ．9 0 d x ， 【c 0 S 妒 。。 l I d y t a n 口 P ， f 吡 ．{ d 夕 2 p t a n 妒d 口一 8 v I 生 C O S9 d y s i nc p c k r ， I C O S9 。。 式中 户 旦A 一罢，式 7 为口族滑移线方程，式 8 为卢族滑移线方程．式 7 和 8 需要采用数值 差分方法求解． 1 ．4 滑移线方程的求解 如图2 所示，滑移线方程的求解从基础外侧边 界1 5 开始，该边界的荷载分布状态已知．首先按照 C a u e h y 边值问题求解1 5 4 区域的应力分布；然后 按照R i e m a n n 边值问题求解1 4 3 区域的应力分 布；最后求解区域2 1 3 区域内的应力分布，利用1 2 边界上的应力条件可以求得基础上的极限荷载．通 过改变基础下约束变形土体的半径，．。与滑裂角度 0 1 ，可以求得不同力矩荷载 或偏心距 下条形基础 上的水平极限荷载与竖向极限荷载，最终可以求得 复合加载模式下地基的极限承载力． 由于三角弹性区2 1 3 连同条形基础一起运动， 本文求解过程中取条形基础与土体1 2 3 为隔离体， 通过求解隔离体的整体平衡方程来计算基础上的 极限荷载，如图4 所示． 图4 约束变形区受力分析 F i g ．4 S t r e s so ft h ec o n s t r a i n i n gd e f o r m a t i o na r e a 在隔离体1 2 3 中，破坏面1 3 ，2 3 上的正应力与 剪应力满足关系式 9 ，半径7 “ o 与滑裂角度0 1 间 关系满足公式 1 0 ． r p c o s2 1 9 0 一南j ㈩ 【r _ 学． 竺堕12eB1“0 ． 1 0 L l 一．～1 U J 通过求解R i e m a n n 问题可以求得1 3 边界上 的应力状态，通过口族滑移线方程可以求得2 3 边 界上的应力状态，将应力状态代入式 1 1 ～ 1 3 中，可以求得条形基础上的竖向荷载V 、水平荷载 H 与力矩荷载M ，并可以做出地基处于极限平衡 状态时的破坏包络图． 条形基础下约束变形土体1 2 3 的整体平衡方 程式为 F 一0 s i n2 9 f 牡 f d z 一 c 。s 2 P - 『户d y 一，户d y 一H ， 1 1 口，一02 s i n2 妒 ￡号d y fP d y 一 B 1 2 e 1 t 南a n o c 。s2 驴 - f 户d z _ f 户d z - - G y ， 1 2 三M 一0 2 s i n2 吐．『号c z 一2 e B d y 号y d z ] c o s2 驴l J2 认z 一2 e B d x P Y d y r l I 夕 z 一2 e B d x p y d yf d 3 一 B 2 1 - - 2 ∥赤一半 一M ． 1 3 在上述复合加载模式下条形基础极限承载力 下限解结果的基础上，本文给出了如下简易计算公 式 1 4 ． f H 孚[ 最 卜。一 连 1 ‘ { 丐刍1 一连 ] ， Ⅲ， 【V 。。一 c N 。 q N 。 丢徊N ， 1 - - 2 P B ， 万方数据 第3 期张其一等复合加载模式下条形基础承载力下限分析3 6 7 1 1 垒里翌Q Q 兰 [ Q Q ；Q Q Q 垒旦翌Q Q ] E 0 ．0 1 1 2 0 ．1 6 8 t a n9 0 ．0 1 2 ] 2 为地基破坏包络面修正系数；f ，9 分别为地基黏聚 力和内摩擦角；B 为条形基础宽度；e 为基础偏心 距． 2 地基承载力数值分析 2 ．1 A B A Q U S 数值模型 为了进一步验证下限解的合理性与适用性，本 文采用了通用有限元软件A B A Q U S 对复合加载 模式下条形基础极限承载力进行了数值计算．有限 元模型包括条形基础与黏性土地基，如图5 所示． 基础宽度取为B ，采用刚性单元 R 2 D 2 ；为了降低 数值计算过程中边界条件对计算结果的影响，黏性 土地基长度取为2 0 B ，深度取为1 0 B ，采用8 节点 二阶减缩积分矩形平面单元 C P E 8 R ；考虑到条 形基础底部与地基之间具有相当大的摩擦，接触面 问不发生剪切位移，本文假定刚性基础与黏性土地 基间为完全粗糙接触 t i e ．黏性土地基力学参数 弹性模量E 一5 ．8M P a ，泊松比取v 0 ．4 ，内聚力 为c 1 2k P a ，内摩擦角为9 2 4 。． 图5有限兀计算模型 F i g ．5 N u m e r i c a lm o d e lo ff i n i t e - e l e m e n tm e t h o d 采用荷载一位移控制法来求解地基的破坏包络 面．具体的求解过程包括以下2 个步骤 1 在距离条形基础中心点e B 处 P 为偏心距， 见图5 ，施加竖向荷载V 。； 2 在距离条形基础中心点￡B 处，在第一步的 基础上再施加水平位移U 。，直到相应的水平荷载 不再随水平位移的增加而变化，此时认为地基已经 达到极限平衡状态，求得的水平荷载H ；与竖向荷 载Ⅵ即为地基的极限承载力． 按照该荷载一位移控制法，逐渐改变基础中心 点处的荷载分量，最终可以求得破坏包络面上所有 的破坏点． 2 ．2 地基破坏模式数值分析 利用图5 所示有限元模型，针对偏心距为已一 0 ．2 、竖向荷载与水平荷载比值普一5 的情况进行 数值分析，当条形基础上的荷载分量分别达到极 限值时地基发生塑性破坏，破坏模式如图6 所示． a 等效塑性应变岛分布云图 b 等效臻性匣变岛等值线圈 图6 有限元计算的地基等效塑性应变e 。分布图 F i g ．6 D i s t r i b u t i o no fe pi ns o i lf o u n d a t i o nu n d e r c o m b i n e dl o a d i n gc a l c u l a t e db yA B A Q U S 破坏模式表明当基础在复合加载模式下，地 基破坏模式呈现明显的非对称性，不再是P r a n d t l 地基破坏模式，破坏区域包括3 部分基础下方的 三角形区域、基础端部的约束变形区域和基础外部 的三角形R a n k i n e 被动区域．将该塑性破坏模式与 图2 所示的地基破坏模式进行对比，结果表明按 照滑移线场理论建立的应力场所对应的破坏模式 与采用有限元数值计算所得到的地基破坏模式一 致，复合加载模式下按照图2 构造应力场是可行 的． 2 ．3 下限解答数值验证 针对e 0 ．0 与e 一0 ．2 这2 种偏心距情况，利 用A B A Q U S 有限元分析软件，对复合加载模式下 地基的极限承载力及其破坏模式进行了数值模拟， 通过计算所确定的水平荷载与竖向荷载平面内的 极限荷载包络图如图7 所示．通过对本文下限解， 本文计算公式 1 4 与A B A Q U S 数值解的对比与 分析，可以发现1 复合加载模式下，条形基础承 载力下限解所形成的包络图同有限元数值计算结 果比较吻合；2 复合加载模式下的条形基础，在 力矩荷载作用下基础的有效宽度 1 - - 2 e B 逐渐减 小，使得作用在条形基础上的水平荷载与竖向荷载 都呈逐渐减小的趋势；3 当作用在条形基础上的 力矩荷载 或偏心距 恒定时，基础上的水平荷载起 初随着竖向荷载的减小而增大；当水平荷载达到最 大值后，随着竖向荷载的进一步降低，水平荷载呈 逐渐减小趋势． 万方数据 3 6 8 中国矿业大学学报 第3 7 卷 6 蛊4 叠2 蠢黼⋯本文计算公式 ≮下限解、过，“””““ 0 5 ．01 0 ．01 5 ．02 0 ．02 5 ．03 0 ．0 y | B c 图7 本文理论解与数值解计算结果的对比 F i g ．7 C o m p a r i s o no fr e s u l t sb e t w e e nl o w e r - b o u n d s o l u t i o na n dt h es o l u t i o no fA B A Q U S 3 结论 1 利用极限平衡状态时的M o h r 破坏圆来确 定基础下破坏土体的滑裂角度岛，构造了满足静 力平衡方程与边界条件的可变应力场．本文静力许 可应力场所对应的地基破坏模式同A B A Q U S 数 值计算的破坏模式一致，验证了本文解答是地基极 限承载力的一个下限解． 2 复合加载模式下，本文静力许可应力场的 构造方法，很大程度上简化了下限解的求解过程． 3 复合加载模式下，文中给出的地基承载力 求解公式，考虑了水平荷载、竖向荷载与力矩荷载 的共同作用．将本文简易计算公式、A B A Q U S 数 值结果以及本文下限解答进行了对比，对比结果表 明本文简易计算公式能够较准确地求解地基极限 承载力．当基础上只有竖向荷载作用时，本文简易 计算公式退化为经典的T e r z a g h i 计算公式． 参考文献 E l i郑大同．地基极限承载力的计算E M - ] ．北京中国建 筑工业出版社，1 9 7 9 ． [ 2 - I G R E E NAP ．T h ep l a s t i cy i e l d i n go fm e t a lj u n c t i o n s d u et oc o m b i n e ds h e a ra n dp r e s s u r e [ J ] ．J o u r n a lo f t h eM e c h a n i c sa n dP h y s i c so fS o l i d s ，1 9 5 4 ，2 1 9 7 2 1 1 ． [ 3 ] 栾茂田，金崇磐，林皋．非均质地基上浅基础的极 限承载力[ J ] ．岩土工程学报，1 9 8 8 ，1 0 4 1 4 2 7 ． L U A NM a o - t i a n ，J I NC h o n g - p a n ，L I NG a o ．U l t i m a t eb e a r i n gc a p a c i t yo fs h a l l o wf o o t i n g so nn o n - h o m o g e n e o u ss o i lf o u n d a t i o n s [ J - ] ．C h i n e s eJ o u r n a lo f G e o t e c h n i c a tE n g i n e e r i n g ，1 9 8 8 ，1 0 4 1 4 2 7 ． [ 4 ] 栾茂田，金崇磐，林皋．土体稳定分析极限平衡法 改进及其应用[ J ] ．岩土工程学报，1 9 9 2 ，1 4 增 2 0 2 9 ． L U A NM a o - t i a n 。J I NC h o n g - p a n ，L I NG a o ．I m ‘ p r o v e dl i m i te q u i l i b r i u mm e t h o da n di t sa p p l i c a t i o n s t os t a b i l i t ya n a l y s i so fs o i lm a s s e s [ J ] ．C h i n e s eJ o u r n a lo fG e o t e e h n i c a lE n g i n e e r i n g ，1 9 9 2 ，1 4 S u p p 2 0 一2 9 ． [ 53 B R A N S B YMF ，R A N D O L P HMF ．C o m b i n e d l o a d i n go fs k i r t e df o u n d a t i o n s [ J ] ．G e o t e c h n i q u e ， 1 9 9 8 ，4 8 5 6 3 7 - 6 5 5 ． [ 6 ] B R A N S B YMF ，R A N D O L P HMF ．S h a l l o wf o u n - d a t i o n ss u b j e c tt oc o m b i n e dl o a d i n g s [ A ] ．C o m p u t e r M e t h o d sa n dA d v a n c e si nG e o m e c h a n i c s ，1 9 9 7 1 9 4 7 1 9 5 2 ． [ 7 ] 陈祖煜．建筑物体抗滑稳定分析中“潘家铮最大最小 原理”的证明[ J ] ．清华大学学报自然科学版，1 9 9 8 ， 3 8 1 1 - 4 ． C H E NZ u y u ．O nP a n ’Sp r i n c i p l e so fs o i la n dr o c k s t a b i l i t ya n a l y s i sE J ] ．J o u r n a lo fT s i n g h u aU n i v e r s i t y S c i e n c ea n dT e c h n o l o g y ，1 9 9 8 ，3 8 1 1 - 4 ． [ 8 3 沈珠江．散粒体极限平衡理论及其应用[ J ] ．水利学 报，1 9 6 2 3 2 2 3 6 ． S H E NZ h u - j i a n g ．T h el i m i te q u i l i b r i u mt h e o r ya n d i t sa p p l i c a t i o no fg r a n u l a rm a t e r i a l [ J ] ．J o u r n a lo f H y d r a l i cE n g i n e e r i n g ，1 9 6 2 3 2 2 3 6 ． [ 9 ] 龚晓南．土工计算机分析[ M ] ．北京中国建筑工业 出版社，2 0 0 0 ． [ 1 0 ] 顾慰慈．挡土墙土压力计算手册[ M ] ．北京中国 建材工业出版社，2 0 0 5 ． 责任编辑王继红 万方数据