顶部弹性嵌固、底部嵌固桩的稳定性分析.pdf

中国矿业大学学报990 6 0 6 中国矿业大学学报 JO U RNA L O F CH I NA U NI VERSI T Y O F M I NI NG t 为系数，N/ m 2；x 为纵坐标， m . 由W i n k l e r 地基假设，按“m ”法确定土层的抗力系数［4］，则土层的水平抗力q 为 q βb 1 b h -x y 0 ≤x ≤b h , 2 式中β为土层水平抗力系数的比例系数，N/ m 4；h 为桩的总长度，m ；b 1为计算宽 度，m ；b 为桩的埋入系数，无量纲；y 为桩在水平方向的挠度，m . f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 6 / 990 6 0 6 . h t m （第 2 ／7 页）2 0 10 -3-2 3 15 58 44 中国矿业大学学报990 6 0 6 图1 力学模型 Fi g . 1 M e c h a n i c a l m o d e l 采用能量方法求解桩竖向稳定问题是方便的［5］. 求解时，需先选取一适当的挠曲 函数，然后求得系统的内能和外力功，根据最小势能原理，借助变分可获得桩失稳时 的长细比. 对顶部弹性嵌固，底部嵌固的桩，其挠曲函数可表示为 3 式中Cn为待定系数，m ； 系统的总势能Π为桩的弯曲应变能、土的弹性变形能以及荷载势能之和 4 式中E为桩的弹性模量，Pa ；I 为惯性矩，m 4；P0为桩上端受到的竖直集中荷载， N；w （x ）为在x 截面处桩的轴向下移量，m . w （x ）用下式计算 5 根据最小势能原理有 6 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 6 / 990 6 0 6 . h t m （第 3／7 页）2 0 10 -3-2 3 15 58 44 中国矿业大学学报990 6 0 6 令 式中λ为桩的柔度（长细比）；A 为桩的横截面面积，m 2；ε1，ε2，ε3分别为桩 顶集中荷载P0，桩侧 埋入部分 矩形分布线载和上三角形分布线载在桩底端产生的应 变；ξ为无量纲深度. 将式（6 ）无量纲化并化简有 7 式中 式（3）若取为k 项和，则由式 7 可得关于Cn的k 元线性齐次方程组. 观察式（7 ）易 知方程组的系数矩阵为实对称矩阵，要使该方程组具有非零解，必须有方程组的系数 矩阵行列式Δ＝0 ，即 8 式中 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 6 / 990 6 0 6 . h t m （第 4／7 页）2 0 10 -3-2 3 15 58 44 中国矿业大学学报990 6 0 6 9 显然，当已知ε1，ε2，ε3，ξ和b 时，根据以上各式编制程序可求得λ的k 个正 实根的数值解. 其中的最小根即为临界柔度λc r . 如实际桩的长细比λ λc r ，桩将会竖向 失稳. 计算中，行列式求值采用全选主元G a u s s 消去法，方程求根采用单向搜索法和对分 法结合［6 ］. 2 数值解分析 为保证计算结果的正确性，Fi n，H i n ，M i n ，Ri n，T i n 的表达式利用M a p l e V符号演 算程序由计算机导出，并将其结果直接送入计算程序中. 计算时，ε1，ε2，ε3的取值 范围均为10 0 10 -6～1 0 0 0 10-6，分为10 个水平；ξ的取值范围为0 ～30 ，分为6 0 个 水平；b 的取值范围为0 ～1，分为2 1个水平. 通过大量的试算，发现λc r除与ε1，ε2， ε3，ξ和b 有关外，还与k 值的大小有关；当k ξb / 2 8 时，计算结果才稳定不变. 实际 求解时，取k ≥ξb / 2 12 . 通过大量的计算与分析，桩的临界长细比λc r与ε1，ε2，ε3，b 和ξ的关系可由 下式表示 10 式中 g 1, g2, g3为桩侧土抗力对桩的临界长细比的影响函数，它们与θ b ξ的关系见图 2 ，部分计算结果见表1. f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 6 / 990 6 0 6 . h t m （第 5／7 页）2 0 10 -3-2 3 15 58 44 中国矿业大学学报990 6 0 6 图2 g 1～g3与θ的关系 Fi g . 2 Cu r v e s o f g 1～g3 v s θ 表1 g 1～g3的部分计算结果 T a b l e 1 Ca l c u l a t e d r e s u l t s o f g 1～g3 θ g 1 g 2 g 3 0 . 01. 0 0 01. 0 0 01. 0 0 0 1. 41. 0 191. 0 2 11. 0 2 0 1. 81. 0 6 41. 0 7 01. 0 6 9 2 . 21. 16 01. 18 11. 17 6 2 . 61. 32 01. 37 81. 36 4 3. 01. 5181. 6 6 61. 6 2 7 4. 01. 9432 . 3512 . 2 48 5. 02 . 37 22 . 98 82 . 8 6 7 6 . 02 . 8 443. 8 0 13. 6 44 7 . 03. 3134. 47 44. 390 8 . 03. 7 8 65. 2 405. 2 2 8 当不考虑桩侧土的弹性抗力时（ξ 0 ）；或当桩的埋入深度为0 时（b 0 ），均有 g 1 g2 g3 1. 0 0 0 ，易于证明, 此时式（10 ）即为该种情况下的理论解［7 ］. θ≤8 . 0 时, g1～ g 3的部分计算结果见表1; θ 8 . 0 时, g1～g3与θ的关系用下式表示误差小于5. g 1 0 . 47 3 3θ , 11 g 2 0 . 8 0 2 7 θ-1. 340 7 , 12 g 3 0 . 8 8 6 3θ-2 . 0 0 3 2 . 13 值得提出的是 ε1，ε2，ε3的值以压应变为正, 拉应变为负, 其值视具体情况可 正、可负. 因此，不管桩顶受拉还是受压，不管桩侧是受正摩阻力作用还是受负摩阻力 作用，或桩侧同时受有正、负摩阻力的作用，均可应用式（10 ）计算失稳的临界长细 比. 3 算例 外径D 0 . 3 m ，h 2 0 m 的圆形混凝土桩竖直穿过b h 15 m 的土层，下端与基岩 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 6 / 990 6 0 6 . h t m （第 6 ／7 页）2 0 10 -3-2 3 15 58 44 中国矿业大学学报990 6 0 6 嵌固，上端为弹性嵌固, 桩的上端受P0 42 4 k N作用. 取b 1 D ，E 30 G Pa , 设β 2 M N/ m 4, 试验算下述情况下桩的稳定性 1 不考虑土的抗力时；2 考虑土的抗力时；3 桩侧受正摩阻力p -4 2 40 x 作用时；4 桩侧受负摩阻力p 42 40 0 -2 8 2 7 x 作用时. 易算得 b 0 . 7 5，ξ 11. 0 ，λ 2 6 6 . 6 ，ε1 2 0 0 10 -6, 对情况1 有 g 1 g2 g3 1. 0 0 0 ; 对 于情况2 ～4 ，由式 11 ～ 13 得 g 1 3. 90 4 7 ，g2 5. 2 8 1 6 ，g3 5. 30 8 8 . 对于情况1 和 2 有ε2 0 ，ε3 0 ；对情况3 有 ε2 0 , ε3 -2 2 510 -6；对情况4 有 ε2 30 0 10- 6，ε3 -150 10-6. 将上述计算结果代入式 10 有对情况1 ，λc r 2 2 2 . 14 λ；对情况3 ，λc r 52 5. 0 λ；对情况4 ，λc r 496 . 45 λ. 可见，桩侧土的 抗力对λc r有重要影响，当b ξ较大时，摩阻力对λc r的影响甚小. 4 结论 经推导与数值计算, 得到了顶部弹性嵌固、底部嵌固桩在顶部集中荷载和桩侧摩阻 力作用下的竖向稳定性问题的数值解，得到了桩的临界长细比与3种荷载（桩顶集中荷 载、沿深度均匀分布和三角形分布的荷载）、土体水平抗力系数的比例系数、桩的埋 入深度间的关系. 所给出的近似计算公式有较高的精度，可供工程设计参考，用该式可 方便地进行稳定性验算. 作者简介杨维好，男，196 6 年生，工学博士，副教授 作者单位杨维好 王衍森 （中国矿业大学建筑工程学院 江苏徐州 2 2 10 0 8 ） 参考文献 1 中国建筑科学研究院. JG J94-94. 建筑桩基设计规范. 北京中国建筑工业出版社， 1995. 57 ～59 2 赵明华, 王季柏. 基桩计入摩阻力的屈曲分析. 岩土工程学报, 1996 , 18 3 8 7 ～90 3 彭锡鼎. 考虑桩侧土壤弹性抗力时桩的临界荷载计算. 土木工程学报，1996 , 2 9 （5）36 ～43 4 桩基工程手册编委会. 桩基工程手册. 北京中国建筑工业出版社, 1995. 2 36 ～2 8 1 5 费志中. 弹性稳定. 北京 煤炭工业出版社, 198 9. 53～99 6 徐士良. FO RT RA N常用算法程序集. 北京 清华大学出版社, 1995. 113～119 7 罗克 R J, 杨 W C. 应力应变公式. 北京 中国建筑工业出版社, 198 5. 2 50 ～350 收稿日期1999－0 7 －13 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 6 / 990 6 0 6 . h t m （第 7 ／7 页）2 0 10 -3-2 3 15 58 44