基于叠加模型的橡胶元件动态特性分析_李思杰.pdf

振 动 与 冲 击 第 39 卷第 8 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol.39 No. 8 2020 基金项目 国家自然科学基金面上项目 51575458;中铁二院工程集团 有限责任公司科学技术研究计划资助项目KYY201705317 -20 收稿日期 2018 -11 -15 修改稿收到日期2019 -01 -17 第一作者 李思杰 男,硕士生,1995 年生 通信作者 马卫华 男,副研究员,博士生导师,1979 年生 基于叠加模型的橡胶元件动态特性分析 李思杰, 罗世辉, 王 波, 马卫华 西南交通大学 牵引动力国家重点实验室,成都 610031 摘 要基于模型叠加理论,针对橡胶元件的动态特性开展研究。 采用时间步长法,在 MATLAB 中建立了一维 多参数橡胶叠加本构模型。 模型由弹性单元、黏弹单元和弹塑单元并联构成。 黏弹单元采用 Able 黏壶,用于表征橡胶元 件的频率依赖性;弹塑单元采用多线性理想弹塑模型,用于表征橡胶元件的振幅依赖性。 对比测试结果表明在计算谐波 激励下橡胶弹簧的受力时,力位移迟滞曲线的计算结果与测试数据能很好地吻合,刚度频率振幅依赖性和阻尼频率依 赖性能被较好的表征。 在计算随机激励下橡胶隔振器的受力时,高频激励下的计算结果与测试数据能较好地吻合,低频 激励下有一定程度的偏差,但计算精度在工程可接受范围之内。 提出的叠加模型能较好的表征橡胶元件的动态特性,能 够提高动力学模型的准确性。 关键词 动态特性;叠加模型;Able 黏壶;多线性理想弹塑模型 中图分类号 TH212;TH213. 3 文献标志码 A DOI10. 13465/ j. cnki. jvs. 2020. 08. 038 Dynamic characteristics analysis of rubber components based on an overlay model LI Sijie, LUO Shihui, WANG Bo, MA Weihua State Key Laboratory of Traction Power, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China Abstract Based on the theory of an overlay model, the dynamic characteristics of rubber components were studied. A one-dimensional multi-parameter rubber constitutive model was established by using the time-step in MATLAB. The model consists of elastic element, viscoelastic element, and elastoplastic element in parallel.The viscoelastic element uses Abel dashpot to characterize the frequency dependence of rubber components. The elastoplastic element uses a multilinear perfectly elastoplastic model to characterize the amplitude dependence of rubber components. The comparison with the test results show that when the force of rubber spring based on overlay model was calculated with the harmonic excitation, the calculation results of the force-displacement hysteresis curves agree with the test results well, and the stiffness frequency amplitude dependence and damping frequency dependence were well characterized. When the force of the rubber isolator based on the overlay model was calculated with the random excitation, the calculation results of the model can match the test data with the high frequency excitation and has a certain degree of deviation with the low frequency excitation, but the calculation accuracy is within the acceptable range of engineering. The overlay model proposed can better characterize the dynamic characteristics of rubber components and improve the accuracy of the dynamic model. Key words dynamic characteristics; overlay model; Abel dashpot; multilinear perfectly elastoplastic model 随着橡胶工业的飞速发展,橡胶材料在许多工程领 域发挥着重要的作用。 橡胶具有较高的非线性,要预测 其动态行为,需要对橡胶材料的动态特性有足够的认知。 因此,国内外众多学者对橡胶材料展开了深入研究。 Nashif 等[1]指出橡胶的弹性模量随着激励频率的 增加而增加,即表现出频率依赖性。 Payne 等[2]提出橡 胶的弹性模量随着激励振幅的增加而减小,这种现象 被称作 Payne 效应,即振幅依赖性。 早期学者使用了弹 簧和黏壶呈现出了橡胶的频率依赖性,这种由弹簧元 件和黏壶元件组成的简单模型称为整数微分型黏弹本 构模型,又称机械模型[3],后来又形成了其他的微分型 黏弹模型,其主要代表有Maxwell 模型、3 参数 Maxwell 模型、Kelvin-Voigt 模型、Wiechert 模型等[4]。 BERG[5] 提出了一种摩擦模型用于表征橡胶的振幅依赖性,他 ChaoXing 将模型与三参数 Maxwell 模型并联,形成了一维的三力 叠加模型。 Sjberg 等[6]指出一个三参数麦克斯韦模 型,通常会高估高频时的刚度,但会低估高频时的阻 尼。 如果采用由多个弹簧和黏壶元件更为准确的微分 本构模型,势必增加计算难度。 Gemant[7]首先提出了 分数阶微分模型,分数阶微分模型全局相关性好,能较 好的体现历史依赖性,基于分数阶微分的 Abel 黏壶能 够使用更少的参数更好的表征频率依赖性。 文中叠加模型是将 BERG 三力叠加模型中的黏弹 单元改为基于分数阶微分模型的 Able 黏壶;由于 BERG 摩擦模型参数的物理意义并不明确,因此将摩擦 模型改为物理意义更加明确的多线性理想弹塑单元, 得到表征橡胶弹簧频率和振幅依赖性的叠加模型,在 谐波和随机激励下,采用 MATLAB 计算该叠加模型的 迟滞曲线、动态刚度和阻尼以及受力,并与 Berg 和 Sjberg 等研究中的测试数据进行比较。 1 橡胶叠加本构模型 弹性单元、黏弹单元和弹塑单元并联构成叠加模 型,模型如图 1 所示。 该叠加模型的应力满足线性叠 加关系,即 σ σe σv σp1 式中,σe,σv和 σp分别为弹性单元、黏弹单元和塑性单 元所产生的应力。 图 1 叠加模型 Fig. 1 The overlay model 1. 1 弹性单元 弹性单元由一个弹簧元件构成,本构方程为 σ Eε2 式中σ 为材料的应力;ε 为材料的应变;E 为拉压弹性 模量。 1. 2 黏弹单元 橡胶材料的黏弹性常使用整数阶微分型黏弹本 构模型表示,通过将黏壶元件与弹簧元件串联或并联 构成,其主要代表有 Maxwell 模型、3 参数 Maxwell 模 型、Kelvin-Voigt 模型、Wiechert 模型等,如图 2 所示。 其模型在越来越精确的同时,其模型的复杂程度也在 增加。 图 2 整数阶微分型黏弹本构模型 Fig. 2 Integral differential viscoelastic constitutive model 在保证模型计算结果与试验结果的一致性的前提 下,为了使用更少的参数描述模型,一些学者提出了分 数阶微积分模型。 分数阶微积分与整数阶微积分相比 较,分数阶模型可以用较少的参数表征复杂的物理现 象,同时在计算复杂物理力学问题时,分数阶模型参数 的物理意义更明确,表述更方便[8]。 基于分数阶微分 的 Able 黏壶可以单独使用作为黏弹本构模型,进行推 广后,可将整数阶微分型黏弹本构模型中的黏壶元件 替换为 Abel 黏壶形成相对应的分数阶微分型黏弹本构 模型[9]。 黏壶元件是理想黏性流体模型,为整数阶微分型 黏弹本构模型,遵循牛顿流体定律,黏壶元件的本构模 型为 σ η dε dt 3 式中σ 为材料的应力;ε 为材料的应变;η 为黏滞系 数;t 为时间。 Abel 黏壶是介于理想黏性流体和理想弹性体之间 的一种模型,为分数阶微分本构模型,即[10] σ ηD􀆠ε4 式中σ 为材料的应力;ε 为材料的应变;η 为黏滞系 数;t 为时间;D􀆠为分数阶微分;􀆠 为分数阶微分的阶数 0≤􀆠≤1。 实验表明[11],分数阶微分型黏弹本构模型能够更 好的描述黏弹材料的动力学行为。 之后, Schiessel 等[12]推广了分数阶微分型黏弹本构模型,将弹簧元件 也替换为 Abel 黏壶,当阶数 􀆠 0 时,即为弹簧元件,当 阶数 􀆠 1 时,即为黏壶元件。 在拟合实验参数时发 现,两个或多个 Abel 黏壶并联时,某些 Abel 黏壶参数 的改变几乎不会影响拟合效果,参数的灵敏度极低[13], 只有适量的使用 Able 黏壶才能保证模型有足够的灵敏 性。 本文将 Abel 黏壶单独使用作为黏弹单元提供黏弹 力,以保证参数有足够的灵敏度。 1. 3 弹塑单元 橡胶材料不仅表现出频率依赖性,同时还表现出 振幅依赖性。 振幅依赖性可由弹塑单元表征,图 3 为 562第 8 期 李思杰等 基于叠加模型的橡胶元件动态特性分析 ChaoXing 几种弹塑模型。 图 3a的理想简化模型可分为两个 阶段在弹性阶段,应力随着应变的增加而增加;而在 塑性阶段,当应力达到屈服应力时,应力将不再发生 变化,但理想简化模型并不能准确的描述弹塑模型; 而图 3b线性强化弹塑性模型相当于在理想弹塑性 模型上并联一个弹簧元件,由于文中的叠加模型有弹 性单元,因此采用线性强化弹塑性模型是没有必 要的。 Gracia 等[14]认为任何多线性曲线都可以分解为若 干双线性曲线来模拟,因此可以采用多个理想弹塑性 模型双线性曲线模型来模拟橡胶材料的弹塑特性。 如果使用的理想弹塑性模型过多,虽然模拟结果会更 准确,但所需的参数更多,计算难度更大;采用三个理 想弹塑性模型就能达到足够的精度,因此本文采用由 三个理想弹塑模型构成的三线性理想弹塑模型。 图 3 典型弹塑应力应变迟滞曲线 Fig. 3 Stress-strain hysteresis curve of typical elastoplastic 理想弹塑性模型本构方程为 σ Eε,ε εs 5 式中σ 为材料的应力;ε 为材料的应变;E 为拉压弹性 模量;εs为材料的屈服应变。 1. 4 单元动态特性分析 橡胶材料的研究主要集中在对橡胶静态特性和动 态特性的研究,动态特性指滞后特性、力学损耗振幅依 赖性和频率依赖性等[15]。 一般用在谐波激励下的 应力 - 应变曲线来表现其动态特性。 弹簧元件对于应力和应变都是瞬间响应,对突加 载荷,一旦加载,弹簧元件立即变形,一旦卸载,立即恢 复,其应力和应变都不会随时间的变化而变化。 同时,由式2本构模型可知弹簧元件应力不受应 变频率和振幅影响,只与此时受到的应变大小有关,其 谐波激励的应力 - 应变曲线为一条有斜率直线,其斜 率即为弹性单元的弹性模量。 黏弹单元由一个 Able 黏壶构成,其本质为一个分 数阶微分方程,在受到正弦激励 ε ε0sin wt 时,根据复 模量的计算方法[16],得到 Able 黏壶应变比应力滞后 􀆠π/2,Able 黏壶应力振幅为 ηε0ω􀆠,可得其应力为 σ ηε0ω􀆠sinωtn 􀆠π 2 6 式中􀆠 为 Able 黏壶分数阶微分阶数;ω 为激励的角速 度;η 为 Able 黏壶的黏滞系数;ε0为正弦激励的振幅。 从式6可知,􀆠 取值越大应变滞后应力越多,而 其滞后程度不受谐波激励频率和振幅的影响,但应力 振幅会受到各个变量影响。 当 􀆠 的取值越接近1 时,表 现出的黏性特性越明显。 当 􀆠 1 时,变成牛顿黏壶。 当 􀆠 的取值越接近 0 时,表现出的黏性特性越不明显。 当 􀆠 0 时,变成弹簧元件。 图4 为其他变量取单位值, 􀆠 取不同值时的应力时间曲线和应力 - 应变迟滞曲线, 􀆠 越大,应变滞后越多,椭圆面积越大,说明其损耗 越大。 图 4 Able 黏壶动态特性图 Fig. 4 Dynamic characteristics of Abel dashpot 弹塑单元由三个理想弹塑性模型组成,特性和弹 性单元类似,对于应力和应变都是瞬间响应,且同样不 受谐波激励频率的影响,但弹塑单元的不同点在于在 应力达到其屈服应力后,应力值将不会变化,也正是这 点使得模型体现出了振幅依赖性。 在谐波激励下,在 振幅小于单元最小屈服应变时应力 - 应变曲线为一条 直线,在振幅大于单元最小屈服应变时应力 - 应变曲 线为一个中心对称的封闭多边形。 2 模型实现及参数识别 2. 1 分数阶微积分 分数阶微积分有 Riemann-Liouville 定义、Grnwald- Letnikov 定义和 Caputo 定义,文中使用的是 Riemann- Liouville 定义下的分数阶微分,Riemann-Liouville 分数 阶微分由 Riemann-Liouville 分数阶积分推广而来。 fx 为定义在区间0, ∞ 上的函数,对于任意的 复数 􀆠 0,分数阶 Riemann-Liouville 积分定义为[17] D-􀆠fx 1 Γ􀆠∫ x 0 x - t 􀆠-1fxdt 7 式中,Γ􀆠 为 Gamma 函数。 662振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing 推广得到 Riemann-Liouville 分数阶微分,即为 D􀆠fx 1 Γn - 􀆠 dn dtn∫ x 0 x - t n-􀆠-1fxdt 8 式中,0 ≤ 􀆠 n ≤ 􀆠 1,n ∈ N。 上述式8 可简化为 D􀆠fx 1 Γ1 - 􀆠 d dt∫ x 0 x - t -􀆠fxdt 9 在MATLAB中 进 行 计 算 时,使 用 Riemann-Liouville 分数阶微分的数值计算方法进行求 解,其公式为[18] D􀆠xn≈ Δt-􀆠 Γ - 􀆠∑ n-1 j 0 Γj - 􀆠 Γj 1xn-j,0 􀆠 1 10 式中Δt 为时间积分步长;下标 n 为第 n 个积分步长;xn 为 tn瞬时的位移,tn为 tn nΔt 瞬时。 2. 2 模型实现 应该注意到的是,在前面使用的方程都是关于应 变与应力之间的关系,为方便进行实验拟合,在计算橡 胶元件的受力时,需要将应力与应变的关系转变为力 与位移之间的关系。代入公式σ F/ S和ε x/ L,将应 力与应变的关系转变为力与位移的关系,可将系数 E 和 η 转变为 Ke和 C。 在时域中采用时间 步长法计算弹性单元、黏弹 单元和弹塑单元的受力。将位移激振加载时间 T 进行 n 等分,根据每个时刻橡胶的形变量求出每个时刻 tn的 Fen,Fvn 和 Fpn。 弹性单元由一个弹簧元件构成,力可以表示为 Fen Kexn11 式中Ke为弹性刚度;xn 为 tn瞬时橡胶的形变。 黏弹单元由一个 Able 黏壶构成,其本质为一个分 数阶微分方程,对于谐波激励,根据式6,黏弹力可表 示为 Fvn Cx0ω􀆠sinωtn 􀆠π 2 12 式中C 为黏滞力系数;x0为谐波激励的振幅;ω 为激励 的角速度;􀆠 为分数阶微分阶数,0 􀆠 1。 对 于 非 谐 波 激 励,根 据 式 10所 示 Riemann-Liouville 分数阶微分的数值计算方法,黏弹力 可表示为 Fvn CD􀆠xn ≈ CΔt-􀆠 Γ - 􀆠∑ n-1 j 0 Γj - 􀆠 Γj 1xn-j 13 式中0 􀆠 xn 时 Fpn 1 Fpn Δx xs1 - μ ΔxFs - Fpn14 当 xn 1 xn 时 Fpn 1 Fpn Δx xs1 μ ΔxFs Fpn15 式中xs为达到屈服力所需的位移;Fs为屈服力; μn Fpn / Fs;Δx xn 1 - xn;初始时刻 Fp1 和 x1 都为零。 将每个时刻的每个单元受力叠加,可以得到一维 叠加模型,即 F Fe Fv Fp16 式中,Fe,Fv和 Fp分别为弹性单元、黏弹单元和塑性单 元所产生的力。 在 MATLAB 中绘制大振幅谐波激励下各单元稳定 时的力 - 位移曲线示意图,如图 5 所示。 图 5 叠加模型力 - 位移曲线 Fig. 5 Force-displacement curve of overlay model 2. 3 参数识别 在该叠加模型中,需要确定的相关参数有 Ke、C、􀆠、 F1s、x1s、F2s、x2s、F3s、x3s,参数具体意义如表 1 所示。 通 常,参数可通过如图 6 所示静态加载和动态加载情况 下的力 - 位移迟滞特性曲线实验数据获得,图中 K1p F1s/ x1s、K2p F2s/ x2s、K3p F3s/ x3s。 在低频激励下获得 橡胶元件的力 - 位移迟滞特性曲线,此时由于激励频 率较低,相当于静态加载,黏弹单元产生的力可忽略不 计,相当于将弹性单元和弹塑单元叠加,用于确定 Ke、 F1s、x1s、F2s、x2s、F3s、x3s。 首先,在大振幅下,弹塑单元 的三个理想弹塑模型都已达到屈服极限,可以确定弹 762第 8 期 李思杰等 基于叠加模型的橡胶元件动态特性分析 ChaoXing 性单元的弹性刚度 Ke;然后,通过减小振幅来确定 F1s、 x1s、F2s、x2s、F3s、x3s,共需要选取三组小振幅下的力 - 位 移迟滞特性曲线求得。 最后,在中振幅中高频激励下 获得橡胶弹性元件的力 - 位移迟滞曲线,所得曲线即 为动态加载迟滞曲线,带入已确定的弹性单元和弹塑 单元参数,再应用非线性最小二乘法,确定 C、􀆠 两个 参数。 图 6 小振幅静态加载和中振幅动态加载图 Fig. 6 Small amplitude static loading and medium amplitude dynamic loading diagrams 3 模型对比验证 3. 1 谐波激励验证 Berg 测试了某橡胶弹簧在不同频率振幅下的力 位移迟滞曲线,本文通过拟合 Berg 研究中静态加载和 动态加载下的力位移迟滞曲线测试数据,获得表 1 的某橡胶弹簧叠加模型参数。 表 1 某橡胶弹簧的叠加模型参数 Tab. 1 Overlay model parameters of a rubber spring 名称数值 弹性刚度 Ke/ kNmm -1 4. 3 黏性系数 C/ kNsmm -1 0. 1 分数微分阶数 􀆠0. 58 屈服位移 x1s/ mm0. 11 屈服力 F1s/ kN0. 33 屈服位移 x2s/ mm0. 85 屈服力 F2s/ kN0. 3 屈服位移 x3s/ mm2. 5 屈服力 F3s/ kN0. 7 图 7、图 8 为橡胶弹性元件的叠加模型与 Berg 的 测试结果的对比。 可知,在图 7 静态加载情况下,图 7 a在 0. 51 mm 的小振幅下,同样出现了折角,拟合良 好,其他振幅的力 - 位移迟滞特性曲线同样吻合良好, 说明三线性理想弹塑模型能够较为准确的拟合橡胶弹 簧的静态力学特性。 在图 8 动态加载情况下,不同频 率正弦谐波激励的力 - 位移迟滞特性曲线同样吻合较 好,表明文中的叠加模型能够较好地表征谐波激励下 的橡胶弹簧动态特性。 图 7 静态力位移迟滞曲线对比 Fig. 7 Static force-displacement hysteresis curve comparison 图 8 动态力位移迟滞曲线对比 Fig. 8 Dynamic force-displacement hysteresis curve comparison 叠加模型的动态刚度和阻尼受到频率和振幅的影 响,体现频率和振幅依赖性。 激励振幅不变的情况下, 频率增大,黏弹单元的受力增大,弹塑单元受力不变, 模型刚度增大;激励的频率不变的情况下,振幅超过屈 服位移后,振幅增大,弹塑单元的受力不变,模型刚度 减小;阻尼的频率和振幅依赖性也具有同样性质。 在正弦位移激励下,形成典型的位移力迟滞曲 线,动态刚度一般定义为 K Fmax/ xmax,动态阻尼定义 为 D S/ Fmaxxmax,S 为曲线面积。 叠加模型计算出 0. 01 Hz 频率下的振幅依赖性和1. 5 mm 振幅下的频率 依赖性,将其与 Berg 的测试数据对比如图 9 所示,刚度 振幅依赖性和阻尼频率依赖性吻合较好,刚度的频率 依赖性最大误差不超过 8,满足工程精度要求,阻尼 862振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing 振幅依赖有一定偏差,但能较好的反应变化趋势。 图 9 振幅和频率依赖性 Fig. 9 Amplitude and frequency dependence 3. 2 随机激励响应 本文建立的橡胶材料的叠加模型用于计算橡胶元 件的动态行为,不仅需要在谐波位移激励下能较好的 表征橡胶的动态特性,还需要应用于更加普遍的情况 下,即在随机激励作用下,Sjberg 等测试了在谐波激励 下某橡胶隔振器的力位移迟滞曲线以及在中低频和 高频随机激励下隔振器的受力情况。 使用 Sjberg 等 研究中某隔振器的力位移迟滞曲线测试数据,拟合 的隔振器叠加模型参数如表 2 所示。 表 2 某橡胶隔振器的叠加模型参数 Tab. 2 Overlay model parameters of a rubber vibration isolator 名称数值 弹性刚度 Ke/ Nmm -1 68 黏性系数 C/ Nsmm -1 0. 53 分数微分阶数 􀆠0. 69 屈服位移 x1s/ mm0. 05 屈服力 F1s/ N1. 33 屈服位移 x2s/ mm0. 1 屈服力 F2s/ N3. 67 屈服位移 x3s/ mm0. 3 屈服力 F3s/ N11. 99 使用在中低频和高频随机激励下隔振器的测试数 据与本文叠加模型计算结果进行对比,对比结果如图 10 和图 11 所示。 图 10a为中低频随机激励,从图 10 b可知,在中低频随机激励下,不能很好的预测大位 移后的小幅振动,但叠加模型整体拟合效果较好,使用 二范数计算其误差,经计算误差为 2. 3,计算精度在 工程领域可接受范围之内。 图 10 中低频位移激励和受力 Fig. 10 Medium and low frequency displacement excitation and force 图 11a为高频随机激励,从图 11b可知,在高 频随机激励下,叠加模型对于预测大位移后小幅振动 的能力有所提升,能够较好的表现橡胶材料的动态 特性。 图 11 高频位移激励和受力 Fig. 11 High frequency displacement excitation and force 4 结 论 谐波和随机激励下,橡胶元件动态行为的精确预 测有一定困难,本文将弹簧元件、Able 黏壶和多线性弹 塑模型并联得到了橡胶的叠加模型,拟合力位移迟 滞曲线获得模型参数,采用时间步长法,利用 MAT- LAB 较好地预测了橡胶元件的动态行为。 1本文给出的叠加模型能较准确地表征橡胶元 件的动态特性和振幅频率依赖性。 无论是在谐波激励 和随机激励下,该模型的预测结果都能与测试结果较 好地吻合,能够提高动力学模型的准确性。 962第 8 期 李思杰等 基于叠加模型的橡胶元件动态特性分析 ChaoXing 2采用 Able 黏壶作为黏弹单元,使用更少的参 数更加精确的表征橡胶材料的频率依赖性。 采用物理 意义更加明确的三线性弹塑性模型作为弹塑单元,保 证弹塑单元计算精度和模型的振幅依赖性。 3测试数据有一定的实验误差,时间步长法有 一定的截断误差和累积误差,叠加模型参数的识别也 不能保证绝对精确,势必会造成计算结果与测试有一 定程度的偏差,但计算结果满足工程精度要求。 参 考 文 献 [ 1 ] NASHIF A D, JONES D I G,JOHN P H, et al. 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