带有移动末端执行器的柔性机械臂的动力学分析_赵亮.pdf

振 动 与 冲 击 第 39 卷第 8 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol.39 No. 8 2020 基金项目 上海市教委项目230001-17-13 收稿日期 2018 -08 -14 修改稿收到日期 2018 -12 -31 第一作者 赵亮 男,博士,讲师,1981 年生 带有移动末端执行器的柔性机械臂的动力学分析 赵 亮 上海建桥学院 机电学院,上海 201306 摘 要为了分析带有移动末端执行器的柔性机械臂的振动特性,将该系统建模成一个带有移动质量的在竖向平 面内作伸缩和旋转运动的柔性悬臂梁。 为了方便研究,引入了两个坐标系随悬臂梁旋转的局部坐标系和固定不动的整 体坐标系;结构在局部坐标系下的物理量转化到整体坐标系中,并给出总动能和总势能,利用拉格朗日方程和假设模态法 导出了结构的动力学方程;当机械臂以匀速旋转时,系统动力学方程为线性;当机械臂变速旋转时,系统动力学方程为非 线性;通过数值算例分析了机械臂和移动末端执行器在不同运动状态下的动力响应;此外还讨论了移动末端执行器和机 械臂间的摩擦力对机械臂振动特性的影响。 所得结论为相关机器人及其装备的设计提供了理论依据。 关键词 机械手臂;移动末端执行器;轴向运动;旋转运动;动力学分析 中图分类号 TH212;TH213. 3 文献标志码 ADOI10. 13465/ j. cnki. jvs. 2020. 08. 016 Dynamic analysis of a flexible robotic arm carrying a moving end effector ZHAO Liang College of Mechanical and Electrical Engineering, Shanghai Jian Qiao University, Shanghai 201306, China Abstract Robotic arm is widely used in industrial and space exploration. Dynamic analysis of a flexible robotic arm carrying a moving end effector was investigated. The system was modeled as a translating and rotating flexible cantilever beam with a moving mass. For the convenience purpose, two coordinate systems were introduced a local coordinate system that rotates with the cantilever beam, and a fixed global coordinate system. The physical quantities of the structure in the local coordinate system were transed into the global coordinate system, and the total kinetic energy and potential energy of the structure were given. Then the equations of the structure were derived by the Lagranges equation with the assumed mode . When the robotic arm rotates at a uni angular velocity the system dynamic equation is linear, while it rotates at a variable angular velocity the system dynamic equation is nonlinear. Finally, the dynamic responses of the robotic arm and the moving end effector under different motion states were analyzed by numerical examples. Moreover, the influences of frictional force on vibration characteristics of the robotic arm were also discussed. The obtained conclusions provide theoretical basis for the design of robots and their equipments. Key words robotic arm; moving end effector; axially translating; rotating; dynamic analysis 机械臂在工业生产及太空探索领域有着很广的 应用。 例如物料拾取或搬运机器人,空间站里协助 科学工作者完成科学实验的空间机械手等。 该类结 构的动力学模型是一个轴向运动的柔性悬臂梁,其 悬臂长度是随时间变化的。 在实际应用中的机械臂 还有一个平面内的旋转动作,功能和结构较复杂的 机械臂还可带有一个可沿其轴向移动的末端执行 器。 由于该类结构的力学建模难度较大,目前成为 一个研究热点。 在以往的研究中,学者们利用牛顿力学法[1]、有限 元法[2]、广义哈密尔顿原理和假设模态法[3 -7]等建立 了系统的动力学方程,并用差分法等数值算法进行求 解。 李山虎等[8]对伸展悬臂梁的独立模态振动控制进 行了研究,在低速伸展的假设基础上采用多尺度法推 导出系统方程的半解析解。 然而在这些研究中并未考 虑悬臂梁在平面内的旋转运动对振动的影响。 当悬臂 梁既作轴向运动又作平面内的旋转运动时,需要考虑 旋转运动与轴向运动以及弹性变形的耦合。 Al-Bedoor 等[9]利用有限元法和拉格朗日方程分析了一个在刚性 旋转支座中做轴向运动的弹性机械臂的振动问题。 Zhao 等[10]曾研究过同时作旋转和伸缩运动的机械臂 的振动控制问题。 刘宁等[11]针对炮 - 弹系统推导了移 ChaoXing 动质量作用下的轴向运动悬臂梁的振动方程,并用修 正的 Galerkin 法对振动方程离散求解。 在该研究中移 动质量脱离悬臂梁后,悬臂梁做自由振动。 Yau 等[12] 研究了在水平面内作旋转运动的带有移动质量的固定 长度悬臂梁的振动问题。 在目前已有的文献中,还未 见有关带有移动质量的变长度悬臂梁在竖向平面内作 旋转运动的振动研究。 本文研究了带有移动末端执行器的柔性机械臂 的振动问题,其力学模型是一个带有移动质量的在 竖向平面内作旋转和伸缩运动的变长度柔性悬臂 梁。 建立了该模型的动力学方程,并分析了它的动 力学特性。 1 动力学方程的建立 带有移动末端执行器的机械臂模型如图 1 所示。 柔性机械臂在轴向力 F 的作用下可以在滑动支座里无 摩擦地作轴向伸展或收缩运动,且机械臂在滑动支座 里的部分不产生弹性变形。 机械臂的初始长度为 L0, 其长度 Lt是随时间变化的,轴向运动速度为 v。 在扭 矩 T 的作用下,滑动支座可以绕 O 点在竖向平面内转 动,且滑动支座是刚性的。 则机械臂的运动是旋转运 动和轴向运动的合成运动。 为了方便研究,用 XZ 表示 总体坐标系,是固定不动的;用 xz 表示局部坐标系,其 固定在滑动支座上并一起作旋转运动。 用 θ 表示两个 坐标系间的夹角,且 - π/2 θ π 2。 质量为 m 的末 端执行器沿着机械臂轴向滑动,其相对于机械臂的运 动速度为 vm,在机械臂上的位置用 st表示。 则末端 执行器相对于滑动支座的轴向运动速度为s v vm。 在我们的分析中,移动末端执行器始终未脱离机械臂。 图 1 带有移动末端执行器的机械臂模型 Fig. 1 Model of a robotic arm carrying a moving end effector 机械臂上任意一点 x 在局部坐标系 xz 下的挠度为 w,则该点在总体坐标系 XZ 下的坐标 R 和其在局部坐 标系 xz 下的坐标 r 有如下关系 R Ar1 式中, A 为两个坐标系间的转换矩阵。 A 和 r 可分别 表示成 A cos θ- sin θ sin θcos θ [] 2 r [x w] T 3 则该点在总体坐标系下的速度可表示成 R Ar θ dA dθ r4 式中 θ 为滑移支座转动的角速度; r 为该点在局部坐 标系 xz 下的速度,且有 r x Dw Dt [] T 5 式中,算子可写成 Dw Dt w x w′ 6 分别把式2、式3、式5和式6代入式4得到 R x - wθ cos θ - xθ w x w′sin θ x - wθ sin θ xθ w x w′cos θ 7 机械臂的动能可表示成 Ta 1 2 ρAa∫ Lt 0 R TRdx 1 2 Jaθ 2 8 式中, ρ, Aa和 Ja分别为机械臂的材料密度、横截面积 和转动惯量。 把式8代入式7得 Ta 1 2∫ Lt 0 ρAa[x - wθ 2 xθ w x w′2]dx 1 2 Jaθ 2 9 机械臂的弹性势能为 Us 1 2∫ Lt 0 EIw″2dx10 式中 E 为机械臂的弹性模量; I 为截面惯性矩。 机械 臂的重力势能表示为 Ug 1 2 ρAagL2sin θ11 式中, g 为重力加速度。 机械臂的加速度沿 x 坐标轴 方向的分量可表示成 ax x - θ 2x - θ w 12 重力加速度沿 x 坐标轴方向的分量为 gx - gsin θ13 所以轴向力为 Fx ρAa∫ Lt x - axgxdx, s x≤Lt ρAa∫ Lt x - ax gxdx - mgsin θ, 0 x ≤ s 14 则由轴向力产生的势能为 Ux 1 2∫ Lt 0 Fxw′2dx15 再来考虑移动末端执行器的动能和势能。 其在局部坐 标系 xz 下的坐标 rm和速度r m分别为 311第 8 期 赵亮 带有移动末端执行器的柔性机械臂的动力学分析 ChaoXing rm [s w] T 16a r m s Dw Dt [] T 16b 式中,算子 Dw Dt w s w′ 17 把式2、式16和式17代入式4得到移动末端执 行器在总体坐标系下的运动速度 R m s - wθ cos θ - sθ w s w′sin θ s - wθ sin θ - sθ w s w′cos θ 18 移动末端执行器的动能为 Tm 1 2∫ Lt 0 [δx - sm R T mR m]dx 1 2∫ Lt 0 {δx - sm[s - wθ 2 sθ w s w′2]}dx 19 其重力势能为 Ugm∫ Lt 0 δx - smg[ssin θ wcos θ]dx20 整个系统的总动能和总势能分别为 T Ta Tm21 U Us Ux Uga Ugm22 本文利用拉格朗日方程和假设模态法确定系统的 动力学方程。 在机械臂作轴向运动过程中其长度是随 时间变化的。 其横向振动位移可以用广义坐标和模态 函数来表示 wx,t 1 Lt ∑ n i 1 ϕix,tqit 1 Lt [ϕ]{q} T 23 式中 [ϕ] [ϕ1,ϕ2,,ϕn]; {q} [q1,q2,,qn]; 机械臂横向振动的模态函数为 ϕicosh λi x L - cos λi x L []- coshλi cosλi sinhλi sinλi sinh λi x L - sin λi x L [], i 1,2,,n24 式中的参数 λi由下面的特征方程得到 1 coshλicosλi 0, i 1,2,,n 25 拉格朗日方程给出如下 d dt 􀆠T - U 􀆠q - 􀆠T - U 􀆠q 026 把式23分别代入式21和式22,则系统的动 能 T 和势能 U 可以表示成关于广义坐标和模态函数的 表达式。 再把 T 和 U 代入式26, 然后对广义坐标 q 进行变分运算,得到系统的动力学方程 [M]{q } [C]{q} [K]{q} {Q} 0 27 其中, [M] ρAa∫ L 0 [ϕ] T[ϕ]dx m[ϕ]T[ϕ] x S [C] ρAa∫ L 0 [C1]dx m[Cm] x S [K] EI∫ L 0 d2[ϕ] T dx2 d2[ϕ] dx2 dx ρAa∫ L 0 [K1]dx ∫ L 0 F d[ϕ] T dx d[ϕ] dx dx m[Km1] [Km2] x S [Q] ρAa∫ L 0 [Q1] [Q2]dx m[Qm] x S 以上各式中的矩阵表达式见附录。 其中矩阵[Q2]是机 械臂的伸缩和旋转运动与弹性变形的非线性惯性耦合 项。 如果机械臂以匀角速度旋转,则矩阵[Q2]值为零, 动力学方程式27就成为一个线性方程。 2 数值算例分析 首先需要对本文建立的动力学方程进行验证。 由 于没有相同的实验数据和数值模拟算例,本文利用 Al- Bedoor 等研究中所给的算例进行部分验证。 在计算时 设定移动末端执行器的质量和速度均为零,其他参数 取值与 Al-Bedoor 等的研究相同,即机械臂的弯曲刚度 EI 756. 65 Nm2,单位长度质量 ρA 4. 015 kg/ m,轴向 运动速度 v 0. 3 m/ s,初始长度 L0 1. 8 m,旋转角速 度θ 0. 785 rad/ s, 自由端初始挠度 w L0,0 -0. 005 m。 在时间域采用 Newmark 法求解,时间步长 为 Δt 0. 001 s,计算结果如图 2 所示。 可以看出本文 的结果与 Al-Bedoor 等的研究结果是一致的。 图 2 当 Lt 1. 8 0. 3t 时轴向运动悬臂梁的自由端挠度 Fig. 2 Tip deflection of the axially translating beam when Lt 1. 8 0. 3t 以下几个算例分析了带有移动末端执行器的机械 臂的运动特性。 机械臂的材料常数为 E 209 GPa, ρ 7 800 kg/ m3,宽度为 b 0. 2 m, 高度为 h 0. 05 m, 移动末端执行器质量为 20 kg。 先考虑机械臂以 v 0. 3 m/ s 的速度伸展时的动力 响应。 初始条件为 L00. 8 m,S00,θ0 0,wL0, 0 0,移动末端执行器移动速度为 vm0. 1 m/ s,经历 411振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing 8 s 后其运动到机械臂自由端,此时机械臂的长度为 3. 2 m。 机械臂在竖向平面内做旋转运动的规律为 θ π/8 rad/ s, 0 t ≤ 2 - π/8 rad/ s, 2 t ≤ 6 π/8 rad/ s, 6 t ≤ 8 { 以逆时针方向为正28 即在 0 2 s 内机械臂由水平位置逆时针匀速旋转到 π/4 位置处,然后在 2 6 s 内顺时针匀速旋转到 - π/4 位置处,最后在 6 8 s 内匀速回到水平位置。 图 3a 给出了机械臂自由端以及移动末端执行器所在位置处 的振动挠度。 可以看出随着机械臂的伸长,其自由端 振动振幅逐渐增大。 开始时,移动末端执行器所在位 置处的振动振幅小于机械臂自由端振动振幅,在 8 s 末 当移动末端执行器运动到机械臂自由端时,两者具有 相同的振幅,这和实际情况相符。 从图 3b可知,机 械臂自由端及移动末端执行器在 XZ 平面内的运动轨 迹,箭头所指方向为运动方向。 在 8 s 末两者的运动轨 迹相交。 在图 4 中机械臂仍然以 v 0. 3 m/ s 的速度伸 展,旋转运动由式28定义。 移动末端执行器初始位 置在机械臂自由端,移动速度为 vm - 0. 1 m/ s,即与 机械臂运动方向相反。 由集中荷载作用下的悬臂梁挠 度计算公式可得机械臂自由端初始挠度 wL0,0 -0. 078 mm。 开始时两者振幅相同,随着机械臂的伸 展两者振幅逐渐增大。 由于移动末端执行器沿机械臂 逆向运动,其所在位置处的挠度逐渐小于机械臂自由 端挠度。 图 3 当 Lt 0. 8 0. 3t, vm0. 1 m/ s 时机械臂的 挠度和运动轨迹 Fig. 3 Deflections and trajectories of the robotic arm when Lt 0. 8 0. 3t, vm0. 1 m/ s 图 4 当 Lt 0. 8 0. 3t, vm -0. 1 m/ s 时机械臂的 挠度和运动轨迹 Fig. 4 Deflections and trajectories of the robotic arm when Lt 0. 8 0. 3t, vm -0. 1 m/ s 其次考虑机械臂以 v -0. 3 m/ s 的速度收缩时的 情况,其旋转运动仍由式28给定。 初始条件为L0 3. 2 m,S03. 2 m,θ0 0,即移动末端执行器初始位 置在机械臂自由端,移动速度为 vm -0. 1 m/ s。 通过 计算得 wL0,0 -5. 21 mm。 在8 s 末机械臂长度为 0. 8 m,移动末端执行器运动到固定端。 在开始时机械 臂自由端和移动末端执行器具有相同的振幅,随着机 械臂的收缩两者振幅都逐渐减小,如图 5 所示。 由于 移动末端执行器靠近支座的速度更快,所以其振幅减 小地更快,到达固定端时其振幅为零。 在图 6 中机械 臂的运动规律与图 5 的相同,移动末端执行器初始位 置 S02. 4 m,移动速度为 vm0. 1 m/ s,即与机械臂运 动方向相反, wL0,0 -3. 52 mm。 开始时移动末端 执行器的振幅小于机械臂自由端振幅,随着机械臂的 收缩两者振幅都逐渐减小,在 8 s 末当其运动到机械臂 自由端时两者振幅相同。 图 5 当 Lt 3. 2 -0. 3t, vm0. 1 m/ s 时机械臂的 挠度和运动轨迹 Fig. 5 Deflections and trajectories of the robotic arm when Lt 3. 2 -0. 3t, vm -0. 1 m/ s 图 6 当 Lt 3. 2 -0. 3t, vm0. 1 m/ s 时机械臂的 挠度和运动轨迹 Fig. 6 Deflections and trajectories of the robotic arm when Lt 3. 2 -0. 3t, vm0. 1 m/ s 3 讨 论 以上分析都假设移动末端执行器在机械臂上无摩 擦地运动。 考虑实际情况,本节将讨论两者间的摩擦 力对机械臂动力响应的影响。 移动末端执行器的重力 沿机械臂横向分力为 Pz mgcos θ,若摩擦因数为 μ,则 511第 8 期 赵亮 带有移动末端执行器的柔性机械臂的动力学分析 ChaoXing 其受到的摩擦力可表示成 f μPz μmgcos θ29 方向与运动方向相反。 而机械臂受到的摩擦力大小也 为 f,方向与移动末端执行器的运动方向相同。 则式 14机械臂的轴向力更新为 F x ρAa∫ Lt x - ax gxdx, s x ≤ Lt ρAa∫ Lt x - ax gxdx - mgsin θ f, 0 x ≤ s 30 式30中当移动末端执行器沿机械臂正向运动时取正 号,负沿向运动时取负号。 以下两个算例分析了摩擦力对机械臂动力响应的 影响。 机械臂的弹性模量 E 和密度 ρ 与前面的算例相 同,宽度为 b 0. 05 m, 高度为 h 0. 01 m,L00. 5 m, θ0 0。 移动末端执行器质量为10 kg,摩擦因数 μ 0. 3。 图7 给出了机械臂以 v 0.1 m/ s 的速度伸展时的 末端挠度曲线,其他参数取值为 S00,θ 0.05 π rad/ s, vm0. 1 m/ s。 由图 7 可知,在考虑摩擦力的情况下,机 械臂的挠度和振动频率都略有减小。 在图8 中,移动末 端执行器沿机械臂负向移动,速度为 vm -0.05 m/ s,初 始位置为S00.5 m,机械臂仍以v 0.1 m/ s 的速度伸展, 转速θ 0.1 π rad/ s,通过计算得 wL0,0 -4.78 mm。 从图 8 可知,当考虑摩擦力的作用时机械臂的挠度和 振动频率都略有增大。 图 7 当 Lt 0. 5 0. 1t, vm0. 1 m/ s 时机械臂的挠度 Fig. 7 Deflections of the robotic arm when Lt 0. 5 0. 1t, vm0. 1 m/ s 图8 当 Lt 0.5 0.1t, vm -0.05 m/ s 时机械臂的挠度 Fig. 8 Deflections of the robotic arm when Lt 0. 5 0. 1t, vm -0. 05 m/ s 4 结 论 1 当机械臂匀速旋转时,系统的动力学方程为 线性;当机械臂变速旋转时,系统的动力学方程为非 线性。 2 在移动末端执行器的作用下,机械臂伸展过 程中自由端振动振幅逐渐增大;收缩过程中自由端振 动振幅逐渐减小。 3 当移动末端执行器的位置靠近机械臂自由端 时,其振幅与机械臂自由端振幅趋于相同;远离机械臂 自由端时,其振幅小于机械臂自由端振幅。 4 若考虑移动末端执行器与机械臂间摩擦力的 作用当移动末端执行器沿 x 轴正向运动时,机械臂的 挠度和振动频率都略有减小;当其沿 x 轴负向运动时, 机械臂的挠度和振动频率都略有增大。 参 考 文 献 [ 1 ] WANG P K C, WEI J D. 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