实复转换式衰减信号参数估计算法_陈鹏.pdf

 振动与冲击 第 39 卷第 14 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．39 No．14 2020 基金项目国家自然科学基金 61871402; 61601493 ; 国家重点研发计划 2018YFB2003900 ; 天津市自然科学基金 18JCQNJC01400 ; 重庆 市研究生科研创新项目 CYB18129 ; 武警后勤学院博士启动资金 项目 WHB201707 收稿日期2019 －01 －17修改稿收到日期2019 －04 －13 第一作者 陈鹏 男， 博士生， 1992 年生 通信作者 涂亚庆 男， 博士， 教授， 1963 年生 实复转换式衰减信号参数估计算法 陈鹏1，涂亚庆1，沈艳林2，牟泽龙1，李明1 1． 陆军勤务学院军事物流系， 重庆 401311; 2． 武警后勤学院装备保障系， 天津300309 摘要为抑制衰减实信号中负频率成分对参数估计的影响， 提出一种实复转换式参数估计算法。预估计采样信 号频谱能量最大值点的索引值; 构造只含有负频率成分的参考信号， 并将采样信号和参考信号相减实现实复转换， 以抑制 负频率频谱泄漏的影响; 利用频谱两点插值算法得到频率偏差、 衰减因子和复幅值的粗估计值， 并重新生成参考信号和复 信号; 通过迭代计算得到精确的频率、 衰减因子、 初幅值和初相位估计值。以频率估计为例的仿真实验结果表明 所提算 法可有效地抑制负频率频谱泄漏的影响， 提高中高信噪比条件下的频率估计精度， 特别是信号频率较低时的频率估计精 度， 提升了频率估计的综合性能。此外， 在科氏流量计中进行了实测实验， 检验了所提算法的有效性。 关键词实复转换; 参数估计; 负频率成分; 频谱泄漏; 衰减实信号; 科氏流量计 中图分类号TH814文献标志码ADOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2020． 14． 008 Real- to- complex- transation parameter estimation algorithm for damped real- value sinusoidal signals CHEN Peng1，TU Yaqing1，SHEN Yanlin2，MOU Zelong1，LI Ming1 1． Military Logistics Department，Army Logistics University of PLA，Chongqing 401311，China; 2． Department of Equipment Support，Logistics College of CAPF，Tianjin 300309，China Abstract To suppress the influence of negative frequency component of a damped real- value sinusoidal signal on its parameter estimation，a real- to- complex- transation parameter estimation algorithm was proposed． First，the index number bin at the point with the highest energy magnitude of the sampled signal spectrum was pre- estimated． A reference signal only containsing the negative frequency component was constructed，and the real- value signal was converted into a complex- value signal by subtracting the reference signal the sampled signal to suppress the spectrum leakage influence of the negative frequency component． Then，the frequency offset，damping factor and complex amplitude were coarsely estimated by a two- point spectrum interpolation algorithm，on this basis，the reference signal and the complex signal were rebuilt． Finally， the signal parameters， i． e． the frequency， damping factor， initial amplitude and initial phase were obtained by using an iterative procedure． The results of simulation experiments for frequency estimation indicate that the proposed can eliminate the influence of negative frequency component，improve estimation accuracy under medium or high SNRs，especially，in the low signal frequency band，which improves the overall perance of the frequency estimation． Measurement experiments were pered on a Coriolis mass flowmeter，and the efficacy of the proposed was validated． Key words real- to- complex- transation; parameter estimation; negative frequency component; spectrum leakage;damped real- value signal;Coriolis mass flowmeter 含噪衰减实信号的参数估计是信号处理中较为基础但重要的问题， 广泛应用于电力质量检测系统、 瞬态 分与仪表装置等工程领域， 具有重要的理论研究意义 和实际应用价值 ［1 －4 ］。例如， 数字式科氏流量计可利 用自由衰减信号获得流量管的固有频率， 从而有效地 驱动流量管振动， 实现精确的流量计量［5 ］。 目前， 有关衰减实信号参数估计的研究很多， 根据 对信号的不同处理方式， 主要可分为时域法和频域法 两大类 ［6 ］。时域法具有思路简单， 在中高信噪比下估 ChaoXing 计精度高的优点， 但抗噪性和实时性较差， 不利于实际 应用 ［7 ］。频域法容易借助硬件实现， 其计算速度快， 且 具有更强的抗噪性， 因而得到了广泛的研究， 主要有迭 代插值法 Iterative Interpolation Discrete Fourier Trans- ，IIpDFT 、 加窗插值法 Interpolation Discrete Fou- rier Trans，IpDFT 和泄露校正法 Leakage Correc- tion Discrete Fourier Trans，LCDFT 等 ［8 －9 ］。 IIpDFT 法首先对信号频谱进行两点插值， 得到较 为准确的频率和衰减因子估计值， 然后经迭代计算得 到精确的估计值 ［10 ］。该方法在低信噪比下具有较高的 估计精度， 但随着信噪比升高， 实信号中负频率频谱泄 漏的影响逐渐严重， 导致参数估计精度逐渐降低。为 了降低负频率频谱泄漏的影响， 文献［ 11］ 提出了 IpD- FT 法， 该方法通过在时域对采样信号加汉宁窗， 降低了 负频率成分的影响， 并利用频谱插值算法提高了参数 的估计精度。该算法抑制了负频率频谱泄漏的影响， 提高了中高信噪比下的参数估计精度， 但当信号频率 较低时， 受窗函数主瓣干涉的影响， 参数估计结果存在 偏差。在此基础上， 文献［ 12］ 提出了 LCDFT 法， 首先对 采样信号进行频谱插值， 然后利用插值点的频谱值进行 频谱校正。该方法进一步降低了负频率频谱泄漏的影 响， 但由于只利用了插值点的频谱值而忽略了其他点的 频谱值， 导致在信号频率较低时， 该算法的估计精度随着 信噪比增加而逐渐降低， 且仍存在估计偏差。 现有参数估计算法可在不同程度上抑制负频率频 谱泄漏的影响， 但在信号频率较低或中高信噪比条件 下时， 由于负频率频谱泄漏的影响更加严重， 使得参数 估计存在偏差。针对此问题， 本文在频谱分析的基础 上， 提出一种实复转换式参数估计算法， 给出算法原理 与具体实现流程， 与现有先进算法进行对比分析， 并进 行实验验证。 1问题描述 随着硬件滤波水平的提高， 实际采集的信号中几 乎不含有倍频等谐波成分， 或者谐波成分的能量很小， 不会对信号主频产生实质的影响。因此， 在本文分析 中， 设采样信号模型为单频衰减实信号， 如式 1 所示。 xn sn zn，n 0， 1， ， N － 1 1 式中 snae －ηncos ωn θ ， a ＞0， ω∈ 0， π ， θ∈－ π， π 和 η ＞0 分别为无噪单频衰减实信号的初幅值、 圆周 频率、 初相位和衰减因子;下标 n 为采样时刻点;N 为 采样长度;zn为均值为 0， 方差为 σ2的加性高斯白噪 声; 采样信号的信噪比定义为 SNR a2 /2σ 2。 根据欧拉公式， 无噪单频衰减实信号 sn可表示为 式 2 。 ae －ηncos ωn θ Ae－ηnejωn A*e －ηne－jωn 2 式中，A 与 A*为复幅值， A 0． 5ae iθ ， A*0． 5ae － iθ ，A 与 A*互为共轭。 频率是采样信号中最重要的参数， 其他参数均可 根据频率估计值推算得到。频谱分析时， 信号频率可 用式 3 表示。 ω k0 δ ωs 3 式中ωs为频率分辨率， ωs 2π/N;k0为信号频谱中 能量最大值点的索引值， k0［ ωN/2π］ ;［ t］ 为取最接 近于 t 的整数;δ 为频率偏差， －0． 5≤δ≤0． 5。 为直观理解负频率频谱泄漏的影响， 对同频的衰 减实信号 ae － ηn cos ωn θ 和衰减复信号 0． 5ae － ηn ej ωn θ进行频谱分析， 如图 1 所示。 图 1衰减实信号和衰减复信号频谱 Fig． 1Spectrum of damped real- value signals and damped complex- value signals 从频谱上看， 衰减实信号含有正频率和负频率 两种频率成分， 衰减复信号只含有正频率成分。由 于负频率频谱泄漏， 叠加在正频率频谱上， 使得实信 号的正频率频谱不能和同频率的复信号频谱完全重 合， 存在频率偏差 Δω， 导致衰减实信号的频率估计 存在偏差。 现有算法可在不同程度抑制负频率频谱泄漏的影 响， 但效果均不够理想。对于各类算法的估计性能， 可 用统计信号参数无偏估计的下限 克拉美罗下限 Cra- mer- Rao Lower Bound，CRLB 来检验， 估计结果越靠 近克拉美罗下限， 则表示算法的估计性能越好。单频 衰减实信号的频率估计下限如式 4 所示 ［13 ］。 var ω ≥ 1 － z 2 3 1 － z 2N 2［－ N2z 2N 1 － z 2 2 z 2 1 － z 2N 2］ SNR 4 式中t为参数 t 的估计值;z e － η 。 2参数估计算法 针对衰减实信号参数估计性能受负频率频谱泄漏 影响的问题， 本文提出一种实复转换式参数估计算法， 以下分别从算法原理和算法流程两方面进行阐述。 45振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 2． 1算法原理 本文算法原理 将衰减实信号转换为衰减复信号， 去除实信号中的负频率成分， 再对复信号进行处理， 从 而抑制负频率频谱泄漏的影响。 其具体思路 首先， 为降低算法的计算复杂度， 提 升实时性， 利用快速傅里叶变换算法 Fast Fourier Trans，FFT 对采样信号进行处理， 得到准确的索 引值 k0; 其次， 构造只含有负频率成分的参考信号， 并 将采样信号和参考信号相减实现实复转换， 抑制负频 率频谱泄漏的影响; 然后， 对复信号频谱进行两点插 值， 得到粗略的频率偏差、 衰减因子和复幅值估计值， 并重新生成参考信号和复信号; 最后， 通过迭代计算以 进一步消除负频率频谱泄漏的影响， 得到精确的频率、 衰减因子、 初幅值和初相位估计值。 2． 2算法流程 设频率偏差、 衰减因子和复幅值的初值δ 1 0， η 10，A 10，迭代次数为 i 1≤i≤I。 设采样信号为 xn， 1， 对其进行 FFT 计算。 k0 arg max 0≤k≤N/2－1 FFT xn， 12 5 得到索引值 k0后，在 k0两边进行频谱插值， 插值 间隔为 0． 5， 则插值点的频谱为 Xp∑ N－1 n 0 xn， ie －j k0 δ ip ωsn，p 0． 5 6 因此， 可利用两点插值点的频谱构造中间变量 h cos π N － jsin π N X0． 5 X－0． 5 X0． 5 － X－0． 5 7 则频率偏差和衰减因子的估计值可由式 8 计算得到 η i1 lnh δ i1 δ i － N 2π ∠ { h 8 式中， t 和∠t 分别为取复数 t 的模和角度。 下面， 对采样信号进行频谱分析。 Xk∑ N－1 n 0 xn， 1e －jkωsn A 1 － e －ηjω N 1 － e －ηj ω－kωs A * 1 － e － ηjω N 1 － e －η－j ωkωs Zk X k X － k Zk 9 式中k 0， 1， ， N －1;Xk， X k ， X － k 与 Zk分别为采样 信号及其正频率成分、 负频率成分和噪声的频谱。 由于频谱分析法具有很强的抗噪性， 噪声的频谱 值 Zk≈0， 可利用最小均方误差构造误差函数。 Jk∑ N－1 k 0［ X k － X k － X － k］ 2 10 根据频率偏差和衰减因子的估计值， 通过最小化 误差函数， 即可得到采样信号复幅值的估计值A 。 A i1 ∑ N－1 k 0 Xk－ A * i C1/C2 /C* 3 ∑ N－1 k 0 C1/C3C* 3 11 式中C11 － e － η iN － j k0 δ i ω sN;C 2 1 － e － η i－ j k0 δ i k ωs; C31 － e － η i j k0 δ i－ k ωs。 根据各参数的估计值， 利用式 12 构造只含有负 频率成分的参考信号 rn， i。 rn， i A * i1e －η ine－j k0 δ i ω sn 12 利用式 13 将采样信号与参考信号相减， 得到单 频衰减复信号， 实现实复转换， 抑制采样信号中负频率 成分的影响。 xn， i1 xn， 1－ rn， i 13 实现实 复 转 换 后， 通 过 迭 代 计 算 式 6和 式 7 、 式 11～ 式 13 ， 可逐步消除衰减实信号中 负频率成分的影响， 得到精确的频率偏差、 衰减因子 和复幅值估计值。再利用式 3 求出精确的信号频 率估计值， 利用式 14 计算出精确的初幅值和初相 位估计值。 a 0． 5A I1 θ ∠ A I { 1 14 综上分析， 本文算法的具体流程如下 步骤 1利用式 5 得到信号频谱能量最大值点的索 引值 k0; 步骤 2利用式 6 和式 7 计算出粗略的频率偏差和 衰减因子估计值， 利用式 11 估计复幅值; 步骤 3利用式 12 构造只含有负频率成分的参考信 号， 并利用式 13 实现实复转换; 步骤 4迭代计算步骤 2 和步骤 3， 得到精确的频率偏 差、 衰减因子和复幅值估计值; 步骤 5利用式 3 和式 14 计算精确的频率、 初幅值 和初相位估计值。 3计算验证 为验证本文算法的有效性， 利用 MATLAB 对本文 算法、 IIpDFT 法、 IpDFT 法、 LCDFT 法以及 CRLB， 在不 同条件下以频率估计为例进行仿真实验， 并对实验结 果比较分析。仿真时， 将单频衰减实信号的初幅值设 为 1， 初相位在 － π≤θ≤π 内随机取值， 且每组实验各 进行 1 000 次蒙特卡罗实验。 3． 1不同迭代次数 为说明本文算法在不同迭代次数下的频率估计性 能， 设 N 128， SNR 20 dB， 频率由 0． 04π 以步长 0． 02π递增到 0． 5π， 分别在迭代次数为 1、 2、 3、 4 的条 件下进行了仿真实验， 实验结果如图 2 所示。 55第 14 期陈鹏等实复转换式衰减信号参数估计算法 ChaoXing 图 2不同迭代次数下的频率估计结果 Fig． 2Frequency estimation results on different Iterations 经由 1 次迭代计算， 算法的估计结果波动较大， 估 计效果较差。迭代次数 I≥2 时， 算法的估计性能得到 了极大提升， 但信号频率较低时， 2 次迭代的估计性能 略差于 3 次和 4 次迭代的估计性能。在全频率变化范 围内， 3 次和 4 次迭代具有相当的估计性能。综合考虑 算法的估计性能和计算量， 即算法的估计精度和实时 性， 后续实验均采用 3 次迭代计算。 3． 2不同信噪比 为说明本文算法在不同信噪比条件下的频率估计 性能， 设 N 128，k 3． 2， 在信噪比由 －10 dB 以步长 2 dB递增到30 dB 的条件下进行了仿真实验， 结果如图 3 所示。 图 3不同信噪比下的频率估计结果 Fig． 3Frequency estimation results on different SNRs 当信噪比低时， IIpDFT 法的估计精度较高， 估计结 果接近克拉美罗下限， 当信噪比大于 10 dB 时， 实信号 中负频率频谱泄漏的影响逐渐增大， IIpDFT 法的估计 精度随着信噪比升高而逐渐降低。受窗函数主瓣干涉 的影响， IpDFT 法在低信噪比时存在估计偏差， 且随着 信噪比增加， 估计效果逐渐降低。LCDFT 法抑制了负 频率频谱泄漏的影响， 在中高信噪比下， 优于 IpDFT 法， 但与克拉美罗下限存在约2． 66 dB 的估计偏差。本 文算法在不同信噪比下均具有最好的估计精度， 优于 其他几种算法， 极大地降低了负频率频谱泄漏的影响， 其估计结果始终接近于克拉美罗下限。 3． 3不同信号频率 为说明本文算法在不同频率条件下的频率估计性 能， 设 SNR 20 dB，N 128， 在频率由 0． 04π 以步长 0． 02π 递增到 0． 5π 的条件下进行了仿真实验， 实验结 果如图 4 所示。 图 4不同频率下的频率估计结果 Fig． 4Frequency estimation results on different frequencies 当 SNR 20 dB 时， 采样信号处于中高信噪比下， 负频率频谱泄漏比较严重， IpDFT 法和 LCDFT 法的估 计精度均较差， 波动较大， 在低频时， LCDFT 法优于 Ip- DFT 法。IIpDFT 法具有较高的估计精度， 优于 IpDFT 法和 LCDFT 法， 但当 ω≤0． 2π 时， 其估计精度降低。 本文算法在全频率范围内均优于其他算法， 具有最好 的估计精度， 特别在低频时， 估计优势更加明显。 3． 4不同频率偏差 为说明本文算法在不同频率偏差下的频率估计性 能， 设 SNR 20 dB，N 128， k0 3， 在 δ 由 － 0． 5 以 0． 025的步长递增到 0． 5 的条件下进行了仿真实验， 实 验结果如图 5 示。 图 5不同频率偏差下的频率估计结果 Fig． 5Frequency estimation results versus frequency offsets 当频率偏差为 0 时， IpDFT 法和 LCDFT 法具有较 好的估计精度， 但仍存在估计偏差。当频率偏差逐渐 偏离 0 时， 二者的估计精度逐渐降低， LCDFT 法优于 IpDFT 法。IIpDFT 法在频率偏差为 0 和 0． 5 时， 估计 65振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 精度较好， 其余处的估计精度降低， 在频率偏差为 0． 25时的估计精度降到最低。本文算法在不同的频 率偏差下， 均具有最好的估计精度， 优于 IIpDFT 法、 Ip- DFT 法和 LCDFT 法。 3． 5不同衰减程度 为说明本文算法在不同衰减程度下的频率估计性 能， 设 SNR 20 dB，N 128，k 3． 2， 在 η 由 1 10 －3 以 1 10 －4的步长递增到 3 10－3的条件下进行了仿真 实验， 结果如图 6 所示。 图 6不同衰减程度下的频率估计结果 Fig． 6Frequency estimation results on different damping factor 在不同的衰减程度下， IIpDFT 法、 IpDFT 法和 LCD- FT 法均存在估计偏差， IIpDFT 法优于 LCDFT 法， LCD- FT 法优于 IpDFT 法。随着衰减程度的增加， IpDFT 法 和 LCDFT 法保持了相当的估计性能， IIpDFT 法的估计 性能逐渐下降。本文算法在不同的衰减程度下均具有 良好的估计精度， 估计结果靠近克拉美罗下限， 优于其 他算法。 4实验验证 为验证本文算法在实际应用中的可行性， 利用课 题组自研的小流量科氏流量计实验平台进行实测实 验， 实验平台如图 7 所示。该科氏流量计利用自由衰 减法获取流量管的固有频率， 从而驱动流量管振动， 其 质量流量测量范围为 1． 67 ～50 g/min。 图 7科氏流量计实验平台 Fig． 7Experimental plat physical maps of CMF 为验证本文算法频率估计的正确性， 进行了流量 管固有频率测量实验。首先， 采用模拟驱动方案驱动 流量管振动， 由模拟驱动的原理可知， 流量管正常振动 的频率为固有频率。然后， 让流量管处于自由衰减状 态， 利用本文算法计算流量管的固有频率。因此， 通过 比较本文算法获得的衰减信号频率和流量管正常振动 的频率 固有频率 ， 即可检验本文算法频率估计的正 确性。 以水为介质， 分别在流量管内没有水 空管 、 管内 含有部分水和气泡 含有气泡 、 管内充满水 满管 条 件下进行固有频率测量实验， 结果如表 1 所示。 表 1不同流量条件下的测量结果 Tab． 1 The measurement results under different flow rateHz 实验条件固有频率估计频率估计误差 空管47． 594 747． 594 90． 000 2 含有气泡47． 523 647． 523 3－0． 000 3 满管47． 487 347． 487 2－0． 000 1 可以看出 利用本文算法可以准确地估计出流量 管的固有频率， 平均估计误差为 0． 000 2 Hz。因此， 可 用本文算法来计算流量管的固有频率以驱动流量管振 动， 进行流量计量。 为检验本文算法的实际应用效果， 进行了流量计 量实验。实验时， 设置信号采样频率为 500 Hz; 每 128 个采样点计算一次， 然后滑动 64 个采样点进行下一次 计算， 每计算 10 次取一次平均值作为测量值。在不同 流量条件下的测量结果， 如表 2 所示。 表 2不同流量条件下的测量结果 Tab． 2The measurement results under different flow rate 序号 待测流量/ gmin －1 测量流量/ gmin－1 测量误差/ 11． 671． 786． 59 23． 333． 453． 60 38． 338． 471． 68 411． 6711． 770． 86 516． 6716． 740． 42 625． 0025． 060． 24 733． 3333． 400． 21 841． 6741． 740． 17 950． 0050． 060． 12 由于受实验平台硬件条件的影响， 以及受测量环 境变化， 如振动， 流速控制不稳等因素的影响， 在小流 量下的测量误差较大。随着被测液体质量流量逐渐增 大， 流速控制更加平稳， 测量误差逐渐减小。当被测液 体质量流量大于3． 33 g/min 时， 测量误差小于2． 00， 最小达到 0． 12， 符合科氏流量计的使用标准。说明 利用本文算法获取流量管的固有频率， 驱动流量管振 动， 测量液体的质量流量是可行的。 5结论 为消除单频衰减实信号中负频率频谱泄漏对参数 75第 14 期陈鹏等实复转换式衰减信号参数估计算法 ChaoXing 估计的影响， 提出了一种实复转换式参数估计算法。 通过将实信号转换为复信号， 再对复信号进行处理， 并 进行迭代计算， 抑制了负频率频谱泄漏的影响， 提高了 参数估计的精度。并以频率估计为例， 在不同条件下 进行了仿真验证。实验结果表明 本文算法的频率估 计性能优于 IIpDFT 法、 IpDFT 法和 LCDFT 法。特别在 低频时， 优势更加明显， 有效地克服了负频率频谱泄漏 的影响， 提高了中高信噪比下的频率估计精度， 使得频 率估计值的均方误差更接近于克拉美罗下限。此外， 在自研的小流量科氏流量计实验平台上进行了实测实 验， 验证了本文算法的有效性， 可用于工程实际。 参 考 文 献 ［1］ DUDA K，ZIELINSKI T P． Efficacy of the frequency and damping estimation of a real- value sinusoid ［J］ ．IEEE Instrumentation ＆ Measurement Magazine，2013， 16 2 48 －58． ［2］ 沈廷鳌，涂亚庆，张海涛，等． 一种改进的自适应格型陷 波频率估计算法及其收敛性分析［J］ ． 振动与冲击， 2013， 32 24 28 －32． SHEN Ting’ao，TU Yaqing，ZHANG Haitao，et al．A modified frequency estimation of adaptive lattice notch filter and its convergence analysis ［J］ ． Journal of Vibration and Shock， 2013， 32 24 28 －32． ［3］ 胡爱军，朱瑜． 基于改进峰值搜索法的旋转机械瞬时频 率估计［ J］ ． 振动与冲击， 2013， 32 7 113 －117． HU Aijun，ZHU Yu． Instantaneous frequency estimation of a rotating machinery based on an improved peak search ［J］ ．Journal of Vibration and Shock，2013，32 7 113 －117． ［4］ 霍兵勇，易伟建． 多频率衰减振动系统阻尼参数识别 ［ J］ ． 振动与冲击， 2015， 34 18 190 －194． HUOBingyong，YIWeijian．Dampingparameter identification by using free- decay response with the help of discrete deconvolution technique ［J］ ． Journal of Vibration and Shock， 2015， 34 18 190 －194． ［5］ XU C N． A to determine the characteristics of Coriolis flowmeters measuringtube ［C］/ /XXIIMEKOWorld Congress． PragueIMEKO， 2015． ［6］ PINTELON R，SCHOUKENS J．System identificationa frequency domainapproach ［M］ ．NewYork IEEE Press， 2012． ［7］ BORKOWSKI D， BIEN A． Improvement of accuracy of power system spectral analysis by coherent resampling ［J］ ． IEEE Transactions on Power Delivery， 2009， 24 3 1004 －1013． ［8］ ABOUTANIOS E．Estimation of the frequency and decay factor of a decaying exponential in noise ［J］ ．IEEE Transactions on Signal Processing， 2010， 58 2 501 －509． ［9］ QIAN F Y，LEUNG S H，ZHU Y S，et al．Damped sinusoidal signals parameter estimation in frequency domain ［ J］ ． Signal Processing， 2012， 92 2 381 －391． ［ 10］ ABOUTANIOS E，YE S L． Efficient iterative estimation of the parameters of a damped complex exponential in noise ［J］ ．IEEE Signal Processing Letters，2014，21 8 975 －979． ［ 11］ ANDRIA G， SAVINOM， TROTTAA．Windowsand interpolation algorithms to improve electrical measurement accuracy ［J］ ．IEEE Transactions on Instrumentation ＆ Measurement， 1989， 38 4 856 －863． ［ 12］ WU R C，CHIANG C T． Analysis of the exponential signal by the interpolated DFT algorithm［ J］ ． IEEE Transactions on Instrumentation＆Measurement， 2010， 5912 3306 －3317． ［ 13］ YAO Y X，PANDIT S M． Cramer- rao lower bounds for a damped sinusoidal process［ J］ ． IEEE Transactions on Signal Processing， 1995， 43 4 欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁 878 －885． 上接第 28 页 ［ 10］ LAIBLE M，FITZPATRICK K，GRYGIER M． International space station 2 A array modal analysis［ C］/ /The 31st IMAC， A Conference on Structural Dynamics，Topics in Nonlinear Dynamics． Garden GroveIMAC， 2013． ［ 11］ MSC nastran 2017． 1 quick reference guide ［Z］ ．Msc Software， 2017． ［ 12］ 郭其威，吴松，刘芳． 空间站太阳电池翼伸展机构屈曲载 荷分 析 与 试 验 研 究［J］ ．载 人 航 天，2015，21 4 341 －345． GUO Qiwei，WU Song，LIU Fang． Research on buckling load analysis and test of solar array deployable mechanism in space station［ J］ ． Manned Spaceflight， 2015， 21 4 341 － 345． ［ 13］ 时军委， 徐峰， 胡雪平， 等． 对接机构动力学仿真［ J］ ． 上 海航天， 2011， 28 6 17 －21． SHI Junwei， XU Feng， HU Xueping， et al．Docking mechanism dynamic simulation［J］ ．Aerospace Shanghai， 2011， 28 6 17 －21． ［ 14］ 刘芳，郭其威，吴松，等． 空间站柔性电池翼在轨载荷计 算及 分 析［J］ ．动 力 学 与 控 制 学 报，2019，12 3 230 －234． LIU Fang，GUO Qiwei，WU Song，et al．On- orbit load computation and analysis of flexible solar array for china space station［ J］ ． Journal of Dynamics and Control， 2019， 12 3 230 －234． 85振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing