三交叉弦结构非线性自由振动频率特性分析_潘渤.pdf

振 动 与 冲 击 第 39 卷第 8 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol.39 No. 8 2020 基金项目 国家自然科学基金项目51675406;中国华能集团公司科学 技术项目HNKJ17 - H34 收稿日期 2018 -08 -07 修改稿收到日期 2018 -12 -21 第一作者 潘渤 男,博士,助理研究员,1988 年生 三交叉弦结构非线性自由振动频率特性分析 潘 渤1,2, 徐自力3, 赵 博1,2, 葛 祥2 1. 西安西热节能技术有限公司,西安 710054;2. 西安热工研究院有限公司,西安 710054; 3. 西安交通大学 机械结构强度与振动国家重点实验室, 西安 710049 摘 要依据哈密顿原理获得了三交叉弦结构非线性自由振动的运动方程,并应用摄动法推导了自振频率下的一 阶摄动解。 相较于传统的单根弦线非线性振动运动方程多采用单三角级数,三交叉弦结构首次采用三重三角级数解法并 成功获取一阶摄动解。 通过分析表明,非线性自振频率的解析解除了具有典型的非线性特性,还体现了各个子结构参数 变化对整体结构自振频率的影响,即存在子结构间的耦合特性。 结果表明,整个结构与局部子结构在子结构自身因参数 发生改变时,变化幅度之间不是线性关系,且整体结构小于子结构自身因参数改变的变化幅度。 关键词 三交叉弦;非线性;解析解;摄动方法 中图分类号 O322; O327 文献标志码 ADOI10. 13465/ j. cnki. jvs. 2020. 08. 027 Frequency analysis on the nonlinear free vibration of a tri-cross string system PAN Bo1,2, XU Zili3, ZHAO Bo1, 2, GE Xiang2 1. Xi’an Xi’re Energy Saving 2. Xi’an Thermal Power Research Institute Co., Ltd., Xi’an 710054, China; 3. State Key Lab for Strength and Vibration of Mechanical Structures, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China Abstract Theoretical analysis on the nonlinear free vibration of a tri-cross string system was presented in this work, which is an element of space net-antennas. The governing equations were derived from the Hamilton’s principle and a linearized solution was obtained by the standard perturbation . The semi-analytical solutions of the governing equations has not been provided referring to the solution of the plate vibrating problem. This analysis reveals that natural frequencies of the tri-cross string depend on the vibration amplitude due to geometrical nonlinearity in the constitutive equation. The geometric parameters, such as the diameters and the lengths of the constituent strings, also affect the frequency through the nonlinearity of the tri-cross string. The nonlinear natural frequency shows coupled characteristic, i. e. the natural frequency of the tri-cross string varies with that of the constituent strings, but the contribution of each constituent string to the natural frequency is in different proportions. Key words tri-cross string; nonlinearity; perturbation ; coupling effect 球面网状航天天线局部结构发生共振,进而影响 天线信号接收与发射,是目前困扰天线结构设计的主 要问题之一。 实际网状航天天线尺寸跨度较大,结构 部件在工作过程中会产生不能忽略的变形、长度变化 等,从而影响天线的动力学特性,因此有必要对更接近 实际情况的网状结构非线性动力学特性进行研究。 十 字弦和三交叉弦是组成网状天线的最简结构单元,理 论上系统分析十字弦和三交叉弦的结构动力学特性, 获得频率及响应的解析解,讨论材料/ 结构参数对动力 学响应的影响,数值计算网状天线结构动力学特性,分 析天线局部共振产生原因,优化结构设计具有重要的 研究意义。 笔者依据哈密顿原理推导了十字弦结构的 运动方程,并采用摄动方法获得了十字弦结构的一阶 摄动解析解[1]。 由于需要求解复杂的 Duffing 方程和 子结构间的耦合特性,对多弦结构非线性动力学方程 的理论求解是十分困难的,这类多于两条交叉弦结构 的非线性动力学特性的理论求解还未见诸报道。 1876 年 Kirchhoff 首次推导了几何大变形弦的积分 微分方程[2]。 此后百年,人们不断深入研究 Kirchhoff 方程,探讨理论解析方法,设计对比实验,发展数值解 法,例如 Galerkin 法[3],持续深入求解 Kirchhoff 方程以 分析非线性特性。 近年来,学者们尝试使用哈密顿原 理推导出了控制方程和边界条件[4],并关注了更为复 ChaoXing 杂的单弦非线性振动问题,诸如移动边界条件[5]、边 长度不稳定振动弦[6]、摩擦力作用下的弦线振动[7]。 这些问题的控制方程都是积分微分方程,并最终可以 简化成为微分方程,使用摄动方法可以有效求解这类 方程的一阶摄动解析解[8 -10]。 上述针对非线性动力学 理论及求解方法的研究都是针对单弦提出来的,对网 状天线的实验及数值计算主要集中在线性振动[11 -12]、 结构线性规划上[13 -14]及参考板梁等分析方法[15 -16] 上,对于多弦结构的复杂非线性特性还没有较为系统 的理论研究。 本文在十字弦结构非线性动力学特性研 究的基础上, 讨论另一种组成网状天线的最简单 元 三交叉弦的非线性动力学特性。 本文将对三交叉弦的非线性自由振动频率特性进 行理论分析,三交叉弦的结构如图 1 所示。 首先依据 哈密顿原理推导三交叉弦的几何大变形积分微分控制 方程,并采用三重三角级数和摄动方法求解三交叉弦 的一阶摄动解。 并在此基础上讨论三交叉弦结构的非 线性特性及子结构间的耦合特性。 图 1 三交叉弦的结构示意图 Fig. 1 The oscillating state of a tri-cross string 1 三交叉弦结构模型 由图 1 可知,三交叉弦结构具有两个结点,即两根 弦相互交叉的连接点,他们在振动时彼此不分开,具有 位移及载荷的连续性。 每根弦在结点处位移相同、作 用力大小相等方向相反。 它是十字弦结构以外另一种 组成网结构的最简单元,许多三交叉弦与十字弦结构 可构成更为复杂的网结构。 三交叉弦结构的几何非线 性限定在横向位移很大的情况,其产生的弦长改变不 可忽略,而弦本身的变形是线弹性的。 三交叉弦的振 动是一维的横向运动,不发生周向的转动及水平方向 的运动。 沿弦的张力不再是常量,它是位移与时间的 函数 Tx, t,但出于简化问题的需要,Tx, t可以简 化为 Tt。 每条弦所在水平位置都连接在坐标轴上, 为图1 中的 x 轴、y1轴与 y2轴。 同时为简化推导过程, 假设三根弦的材料是相同的。 在简化三交叉弦进行动力学建模的过程中,考虑 理论建模的可行性,将三交叉弦结构分解成为三根独 立的单弦,结点处原来整体结构的内力转化为施加在 各单弦上的作用力,并依照哈密顿原理推导非线性弦 的控制方程。 2 控制方程的推导 Lagrange 函数的积分形式可以表示为 J ∫ t2 t1[Kt - Ut]dt 1 式中K 为系统动能;U 为系统势能。 以 x 轴所连接的 x 弦为例,振动方向垂直于 x-y 平 面,任意时刻 t 的动能为 Kt 1 2∫ t0 0ρ ∂w ∂t 2 dx2 式中ρ 为线密度;w 为弦的横向位移;l0为平衡位置 x 弦初始长度。 以下来确定系统动能和势能的表达式。 势能包括 两部分一部分是弦内张力带来的势能 UTt;另一部 分是外激励带来的势能 UFt,即 Ut UTt UFt。前述界定条件中假设应变仍是线弹性的,因此 张力 Tx, t与应变 ε 的关系为 Tx,t EAε EA 1 ε01 ∂wx,t ∂t 2 - 1[] 3 式中E 为杨氏模量; A 和 ε0为弦在初始平衡位置的横 截面积和初始长度。 依照 Khadem 的办法,式3可以 表示为 Tt EA T0 l0 ∫ l0 0 1 ∂wx,t ∂x 2 dx - l0 1 ε0 []4 则微分单元上的能量积分为 dUTt Ttds - dx EA T0 l0 ∫ l0 0 1 ∂w ∂x 2 dx -[ l0 1 ε0 ]1 ∂w ∂x 2 - 1[]dx 5 沿弦长积分可得 UTt EA T0 4l0 ∫ l0 0 ∂w ∂x 2 dx []∫ l0 0 2ε0 1 ε0 ∂w ∂x 2 dx[]6 另一方面,外激励所产生的势能可以表示为 UFt ∫ l0 0F 1 jointtδx - x1,jointwstx,y 1 joint,y 2 joint,t ∫ l0 0F 2 jointtδx - x2,jointwstx,y 1 joint,y 2 joint,tdx 7 式中F1 jointt,F 2 jointt分别为结点 1 和结点 2 处的连 接力;x1,joint,y1 joint,y 2 joint, x2,joint,y 1 joint, y 2 joint为结点坐 781第 8 期 潘渤等 三交叉弦结构非线性自由振动频率特性分析 ChaoXing 标;δx为 Dirac delta 函数。 依据式1及哈密顿原 理,并将式2、式6和式7代入式10, UFt δJ δ∫ t2 t1[Kt - UTt - UFt]dt 0 8 由式8可得 x 弦的积分微分控制方程 ρ ∂2w ∂t2 - EA T0 l0 ∫ l0 0 ∂w ∂x 2 dx ε0l0 1 ε0 ∂ 2w ∂x2 F1 jointtδx - x1,joint F 2 jointtδx - x2,joint, y1 y1 joint, y 2 y2 joint 9 采用与 x 弦控制方程相同的推导方法,推导 y1弦与 y2 弦的动能与势能,并代入式 8中,获取 y1弦与 y2弦的 积分微分控制方程 ρ ∂2w′ ∂t2 - EA T1 l1 ∫ l1 0 ∂w″ ∂y1 2 dy1 ε1l1 1 ε1 ∂ ∂y1 ∂w′ ∂y1 - F1 jointtδy 1 - y1 joint, x x1,joint,y 2 y2 joint 10 ρ ∂2w″ ∂t2 - EA T2 l2 ∫ l2 0 ∂w″ ∂y2 2 dy2 ε2l2 1 ε2 ∂ ∂y2 ∂w″ ∂y2 - F2 jointtδy 2 - y2 joint, x x2,joint,y 1 y1 joint 11 式中l1,l2分别为初始平衡位置 y1弦与 y2弦的初始长 度;w,w′,w″分别为 x 弦、y1弦与 y2弦的位移函数;wst为 整个三交叉弦的位移函数; 即w wstx,y1 joint,y 2 joint,t, w′ wstx1,joint,y1,y2 joint,t, w″ wstx2,joint,y 1 joint,y 2,t。 相应的边界条件为 w 0, 当 x 0 x l012a w′ 0, 当 y1 0 y1 l112b w″ 0, 当 y2 0 y2 l212c 初始条件为 wstx,y1,y2 | x xi,y1 y1j,y2 y2k, t 0 wstxi,y1 j,y 2 k,0 13 式中,wstxi,y1 j,y 2 k,0为给定的位移。 式9 式11为三交叉弦的控制方程,积分微分 项显示其具有非线性特征,结点力显示三个方程彼此 并不是独立的,具有耦合特性,下面将尝试求解该组控 制方程。 3 摄动方法求解非线性控制方程 控制方程式9左边的第二项包含有∂w/ ∂x2平 方的积分项,具有类似 Duffing 方程的非线性特性,这使 得直接获得这个积分微分控制方程的解析解是十分困 难的。 但是将时间和空间看做可解耦的维度,可以采 用模态叠加法近似逼近其响应,求解控制方程给出的 是半解析解。 根据边界条件和初始条件,将三交叉弦 结构的位移响应表示为多重三角级数的形式 wstx,y1,y2,t ∑ M m 1∑ N1 n11∑ N2 n21a mn1n2fmn1n2tsin mπx l0 sin n1πy1 l1 sin n2πy2 l2 14 式中amn1n2为第 mn1n2阶振幅;fmn1n2t为时间参数的 影响。 三交叉弦结构作为一个整体,各单弦应该有相 同的时间变化规律,同时满足 fmn1n20 1。 结合式 12及式13,式14在 x≠x1,joint或 y1≠y1 joint,y 1 ≠ y1 joint或 y 2≠y2 joint,x≠x2,joint或 y 2≠y2 joint时,wst为 0。 外激励采用三角级数的形式进行描述以便于 F1 jointtδx - x1,joint ∑ M m 1 F1∗∗ m sin mπx l0 15a F2 jointtδx - x2,joint ∑ M m 1 F2∗∗ m sin mπx l0 15b - F1 jointtδy 1 - y1 joint ∑ N1 n11F 1∗ n1 sin n1πy1 l0 15c - F2 jointtδy 2 - y2 joint ∑ N2 n21F 2∗ n2 sin n2πy2 l2 15d 式中,F1∗∗ m ,F2∗∗ m ,F1∗ n1 ,F2∗ n2 为结点力模态参数。 为了 获取模态参数之间的关系,以方便控制方程的化简, 式15可以表示为 ∫ l0 0F 1 jointtδx - x1,jointsin mπx l0 dx ∫ l0 0 ∑ M m 1 F1∗∗ m sin mπx l0 sin mπx l0 dx16a ∫ l0 0F 2 jointtδx - x2,jointsin mπx l0 dx ∫ l0 0 ∑ M m 1 F2∗∗ m sin mπx l0 sin mπx l0 dx16b ∫ l1 0 - F1 jointtδy - y 1 jointsin n1πy1 l1 dy1 ∫ l1 0 ∑ N1 n11F 1∗ n1 sin n1πy1 l1 sin n1πy1 l1 dy116c ∫ l2 0 - F2 jointtδy 2 - y2 jointsin n2πy2 l2 dy2 ∫ l2 0 ∑ N2 n21F 2∗ n2 sin n2πy2 l2 sin n2πy2 l2 dy216d 由式16可得 F1∗∗ m - B1 mn1F 1∗ n1 ,F2∗∗ m - B2 mn2F 2∗ n2 17 其中, B1 mn1 l1 l0 xm 1 yn1 1 , B2 mn2 l2 l1 xm 2 yn2 2 18 xm 1 sin mπx1,joint l0 , xm 2 sin mπx2,joint l0 19a yn1 1 sin n1πy1 joint l1 , yn2 2 sin n2πy2 joint l2 19b 将式14、式16、式17、式18及式19代入 式9、式10及式11中,并同时依据下面两个关 系式 fmn1n2t mπ l0 -1 n1π l1 -1 n2π l2 -1 881振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing T0 EA T0l0 T1 EA1 T1l1 T2 EA2 T2l2gmn1n2t 20 Dmn1n2 EA T0EA1 T1EA2 T2 mπ l0 n1π l1 n2π l2 l0 T0 l1 T1 l2 T2 21 简化得到的控制方程 g mn1n2t T2 0T 2 1T 2 2l -4 0 a2 mn1n2m 2 4ρπ2EA T0EA1 T12EA2 T22 ∑ M i 1 ∑ N1 j 1 ∑ N1 k 1 ∑ N2 l 1 ∑ N2 h 1 aijlaikh jklha2 mn1n2 yj1yk 1y l 2y h 2gijltgikht gmn1n2t ω0m2gmn1n2t Dmn1n2 F1∗∗ m F2∗∗ m ρS1∗∗ yz amn1n2 22a g mn1n2t T2 0T 2 1T 2 2l -4 1 a2 mn1n2n 2 1 4ρπ2EA T02EA1 T1EA2 T22 ∑ M i 1 ∑ M k 1 ∑ N1 j 1 ∑ N2 l 1 ∑ N2 h 1 aijlakjh iklha2 mn1n2 xi1xk 1y l 2y h 2gijltgkjht gmn1n2t ω′ 0n1 2g mn1n2t Dmn1n2 F1∗ n1 ρS1∗ xz amn1n2 22b g mn1n2t T2 0T 2 1T 2 2l -4 2 a2 mn1n2n 2 2 4ρπ2EA T02EA1 T12EA2 T2 ∑ M i 1 ∑ M k 1 ∑ N1 j 1 ∑ N1 l 1 ∑ N2 h 1 aijhaklh ijkla2 mn1n2 xi2xk 2y l 1y h 1gijhtgklht gmn1n2t ω″ 0n2 2g mn1n2t Dmn1n2 F2∗ n2 ρS2∗ xy amn1n2 22c 其中, S1∗∗ yz ∑ N1 n11∑ N2 n21y n1 1 yn2 2 ,S1∗ xz ∑ M m 1∑ N2 n11x m 1y n2 2 23a S2∗∗ yz ∑ N1 n11∑ N2 n21y n1 1 yn2 2 ,S2∗ xy ∑ M m 1∑ N1 n11x m 2y n1 1 23b 式22a、式22b、式22c分别为 x 弦、y1弦与 y2弦 的 Duffing 方程,其圆频率的线性部分为 ω0m2 T0 ρ mπ l0 2 24a ω′ 0n1 2 T1 ρ n1π l1 2 24b ω″ 0n2 2 T2 ρ n2π l2 2 24c 在使用摄动方法求解非线性方程时,需要定义小 摄动参数,此处首先定义三个小摄动参量为 εx mn1n2 T2 0T 2 1T 2 2l -4 0 a2 mn1n2m 2 4ρπ2EA T0EA1 T12EA2 T22 25a εy 1 mn1n2 T2 0T 2 1T 2 2l -4 1 a2 mn1n2n 2 1 4ρπ2EA T02EA1 T1EA2 T22 25b εy 2 mn1n2 T2 0T 2 1T 2 2l -4 2 a2 mn1n2n 2 2 4ρπ2EA T02EA1 T12EA2 T2 25c εx mn1n2 cx-y 1 mn1ε y1 mn1n2,c x-y1 mn1 l-4 0 l-4 1 m2 n2 1 EA T0 EA1 T1 26 εx mn1n2 cx-y 2 mn2ε y2 mn1n2,c x-y2 mn2 l-4 0 l-4 2 m2 n2 2 EA T0 EA2 T2 27 联系式22a、式22b、式22c及式25 式 27,可得 g mn1n2t εx mn1n2 1 by 1 mn1 by 2 mn2 ∑ M i 1 ∑ N1 j 1 ∑ N1 k 1 ∑ N2 l 1 ∑ N2 h 1 pjklhgijltgikhtgmn1n2t by 1 mn1 cx-y 1 mn1 ∑ M i 1 ∑ M k 1 ∑ N1 j 1 ∑ N2 l 1 ∑ N2 h 1 qiklhgijltgkjht gmn1n2t by 2 mn2 cx-y 2 mn2 ∑ M i 1 ∑ M k 1 ∑ N1 j 1 ∑ N1 l 1 ∑ N2 h 1 Vijklgijhtgklhtgmn1n2t ω0m2 by 1 mn1ω ′ 0n1 2 by 2 mn2ω ″ 0n2 2 1 by 1 mn1 by 2 mn2 gmn1n2t 028 其中, pjklh aijlaikh jklha2 mn1n2 yj1yk 1y l 2y h 2 29a qiklh aijlakjh iklha2 mn1n2 xi1xk 1y l 2y h 2 29b Vijkl aijhaklh ijkla2 mn1n2 xi2xk 2y l 1y h 1 29c by 1 mn1 S1∗ xz B1 mn1 S1∗∗ yz , by 2 mn2 S2∗ xy B2 mn2 S2∗∗ yz 30 则在摄动方法中,gmn1n2t可以表示为 gmn1n2t g0mn1n2t εx mn1n2 1 by 1 mn1 by 2 mn2 g1mn1n2t 31 ωmn1n22 ω0m2 by 1 mn1ω ′ 0n1 2 by 2 mn2ω ″ 0n2 2 1 by 1 mn1 by 2 mn2 εx mn1n2 1 by 1 mn1 by 2 mn2 α1 32 对于 0 阶摄动参数 εx mn1n2 1 by n1m b z n1n2 0 ,可得 g0mn1n2t Dmn1n2cos ωmn1n2t33 对于 1 阶摄动参数 εx mn1n2 1 by n1m b z n1n2 1 ,将式32和 式33代入式 31,可获得 α1 α1 1 4 ∑ M i 1 ∑ N1 j 1 ∑ N1 k 1 ∑ N2 l 1 ∑ N2 h 1 pjklhDijlDikh 1 4 by 1 mn1 cx-y 1 mn1 ∑ M i 1 ∑ M k 1 ∑ N1 j 1 ∑ N1 l 1 ∑ N2 h 1 VijklDijhDklh 1 4 by2 mn2 cx-y 2 mn2 ∑ M i 1 ∑ M k 1 ∑ N1 j 1 ∑ N1 l 1 ∑ N2 h 1 VijklDijhDklh34 981第 8 期 潘渤等 三交叉弦结构非线性自由振动频率特性分析 ChaoXing 则三交叉弦结构的频率可以表示为 fst mn1n2 ωmn1n2 2π 1 2π ω0m2 by 1 mn1ω ′ 0n1 2 by 2 mn2ω ″ 0n2 2 1 by 1 mn1 by 2 mn2 εx mn1n2 1 by 1 mn1 by 2 mn2 α135 初始条件 ∑ M m 1∑ N1 n11∑ N2 n21a mn1n2fmn1n2tsin mπxi l0 sin n1πy1 j l1 sin n2πy2 k l2 wstxi,y1 j,y 2 k,0 36 由于初始形状 wstxi,y1 j,y 2 k,0为已知,可以确定 amn1n2的值。 上述多重三角级数给出的是三交叉弦结构 位移的近似解。 为了尽可能逼近真实的结构位移,M, N1 和 N2 值应取大些,三根弦上应取相同多的点。 4 算例分析 算例参数三交叉弦结构材料的主要参数分别取为 l0 1 m,l1 0. 95 m, l2 1. 05 m, x1,joint 0. 32l0, x2,joint0.64l0,E 210 109Pa,ε 0. 2 10 -3,y1 joint 0.33l1,y2 joint0. 63l2, ρ 0. 154 3 kg/ m。 三个弦取相同 的直径0.005 m, 结构最大位移点的位移幅值尺度为 10 -3m,此时摄动参数 εx mn1n2/ 1 b y1 mn1 by 2 mn2的量级为 10 -7,远小于1。 在初始条件中,选取 M N1 N2 5,与 M N1 N2 4 工况进行对比,各阶频率误差在 2 以 内,说明 M N1 N2 4 满足计算精度,见附表1。 为了便于探讨单弦非线性自振频率与三交叉弦非 线性自振频率的关联,在接下来的算例分析见图 2 图 4中将对比三角叉弦和各单弦的情况。 依据相似的 推导过程,可以得到各独立单弦自振频率,见附录。 式35给出了三交叉弦结构 mn1n2阶频率的解析 解,可以看出三交叉弦自振频率与各组成单弦单独的 自振频率存在关联。 式 35 中频率的线性部 分 [ω0m2 by 1 mn1ω ′ 0n1 2 by 2 mn2ω ″ 0n2 2] / 1 by1 mn1 by 2 mn2 是三交叉弦结构的线性圆频率,结果显示它与各组成 单弦的线性圆频率存在结构间的耦合作用,例如 by 1 mn1。 式35的非线性部分 ε∗ mn1n2α1/ 1 b y1 mn1 by 2 mn2中存在 更为复杂的结构耦合作用,如 pjkDijDik,这说明交叉弦 结构作为一个整体,连结点带来子结构间的耦合作用。 图2 给出了改变 y1弦与 y2弦的直径 d2,d3保持 x 弦的直径 d1不变对三交叉弦非线性自振频率的影 响,为便于讨论保持 d2 d3,其中三交叉弦结构最大位 移点的位移幅值为 1 10 -3 m。 结果显示,随着 d2与 d3的增大,三交叉弦、y1弦与 y2弦的自振频率都会变 大。 但是三个增大的各阶频率之间的变化关系并不是 完全相同的 fst 333 f Ⅱ 3 ,fⅢ 3 之间与 fst 111 f Ⅱ 1 ,fⅢ 1 和 fst 222 fⅡ 2 , fⅢ 2 的变化关系是有差异的。 上述变化趋势一方面表明 三交叉弦自振频率具有典型的非线性特征,另一方面 说明三交叉弦结构各组成单弦子结构具有耦合特性。 图 3 给出了改变 y1弦与 y2弦的弦长 l1,l2保持 x 弦的弦长 l0不变对三交叉弦非线性自振频率的影响, 在讨论过程中保持 l1/ l2不变。 前三阶频率结果表明, 随着 l1与 l2的增大,三交叉弦、y1弦与 y2弦的自振频 率都会减小。 但是,三交叉弦自振频率的变化幅度要 小于 y1弦与 y2弦自身的变化,这说明子结构的变化会 造成整体三交叉弦结构频率特性的改变,但是影响幅 度小于子结构自身单独振动时的影响程度,三交叉弦 结构的耦合特性增强了结构本身的稳定性。 同时,自 振频率随着弦长变化而减小这一特性表明三交叉弦自 振频率具有的非线性特征。 在上述的算例分析中,主要讨论各子结构同阶的 情况,三交叉弦也存在各子结构不同阶的情况,如 fst 212, fst 222,f st 232,如图 4 所示。 首先,三交叉弦结构自振频率随 着振动幅值 wstx 0. 5l0,y1 joint,y 2 joint,0的增大而增大, 表现出了典型的非线性特征。 计算结果描述了式 35所描述的 mn1n2阶频率的变化趋势,三交叉弦所 展现的振动特征较之单弦要复杂很多,特别是在非线 性部分同样展现出了非线性的变化趋势且存在彼此 之间的耦合作用,如 pjkDijDik带来的各子结构间的相 互作用,表明结构耦合特性对非线性存在较强的 影响。 图 2 子结构弦直径对前三阶结构自侦频谱的影响 Fig. 2 The influence of diameters of two constituent strings on the first three frequencies of the strings 091振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing 图 3 子结构弦弦长对前三阶结构自振频谱的影响 Fig. 3 The influence of lengths of two constituent strings on the first three frequencies of the strings 该方法对比于单三角级数法、实验测试方法、数值 模拟方法具有一定的优势。 传统的单三角级数法只能 求解单弦的非线性动力学响应,如附录中附 4 附 6所示,本文所采用的多三角级数法能够表征三交叉 弦结构的整体动力学响应,特别是三根组成弦彼此的 相互影响、三根组成弦处于不同阶的频率特性如 fst 212 等。 比较于实验和数值模拟,本文采用的多三角级数 方法给出了三角叉弦结构频率响应的半解析解,只要 获知三交叉弦的初始条件,即可获得整体的非线性频 率响应,同时能够清楚掌握三交叉弦动力学响应的数 学物理关系,对于指导设计、故障诊断等具有一定的 价值。 图 4 子结构位移幅值对前三阶结构自振频谱的影响 Fig. 4 The influence of the vibration amplitude wstx 0. 5l0,y1 joint,y 2 joint,0 on the first four frequencies of the strings 5 结 论 本文使用哈密顿原理推导了三交叉弦结构非线性 自由振动时的控制方程,并首次采用三重三角级数解 法成功获取一阶摄动解。 1 分析表明,三交叉弦结构非线性自振频率的 解析解除了具有典型的非线性特性,还具有通过各个 子结构连结点带来的自振频率的耦合特性影响。 2 其耦合频率并不是三根弦频率简单的平均, 而是具有相互影响的复杂数学物理关系;当局部参数 发生改变时,整个结构的频率有变化,但是其变化幅度 与局部子结构自身因参数改变的变化幅度不是线性关 系,且小于局部子结构自身因参数改变的变化幅度;某 种程度上,耦合特性增加了三交叉弦结构的稳定性。 参 考 文 献 [ 1 ] 潘渤,尚福林. 十字弦结构非线性自由振动的频率分析 [J]. 工程力学,2012,2911 26 -32. PAN Bo, SHANG Fulin. Frequency analysis of nonlinear free vibration of a cross string[J]. Engineering Mechanics, 2012, 2911 26 -32. [ 2 ] CHEN L, DING H. Two nonlinear models of a transversely vibrating string[J]. Archive of Applied Mechanics, 2008, 78 321 -328. [ 3 ] LEISSA A W, SAAD A M. Large amplitude vibrations of strings[ J].ASME Journal of Appied Mechanics, 1994, 612 296 -331. [ 4 ] 陈立群. 轴向运动弦线横向非线性振动的能量和守恒 [J]. 振动与冲击,2002, 212 81 -82. CHEN Liqun. Energy and conservation function for transverse nonlinear vibration of an axially moving string [J]. Journal of Vibration and Shock, 2002, 212 81 -82. [ 5 ] RAM Y M, CALDWELL J C. Free vibration of a string with moving boundary conditions by the of distorted images [J].Journal of Sound and Vibration, 1996, 194 1 35 -47. [ 6 ] TERUMICHI Y, OHTSUKA M, YOSHIZAWA M, et al. Nonstati