基于自适应模糊补偿的不确定性机器人CNF控制_蒋沅.pdf

振 动 与 冲 击 第 39 卷第 8 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol.39 No. 8 2020 基金项目 国家自然科学基金61663030;61663032;江西省自然科学基 金20142BAB207021;江西省研究生教学与改革项目JXYJG-2017- 131;南昌航空大学研究生创新基金YC2017027;2018YBXG014 收稿日期 2018 -07 -26 修改稿收到日期 2018 -11 -01 第一作者 蒋沅 男,博士,副教授,1982 年生 通信作者 公成龙 男,硕士生,1991 年生 基于自适应模糊补偿的不确定性机器人 CNF 控制 蒋 沅1,2,3, 公成龙1, 吕 科2, 代冀阳1,3 1. 南昌航空大学 信息工程学院,南昌 330063; 2. 中国科学院大学 工程科学学院,北京 100049; 3. 南昌航空大学 无损检测技术教育部重点实验室,南昌 330063 摘 要为解决不确定性因素对机器人系统的影响,实现不确定性机器人系统准确跟踪参考输入的能力,研究了 自适应模糊控制和组合非线性反馈CNF控制相结合的策略。 提出了一种基于自适应模糊补偿的机器人 CNF 控制器。 核心是将系统的不确定性利用自适应模糊控制进行在线逼近,作为 CNF 控制器的补偿项,充分利用两种控制方法的优 势,降低不确定性因素对系统性能的影响。 通过反馈线性化技术与 Lyapunov 理论,证明了闭环系统的收敛性;最终仿真 结果证实了此方法的有效性。 关键词 机器人;不确定性;自适应模糊控制;组合非线性反馈CNF控制;系统收敛 中图分类号 TP241. 2 文献标志码 ADOI10. 13465/ j. cnki. jvs. 2020. 08. 015 Adaptive fuzzy compensator based CNF control for uncertain robot manipulators JIANG Yuan1,2,3, GONG Chenglong1, L Ke2, DAI Jiyang1,3 1. College of Ination Engineering, Nanchang Hangkong University, Nanchang 330063, China; 2. School of Engineering Science, University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China; 3. Key Laboratory of Nondestructive Testing Ministry of Education, Nanchang Hangkong University, Nanchang 330063, China Abstract In order to solve the influence of uncertain factors on a robot system and realize the ability of the uncertain robot system to track the reference accurately, the strategy of combining adaptive fuzzy control and composite nonlinear feedback CNF control was studied, and a robot CNF controller based on adaptive fuzzy compensation was proposed. The core is to systematically use the adaptive fuzzy control to approach the uncertainty of the system and use it as a compensation item of the CNF controller to fully utilize the advantages of the two control s to reduce the impact of uncertainties on the system perance. Through feedback linearization and the Lyapunov theory, the convergence of the closed-loop system was proved. The final simulation results confirm the effectiveness of the . Key words robot; uncertainty; adaptive fuzzy control; composite nonlinear feedbackCNF control; system con- vergence 轨迹跟踪是机器人控制[1]系统的主要工作任务之 一,其方式和目的在于通过给定各关节的驱动力矩,使 得机器人的位置、速度等状态变量跟踪给定的理想轨 迹。 机器人有多种控制方法[2 -7],主要包括计算力矩 控制、自适应控制、最优控制、鲁棒控制、模糊控制、神 经网络控制等。 组合 非 线 性 反 馈 理 论[8] Composite Nonlinear Feedback, CNF是一种计算力矩控制理论,可作为求 解饱和系统的定点跟踪任务的一种有效方法。 文献 [9]验证了组合非线性反馈控制在定点跟踪任务中控 制性能优于时间最优控制。 但当系统中存在干扰或系 统模型不精确以下简称不确定性时,CNF 控制作用 下的系统便不再具有输出准确渐近匹配参考输入的 能力。 对于机器人系统的不确定性因素,存在多种解决 策略[10 -14]。 如果系统不确定模型已知,可在系统中施 加一个控制作用,使之抵消每一瞬时的不确定性,便可 以消除不确定性对系统性能的影响,这就是基于模型 的补偿[15],但要根据数学模型来完全补偿不确定性的 影响是不可能的。 文献[16]提出一种自适应补偿器用 以补偿系统模型中的线性化和非线性化参数的不确定 ChaoXing 性,但是自适应控制本质基于动力学模型,对于摩擦及 外部扰动等非线性参数的不确定性的补偿效果并不理 想。 虽然文献[17]对 Hung 等研究的不足之处有所改 进,实现算法却较为复杂。 文献[18]虽然对外部干扰 具有较好的抑制效果,但是它只针对外部扰动因素,若 再考虑其他不确定因素,不可避免的会改变控制器的 结构。 文献[19]所提出的滑模控制能有效解决传统控 制中的固有抖振现象,但实现过程却牺牲了一定的反 应时间。 本文采用具有模糊产生器和模糊消除器的自适应 模糊控制系统[20]对摩擦和外部扰动等不确定性进行在 线估计,并将估计结果作为 CNF 控制器的补偿项该 补偿项的引入不会影响原有控制器的设计,设计一种 基于自适应模糊补偿的 CNF 控制器,用来减小不确定 性对系统的影响,抑制系统的固有抖振,使机器人系统 的轨迹跟踪快速且精确,并使系统获得较强的稳定性 和鲁棒性。 本文其余部分安排如下第二节导出广义不确定 方程以及自适应模糊控制的基本原理。 第三节提出新 型控制器,并证明机器人闭环系统的收敛性。 第四节 给出机器人系统仿真结果。 第五节概括本文的基本 结论。 1 不确定性导出与自适应模糊控制原理 N 关节的机器人动态方程为 Mqq Cq,q q Gq τ Fq,q ,q 1 式中 q∈Rn为关节位置; q ∈Rn 为关节速度; q ∈Rn 为关节加速度; Mq∈Rn n为正定惯性矩阵; Cq, q ∈Rn n为离心力/ 哥氏力矩阵; Gq∈Rn 为重力向 量; Fq,q ,q ∈Rn 为由摩擦、扰动、模型不确定等构 成的不确定性项; τ∈Rn为驱动力矩。 机器人动力学方程具有如下属性 性质 1 惯性矩阵 Mq是对称正定有界矩阵,满足 λ1I ≤ Mq ≤ λ2I2 式中, λ1和 λ2为已知正数。 此外, Mq为非奇异,即 M -1q存在。 性质 2 对于任意向量 q∈Rn和q ∈Rn,惯性矩阵的时 间导数M q和矩阵 Cq,q 满足 q T1 2 M q - Cq,q []q 03 如果机器人不存在不确定项 Fq,q , q , 则基于 组合非线性反馈的控制律[21]可设计为 τ sat[Mqsathq d - kve - kpe - ρeBTP e e [ ] Cq,q q Gq]4 式中, τ satu Rn →R n 为饱和向量函数[22],可有效 克服系统抖振,具有以下形式 satu [satu1 satu2 satun] T 5 式中 satui signuimin{ui,max, ui}; sath为 机器人内部各通道的饱和向量值函数; qd为期望位 置; 跟踪误差及其导数分别为 e q - qd, e q - q d,都 是相应维数列向量。 且当增益矩阵 kp diagα2,α2, kv diag2α,2α,α 06 为对角正定矩阵时,可以得到解耦的线性系统, ρe 为非负定非线性反馈函数,B [0 I] T, P 为对称正定 矩阵,并满足如下 Lyapunov 函数方程 0I - kp- kv [] T P P 0I - kp- kv [] - Q 7 此时的闭环系统为线性时不变系统,由线性反馈 实现镇定,具有全局渐近稳定性。 将控制律式4代入式1中,得 satme kve kpe ρeBTP e e [ ] M-1qFq,q ,q 8 式中,satm ≥ sath , satm为系统存在 不确定性 1 因素时系统饱和向量值函数,它可以保证 整个闭环系统在存在较大模型不确定时的稳定性。 令 式8右侧为 fx, 并定义 x [e e ]T。 但是在实际工程中,需要对不确定项进行逼近,从 而实现对不确定项的补偿。 本文采用模糊自适应系统 在线逼近不确定模型。 模糊逻辑系统的基本结构是由模糊化、推理合成、 模糊规则基与反模糊化 4 部分组成。 模糊逻辑规则是 以 IF-THEN 推理规则表示 RjIf x1is Fj1and x2is Fj2and. . . and xnis FjnThen y is Gj, j 1,2,,M。 其中 x∈Rn为模糊系统的输入; y∈R 为模糊系统的 输出; Fji和 Gj为模糊集。 采用单值模糊化、乘积运算、 加权平均反模糊化,可得Ⅰ型模糊逻辑系统为 y ∑ M j 1 yj∏ n i 1 μFxi ∑ M j 1∏ n i 1 μFxi , 记 ξj ∏ n i 1 μFxi ∑ M j 1 ∏ n i 1 μFxi 9 式中 μFyj为模糊隶属函数; yj为 μFyj取得最大 值的点。 定义 θ [y1,y2,,yM] T 为模糊控制系统的 自适应参数向量, ξx [ξ1x,,ξMx] T 为模糊 基函数向量。 则模糊逻辑系统可写为 yx θTξx10 假设 取 ε 为最优逼近误差, 即 ε fx - fx, θ∗, 且存在理想的自适应模糊输出fx,θ∗, 针对最 701第 8 期 蒋沅等 基于自适应模糊补偿的不确定性机器人 CNF 控制 ChaoXing 优误差上界 ε0,有 max‖ fx,θ∗ - fx‖ ≤ ε011 式中, fx,θ∗ θ∗Tξx, 且‖fx‖为 fx的 Eu- clid 范数, θ∗ arg min θ∈βMθ {supx∈φMx‖fx - fx,θ‖}12 式中 θ∗为 n n 阶矩阵, 表示对 fx 的最佳逼近 参数。 2 控制器设计 新型控制器可设计为 τ sat[Mq[sathq d - kve - kpe - ρeBTP e e [ ]- fx,θ] Cq,q q Gq]13 式中 θ 为 θ∗的估计值; fx,θ θTξx。 定义自适应律为 θ γBTPxξx, γ 014 式中, θ , P, B 由闭环系统的跟踪误差分析导出。 结合式1、式8、式13可以得到 satme kve kpe ρeBTP e e [ ] fx,θ fx15 由于 fx - fx,θ fx - fx,θ∗ fx,θ∗ - fx,θ ε θ Tξx 16 式中, θ θ - θ∗。 定理 1 如果机器人闭环系统满足下列条件 1 存在 c 0,满足 [e e ]T ∈ Lvc e e [ ]∶ e e [ ] T P e e [ ]≤ c{}⇒ q di - kvie - kpie≤ hi, i 1,2,,n 17 式中 kpi和 kvi为 kp和 kv矩阵的行向量; hi为各通道 的最大输出幅值; Lvc为系统稳定吸引域估计集; c 为吸引域半径。 2 [e0 e 0]T 满足[e0 e 0]T∈L vc。 那么,闭环系统式19起始于 Lvc的轨迹渐近收敛到原 点,对于任意的参考输入 qd和任意满足[e0 e 0]T∈ Lvc 的初始状态q0q 0, 起始于q0 q 0的轨迹将会收敛到q dt q dt。 证明定义 Lyapunov 函数为 V 1 2 xTPx 1 2γ‖ θ ‖2, γ 018 由式1、式8、式13、式15,结合反馈线性 化函数,并定义位置误差 e 和速度误差e 为新的状态变 量,闭环系统可表示为 d dt e e [ ] 0I - kp- kv [] e e [ ] B[sathq d - kve - kpe - ρeBTP e e [ ] ε θ Tξx - q d kve kpe]19 Lyapunov 函数 V 沿闭环系统的时间导数为 V - 1 2 xTQx xTPB[sathq d - kve - kpe - ρeBTP e e [ ] - q d kve kpe]- ξTx θ BTPx ηTBTPx 1 γ tr θ T θ - 1 2 xTQx ∑ n i 1 vi[sathki- ρievi - ki] - ξTx θ BTPx ηTBTPx 1 γ tr θ T θ 20 式中 vi为 BTP e e 的第 i 个元素; ki q di- kvie - kpie, i 1,2,,n。 考虑项∑vi[sathki- ρievi - ki] 。 对于每个 i,如果 ki- ρievi≤hi,那么 vi[sathki- ρievi - ki] - ρiev2 i≤ 0 21 当 ki- ρievi hi, 由定理 1 可知,ki≤hi, vi和 sathki- ρievi - ki有相反的符号,因此 vi[sathki- ρievi - ki] ≤ 022 总之,我们有 V ≤- 1 2 xTQx - ξTx θ BTPx ηTBTPx 1 γ tr θ T θ 23 因为 ξTxθ BTPx tr[BTPxξTxθ ], 且 θ θ 所 以 V ≤- 1 2 xTQx εTBTPx 1 γ tr θ T θ - γBTPxξTx θ 24 可进一步得到 V ≤- 1 2 xTQx εTBTPx25 根据 F 范数的性质,有 V ≤- 1 2 λminQ‖x‖2 ‖x‖‖ε0‖λmaxP - 1 2 ‖x‖[λminQ‖x‖ - 2‖ε0‖λmaxP] 26 要使V ≤0, 需满足 801振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing ‖x‖ ≥ ‖ε0‖ 2λmxP λminQ 27 从‖x‖的收敛情况可知当 Q 的特征值越大, P 的特征值越小、自适应模糊建模误差 ε 的上界 ε0越小, 则 x 的收敛半径越小,跟踪效果越好。 3 仿真结果与分析 针对双关节机械手,其动力学方程为式1,具体 表达如下 3. 46 2. 4cosq20. 96 1. 2cosq2 0. 96 1. 2cosq20. 96 q 1 q 2 - 1. 2sinq2 q 2 - 1. 2sinq2q 1 q 2 1. 2sinq2 q 2 0 q 1 q 2 2. 5cosq2 12cosq1 q2 12cosq1 q2 τ1 τ2 Fq,q ,q 28 控制目标是使双关节的输出 q1,q2分别跟踪期望 轨迹 qd1 sin t 和 qd2 sin t。 定义隶属函数为 μAl ixi exp - xi- x -l i π/24 2 29 式中 Ai分别为 NB, NS,ZO,PS,PB; x -l i分别为 -π/6, - π/12,0,π/12,π/6, i 1,2,3,4,5。 系统的初始状态可选择为 [q10 q20 q 10 q 20] T [0 0 1 1] T。 取不确定项 Fq,q , q 15 q 16sgnq 1 15 q 26sgnq 1 。 并取 α 3 设计 kp,kv。 自适应模糊参数的初始值取 θ0 [ -2-1 0 1 2], 以及 γ 20。 非线性函数为 ρe diag600e - 60 e 1 ,1 500e - 47 e 2 ,进而由文献 [22]计算出 h h1 h2 47.5 30 , 本文中令 satm sath 。 为避免驱动器饱和,需满足 τ0 M0umax≤ τmax30 式中, umax为组合非线性反馈所允许的最大饱和值, 也 就是 sat函数的饱和幅值,根据式30可计算得到 umax [u1,maxu2,max] T [100 75] T 31 取 Q 50I, 由水平集估计计算,可选择其边界值 c 24,这样便能保证原始系统的稳定性。 仿真结果如图 1 图 11 所示。 图 1 是机器人系统 无不确定性时原始 CNF 控制器控制下系统轨迹跟踪结 果,此时系统的反应快速,跟踪效果精确,控制性能较好。 当机器人系统存在不确定项时,原始 CNF 控制器控制下 系统控制性能较差,不再具有精确跟踪的能力,不可避免 的使得系统产生抖振,结果如图 2 所示。 图 3 为机器人 系统在原始自适应模糊控制器[23]控制下的跟踪结果,此 时系统在跟踪过程中存在较大超调,跟踪至稳定时间较 长,控制性能有待提高。 图 4 为机器人系统在新型控制 器下的跟踪结果,此时系统反应迅速,无明显超调,调节 至稳定时间较短,精确跟踪能力较好,控制性能较优。 图 1 无不确定性时原始 CNF 跟踪结果 Fig. 1 Original CNF tracking results without uncertainty 图 2 存在不确定性时原始 CNF 跟踪 结果 Fig. 2 Original CNF tracking results with uncertainty 图 3 存在不确定性时原始自适应 模糊控制器跟踪结果 Fig. 3 Original adaptive fuzzy control tracking results with uncertainty 图 4 存在不确定性时新型控制器的 跟踪结果 Fig. 4 Tracking results of new controllers with uncertainty 图 5 图 8 为当系统存在不确定性时模糊自适应 控制器对不确定项所产生的力矩估计与补偿结果,可 明显看出新型控制器比原始模糊自适应补偿器能更精 确的在线逼近与补偿不确定项所产生的力矩。 虽然从 901第 8 期 蒋沅等 基于自适应模糊补偿的不确定性机器人 CNF 控制 ChaoXing 图 8 中能够看出新型控制器在某时刻会存在较大的估 计与补偿误差,但是新型控制器中存在的饱和函数能 够有效抑制此时较大力矩误差对系统产生的不利影 响,此时系统饱和函数所起的作用也可从图 4 中体现。 图 5 原始自适应模糊控制器对 不确定项的逼近与补偿 Fig. 5 Approximation and compensation of uncertainty by original adaptive fuzzy controller 图 6 新型控制器对不确定项的 逼近与补偿 Fig. 6 Approximation and compensation of uncertainty by new controllers 图 7 原始自适应模糊控制器对不确定 项的逼近与补偿误差 Fig. 7 Approximation and compensation error of the original adaptive fuzzy controller for uncertainty 图 8 新型控制器对不确定项的逼近与补偿误差 Fig. 8 Approximation and compensation error of new controller for uncertainty 图 9 图 11 为不确定机器人系统总控制输入。 从 图 9 可见原始 CNF 控制器的控制输入存在较大的不稳 定性,不可避免的会弱化系统的控制性能。 而原始自适 应模糊控制器下的控制输入虽然比原始 CNF 控制器下 的控制输入稳定,但是仍存在输入力矩抖动,不利于机 器人系统对参考轨迹的准确跟踪。 新型控制器下的控 制输入稳定光滑且调节至稳定时间较短,能为机器人系 统提供持续且稳定的控制力矩,保证系统获得较优的控 制性能,效果如图 11 所示。 图 9 原始 CNF 控制器的控制输入 Fig. 9 Control of the original CNF controller 图 10 原始自适应模糊控制器的 控制输入 Fig. 10 Control of original adaptive fuzzy controller 图 11 新型控制器的控制输入 Fig. 11 Control of new controller 4 结 论 本文对机器人的不确定因素采用自适应模糊控制 进行在线逼近,形成基于自适应模糊补偿的组合非线 性反馈控制器。 主要创新点在于 1 自适应模糊补偿器的设计独立于原始的组合 非线性反馈控制器,它的引入对原始系统的设计无 影响。 2 新型控制器的作用范围不仅仅针对单一的扰 动不确定性因素,它同样适用于多种线性和非线性不 确定性因素,如关节间的摩擦和机器人模型的不确定 性等。 3 新型控制器不仅充分保留了 CNF 控制方法的 快速响应、超调小的特点,而且保留了自适应模糊补偿 011振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing 控制对不确定性因素有效在线逼近的优点。 能够证明采用此新型控制器不但能使机器人系统 获得良好的跟踪性能,而且能具有良好的鲁棒性和稳 定性。 故该方案可以推广到机器人操纵器的空间跟踪 任务中。 参 考 文 献 [ 1 ] 刘金琨. 机器人控制系统的设计与 MATLAB 仿真 - 先进 设计方法[M]. 北京 清华大学出版社, 2017. 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