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振 动 与 冲 击 第 39 卷第 13 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol. 39 No.13 2020 基金项目 国家自然科学基金项目11872159 收稿日期 2019 -01 -17 修改稿收到日期 2019 -04 -10 第一作者 张登博 男,博士生,1990 年生 通信作者 陈立群 男,教授,博士生导师,1963 年生 E-mail lqchen shu. edu. cn 计及非齐次边界条件的面内变速运动黏弹性板的稳态响应 张登博1, 陈立群1,2 1. 上海大学 上海市应用数学和力学研究所, 上海 200072; 2. 上海大学 力学系, 上海 200444 摘 要研究非齐次边界条件和 1∶ 3内共振下面内平动黏弹性板的横向非线性 1∶ 2主参数振动的稳态响应。 考虑 黏弹性对边界条件的影响,建立了面内平动板的偏微分运动方程和相应的非齐次边界条件。 采用直接多尺度法建立了次 谐波参数共振时的可解性条件,并根据 Routh-Hurvitz 判据判别了系统幅频响应的稳定性。 讨论了速度扰动幅值和黏弹性 系数对幅频响应的影响,对比了齐次和非齐次边界条件下稳态响应的差异。 最后,引入微分求积法验证直接多尺度法的 近似解析结果。 关键词 面内运动板; 次谐波参数振动; 1∶ 3内共振; 多尺度方法; 微分求积法 中图分类号 O323 文献标志码 ADOI10. 13465/ j. cnki. jvs. 2020. 13. 023 Steady-state responses of a viscoelastic plate with in plane variable speed motion under non-homogeneous boundary conditions ZHANG Dengbo1, CHEN Liqun1,2 1. Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Shanghai University, Shanghai 200072, China; 2. Department of Mechanics, Shanghai University, Shanghai 200444, China Abstract Steady-state responses for lateral nonlinear 1∶ 2 principal parametric resonance of a viscoelastic plate with in plane 1∶ 3 internal resonance of translation were investigated under nonhomogeneous boundary conditions. A governing partial differential equation of motion and corresponding nonhomogeneous boundary conditions for the plate with in plane translation were established considering effects of viscoelasticity on boundary conditions. The multi-scale was applied to establish the solvability conditions during the plate having sub-harmonic parametric resonance. The stability of the system’ s frequency-amplitude responses was judged using Routh-Hurvitz criterion. Effects of in-plane translation speed disturbance amplitude and viscoelastic coefficient on the system’s steady-state responses were investigated. The system’s steady-state responses under homogeneous boundary conditions and non-homogeneous ones were compared. Finally, the differential quadrature was introduced to verify approximate analytical results using the multi-scale . Key words plate with in plane motion; sub-harmonic parametric resonance; 1∶ 3 internal resonance; multi-scale ; differential quadrature 在工程实际中,运动系统广泛存在于土木、机械、 军事、航空航天以及纺织工程等领域中,观光缆车索 道、带锯、机械传送带和纸带等都可以简化为运动系 统。 由于传输速度变化的影响,运动结构会沿横向产 生振动,而这些横向振动往往是有害的。 例如,在带锯 装置中,高速运转的刀片可能会产生大幅度的横向振 动,这将严重影响工件加工精度,导致工件的加工质量 低劣。 因此,对运动结构横向振动的分析有着工程意 义和应用前景。 国内外学者对轴向运动体系横向振动的问题进行 了一系列研究。 研究主要集中在轴向运动弦线[1-2]和 梁[3-4],吕海炜等[5]采用 Galerkin 法研究了轴向运动软 夹层梁横向振动。 赵小颖等[6]研究了带有中间弹簧支 撑的轴向运动梁横向非线性振动。 华洪良等[7]研究了 轴向移动悬臂梁频率的频率响应特性。 对面内平动 板[8]的关注相对较少。 刘金堂等[9]采用采用 Galerkin 法研究了轴向变速运动大挠度薄板的非线性动力学行 为。 周银锋等[10]研究了轴向运动黏弹性矩形薄板的动 力特性和稳定性问题。 Yang 等[11]采用多尺度法研究 ChaoXing 了面内运动复合板的稳定性。 Zhang 等[12]采用多尺度 法研究了内共振下复合悬臂矩形板的非线性振动。 Ghayesh 等[13]引入几何非线性对面内运动板的全局动 力学进行了研究。 Wang 等[14]研究了面内运动浸液板 的固有频率和模态函数。 Tang 等[15]采用直接多尺度 法和微分求积法研究了内运动板的非线性参数共振。 在以往的研究中,为了计算简便大都是采用齐次 边界条件。 考虑黏弹性时,系统存在非齐次边界条件, 而目前的研究相对较少。 Tang 等[16]研究了非齐次边 界条件下轴向运动 Euler 梁的非线性参数振动。 Zhang 等[17]考虑了非齐次边界条件的影响,研究了轴向运动 Euler 梁参数共振,对比分析了齐次边界条件和非齐次 边界条件下的失稳边界。 Tang 等[18]研究了非齐次边 界条件对面内运动板线性参数共振时稳定性边界的影 响。 考虑非齐次边界条件的面内运动黏弹性板的非线 性参数振动尚没有研究。 本文研究了面内变速运动黏弹性板的横向非线性 参数振动,考虑了平动速度与径向张力的变化关系,由 于板的黏弹性,边界条件为非齐次。 给出了面内变速 运动板的非线性控制方程和非齐次边界条件。 用多尺 度法分析了次谐波参数共振和内共振共存的情形,并 讨论了相关参数对幅频特性曲线的影响。 最后,通过 微分求积方法进行了数值验证。 1 控制方程 考虑单位面积质量为 ρ,弹性模量为 E,泊松比为 μ,黏弹性系数为 η,黏性阻尼为 cd,长、宽和高分别为 a,b 和 h,横向位移为 wx, y, t的板以速度 Γt沿轴 向运动. 采用 Kirchhoff 基本假设且黏弹性材料用 Kelvin 本构关系描述. 采用广义 Hamilton 原理建立面 内运动板的无量纲化动力学方程和非齐次边界条件 w,tt2γw,xt [κγ2- x - 1γ,t- 1]w,xx ζw,xxxx 2ξ2w,xxyy ξ4w,yyyy - εη[w,xxxxt 2ξ2w,xxyyt ξ4w,yyyyt γw,xxxxx2ξ2w,xxxyy ξ4w,xyyyy] 6εkζ [w2 ,xw,xx2ξ 2w ,xw,yw,xy ξ 4w2 ,yw,yy μξ2w2 ,yw,xx-2w,xw,yw,xy w 2 ,xw,yy] - εcdw,t γw,x1 w x 1 x 00, w,xx εη ζ w,xxt γw,xxx μγ ξ2 w,xyy [] x 1 x 0 0 w y 1 y 00, w,yy εη ζ w,yyt γw,xyy [] y 1 y 0 02 其中无量参数 w↔ w kεh,t↔ t a Nx0 ρ ,x↔ x a ,y↔ y b , η↔ Dη εEa3ρNx0 ,ζ D Nx0a2,γ Γ ρ Nx0, cd cda εh ρ kNx0,ξ a b ,κ 1 - χ3 式中ε 为无量纲参数,表示板的横向位移、黏性阻尼和 黏弹性系数均为小量;Nx0为静张力;k 为非线性系数。 当黏弹性本构关系为 Kelvin 模型并取物质时间导数 时,式2非齐次边界为简支边界条件的精确形式, 其考虑了黏弹性的影响。 在以前的研究中,大都只在 控制方程中考虑黏弹性本构关系,而在边界中依然采 用弹性本构时的边界条件齐次边界条件,即式2 中 η 0。 设轴向运动速度围绕平均速度 γ0做简谐脉动 γ γ0 εγ1sinωt4 式中εγ1为速度脉动幅值;ω 为速度脉动频率。 对式 1和2应用直接多尺度方法,设其一阶近似解为 vx,t;ε v0x,T0,T1 εv1x,T0,T1 Oε25 式中T0 τ; T1 ετ。 将式4 和5 代入式1 和 2,并分离 ε0和 ε1阶量,得到 w0,T0T0 2γ0w0,xT0 κγ2 0 - 1w0,xx ζw0,xxxx 2ξ2w0,xxyy ξ4w0,yyyy 06 w0 x 1 x 0 0,w0,xx x 1 x 0 0; w0 y 1 y 0 0,w0,yy y 1 y 0 07 w1,T0T0 2γ0w1,xT0 κγ2 0 - 1w1,xx ζw1,xxxx 2ξ2w1,xxyy ξ4w1,yyyy - {2w0,T 0T1 γ0w0,xT1 cdw0,T0 k1γ0w0,x 2γ1sinωtw0,xT0 1 - xωγ1cosωtw0,xx2κγ0γ1sinωtw0,xx η[γ0w0,xxxxx 2ξ2w0,xxxyy ξ4w0,xyyyy w0,xxxxT0 2ξ2w0,xxyyT0ξ4w0,yyyyT0]}6kζ[w,xx ξ2μw,yyw2 ,x ξ2μw,xx ξ2w,yyw2 ,y 2ξ21 - μw,xw,yw,xy]8 w1 x 1 x 0 0,[w1,xx η ζ w0,xxT0 γ0w0,xxx μγ0 ξ2 w0,xyy ] x 1 x 0 0,w1 y 1 y 0 0, [w1,yy η ζ w0,yyT0 γ0w0,xyy ] y 1 y 0 09 2 次谐波参数共振 2. 1 可解性条件 考虑 1∶ 3內共振,引入解谐参数 σ1,考虑脉动频率 ω 在 2ω12附近做变化,引入解谐参数 σ2 ω12 3ω11 εσ1,ω 2ω12 εσ210 设式6和7的解为 w0x,y,T0,T1 ψ11x,yA11T1eiω11T0 ψ12x,yA12T1eiω12T0 cc 751第 13 期张登博等 计及非齐次边界条件的面内变速运动黏弹性板的稳态响应 ChaoXing w1x,y,T0,T1 φ11x,y,T1eiω11T0 φ12x,y,T1eiω12T0 Nx,y,T0,T1 cc11 式中A11T1和 A12T1为待定的复函数;ω11和 ω12为 第 1 和第 2 阶固有频率;ψ11x,y和 ψ12x,y为齐次 边界条件7下的模态函数;φ11x,y,T1和 φ12x,y, T1是非齐次边界条件9下的函数。 cc 表示等式右 端前几项的复数共轭,Nx,y,T0,T1为久期项。 将式 10和11代入8,消去久期项,并应用内积[19]的 性质,整理得系统的可解性条件为 A11,T1 0. 5cd ηm1A11 kg11A2 11A11 g12A11A12A12 h1A12A2 11 σ1T1 0 12 A12,T1 0. 5cd ηm2A12 γ1f2A12 σ2T1 kg22A2 12A12 g21A12A11A11 h2A3 11 - σ1T1 0 13 考虑面内运动黏弹性板的物理参数如表 1 所示。 表 1 板的物理参数 Tab. 1 Physical parameters of the plate 项目值 板的长宽高 a b h/ m31. 5 1. 5 0. 02 杨氏模量 E/ Pa2. 10 1011 初始张力 P0/ N68 376 密度 ρ/ kgm -3 7 850 由式3和表 1 解得无量纲参数 ζ 1 和 ξ 1。 当 运动速度 γ0 4. 75 时,前两阶固有频率分别为 ω11 45. 455 3 和 ω1214. 519 54,解谐参数 σ11. 896 68。 给定 κ 0. 5、μ 0. 3、γ0 4. 75,则可求得系数m1 3. 218 984 052 102; m2 1. 799 594 89 103;h1 -1. 322 517 8 43. 233 367i;h20. 208 910 8 6. 829 265 99i; f2 - 5. 620 376 9 - 1. 146 740 9i; g11 -1. 258 007 2 102;g12 - 4. 368 334 5 102;g21 -1. 881 861 29 102;g22 - 3. 499 479 63 102。 若 在边界条件 9 中不考虑黏弹性的影响, 则 m1 4. 238 106 4 102; m2 2. 079 915 97 103;其他参数 值不变。 将式12和13写成极坐标的形式 A11 α1T1eiβ1T1, A12 α2T1eiβ2T114 式中αn和 βnn 1,2是 T1的实函数;分别为对应阶 模态的幅值和相角。 将式14代入式12和13,并 分离实部和虚部,得到 α1,T1 -0.5cdηm1α1khI 1sin θ1-h R 1cos θ1α 2 11α2 15 α1β1,T1 -kgI 11α 2 1g I 12α 2 2α1-kh R 1sin θ1h I 1cos θ1α 2 1α216 α2,T1 - 0. 5cd ηm2α2- khI 2sin θ1 h R 2cos θ1α 3 1- γ1fR 2cos θ2- f I 2sin θ2α2 17 α2β2,T1 - kgI 21α 2 1 g I 22α 2 2α2- kh I 2cos θ1- h R 2sin θ1α 3 1- γ1fI 2cos θ2 f R 2sin θ2α2 18 式中θ1 σ1T1- 3β1 β2;θ2 σ2T1- 2β2;上标 R 和 I 分别表示相应参数的实部和虚部。 显然式15 式18有零解,假设还有非零解存 在,则可能有两种情况1 αn0 且 βn≠0;2 αn≠0 且 βn≠0。 2. 2 零 解 为研究零解的稳定性,引入直角坐标变换 A11T1 [p1T1 iq1T1]eiS1T1,A12T1 [p2T1 iq2T1]eiS2T119 式中ph和 qhh 1, 2 是 T1的实函数;S1 2σ1 σ2 /6,S2 σ2/2。 将式19代入式12和13,并分 离实部和虚部,得到 p 1 - 0. 5cd ηm1p1 S1q1 k{q1[p2 1 q2 1g I 11 p2 2 q 2 2g I 12] -2p1q1h I 1p2 h R 1q2 - p2 1- q 2 1h R 1p2- h I 1q2} 20 q 1 - S1p1 - 0. 5cd ηm1q1- k{p1[p2 1 q2 1g I 11 p2 2q 2 2g I 12] -2p1q1h R 1p2 - hI 1q2 p 2 1 - q2 1 hI 1p2 h R 1q2} 21 p 2 - 0. 5cd ηm2 γ1f R 2p2 S2- γ1f I 2q2 k{q2[p2 1q 2 1g I 21p 2 2 q2 2g I 22] q13p 2 1 - q2 1h I 2 - p1p2 1-3q 2 1h R 2} 22 q 2 - S2 γ1f I 2p2- 0. 5cd ηm2- γ1f I 2q2- k{p2[p2 1q 2 1g I 21p 2 2q 2 2g I 22] q13p 2 1-q 2 1h R 2 p1p2 1-3q 2 1h I 2} 23 式20 22右端函数的 Jacobi 矩阵的特征方程的行 列式为 [λ2 λ2ηm1 cd ηm10. 5cd2 S2 1][λ 2 λ2ηm2 cd ηm2 0. 5cd2 S2 2 - γ2 1 f2 2] 024 若式24 的所有根均有负实部, 则所有的 Routh- Hurwitz 行列式均大于零 2ηm1 cd0, ηm10. 5cd2 S2 10, 2ηm2 cd0, ηm20. 5cd2 S2 2- γ 2 1 f2 2 025 则式12和13有稳定性零解的条件为 γ10, 0. 5cd ηm12 S1 kgI 12α 2 2 2 0, cd2ηm2 0, 4kgI 22α 2 2 f2 2γ2 1- 0. 5cd ηm2 2 038 由式38可知,第一个非零解总是不稳定的,第二 个非零解总是稳定的。 2. 4 双模态解 在双模态解中 αn≠0 且 βn≠0。 联立式16 和 18,得到 θ1,T1 σ1 k[cos θ13hI 1α 2 2 - hI 2α 2 1 sin θ13h R 1α 2 2 hR 2α 2 1]α1/ α2 k3g I 11- g I 21α 2 1 k3gI 12 - gI 22α 2 2 - γ1fI 2cos θ2 f R 2sin θ2 39 θ2,T1 σ22khI 2cos θ1 - hR 2sin θ1α 3 1/ α2 2kgI 21α 2 1 gI 22α 2 2 2γ1f I 2cos θ2 f R 2sin θ2 40 对于稳态响应,幅值和相位角应为常数,即 - 0. 5cd ηm1α1 khI 1sin θ1 - hR 1cos θ1α 2 1α2 041 σ1 k3gI 11- g I 21α 2 1 k3gI 12 - gI 22α 2 2 - γ1fI 2cos θ2 fR 2sin θ2 k[cos θ13h I 1α 2 2- h I 2α 2 1 sin θ13hR 1α 2 2 h R 2α 2 1]α1/ α20 42 - 0. 5cd ηm2α2- khI 2sin θ1 h R 2cos θ1α 3 1- γ1fR 2cos θ2- f I 2sin θ2α20 43 σ22kgI 21α 2 1 gI 22α 2 2 2kh I 2cos θ1 - hR 2sin θ1α 3 1/ α22γ1fI 2cos θ2 f R 2sin θ2 0 44 由于 h1和 h2仅与系统的固有频率、模态函数和运 动速度有关,与黏弹性系数、黏性阻尼系数和速度脉动 幅值无关,因此,由式41和43得到 hR 1/ h R 2 - hI 1/ h I 2 C45 将式45代入式41 式44,并消去 θ1和 θ2, 得到 36k2C2α2 1α 2 2 h2 2 9cd2ηm12 [2σ1 σ2 6kgI 11α 2 1 g I 12α 2 2] 2 46 36C2α4 2 f2 2γ2 19[Ccd2ηm2α 2 2- cd2ηm1α 2 1] 2 {3Cα2 2[σ2 2kgI 21α 2 1 gI 22α 2 2] α 2 1[2σ1 σ2 6kgI 11α 2 1 g I 12α 2 2]} 2 47 将解得的振幅和相角回代到式15、17、39 和40 右端函数的 Jacobi 矩阵的特征方程, 根据 Routh-Hurwitz 判据可求得系统幅频响应的稳定性。 2. 5 数值算例 当 κ 0. 5、k 1. 0、η 0. 000 2、cd 0. 01、γ1 0. 08 时,图 1 给出了面内运动板在发生内共振和次谐 波参数共振时的响应曲线及稳定性情况。 图中实线表 示稳定解;虚线表示非稳定解。 由图 1 可知,响应曲线 有三种解零解、单模态解和双模态解。单模态解曲线 a 第 1 阶模态 b 第 2 阶模态 图 1 前两阶模态的稳态响应曲线 Fig. 1 The responses of the first two modes 951第 13 期张登博等 计及非齐次边界条件的面内变速运动黏弹性板的稳态响应 ChaoXing 向右偏,呈现为硬弹簧的特性。 双模态解只在局部范 围存在。 当 σ2 0. 55 时,系统存在稳定的零解;当 σ2 0. 55 时,系统存在不稳定的零解。 当 σ2 PB1 和 σ2 PB2 时分别发生超临界叉式分岔和次临界 叉式分岔。 双模态解在极限点 SN σ21. 15和 hopf 分叉点 HB σ21. 22之间有稳定部分。 当 κ 0. 5、k 1. 0、η 0. 000 2、cd 0. 01、γ1 0. 1 时,图 2 给出了面内运动板在发生内共振和次谐波 参数共振时的响应曲线及稳定性情况。 对比图 1 和图 2 可知,速度脉动幅值的增大导致零解的失稳区域、单 模态解的幅值以及双模态解存在的范围都增大。 a 第 1 阶模态 b 第 2 阶模态 图 2 前两阶模态的稳态响应曲线γ10. 1 Fig. 2 The responses of the first two modes γ10. 1 当 κ 0. 5、k 1. 0、η 0. 000 2、cd 0. 01、γ1 0. 08 时,图 3 给出了无内共振时面内运动板的响应曲 线及稳定性情况。 由图 3 可知,当不存在内共振时,板 的稳态响应只有零解和非零解两种情况。 在相同参数 下,图3 中第2 阶模态的响应与图1 中第2 阶模态单模 态解的响应幅值相同。 当 κ 0. 5、k 1. 0、η 0. 000 15、cd 0. 01、γ1 0. 08 时,图 4 给出了面内运动板在发生内共振和次谐 波参数共振时的响应曲线及稳定性情况。 对比图 1 和 图 4 可知,零解的失稳区域、单模态解的幅值以及双模 态解存在的范围都随黏弹性系数的减小而增大。 当 κ 0. 5、k 1. 0、η 0. 000 15、cd 0. 01、γ1 0. 08 时,图 5 给出了忽略边界条件中的非齐次项时面 内运动板在发生内共振和次谐波参数共振时的响应曲 线及稳定性情况。 对比图 4 和图 5 可知,在相同参数 下,忽略边界条件的非齐次性,将导致稳态响应在数值 上出现显著差异,齐次边界条件下的零解失稳区域、单 模态解的幅值和双模态解存在的范围都要比非齐次边 界条件下的小。 a 第 1 阶模态 b 第 2 阶模态 图 3 前两阶模态的稳态响应曲线无内共振 Fig. 3 The responses of the first two modes without internal resonance a 第 1 阶模态 b 第 2 阶模态 图 4 前两阶模态的稳态响应曲线η 0. 000 15 Fig. 4 The responses of the first two modes η 0. 000 15 3 数值验证 为验证直接多尺度法的正确性,本节引入微分求 积法[20]对其进行数值验证。 面内运动板的计算区域为 x∈[0,1]和 y∈[0,1]。 x 和 y 方向的网点数分别为 Nx 和 Ny, 令 ε 1, 通过微分求积法将控制方程1离 散为 061振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing w ij -2γ∑ Nx-1 k 2 A1 ik w kj- [κγ 2 - xi-1γ -1]∑ Nx-1 k 2 A 2 ik wkj- η∑ Nx-1 k 2 A 4 ik w kj2ξ 2∑ Nx-1 k 2 A 2 ik∑ Ny-1 l 2 B 2 jl w kl ξ 4∑ Ny-1 l 2 B 4 jl w il - ζ∑ Nx-1 k 2 A 4 ik wkj 2ξ2∑ Nx-1 k 2 A 2 ik∑ Ny-1 l 2 B 2 jl wkl ξ4∑ Ny-1 l 2 B 4 jl wil- ηγ∑ Nx-1 k 2 A 5 ik wkj 2ξ2∑ Nx-1 k 2 A 3 ik∑ Ny-1 l 2 B 2 jl wkl ξ4∑ Nx-1 k 2 A1 ik∑ Ny-1 l 2 B 4 jl wkl 6kζ[ ∑ Nx-1 k 2 A 2 ik wkjμξ2∑ Ny-1 l 2 B 2 jl wil ∑ Nx-1 k 2 A1 ik wkj 2 ξ2μ∑ Nx-1 k 2 A 2 ik wkj ξ2∑ Ny-1 l 2 B 2 jl wil ∑ Ny-1 l 2 B1 jl wil 2 2ξ21 - μ∑ Nx-1 k 2 A1 ik wkj ∑ Ny-1 l 2 B1 jl wil ∑ Nx-1 k 2 A1 ik∑ Ny-1 l 2 B1 jl wkl ] cdw ij γ∑ Nx-1 k 2 A1 ik wkj i 2,3,,Nx- 1,j 2,3,,Ny- 148 a 第 1 阶模态 b 第 2 阶模态 图 5 忽略边界条件非齐次性前两阶模态的稳态响应曲线 Fig. 5 The responses of the first two modes with homogeneous boundary conditions 给定 Nx Ny 9、κ 0. 5、k 1. 0、η 0. 000 15、 cd0. 01、γ10. 08、γ0 4. 75 和 σ2 0,时间步长取 0. 001 s,初始条件为 v00. 000 1sinπxisinπyj,且 xi yj0. 5,在计算所得的前 500 s 的时间历程中,取 最后 2 s 计算面内运动板的稳态响应。 图 6 给出了面 内运动板横向振动前 500 s 的时间历程。 若 Nx Ny9、γ04. 75、η 0. 000 15、cd0. 01、 γ10. 08 和 k 1. 0,图 7 给出了不同方法下系统稳态 幅频特性曲线的对比。 其中实线表示由直接多尺度法 得到的近似解析解;圆点表示由微分求积法得到的数 值解。 从图 7 中可以看出,数值解和近似解析解在定 性上有着相同的趋势,而在定量上有些差别。 4 结 论 本文采用直接多尺度方法和微分求积法研究了变 张力和 1∶ 3内共振作用下面内变速运动黏弹性板的横 a 全局响应 b 稳态响应 图 6 时域响应 Fig. 6 Time-domain response 图 7 解析结果和数值结果的比较 Fig. 7 The comparison for the analytical and numerical results 向非线性参数振动,并讨论了相关参数对幅频特性曲 线的影响。 研究发现,响应曲线有三种解零解、单模态解和 双模态解。 速度脉动幅值的增大导致零解的失稳区 域、单模态解的幅值以及双模态解存在的范围都增大。 黏弹性系数的增大导致零解的失稳区域、单模态解的 幅值以及双模态解存在的范围都减小。 当不存在内共 振时,板的稳态响应只有零解和非零解两种情况。 忽 略边界条件中的非齐次项时,零解失稳区域、单模态解 的幅值和双模态解存在的范围都要比非齐次边界条件 下的小。 数值结果与近似解析结果在定性上有相同的 趋势,而在定量上有微小差别。 161第 13 期张登博等 计及非齐次边界条件的面内变速运动黏弹性板的稳态响应 ChaoXing 参 考 文 献 [ 1] MOTE JR C D. 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