静电力非线性对双检测微陀螺谐振频率及灵敏度稳定性的影响_郝淑英.pdf

振 动 与 冲 击 第 39 卷第 8 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol.39 No. 8 2020 基金项 目 国 家 自 然 科 学 基 金 11872044; 国 家 重 点 研 发 计 划 2018YFB0106200;国家自然科学青年基金11602169 收稿日期 2018 -09 -19 修改稿收到日期 2018 -11 -28 第一作者 郝淑英 女,教授,硕士生导师,1962 年生 通信作者 张昆鹏 男,讲师,1981 年生 静电力非线性对双检测微陀螺谐振频率及灵敏度稳定性的影响 郝淑英1,2,3, 李伟雄1,2,3, 李会杰1,2,3, 张琪昌4,5, 冯晶晶1,2,3, 张昆鹏1,2,3 1. 天津市先进机电系统设计与控制重点实验室,天津 300384;2. 机电工程国家级实验教学示范中心,天津 300384; 3. 天津理工大学,天津 300384;4. 天津市非线性动力学与控制重点实验室,天津 300072;5. 天津大学,天津 300072 摘 要为探究如何避免静电力非线性的影响或利用高电压下的静电力非线性和微梁几何非线性对冲以实现高 稳定性和高灵敏度微陀螺的设计。 考虑边缘效应下的静电力非线性和刚度立方非线性同时存在时,结构参数对双检测微 陀螺动力学性能的影响规律;研究表明,梳齿未交叠长度越小,直流偏置电压越大,则共振频率偏移量越大,静电力的软化 效果也越显著;梳齿未交叠长度存在一阀值,大于此值时静电力非线性弱化为零且对幅值的影响存在饱和现象,利用此特 性可保持灵敏度的稳定性。 通过微梁几何非线性的设计和控制调节驱动刚度非线性导致的硬化特性来平衡静电力带来 的软化特征,使幅频曲线呈现理想的线性状态,避免了因硬化、软化特性造成的频率失稳和振幅跳跃现象的发生,同时也 获得了较高的灵敏度和稳定性。 关键词 边缘效应;静电力非线性;刚度立方非线性;双检测微陀螺;灵敏度 中图分类号 O322;TP202 文献标志码 ADOI10. 13465/ j. cnki. jvs. 2020. 08. 020 Effect of electrostatic force nonlinearity on resonant frequency and sensitivity stability of double sense-mode micro gyroscopes HAO Shuying1,2,3, LI Weixiong1,2,3, LI Huijie1,2,3, ZHANG Qichang4,5, FENG Jingjing1,2,3, ZHANG Kunpeng1,2,3 1. Tianjin Key Laboratory of Advanced Electromechanical System Design and Intelligent Control, Tianjin 300384, China; 2. National Experimental Teaching Demonstration Center of Mechanical and Electrical Engineering, Tianjin 300384, China; 3. Tianjin University of Technology, Tianjin 300384, China; 4. Tianjin Key Laboratory of Nonlinear Dynamics and Control, Tianjin 300072, China; 5. Tianjin University, Tianjin 300072, China Abstract To avoid the influence of electrostatic forces nonlinearity,this article applied the offset of nonlinearity at high voltage and microbeam geometrical nonlinearity to achieve high stability and sensitivity in micro gyroscope’s design. Moreover, The regularities of structural parameters on the dynamic perance of the dual-detection micro-gyro were simultaneously investigated when the nonlinearity of the electrostatic force and the stiffness-cubic nonlinearity both existed under the edge effect. It was shown that the smaller comb-finger non-overlapping length and the greater the DC bias voltages, the greater resonance frequency offsets and the more obvious the effect of electrostatic force softening will be produced. There is a threshold value for non-overlapping length of comb-fingers. Above this value, the nonlinearity weakens to zero and the effect on the amplitude is saturated. This feature could maintain sensitivity’s stability of the double sense-mode micro gyroscope.The softening characteristics from the electrostatic force are balanced by microbeam’s geometrically nonlinear design and the adjustment of hardening characteristics caused by stiffness nonlinearity.The amplitude-frequency curve shows an ideal linear state. The phenomenon of frequency instability and amplitude jump caused by the hardening and softening of electrostatic force is avoided, and the micro-gyro has higher sensitivity and stability. Key words edge effect; electrostatic force nonlinearity; stiffness cubic nonlinearity; double sense-mode micro gyroscope; sensitivity 微陀螺仪作为 MEMS Micro-Electro-Mechanical System传感器件中一类尤其重要的传感器,它被用来 测量运载体相对惯性空间转动的角速度[1],其工作原 理是依据科氏效应促成驱动和检测两个振动模态之间 的能量转移[2]。 静电驱动 MEMS 微陀螺是一个多场耦 ChaoXing 合的非线性动力系统,包含有多种非线性成分,几何大 变形导致的刚度非线性[3]和尺度效应下的静电力非线 性[4]问题在微陀螺系统中最为常见。 软化效应是指微尺度条件下静电力的非线性造成 的刚度软化, 在静电驱动 MEMS 谐振器中极其普 遍[5 -6],并从本质上影响着系统谐振频率的稳定性和 准确性。 在刚度软化谐振系统[7 -8]中,谐振频率会随 着加载电压的升高而减小,而谐振器的频率稳定性主 宰了系统的整个性能,因此一定要在诸如变化的温度 或施加电压等复杂环境下维持确定性和精确性[9],频 率漂移将会降低系统输出信号的准确性[10 -11]。 在典型的 MEMS 静电梳齿结构中,由于梳齿电极 小尺寸的特点,电极间的电场分布不再是理想的垂直 均匀分布,而是受电极板边缘影响的不规则分布,这种 现象称为边缘效应[12]。 然而,传统梳齿静电力的计算 往往忽略所有的边缘效应,将两个梳齿电极简化为平 行板电容器模型,这种处理方法可能使计算结果出现 较大误差[13]。 目前对 MEMS 微梁的设计大多是如何 获取高线性度梁以避免微尺度下几何非线性的影 响[14],极少涉及如何利用几何非线性来综合静电力非 线性的影响,使其即保持了谐振频率及灵敏度的稳定 性又极大地提高了灵敏度。 本文考虑了边缘效应下的静电力,建立考虑刚度非 线性和静电力非线性的动力学方程,运用多尺度法和数 值计算相结合的方法研究了刚度非线性和静电力非线性 对微陀螺驱动和检测方向谐振频率和幅频响应的影响。 由此,本文给出一个有效减小静电力软化特性的方法,即 通过调节刚度非线性的硬化特性来平衡静电力的软化特 性,使得幅频曲线表现为理想的线性状态,避免了硬化、 软化特性造成的频率失稳和振幅跳跃现象的发生。 1 单驱动双检测微陀螺的工作原理 本文的研究对象是单驱动双检测的三自由度双解 耦微陀螺[15],该结构结合了双级解耦和双自由度检测 的优点。 图 1 中 x 方向为驱动模态, y 方向为检测模 图 1 单驱动双检测微陀螺动力学模型 Fig. 1 Dynamic model of micro gyroscope with single drive-mode and double sense-mode 态,解耦质量块 mc起到隔离驱动模态和检测模态振动 的作用,该质量块具有 x,y 两个方向的自由度,在驱动 方向上,mc通过梁 k′ s1的连接沿 x 方向运动,此时,检测 质量块 ms1,ms2于梁 ks1的作用而保持静止;在检测方向 上,mc通过梁 k′ d的连接沿 y 方向振动,此时,驱动质量 块 md由于驱动梁 kd的作用而在 y 方向相对静止。 因 此,mc有两个方向的自由度,md只有驱动方向一个自 由度,ms1,ms2共同构成的检测质量块使得检测方向具 有两个自由度,从而使得检测模态的幅频特性产生了 不同于传统微陀螺的曲线。 2 边缘效应下静电驱动力的计算 本文研究的微陀螺模型采用典型的静电梳齿驱动 结构[16 -17],如图2 所示。 图2 中d,l0,g0分别为可动梳 齿与固定梳齿的距离、交叠部分尺寸、未交叠部分尺寸; h,w,L 分别为梳齿的厚度、宽度、长度;x 为驱动方向。 由于动齿与静齿的结构尺寸相等,由此可将动齿与静齿 之间当作是一个平板电容。 当静电力驱动微陀螺工作 时,可动梳齿横向振动产生水平位移 x 时,会导致 l0发 生改变,也就是交叠面积的值改变了,则电容的大小也发 生了改变,造成电势能的改变量即为静电力在产生的位 移上所做的功,由此可以得到单个梳齿的横向静电力。 图 2 静电梳齿驱动结构 Fig. 2 Electrostatic comb drive structure 传统的计算梳齿静电力的方法是忽略所有的边缘 效应,将梳齿的动齿和定齿简化成平行板电容器模型,然 后,利用虚位移定理来求解梳齿所受的静电力和位 移[18]。 MEMS 器件的结构尺寸一般在微米级甚至纳米 级,传统宏观力学分析方法已不能完全适用,而且梳齿电 极尺寸较小导致边缘效应更为显著,以理想平行板电容 器模型计算得到的结果必然存在较大误差[19]。 因此,本 文在计算静电力时考虑了边缘效应的影响,并给出考虑 边缘效应时变面积式电容的总的静电力的表达式[20],如 式1所示。 由于未交叠梳齿尺寸愈小,施加电压愈大, 则边缘效应愈显著,本文在进行静电力的非线性分析时, 均考虑的是小间隙情况,即未交叠梳齿长度极小。 F静 V2 d K1 g0- x2 - K1 g0 x2 [] 4K3VdVacosω0t 1 其中, K1 nε0εrwh 2 731第 8 期 郝淑英等 静电力非线性对双检测微陀螺谐振频率及灵敏度稳定性的影响 ChaoXing K3 nε0εr π 1 ln 1 2πh d ln 1 2πh d []{} 2 式1、式2中,ω0为静电激励力的激励频率;εr为相 对介电常数;ε0为空气的介电常数;n 为驱动梳齿单侧 的个数;Vd为直流偏置电压;Va为交流电压幅值,一般 前者远远大于后者,即 Vd≫Va。 3 静电力非线性对驱动响应特性的影响 当考虑微陀螺的驱动刚度非线性时,微陀螺在静 电驱动力和空气阻尼力作用下的驱动方向动力学模型 可简化单自由度 Duffing 方程模型,其驱动方向的动力 学微分方程为 mxx Cxx kxx kdx3 FD3 式3可化简为 x ω2 xx Cdx k′ dx 3 fD4 式中kd为驱动弹性梁的刚度非线性系数;k′ d kd mx; fD FD mx;FD 为施加的静电激励力。 由式1知 fD α1V2 d 1 g0- x2 - 1 g0 x2 [] 4α3VdVacosω0t 5 式中α1 K1 mx;α3 K3 mx。 将式5在 x 0 处进行泰勒展开,得 fD α1V2 d g2 0 4 x g0 8 x g0 3 [] 4α3VdVacosω0t Ox 5 4α1V2 d g3 0 x 8α1V2 d g5 0 x3 4α3VdVacosω0t Ox56 显然,将非线性静电激励力泰勒展开后的动力学 方程与 Duffing 方程模式一致,因为微陀螺驱动方向的 振动位移是极小的量,因此高阶位移项 Ox5可以不 考虑。 由此把式6代入式4,并合并方程中位移的 一次方和三次方的系数整理可得 x ω2 x - 4α1V2 d g3 0 x Cdx k′ d - 8α1V2 d 85 0 x 3 4α3VdVacosω0t7 从式7可知,梳齿电容的非线性即静电力的非线 性,使得微陀螺驱动方向的等效刚度降低,从而导致固 有频率的偏移。 当 k′ d - 8α1V2 d g5 0 0 时,表示驱动方向刚 度非线性大于静电力的非线性,从而体现出刚度硬化 现象;当 k′ d- 8α1V2 d g5 0 0 时,表示驱动方向刚度非线性小 于静电力的非线性,从而表现出刚度软化现象;当 k′ d- 8α1V2 d g5 0 0 时,表示刚度非线性和静力的非线性程度一 样,从而相互抵消,表现为理想时的线性状态,由此联 想到通过调整微梁刚度非线性的大小来平衡静电力非 线性带来的软化效应。 采用多尺度法对式7进行摄动分析,设 ω0 ωx εσ, Cd εC 􀮩 d, k′ d - 8α1V2 d g5 0 εk 􀮩′ d - 8 α􀮩1V2 d g5 0 , α3 ε α􀮩38 将式8代入式7并对照 ε 的同次幂整理得到一 组微分方程 ε0∶ D2 0 x0 ω2 xx0 0 ε1∶ D2 0 x1 ω2 xx1 - 2D0D1x0- C 􀮩 dD0 x0 - k 􀮩′ dx 3 0 α1V2 d g2 0 4 x0 g0 8 x0 g0 [] 4α3VdVacosω0t 9 设式9中第一式的通解为 x0 ET1exp[iωxT0] ET1exp[ - iωxT0]10 其中, ET1 1 2 AxT1exp[iβT1]11 将式10代入式11的第二式,考虑消除永年项 条件,并整理消去中间参数,得到驱动振幅 Ax和静电 力激励频率 ω0的关系式,即为驱动方向考虑静电力非 线性时的幅频特性方程,如式12所示。 ωxAxω0- ωx - 3k′ dA 3 x 8 α1V2 d g2 0 2 Ax g0 3 Ax g0 3 [] 2 CdAxωx2 4 4α2 3V 2 dV 2 a 12 当 0 CdAxωx1011.3N/ m3时,非 线性瞬时固有频率随着振动峰值的增加呈非线性增长, 曲线特征为抛物线,此时对应刚度非线性大于静电力非 线性的情况,幅频曲线出现硬化特征,共振频率向右偏 移;当 kd≈1011.3N/ m3时,固有频率与振动峰值没有关 系,幅频曲线呈现理想的线性情况;当kd5 10 -5 m 时,驱动方向的位移幅值不再受梳 齿未交叠长度的影响,而是趋于一个稳定的值。 由图 4 和图 5 可知,对于静电驱动微陀螺,当梳齿 未交叠尺寸大于某一值时静电力非线性退化为零,若 系统微梁设计为高度线性梁则系统为线性;响应位移 不受梳齿未交叠长度的影响,幅值存在饱和现象,此特 性可保持灵敏度的稳定性。 图 5 驱动方向位移幅值与梳齿未交叠尺寸 g0的关系图 Fig. 5 Diagram of the relation between driving direction’s amplitude and comb’s unfolded size g0 931第 8 期 郝淑英等 静电力非线性对双检测微陀螺谐振频率及灵敏度稳定性的影响 ChaoXing 图 6 为交流电压幅值一定Va12 V,g01. 0 10 -5 m 时,不同直流偏置电压对驱动幅频曲线的影响。 从图中可以看出,驱动方向的幅频曲线随着直流偏置 电压的增大向左弯曲程度加强,出现明显的软化特性, 虽然峰值随着直流偏置电压的增大而增大,但软化特 性的加强造成了固有频率的严重偏移,频率失稳,降低 了微陀螺检测信号输出的准确性,且幅频曲线出现的 跳跃现象也会造成微陀螺灵敏度的不稳定;施加高的 直流偏置电压是提高微陀螺灵敏度的重要方法之一, 但同时伴随有静电力非线性引起的幅值跳跃和固有频 率的减小等情况,因此,必须减小或消除静电力的刚度 软化特性。 需要注意的是,获得图 6 的静电力的软化 效应结果的前提是微陀螺必须被足够大的电压激励, 同时也要避免发生吸合现象。 图 6 直流偏置电压对驱动幅频曲线的影响 Fig. 6 Influence of DC bias voltage on driving amplitude-frequency curve 图7 为直流偏置电压 Vd120 V 时,不同的刚度非 线性系数对驱动幅频曲线的影响情况。 由图可知,当 刚度非线性系数 kd100, 1011N/ m3时,驱动方向幅频 曲线显示为软化特征,其中,kd为 1011N/ m3时,若不考 虑静电力的非线性, 此时非线性弹性力占线性的 3. 03;随着刚度非线性系数的加大,幅频曲线由软化 特性过渡到硬化特性;当 kd达到 1011. 5N/ m3时,刚度 非线性的硬化作用与静电力非线性产生的软化作用相 互抵消,从而使驱动幅频曲线表现出线性特性,此时为 理想状态,且峰值不变。 高激励电压可显著提高微陀螺的灵敏度,但静电 力尺度效应引起的软化特性更加显著,导致谐振频率 和灵敏度失稳。 刚度硬化特性与微梁大变形引起的几 何非线性相关,大变形的前提是高激励电压。 目前微 陀螺微梁的设计大多是如何获得高线性度梁,以消除 几何非线性的影响。 高激励电压又是实现高灵敏度微 陀螺的重要途径,高激励电压下的静电力非线性是无 法逃避的事实。 因此可利用几何非线性,通过微梁的 结构设计实现对微梁刚度非线性的控制使其与静电力 非线性的软化特性相互制约和平衡,使幅频曲线保持 理想线性状态,既提高了微陀螺的灵敏度又确保了谐 振频率和灵敏度的稳定性,是提高微陀螺性能行之有 效的办法。 图 7 静电力一定,刚度非线性对驱动幅频曲线的影响 Fig. 7 Influence of stiffness nonlinearity on the amplitude-frequency curve when electrostatic force is constant 4 静电力非线性对检测响应特性的影响 本文采用的双检测微陀螺模型的检测方向的动力 学方程为 my1y 1 Cy1y 1 ky1y1 ky2y2- y1 - 2my1Ωzx my2y 2 Cy2y 2 ky2y2 ky2y1- 2my2Ωzx 17 式中yi,myi,Cyi,kyi分别为微陀螺检测方向第 i 自由度 的位移、质量、阻尼系数、弹性梁弹性系数,i 1,2; Ωz为微陀螺输入角速度。 采用复指数法对双检测动力 学方程进行求解,解得稳态振幅 B1,B2为 B1 ky2- my2ω2 0fc2 ky2fc2 jCy2ω0fc1 ω0 B2 ky1 ky2- my2ω2 0fc2 ky2fc1 jCy1ω0fc2 ω0 18 其中, ω0 ky1- my1ω2 0ky2 - my2ω2 0 - ky2my2ω 2 0 - Cy1Cy2ω2 0 jω0[Cy2ky1- my1ω2 0 Cy1ky2 - my2ω2 0 ky2Cy2], fc1 2my1ΩzAxω0和 fc2 2my2ΩzAxω0分别为检测一和 检测二科氏力的幅值。 根据式12和式18,可得到检测二的幅频特性 曲线,如图 8 所示。 图 8 为检测二的幅频曲线,同样选取了最大直流 偏置电压 120 V 时的情况,保持电压不变,讨论刚度非 线性的变化对检测二幅频曲线的影响。 从图 8 可知, 检测二幅频曲线呈现出和驱动方向幅频曲线一样的特 征,当刚度非线性系数 kd 100N/ m3,kd 1011N/ m3 时,检测幅频曲线呈现出软化特征;随着刚度非线性系 数的加大,幅频曲线由软化特性过渡到硬化特性;当刚 度非线性系数达到 1011. 5N/ m3时,刚度非线性的硬化 特性与静电力非线性产生的软化特性抵消时,得到线 041振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing 性结果的幅频曲线,此时为理想状态,如图 8c所示。 幅频曲线的软硬特性的消除,意味着消除了振幅跳跃 现象的发生,保证了微陀螺的带宽范围与线性结果一 致,不再受到非线性因素的影响。 图 8 Vd120 V 时,不同刚度非线性系数下检测二幅频特性曲线 Fig. 8 Second sense-mode’s amplitude-frequency curve under different stiffness nonlinear coefficients when Vd120 V 由图9 可知,当直流偏置电压为80 V 时,静电力的 软化效应基本可以忽略,检测二的幅频曲线可视为理 想线性状态。 由图 8 和图 9 对比可知,虽然峰值随着 刚度非线性的增大而减小,但通过刚度非线性和静电 力非线性的合理取值,平衡后理想状态时的峰值仍然 相比不考虑任何非线性时的增大了 54. 6,因此,通过 调整刚度非线性的大小来平衡静电力非线性带来的软 化效应从而获得线性检测较高的响应,以此获得高灵 敏度的方法是可行的。 图9 交流电压一定时,直流偏置电压对检测二幅频曲线的影响 Fig. 9 Influence of DC bias voltage on second sense-mode’s amplitude-frequency curves when AC voltage is constant 5 结 论 本文针对一种单驱动双检测三自由度微陀螺,同 时考虑了刚度非线性和静电力非线性两种非线性因 素,深入分析二者之间的关系如何影响该复杂动力学 系统的谐振频率及灵敏度稳定性的,得出如下结论 1尺度效应引起的静电力非线性会造成共振频 率的左偏移即刚度软化效应,影响谐振频率的稳定性, 偏移量及稳态响应峰值随直流偏置电压的增大而 增大。 2梳齿未交叠长度越小,静电力的软化特性越强 且对未交叠长度的变化越敏感;驱动方向位移幅值具 有饱和效应,即当未交叠梳齿长度达到一定值时系统 静电力非线性弱化为零,幅值不再受未交叠梳齿尺寸 的影响,利用这一现象可控制灵敏度的稳定性,避免静 电力非线性的影响。 3高激励电压是实现高灵敏度微陀螺的重要途 径,高激励电压下的静电力非线性是无法逃避的事实。 因此可利用高激励电压下的几何非线性,通过微梁的 结构设计实现对微梁刚度非线性的控制使其与静电力 非线性的软化特性相互制约和平衡,使幅频曲线保持 141第 8 期 郝淑英等 静电力非线性对双检测微陀螺谐振频率及灵敏度稳定性的影响 ChaoXing 理想线性状态,避免了硬化、软化特性造成的频率失稳 和振幅跳跃现象的发生,即提高了微陀螺的灵敏度又 确保了谐振频率和灵敏度的稳定性,是提高微陀螺性 能行之有效的方法。 参 考 文 献 [ 1 ] 李志宏. 微纳机电系统 MEMS/ NEMS 前沿[J]. 中国 科学信息科学, 2012, 4212 1599 -1615. 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