基于子结构的参数化模型降阶方法_刘营.pdf

振动与冲击 第 卷第 期 基金项目 国家自然科学基金 收稿日期 修改稿收到日期 第一作者 刘营 男博士生 年生 通信作者 李鸿光 男教授博士生导师 年生 基于子结构的参数化模型降阶方法 刘营 李鸿光 李韵 杜环宇 上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室振动冲击噪声研究所上海 摘要针对参数化模型降阶方法在多维参数维度的情况下面临采样点过多离线构建降阶模型数据库时间长等 问题提出了一种基于子结构的参数化模型降阶方法在固定界面模态综合法的基础上设置标准模态矩阵利用不同参 数主模态矩阵之间的 范数最小准则确定了转换矩阵推导了子结构降阶矩阵各元素的变换公式对其进行坐标 转换对参数空间上的采样点重复整个计算过程生成了坐标兼容的离线数据库并以电磁振动台动圈为例采用该方法 对均布采样样本点展开了仿真研究结果表明此方法能大幅减少采样点的个数及模型生成与计算时间提高降阶模型 离线训练效率所构建的参数化降阶模型具备很高的在线计算效率及计算准确度 关键词参数化模型降阶 模态综合法电磁振动台动圈 中图分类号 文献标志码 模型降阶技术在工程计算中广泛应用随着工程 实际结构复杂度的提高相应的有限元网格及矩阵的 规模也越来越大对完整有限元模型进行计算会耗费 很多计算资源尤其是在对模型进行瞬态分析谐响 应分析等重复性分析时计算的成本会显著增大因 此在有限元计算中普遍采用模型降阶技术来缩减矩 阵规模以降低计算复杂度 目前针对参数不变线性系统的模型降阶技术已 经比较成熟在控制理论中常用的模型降阶方法 有矩匹配方法平衡截断方法本征正交分解方法模 态截断方法等在结构动力学理论中模型降阶意 味着求解近似的特征值问题常用的方法有 法等目前的模型降阶方法大部分集中在参数 不变系统上但是工程实际中的有限元模型经常是参 数相关的而且在优化分析可靠性分析等一些分析方 法中需要对模型改变参数重复多次分析在这种应用 条件下普通的模型降阶方法难以满足应用需求需要 利用参数化模型降阶 技术 参数化模型降阶方法按照分析对象的不同可以划 分为基于缩减基向量的方法基于传递函数插值的方 ChaoXing 法和基于降阶矩阵插值的方法对于参数可以显式表 达或者可以通过仿射变换的方式表达出来的系统一 般采用基于缩减基向量的方法 等扩展了传 统模型降阶方法的矩匹配技术形成了多维矩匹配算 法用来对显式参数依赖系统进行参数化模型降阶计 算 总结了若干种显式参数依赖系统的模型降 阶方法并提出了一种应用于非线性系统的降阶方法 对于仿射参数依赖系统 等采用了全局缩减基和 局部缩减基的方法用来在参数空间上对模型进行降 阶而在实际系统中参数很难在方程中显式或者利 用仿射方式表达出来大部分系统都是隐式参数依赖 系统对于这种系统来说基于传递函数插值的方法 和基于降阶矩阵插值的方法是最为适用的 等 通过对离散参数点下的降阶传递函数进行插值得到新 参数下的降阶传递函数但是这种方法会在计算的过 程中产生一些不必要的中间计算量而且传递函数的 极点也会出现重复或者缺少等问题因此应用最为 广泛的是基于降阶矩阵插值的方法 等利用 所有降阶模型的基向量构建了一个全局基向量按照 奇异值大小截取有限个向量作为公共基向量并把所 有降阶模型重新投影到这个公共基向量所展成的空间 中以保证所有的降阶模型是兼容的然后对这些调节 之后的降阶模型进行插值运算获得在新参数值下的 降阶模型与之不同的是 等利用降阶模 型数据库中的其中一个基向量作为基准以范数最 小准则计算不同基向量之间的转换矩阵最终将所有 降阶模型转换至相容的坐标系中进行后续插值计算 在后续的计算中可以采用不同的插值方法直接进行 插值运算在一些非线性参数依赖的情况下准确度不太 高 等引入了矩阵流形的概念并将所有 的降阶矩阵转换至标准降阶模型的矩阵流形中以将 矩阵中的非线性参数依赖性转换为线性依赖提高插 值计算的精度 无论是基于缩减基向量的方法基于传递函数插 值的方法还是基于降阶矩阵插值的方法参数化模型 降阶过程均可以划分为离线训练阶段和在线应用阶 段在离线训练阶段通过对参数空间采样在不同的 参数值点生成初始模型对其进行模型降阶形成降阶 模型数据库在在线应用阶段利用训练完成的降阶 模型数据库对任意指定的参数值进行计算得到相应 的结果整个过程最耗时的是离线训练阶段其耗费 时间的多少是由参数空间采样点决定的因此在保证 降阶模型准确性的前提下减少参数空间的采样点个数 是非常有必要的普通的参数化模型降阶方法通常会 遇到参数维度灾难即随着参数维度增加相应的采 样点呈指数增加同时如果某个维度参数发生变化 需要重新构建所有参数采样点的离线降阶模型数据 库造成计算资源的浪费因此本文采用子结构模态 综合法来解决这个问题 在结构动力学理论中模态综合法的主要优点是 可以将大型的整体结构划分为规模较小的子结构便 于有限元分析 等提出了经典的 固定界 面模态综合法在工程计算中广泛采用鉴于模态综 合法界面自由度较多导致计算效率较低的问题 等提出了对界面自由度做二次特征值分析的 方法有效的降低了整体自由度个数提高了计算 效率 模态综合法的另一个优点是对于局部参数变化的 结构在计算新参数下的模型时只需要重新计算参数 变化的子结构即可节省了计算成本因此本文提出 了基于子结构的参数化模型降阶方法用来在保证离 线降阶模型库准确性的前提下减少参数采样点的个 数克服传统方法采样点个数过多的缺点提高离线数 据库的构建效率 本文在固定界面模态综合法的基础上推导了子 结构转换矩阵计算公式及矩阵坐标变换公式提出了 基于子结构的参数化模型降阶方法总结了整体计算 流程同时以电磁振动台动圈简化结构为例分别采用 普通方法和本文方法对其展开计算以验证本文方法 的准确性和优越性 固定界面模态综合法 对于机械系统其有限元模型的动力学方程可以 表达为 按照模态综合法整体结构可以划分为个子结 构其中第个子结构的质量刚度阻尼和力矩阵可以 表示为 [] [] [] [] 式中为内部自由度为界面自由度则对于该子 结构坐标转换关系可以表示为 第期刘营等基于子结构的参数化模型降阶方法 ChaoXing [] [] 式中 和 分别为内部和界面坐标 为将子结构 内部自由度缩减之后的模态坐标为模态坐标个数 转换矩阵可以表达为 [] 式中上标为相应矩阵块的行数列数主模态矩阵 的各列可以按照式求得 式中 为第阶特征值 为第阶特征向量所 有的列 组成主模态矩阵 约束模态矩阵 的表达式为 在求得转换矩阵后第个子结构的质量刚度阻 尼和力矩阵可以缩减为 槇 槇 槇 槇 槇         槇 槇 槇 槇 槇         槇 槇 槇 槇 槇         槇 槇 槇 [] 式中矩阵上的波浪线符号为缩减后的相应矩阵 在对所有的子结构缩减完成后将其按照顺序组 装以两个子结构为例假设子结构和子结构分别 完成上述缩减过程其界面自由度 和 是相同的 假设为 则坐标组装后的坐标关系为                                               式中和 分别为原始坐标和缩减后坐标 相应的质 量刚度阻尼和力矩阵为 槇 槇 槇 槇 槇 槇 槇 槇 槇             槇 槇 槇 槇 槇 槇 槇 槇 槇             槇 槇 槇 槇 槇 槇 槇 槇 槇             槇 槇 槇 槇 槇             则组装后的缩减动力学方程为 槇 槇 槇 槇 基于子结构的参数化模型降阶方法 模态综合法可以在一定程度上缩减动力学模型的 矩阵维度缩短分析时间但是工程中的模型通常是 参数相关的对于参数化的模型重复的利用模态综合 法生成子结构进行降阶比较耗费时间针对这种问 题本文提出了基于子结构的参数化模型降阶方法在 子结构层面上建立参数化降阶模型数据库节省重复 生成子结构的时间 假设参数化模型的整体动力学方程可以表达为 按照普通固定界面模态综合法中式 式 的求解对于第个参数相关的子结构其相应的缩减 矩阵可以表达为槇 槇 槇 槇 进而可以 用这些矩阵组装成整体缩减动力学方程 槇 槇 槇 槇 但是对每个新参数值都重新计算缩减矩阵比较耗 费时间因此本文通过插值方法直接对缩减后的矩阵 进行计算避免了比较费时的降阶过程 基于子结构的参数化模型降阶方法分为离线阶段 和在线阶段在离线阶段对子结构的参数空间采样 在参数采样点生成相应的子结构降阶矩阵并对矩阵进 行调节构建离线子结构降阶矩阵数据库在在线阶 段根据给定的参数值对数据库插值计算得到此时的 子结构矩阵对所有的子结构执行此操作后将相应的 子结构矩阵组装起来进行计算 振 动 与 冲 击年第卷 ChaoXing 为求得任意参数值下的这些降阶矩阵需要对若 干个离散参数点下的降阶模型进行插值计算首先这 里对其参数空间进行采样生成个离散模型在第 个参数值下的子结构降阶矩阵可以表达为 槇 槇 槇 槇 槇         槇 槇 槇 槇 槇         槇 槇 槇 槇 槇         槇 槇 槇 [] 式中下标 为第个子结构为子结构 总数 为第个离散参数值为离散参数 点总数 质量矩阵各元素可以进一步表达为 槇 槇 槇 槇 其余矩阵也有类似的表达方式式中 为第 个参数值 下子结构的主模态矩阵 为相应的约束模态矩阵 虽然获得了离散参数点下的降阶矩阵但是这些 矩阵是不兼容的不能直接插值由于约束模态是在 物理坐标下计算得来的是相互兼容的因此可以直接 叠加而主模态矩阵是在模态坐标下表达的而不同 模态坐标代表的是不同的空间互相不兼容因此涉及 主模态矩阵的不同参数值下的降阶矩阵是不能直接叠 加的需要首先对其坐标进行调节 假设选择其中一个作为标准即 槇 槇 对 于第个参数值下的降阶模型来说为找到转换矩阵 需要求解以下最小值问题 式中 为在 实数空间上的矩阵集合下标 为 范数 为 维的转换矩阵求解式 等价于求解下列最大值问题 [] 式有一个解析解为 式中 和 为通过求解下式的 分解求得 进而可以通过转换矩阵 将所有的主模态矩阵 转换为坐标相容的 即 式中上标为相应的矩阵是兼容的转换后的主模态 矩阵 是与 坐标相容的可以直接叠加计算 相应的质量矩阵各元素可以变换为 槇 槇 槇 槇 槇 槇 槇 槇 质量矩阵可以表达为 槇 槇 槇 槇         按照这种计算方式可以得到刚度矩阵 槇 阻尼矩阵 槇 和力矩阵 槇 的表达式 在调节所有降阶矩阵使其坐标相容之后任一参数 值下的降阶模型可以通过任意的插值方法求得如规则 网格插值中的样条曲线插值或者不规则网格插值中径向 基函数插值或者克里金插值因为降阶矩阵的元素较少 所以这些插值方法不会耗费很多时间为了方便说明问 题这里选取拉格朗日插值方法进行计算可以得到 槇 槇 槇 槇 槇 槇 槇 槇 式中 为拉格朗日算子满足 所有子结构在参数值下的矩阵均计算完成之后将子 结构矩阵按照式 式方式组装并计算就可以 得到系统在此参数下的频率和响应 总的来说基于子结构的参数化模型降阶方法的 第期刘营等基于子结构的参数化模型降阶方法 ChaoXing 实现步骤如下 步骤离线阶段对子结构 在参数空间均匀采样 得到若干个参数值下的模型矩阵 通 过式 式计算得到相应的降阶矩阵 槇 槇 槇 槇 并选取其中 槇 槇 槇 槇 作为标准降阶模型 步骤针对第个子结构第个参数值下的主模态矩 阵 利用式 式计算坐标转换矩阵 步骤利用式 式计算转换坐标后的质量 矩阵 槇 并按同样方式得到刚度矩阵 槇 阻尼矩阵 槇 和力矩阵 槇 步骤对所有子结构所有参数值下的降阶矩阵都执 行以上操作得到参数化子结构模型离线数据库 步骤在线阶段给定一个参数值 通过式 式 插值计算得到此参数值下子结构的降阶矩阵 槇 槇 槇 槇 对所有子结构在相应 的参数值下进行插值 步骤组装所有子结构计算在该参数值下的频率和 响应 上述步骤即基于子结构的参数化模型降阶方法的 整体计算流程此算法既可以通过低维降阶矩阵的插 值直接得到缩减模型在参数空间任一参数值上的频 率响应又可以在结构只有局部参数变化的情况有选 择的设置参数采样点大大减少了采样点的个数结合 了模态综合法与参数化模型降阶方法的优势 仿真算例研究 前面详细介绍了基于子结构的参数化模型降阶方 法的计算流程这里通过计算实例来验证所提出方法 的优势以电磁振动台动圈结构为例分析在三维参 数空间下离线子结构数据库的构建过程及在线插值 计算结果的正确性振动台动圈整体结构复杂有限 元网格较多这里按照其对称性采用其中 进行动 力学分析并将简化结构划分为个子结构台面筋 板和线圈选择连接面作为子结构之间的界面相应 的自由度作为界面主自由度同时响应拾取点在台 面中心位置相应的节点也设置为主自由度为了简 化分析只在线圈与筋板交界的节点处施加单位力 有限元模型共包含 个单元 个节点其 中台面 个单元 个节点个界面节 点筋板 个单元 个节点个界面节点 线圈 个单元 个节点个界面节点动 圈的简化结构与相应的主自由度位置如图所示 动圈的整体框架采用铝合金制成其弹性模量为 密度为 泊松比为 图电磁振动台动圈结构 动圈的轴向共振频率是衡量振动台工作频带的重 要参数但是采用完整模型进行计算不仅计算时间长而 且计算结果中包含很多对称模态不利于查找目标阶次 因此根据其对称性采用 简化模型进行计算结果 中消除了对称模态只保留了与轴向共振相关的阶次 在简化模型中对于两侧对称面上的节点来说不能发生 对称面外的位移和对称面内的旋转需要设置相应的约 束同时在支撑板和中心轴处设置只能轴向位移以模拟 导向系统并在中心轴位置添加弹簧单元以模拟弹性支 撑系统相应的边界条件见图 动圈结构变化的个参数分别是台面的半径 筋 板的厚度驱动线圈的长度其中台面半径的变 化范围是从 筋板厚度的变化范围是 从 驱动线圈长度的变化范围是从 其尺寸参数的初始配置见图 尽管整 体参数空间为三维但是对于每个子结构来说参数空 间是一维如果设置一个维度均匀分布个采样点 则为了构建参数化降阶模型数据库一共仅需要 个采样点克服了普通方法随着参数维度 增加采样点指数增加的缺点 在构建离线数据库的过程中需要保证结构的矩 阵大小以及矩阵元素对应的自由度信息是相同的反 映到有限元模型上这意味着网格的拓扑关系需要保 持不变为实现这种目的需要在 中对网 格进行前处理利用 模块将有限元网 格参数化采用内部的 命令移动网格节 点按照上述动圈参数变量的上下限分别生成单一参 数变化其余参数不变的个形状连同初始参数下的 形状共个形状以 文件形式分别导入至 中通过 命令得到所有节点的坐标保存这 个形状的节点坐标矩阵并将单一参数变化的形状与 初始形状的节点坐标做差以求得对应单一参数的节点 坐标信息后续生成某个参数值下的有限元模型时通 过参数值计算得到每个参数的变化系数并乘以单一 振 动 与 冲 击年第卷 ChaoXing 参数变化的节点矩阵以生成最终的节点坐标矩阵然 后在 中通过移动节点坐标的命令 生 成该参数值配置下的有限元模型从而保证变化参数 前后网格的拓扑关系不发生变化 本文提出的基于子结构的参数化模型降阶方法的 计算过程是利用 开展的计算的 步骤分为离线和在线阶段在离线阶段在各个子结 构的参数采样点生成相应的子结构模型构成参数化 子结构数据库在在线阶段根据给定的参数值进行插 值计算得到相应的子结构降阶模型并将其组装成整体 进行后续计算 为说明本文所提方法的优越性这里分别对比普通 方法和基于子结构的参数化模型降阶方法的采样点个数 及相应的离线子结构数据库构建时间两种方法均针对 三维参数空间每个参数维度个采样点更改模型节 点坐标需要耗费一些时间因此整体的时间包含改变参 数生成模型的时间和计算降阶模型的时间如表所示 表普通方法与本文方法的计算时间 采样点个数生成模型 计算模型 普通方法 本文方法 需要注意的是对于子结构虽然共个采样点 但是在生成整体模型时只需要生成个参数值下的 整体模型而计算模型时需要计算个子结构各自在 其个采样点时的降阶模型 由此可知本文提出的方法使采样点个数大幅度减 少因此也大量节省了总的生成模型时间同时在计算 子结构矩阵时每个子结构只需要计算次因此也较 大幅度地减少了相应的计算模型的时间总的来说相 对于普通方法本文提出的方法可以在很大程度上提高 计算效率节省离线降阶数据库的构建时间 本文所提方法的优越性不仅体现在离线降阶模型 库的构建效率上也体现在在线阶段降阶模型的构建 效率上由于采用插值方法对降阶模型进行了参数化 处理因此在在线阶段可以给定参数值直接得到此 值下的降阶模型而不需要重新对模型进行降阶处理 为说明此问题这里分别对比在线阶段给定参数值 时直接利用固定界面 模态综合法计算降阶模型和利用本文方法计算参数化 降阶模型的时间如表所示 由表可知由于本文直接对降阶模型采用插值 方法计算复杂度很低因此与利用固定界面模态综合 法进行一次降阶过程相比本文得到任一参数下降阶 模型的在线计算时间减少了大约倍在线阶段降阶 模型的构建效率得到了大幅提升 表直接降阶与参数化降阶的计算时间 直接降阶参数化降阶 计算时间 为了验证此降阶模型的正确性这里对比在上述 参数值配置下 其与完整模型的计算结果首先对比模态结果其前 阶频率如表所示 表两个模型计算的前阶频率 全阶模型 降阶模型 误差 可以看出与全阶模型相比采用本文方法得到的 参数化降阶模型计算的频率结果误差很小在可接受 范围内这验证了此降阶模型的正确性 接着进行谐响应分析提取响应拾取点的响应进 行对比扫频范围是 并在共振区密集采 样共有 个频率点瑞利阻尼选取为 为了清晰显示结果 内横坐标采 用对数坐标 内横坐标采用线性坐标 谐响应结果如图所示 图两个模型计算的谐响应 第期刘营等基于子结构的参数化模型降阶方法 ChaoXing 由图可知与标准全阶模型相比利用本文方法 的参数化降阶模型得到的谐响应结果是非常准确的 基本无明显差异为了进一步验证此方法的准确性 这里计算前阶共振响应如表所示 表两个模型计算的前阶共振响应