结构损伤识别的一种反馈岭估计方法_杨秋伟.pdf

 振动与冲击 第 39 卷第 7 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．39 No．7 2020 基金 项目国家自然科学基金 11202138 ; 绍兴市科技计划项目 2018C30007 收稿日期 2018 －10 －17修改稿收到日期 2019 －01 －24 第一作者 杨秋伟 男， 博士， 教授， 硕士生导师， 1979 年生 结构损伤识别的一种反馈岭估计方法 杨秋伟，陆晨，罗帅，李翠红 绍兴文理学院 土木工程学院， 浙江 绍兴312000 摘 要 利用含有测量噪声的数据进行结构损伤识别时， 经常出现病态最小二乘问题， 可能导致计算结果完全失 真。为了显著提高计算精度， 在岭估计的基础上， 进一步提出了一种反馈岭估计方法， 以获得精确并具稳定的损伤识别结 果。所提的反馈岭估计方法主要分为三个步骤 对结构损伤评估中的线性方程组进行第一次岭估计计算， 得到损伤参数 的粗略解; 根据损伤参数的粗略解， 设计一个新的对角矩阵， 用于随后的反馈岭估计 即第二次岭估计 计算中; 对损伤 评估线性方程组进行第二次岭估计计算 即反馈岭估计 ， 最终获得损伤参数的高精度解， 据此来对结构中的损伤位置和 严重程度进行判定。以一个梁结构作为数值算例， 讨论了所提方法在 10噪声水平下的有效性， 并把计算结果与普通岭 估计和奇异值截断法进行了比较， 结果表明 所提反馈岭估计方法大幅度提高了计算精度， 即使在 10 的噪声水平下， 该 方法也能获得精度很高的计算结果。 关键词 损伤识别; 病态最小二乘问题; 奇异值截断; 反馈岭估计 中图分类号 TU31; O32文献标志码 ADOI10． 13465/j． cnki． jvs． 2020． 07． 007 A feedback ridge estimate technique for structural damage recognition YANG Qiuwei，LU Chen，LUO Shuai，LI Cuihong Department of Civil Engineering，Shaoxing University，Shaoxing 312000，China AbstractThe ill- conditioned least squares problems often appear in structural damage recognition using noisy data to cause calculation results being fully distorted． Here，to significantly improve calculation accuracy，a feedback ridge estimate FRE technique was proposed to obtain accurate and stable damage recognition results． The proposed has three steps． Firstly，the first ridge estimate RE calculation was done for linear equation set in structural damage uation to obtain the rough solution to damage parameters． Secondly，a new diagonal matrix was designed to be used in the second RE calculation according to the rough solution to damage parameters． Thirdly，the second RE calculation was done with FRE technique for linear equation set in structural damage uation to obtain damage parameters’high- precision solution． A beam structure was taken as a numerical example to explore the effectiveness of the proposed under 10 noise level． The calculation results were compared with those using the ordinary RE and the singular value truncation SVT one． The results showed that the proposed FRE can significantly improve calculation accuracy; even under 10 noise level，it can be used to obtain calculation results with very high precision． Key words damage recognition; ill- conditioned least squares problem; singular value truncation SVT ; feedback ridge estimate FRE 结构损伤往往导致结构动力响应参数的变化， 通 过测试结构的振动参数并分析其变化， 可以及时监测 结构的损伤状况， 避免出现灾难性后果。近几十年来， 结构损伤识别已成为土木工程、 机械工程、 航空航天等 领域共同关注的热点问题。迄今为止， 已有许多种损 伤识别方法被提出来， 其中大部分都是模型修正 法 ［1- 11 ］， 其原理是不断修正结构的有限元模型使其和测 试的响应参数相匹配， 模型的修正量即为结构的损伤 量。在模型修正法中， 经常出现病态方程组问题， 这意 味着即使测试数据中只含有很小的测试误差也将导致 损伤识别结果误差很大甚至完全失真。因此， 研究鲁 棒性好抗噪能力强的模型修正法是损伤识别的必然 要求。 岭估计 ［12- 17 ］和奇异值截断法［18- 20 ］是两种最常用的 抗噪估计方法。岭估计方法的基本原理是， 通过在方 程组系数矩阵中增加一个扰动矩阵， 来降低系数矩阵 ChaoXing 的条件数， 从而一定程度上改善方程组的病态性， 获得 更加稳定的计算结果。奇异值截断法的基本原理是， 方程组系数矩阵的所有奇异值中， 较大的奇异值有较 好的抗噪性， 而较小奇异值对噪声比较敏感， 故较小的 奇异值反而会引起方程解的巨大波动， 因此在方程求 解时忽略较小的奇异值而只保留较大的奇异值， 可以 获得比较稳定的计算结果。近年来， 已有不少学者把 岭估计或奇异值截断法用于结构损伤识别中， 在一定 程度上提高了损伤识别结果的准确性。张立涛等［21 ］利 用奇异值截断法来求解损伤灵敏度方程， 将其用于 Benchmark 结构的损伤诊断， 结果表明这种方法可以有 效改善识别结果的稳定性和收敛速度。郭惠勇等 ［22 ］采 用岭估计求解结构损伤方程， 并利用 L 曲线确定最优 的岭参数， 数值算例结果表明该方法具有一定的抗噪 能力。张勇等 ［23 ］建立支持向量机响应面模型， 利用频 响函数相空间矩阵的截断奇异值来进行训练以求解出 模型修正参数， 所提方法对噪声有较强的鲁棒性。和 禹含等 ［24 ］利用奇异值分解， 得出改进的时域灵敏度损 伤识别方程， 进行了框架结构的损伤识别研究， 所提方 法在噪声干扰下具有较强的稳定性。 虽然这些抗噪估计方法能在一定程度上提高损伤 识别的精度， 但这些方法均未充分利用损伤识别这类 问题所具有的特殊性， 因此在计算精度方面仍然存在 着很大的改进空间。这个特殊性是指 结构损伤一般 只存在于结构中的局部少数区域， 从结构有限元模型 的角度来说， 发生损伤的单元总是少数的， 因此大部分 单元的损伤参数预期值应为零， 而只有少数损伤单元 所对应的损伤参数值才较大。利用这个特殊性， 可以 改良现有的抗噪估计方法， 能够明显提高损伤识别结 果的精度。有鉴于此， 本文提出一种反馈岭估计 Feedback Ridge Estimate，FRE 方法， 用于解决损伤识 别中的病态方程组问题， 以获得稳定高精度的计算结 果。所提的反馈岭估计方法充分利用了损伤识别问题 的特殊性， 其核心思想是 较大的损伤参数会引起较大 的岭估计额外误差， 如果能够减少这种额外误差， 将能 进一步提高岭估计的精度。具体而言， 可以根据常规 岭估计方法的计算结果来进行反馈， 对于较大的损伤 参数， 相应的在岭估计扰动矩阵中引入一个反馈修正 系数， 来减少其所导致的额外误差， 利用这种修正后的 扰动矩阵再进行一次岭估计 即反馈岭估计 ， 从而可 以得到精度更好的损伤识别结果。在具体操作上， 所 提的反馈岭估计方法由三个主要步骤组成 首先， 对结 构损伤评估中的线性方程组进行第一次岭估计计算， 得到损伤参数的粗略解; 然后， 根据损伤参数的粗略 解， 设计一个新的对角矩阵， 用于随后的反馈岭估计 即第二次岭估计 计算中; 最后， 对损伤评估线性方 程组进行第二次岭估计计算 即反馈岭估计 ， 最终获 得损伤参数的高精度解， 据此来对结构中的损伤位置 和严重程度进行判定。用一个梁结构作数值算例， 模 拟 5 和 10 的测量误差， 考察了单个损伤、 多个损 伤、 相邻单元损伤等多种损伤工况下的识别结果， 验证 所提方法的有效性和优越性。结果表明， 所提的反馈 岭估计方法在 10噪声水平下也能获得高精度的计算 结果， 和普通岭估计及奇异值截断法相比， 计算精度大 幅度提高了。所提的方法非常适用于结构损伤识别问 题， 对其它类似的工程问题也有较好的参考价值。 1损伤识别线性方程组及其岭估计解 1． 1损伤识别线性方程组 由于结构的复杂性， 结构的物理参数 如刚度参 数 与结构响应参数 如频率、 振型 之间的关系本质上 都是非线性的， 目前都是通过响应参数的一阶灵敏度 分析来建立结构损伤评估的线性方程组， 如频率灵敏 度方程组、 振型灵敏度方程组， 柔度灵敏度方程组等。 本文采用柔度灵敏度方法来进行损伤识别， 不失 一般性， 考虑一个 n 自由度的结构系统， 假设只有第 i 个单元体损伤， 则损伤后结构的刚度矩阵 Kd为 Kd K － αiKi 1 式中 K 是完好结构的刚度矩阵， αi和 Ki是第 i 个单元 体的损伤参数和刚度矩阵， K 和 Ki均为 n n 维方阵。 则损伤前后柔度改变量 ΔF 为 ΔF K －1 d － K－1 2 将方程 1 代入 2 可得 ΔF K － αiKi －1 － K－1 3 方程 3 可用 Neumann 级数展开为 ΔF K －1 α iK －1K iK －1 α2iK －1K iK －1K iK －1 － K－1 4 忽略方程 4 中的高阶项， 那么结构柔度的一阶灵敏 度为 F αi FKiF 5 式中 F F K －1 是完好结构的柔度矩阵。由方程 5 可见， 柔度灵敏度的计算公式很简洁， 因为它只需要完 好结构的柔度矩阵 F 和各单元刚度矩阵 Ki。根据线性 叠加原理， 若 N 个单元体发生损伤， 则 ΔF 的一阶近 似为 ΔF ∑ N i 1 αi F αi ∑ N i 1 αi FKiF 6 方程 6 即为损伤识别线性方程组， 通过求解该方程， 把所有的 αi计算出来便可以进行损伤评估， 其中， ΔF 可以由测量损伤前后结构振动的低阶模态近似获得 ΔF Fd－ F ∑ m j 1 1 λdjdj T dj －∑ m j 1 1 λj jT j 7 44振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 式中 m 是测量的模态数目， F 和 Fd分别为损伤前后 结构的柔度矩阵， λj和 j是未损伤结构的第 j 个特征 值和振型， λdj和 dj为损伤结构的第 j 个特征值和振型。 上述一阶灵敏度的推导中忽略了高阶项， 因此， 由 一阶灵敏度所建立的线性模型 6 只适用于小损伤的 情况。当实际损伤较大时， 由该线性模型计算所得到 的损伤参数会有较大的误差。Yang 等 ［25- 26 ］的研究表 明， 由方程 6 所得的 αi本质上并非是刚度扰动参数， 而是柔度扰动参数， 记为 βi。而真正的刚度扰动参数 还需要进行一次附加运算才能获得。因此， 损伤评估 线性模型应改进为 ΔF ∑ N i 1 βi FKiF 8 αi βi 1 βi 9 式中 βi是第 i 个单元的柔度扰动参数， N 是结构有限 元模型中的单元总数。需要指出的是， 理论上损伤参 数 αi的取值范围应为区间［ 0， 1］ ， 若 αi0 表示第 i 个 单元没有损伤， 而 αi 1 则表示第 i 个单元完全损伤， 但由方程 9 所得的 αi的取值范围为区间［ 0， 1 ， 这是 由于理论公式推导过程中分母不能为 0 所造成的， 考 虑到由方程 9 可以无限逼近于 1， 且一般而言 αi 1 这种完全损伤的情况也比较少见， 因此上述损伤评估 线性模型对于绝大多数情况都是适用的。这种新的线 性模型优势在于 无论损伤程度大小如何， 都可以快速 准确地计算出损伤参数， 而不需要高阶灵敏度分析或 者迭代运算。对方程 8 进行求解时， 需要通过拉直运 算将矩阵转化为向量， 矩阵的拉直是指将矩阵的每行 向量按序写成一行再转置成为一个列向量， n n 维矩 阵拉直后即成为 n2维向量。以矩阵 ΔF 为例， 设其第 j， k 个元素用 Δfjk表示， 那么该矩阵的拉直ΔF为 ΔF ［ Δf11Δf1n Δf 21Δf2n Δfn1Δfnn］ T 10 对方程 8 两边采用拉直运算可得到常见的多元线性 回归模型形式 y Ax 11 y ΔF，x β1 ， β 2， ， βN T 12 A ［ η1， η2， ， ηN］ ，ηi FKiF 13 式中 y 是把矩阵 ΔF 拉直所得的向量， A 是回归模型 的系数矩阵， x 是柔度扰动参数向量。求解方程 11 即可得各柔度扰动参数 βi， 在通过方程 9 可得各单元 损伤参数 αi， 根据所得的 αi i 1， 2， ， N 即可以进行 损伤评估。 1． 2岭估计 结构损伤是由上述方程计算所得的损伤参数 αi i 1， 2， ， N 来评估， αi的计算过程为 y ΔF Eq． 11→    x β i Eq． 9→    αi。其中， 在由线性方程组 11 求解 x 时， 传统上常用最小二乘估计 Least Squares Estimate，LSE ［27 ］， 由方程 11 可得 ATAx ATy 14 令 B ATA、 z ATy， 方程 14 可简化为 Bx z 15 然后可以得到 x 的最小二乘估计为 xLSE B －1z 16 众所周知， 如果矩阵 B 是病态的， 由方程 16 计算 所得的 xLSE和真值相比往往误差很大甚至完全失真， 因 为在这种情况下， y 的微小误差可能导致 xLSE的巨大误 差。因此， 当所用测量的数据中存在噪声干扰时， 最小 二乘估计通常是不稳定和不可靠的。为了解决病态方 程组问题， 学者们提出了岭估计方法 Ridge Estimate， RE ， 以获得更加稳定和精确的解。岭估计的基本思 想是通过增加一个扰动矩阵来减小矩阵 B 的条件数， 从而使得解更加的稳定。例如， 方程 15 的岭估计 解为 xRE B kIn －1z 17 式中 kIn是所附加的扰动矩阵， In是维数为 n n 的 单位矩阵， k 是岭参数。显然， 方程 16 是方程 17 在 k 0 时的特殊情况。显然， 岭估计破坏了线性方程组 的等价关系， 因此其解为有偏估计。传统上， 岭估计中 存在的主要问题是如何选择岭参数 k 的合适值， 在过 去的几十年里， 人们已提出了许多种选择岭参数的 方法［28- 37 ］。 2反 馈 岭 估 计 Feedback Ridge Estimate， FRE 岭估计虽然增加了解的稳定性， 但由于方程 17 中附加的扰动矩阵 kIn所引起的额外误差， 岭估计所 得的计算结果仍然是不尽理想的。从本质上说， 方程 17 的岭估计其实是下述方程的最小二乘估计， 即 B kIn x z 18 方程 18 可以改写为 Bx e z 19 e kInx 20 比较方程 19 和 15 ， 显然可以发现岭估计的额外误 差是由向量 e kInx 所引起的。将 x β1 ， β 2， ， βN T 代入 kInx 可得 e k β1 ， β 2， ， βN T 21 ei kβi i 1， 2， ， N 22 方程 21 有着非常重要的物理意义。由方程 21 可 知 较大的 βi会导致较大的误差元素 ei， 对于损伤识别 问题， 由于结构损伤通常只发生在结构的少数局部区 域， 即 βi i 1， 2， ， N 中的大部分都是 0 或者很接近 0， 这意味着 ①大部分 ei的数值都是在 0 附近上下略 54第 7 期杨秋伟等 结构损伤识别的一种反馈岭估计方法 ChaoXing 有波动; ②只有那些 βi0 的可能损伤单元才会引起严 重误差 ei kβi0 。因此， 对于损伤识别问题， 岭估 计的额外计算误差主要是由于 e 中的这些严重误差元 素 ei所引起的。所以， 我们可以根据相应的 β i来减小 这些严重误差 ei， 这是所提反馈岭估计方法的核心思 想。具体操作上， 在利用方程 17 进行了第一次岭估 计得出 x β1 ， β 2， ， βN T 之后， 对于那些数值较大 的 βi引入一些修正系数， 这些修正系数 ci的公式为 ci 1 － βi max x 2 ，当 βi max x ＞ 0． 05 23 ci 1，当 βi max x ≤ 0． 05 24 式中 max x 是 x β1 ， β 2， ， βN T 中的最大值， x 由 方程 17 得到。利用方程 23 和 24 ， 设计一个反馈 修正矩阵 If来代替岭估计中的 In ， 即 If c1  ci  c                 N 25 利用方程 25 ， 对 x 进行第二次岭估计 即反馈岭估 计 ， 计算公式为 xFRE B kIf －1z 26 随后， 由所得的 xFRE通过方程 9 把相应的 αi求解出 来。最终， 结构的损伤状况可以由所得的 α1 i 1， 2， ， N 数值来进行评估。 综上所述， 本文所提的反馈岭估计方法用于损伤 识别的操作步骤如下所述 步骤 1 构造损伤识别线性方程组。首先利用方 程 7 得到 ΔF， 然后建立方程 11 所示的线性方程组 来进行损伤评估。 步骤 2 利用方程 11 进行第一次岭估计计算， 得到粗解 xre。 步骤3 根据步骤2 计算所得的 xre， 利用方程 23 ～ 25 构造出反馈修正矩阵 If。 步骤 4 利用方程 26 进行第二次岭估计计算 即 反馈岭估计 从而获得更高精度的解 xFRE。 步骤 5 根据步骤 4 计算所得的 xFRE， 并利用方程 9 计算出所有单元的损伤参数 αi。最后， 根据所得的 αi i 1， 2， ， N 来进行结构损伤评估。 3数值算例 以图 1 所示的单跨简支梁为例， 模拟多种损伤工 况和测量噪声来验证所提反馈岭估计方法的可行性和 优越性。该梁用 32 个等长的梁单元进行有限元建模， 每个梁单元长度为 1 m， 所得有限元模型共有 64 个自 由度 31 个平动自由度和 33 个转动自由度 。该梁的 物理参数如下 梁横截面面积为 0． 16 m2， 横截面惯性 矩 2． 5 10 －3 m4， 材料弹性模量为 2． 5 1010Pa， 材料 密度为 2． 5 103kg/m3。 图 1单跨梁 Fig． 1A single span beam 对表 1 所示的四种损伤工况进行讨论。工况 1 用 于模拟单个小损伤， 工况 2 用于模拟单个大损伤， 工况 3 用于模拟多个损伤， 工况 4 用于模拟相邻单元同时损 伤。由于工程实际中测量往往是不完整的， 即只能测 得低价模态部分自由度处的数据， 因此在接下来的计 算中， 只利用第一阶频率和振型来计算损伤前后的结 构柔度变化 ΔF， 且只利用偶数编号节点平动自由度所 对应的数据。 表 1梁结构损伤工况 Tab．1Damage cases of the beam structure 损伤工况损伤单元刚度损伤程度 11610 21650 313， 2520， 25 415， 1620， 20 如前言所述， 目前损伤识别中的噪声问题已有较 多研究， 代表性的方法为奇异值截断法和岭估计方法。 因此， 为了说明所提反馈岭估计方法相对于现有方法 的优势， 对于以上四种损伤工况， 均同时给出三种方法 的计算结果以便比较 第一种是奇异值截断法， 第二种 是现有的岭估计方法， 第三种是本文所提的反馈岭估 计方法。其中岭估计方法和反馈岭估计方法的相关公 式均已在前一章中给出。这里把奇异值截断法的相关 公式简述一下。利用奇异值截断法求解损伤评估方程 组 11 的主要公式如下。 首先， 对方程 11 中的系数矩阵 A 做奇异值分 解， 即 A UΛVT 27 U ［ u1， u2， ］ 28 V ［ v1， v2， ］ 29 Λ Z0 [] 00 ，Z diag σ1 ， σ 2， ， σp 30 64振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 式中 σ1 ， σ 2， ， σp为矩阵 A 的 p 个非零奇异值， 且满 足 σ1≥σ2≥≥σp。方程 27 代入 11 变形可得 x ∑ P i 1 σ －1 i viuT iy 31 由方程 31 可见， 越小的奇异值越能引起解 x 的巨大 波动。因此， 为了提高解的稳定性， 在计算中可以舍去 较小的奇异值， 而只保留较大的奇异值。假设只保留 前 t 个奇异值， 则奇异值截断后的解为 x ∑ t i 1 σ －1 i viuT iy 32 无论哪种损伤工况， 损伤识别方程组 15 中的系 数矩阵都一样， 因此所有损伤工况下系数矩阵的条件 数都是一样的， 经计算可得条件数为 cond B 1． 533 1022。显然， 系数矩阵的条件数非常大， 属于严 重的病态方程组， 需要采用抗噪估计方法才能获得可 靠的损伤识别结果。对于损伤工况 1， 图 2 ～ 图 4 分别 给出了无噪声和 10 噪声时利用奇异值截断法 方程 32 ， 岭估计 方程 17 和反馈岭估计 方程 26 的计算结果。其中， 在奇异值截断法的计算中， 保留奇 异值的个数采用 L 曲线法来选定， 而在岭估计和反馈 岭估计的计算中， 岭参数 k 的选择采用一种简单方法， 即取为 k 0． 01 max B ， 其中 max B 是矩阵 B 中 的最大元素值。添加噪声即在柔度差中加上一个均匀 分布的随机数， 具体公式为 Δf jk Δfjk 1 nl unifrnd － 1， 1 33 式中 Δfjk是矩阵 ΔF 的第 j， k 个元素， nl 表示噪声水 平 noise level ， unifrnd －1， 1 表示一个在［－1， 1］ 区 间均匀分布的随机数， nl 0． 1 时即表示添加了 10 的 均匀分布的白噪声。 图 2损伤工况 1 的奇异值截断法结果 Fig． 2Results of damage case 1 using SVT 图 3损伤工况 1 的岭估计结果 Fig． 3Results of damage case 1 using RE 图 4损伤工况 1 的反馈岭估计结果 Fig． 4Results of damage case 1 using FRE 从图 2 和图 3 可以看出， 奇异值截断法和岭估计 方法所得结果只能大概说明单元 16 是最可能的损伤 单元， 而其它误判的单元比较多。而从图 4 可以看出， 采用反馈岭估计方法却能清楚的表明只有单元 16 发 生损伤。注意到图 2 ～ 图 4 中所得结果均为柔度扰动 参数 βi， 为得到损伤参数 αi还需要利用方程 9 再进 行一次运算。10噪声水平下三种方法所得的单元 16 的损伤参数值为 α160． 045 4 奇异值截断法 ， α16 0．026 2 岭估计 ， 以及 α160． 092 5 反馈岭估计 。 与实际损伤程度 10 相比， 显然反馈岭估计得到的结 果是最准确的。 对于损伤工况 2， 图 5 ～ 图 7 分别给出了使用奇异 值截断法、 岭估计和反馈岭估计的计算结果。显然， 图 5 和图 6 难以清晰的判断出只有单元 16 发生损伤， 只 有由反馈岭估计计算所得的图 7 是最准确的。10 噪 声水平下三种方法计算所得的单元 16 损伤参数值为 α160． 333 7 奇异值截断法 ， α160． 207 5 岭估计 和 α160． 502 反馈岭估计 。显然， 与实际值 0． 5 相 比， 反馈岭估计方法的精度最高。 图 5损伤工况 2 的奇异值截断法结果 Fig． 5Results of damage case 2 using SVT 图 6损伤工况 2 的岭估计结果 Fig． 6Results of damage case 2 using RE 对于损伤工况3， 图8 ～ 图10 分别给出了使用奇异 值截断法、 岭估计和反馈岭估计的计算结果。显然， 图 8 和图 9 难以清晰的做出损伤位置判断， 而由反馈岭估 74第 7 期杨秋伟等 结构损伤识别的一种反馈岭估计方法 ChaoXing 图 7损伤工况 2 的反馈岭估计结果 Fig． 7Results of damage case 2 using FRE 图 8损伤工况 3 的奇异值截断法结果 Fig． 8Results of damage case 3 using SVT 图 9损伤工况 3 的岭估计结果 Fig． 9Results of damage case 3 using RE 图 10损伤工况 3 的反馈岭估计结果 Fig． 10Results of damage case 3 using FRE 计所得图10 却能比较清晰的指示出单元13 和25 为损 伤单元。10 噪声水平下三种方法计算所得单元 13 和 25 的损伤参数为 α130． 100 1; α250． 109 3 奇异 值截断法 ， α130． 052 2; α250． 056 2 岭估计 ， 以及 α130． 102 2; α250． 180 7 反馈岭估计 。这说明了 所提方法对多个损伤情况也能较好地识别出来。 对于损伤工况 4， 图 11 ～ 图 13 分别给出了奇异值 截断法、 岭估计和反馈岭估计的计算结果。显然， 图 11 和 12 的识别结果不太理想， 只有图 13 中反馈岭估计 的计算结果可以清楚地表明相邻的单元 15 和 16 发生 了损伤。10噪声水平下由反馈岭估计计算所得的单 元 15 和 16 的损伤参数值分别为 α150． 077 和 α16 0． 291。与假设值 0． 2 相比， 一个偏小， 另一个偏大， 这 主要是由于这两个单元位置相邻所导致的， 说明了相 邻单元同时损伤时给识别所带来的困难。尽管如此， 但图 13 仍然清晰的指示出单元 15 和 16 发生损伤， 说 明了反馈岭估计方法对于相邻单元损伤的情况也具有 比较好的识别效果。 图 11损伤工况 4 的奇异值截断法结果 Fig． 11Results of damage case 4 using SVT 图 12损伤工况 4 的岭估计结果 Fig． 12Results of damage case 4 using RE 图 13损伤工况 4 的反馈岭估计结果 Fig． 13Results of damage case 4 using FRE 4结论 本文提出了一种用于结构损伤识别的反馈岭估计 方法， 与奇异值截断法和岭估计相比， 所提方法具有更 好的抗噪声性能。利用梁结构的数值算例， 验证了无 噪声和 10噪声干扰下的损伤识别结果。计算结果表 明， 反馈岭估计方法在单个小损伤、 大损伤、 多个损伤 和相邻单元损伤等多种工况下都获得比较稳定和准确 的计算结果。反馈岭估计方法可以作为结构损伤识别 中抗噪声干扰的有力工具。 参 考 文 献 ［1］ MOUGHTY J J，CASAS J R． A state of the art review of modal- based damage detection in bridgesdevelopment， challenges，and solutions［J］ ． Applied Sciences，2017，7 5 510． ［2］ SHAHRI A HH， GHORBANI- TANHAAK．Damage detection via closed- sensitivity matrix of modal kinetic energy change ratio［J］ ．Journal of Sound and Vibration， 2017， 401 268- 281． 84振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing ［3］ DATTEO A，QUATTROMANI G，CIGADA A． On the use of AR models for SHMA global sensitivity and uncertainty analysis framework［J］ ．Reliability Engineering ＆ System Safety， 2018， 170 99- 115． ［4］ASHOKKUMAR C R，LYENGAR N G R． Partial eigenvalue assignment for structural damage mitigation［J］ ． Journal of Sound and Vibration， 2011， 330 9- 16． ［5］ 陈雪峰， 杨志勃， 田绍华， 等． 复合材料结构损伤识别与健 康监测展望［ J］ ． 振动、 测试与诊断， 2018 1 1- 10． CHEN Xuefeng，YANG Zhibo， TIAN Shaohua，et al．A review of the damage detection and health monitoring for composite structures［J］ ． Journal of Vibration， Measurement ＆ Diagnosis， 2018 1 1- 10． ［6］ YANG Q W， LIUJK．Damageidentificationbythe eigenparameter decomposition of structural flexibility change ［J］ ．InternationalJournalforNumericalsin Engineering， 2009， 78 4 444- 459． ［7］ 战家旺，闫宇智，强伟亮， 等． 一种基于频响函数相似性 的铁路桥墩损伤识别方法［ J］ ． 中国铁道科学，2018 2 37- 43． ZHAN Jiawang， YAN Yuzhi， QIANG Weiliang， et al． Damage identification for railway pier based on frequency response function similarity［J］ ．China Railway Science， 2018 2 37- 43． ［8］ YAN W J，REN W X． A direct algebraic to calculate thesensitivityofelementmodalstrainenergy ［J］ ． International Journal for Numerical s in Biomedical Engineering， 2011， 27 5 694- 710． ［9］ 薛建阳，白福玉，张锡成， 等． 古建筑木结构榫卯节点刚 度的地震损伤分析和识别［J］ ． 振动与冲击，2018，37 6 47- 54． XUE Jianyang，BAI Fuyu，ZHANG Xicheng，et al． Seismic damage analysis and identification for the stiffness of ancient timber buildings mortise- tenon joints［ J］ ． Journal of Vibration and Shock， 2018， 37 6 47- 54． ［ 10］ LU Z R，HUANG M，LIU J K． State- space ulation for simultaneous identification of both damage and force from response sensitivity［J］ ． Smart Structures and Systems， 2011， 8 2 157- 172． ［ 11］ WONG C N，HUANG H Z，XIONG J Q，et al． Generalized- orderperturbationwithexplicitcoefficientfordamage detectionofmodularbeam ［J］ ．ArchiveofApplied Mechanics， 2011， 81 4 451- 472．