混沌同步控制策略构造方法研究_左兆伦.pdf

振 动 与 冲 击 第 39 卷第 13 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol. 39 No.13 2020 基金项目 国家自然科学基金51679245 收稿日期 2018 -08 -15 修改稿收到日期 2019 -04 -23 第一作者 左兆伦 男,硕士生,1995 年生 通信作者 俞翔 男,博士,副教授,1978 年生 混沌同步控制策略构造方法研究 左兆伦, 俞 翔 海军工程大学 舰船与海洋学院, 武汉 430033 摘 要水下辐射噪声中的低频线谱是影响潜艇声隐身性能的主要因素,线谱混沌化控制技术通过处于混沌状态 的非线性隔振系统将低频线谱转换为宽频混沌谱,可以实现频谱重构并降低线谱强度。 前期研究表明,利用广义混沌同 步方法可以实现变工况下隔振系统的持续混沌化,在某些情况下还能显著减小振幅,为线谱混沌化控制理论提供了新思 路。 然而,目前要利用广义混沌同步产生小振幅的持续混沌运动,只能通过“试错”来选择合适的混沌同步控制策略,还 没有形成系统的方法。 为此,提出了一种混沌同步控制策略构造方法。 结合耦合 Duffing 隔振系统对该构造方法进行验 证和说明,并将该方法应用于两自由度非线性隔振系统。 关键词 线谱抑制; 广义混沌同步; 控制策略; 中心流形; 隔振系统VIS 中图分类号 O322 文献标志码 ADOI10. 13465/ j. cnki. jvs. 2020. 13. 025 Construction for chaos synchronization control strategy ZUO Zhaolun, YU Xiang School of Ships and Ocean, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China Abstract Low-frequency line spectra in underwater radiated noise are the main factor affecting submarine acoustic stealth perance. The line spectra chaotic control technique is to convert low frequency line spectra into wide frequency chaotic spectra with a nonlinear vibration isolation system VIS, realize spectra reconstruction and reduce line spectra intensity. Previous studies show that the generalized chaos synchronization can be used to realize continuous chaos of a VIS under variable operation conditions, and in some cases, chaos amplitude can be significantly reduced to provide a new idea for the line spectra chaotic control theory. However, at present, in order to generate continuous chaos motion with small amplitude utilizing the generalized chaos synchronization , the “trial and error“ is the only way to choose the appropriate chaos synchronization control strategy. Consequently, there is not a systematic . Here, a construction for the appropriate chaos synchronization control strategy was proposed. This was verified and illustrated using a coupled Duffing VIS, and applied in a two-DOF nonlinear VIS. Key words line spectra suppressing; generalized chaos synchronization; control strategy; central manifold; vibration isolation system VIS 潜艇以其优越的隐蔽性和突击性,自诞生之日起 就成为了最重要的海上军事力量之一。 在声、红外、电 磁、尾流等物理场中,唯有声波能够在海水中远距离传 播,从而成为暴露潜艇行踪的主要信号。 二战后,经过 潜艇振动噪声控制领域的专家学者们的不懈努力,水 下辐射噪声的高频段频谱强度大为降低,低频段的线 谱日益成为了危害潜艇安全的主要因素[1]。 为此,各国学者开始重点关注如何降低线谱强度, 隐藏线谱所携带的潜艇信息。 其中,朱石坚等[2-6]创新 性地提出了线谱混沌化控制技术,通过处于混沌状态 的非线性隔振系统将线谱转换为宽频混沌谱,从而削 弱和重构潜艇辐射水声中的频谱信号。 为了实现隔振 系统的持续混沌化,俞翔等[4]提出了广义混沌同步线 谱混沌化控制方法。 随后,楼京俊等[7]利用基于参数 驱动的广义混沌同步实现了硬弹簧 Duffing 隔振系统的 持续混沌化。 桑金玉等[8]利用泛函微分方程稳定性理 论实现了异构二维延迟系统的广义混沌同步,简化了 广义混沌同步方法。 杨庆超等[9]利用基于开环加非线 性闭环耦合的广义混沌同步化方法实现了两自由度高 静低动刚度隔振系统的小振幅混沌化。 然而,目前广 义混沌同步线谱混沌化控制方法只能通过“试错”来选 择合适的混沌同步控制策略,从而实现小振幅混沌化, ChaoXing 具有一定的盲目性。 基于上述研究,本文提出了一种混沌同步控制策 略构造方法,使得相空间中存在小振幅混沌吸引子,从 而实现隔振系统的小振幅持续混沌运动。 1 构造方法的提出 以单向耦合系统为研究对象 x Fx1a y Gy kPx1b 式中x 和 y 分别表示驱动系统 Fx和响应系统 Gy 的状态向量;Px为控制函数;k 为表示耦合系数的 标量。 前期俞翔等[10]对同步流形的求解方法展开研究, 在已知驱动系统 Fx、响应系统 Gy 和控制函数 Px的前提下,采用 Brown[11]提出的近似中心流形方 法,求得响应系统状态向量 y 和驱动系统状态向量 x 之间的函数关系,即同步流形 y Hx。 本文采用逆 向思维,在已知驱动系统 Fx和响应系统 Gy、而控 制函数 Px未知的前提下,提出了一种混沌同步控制 策略构造方法。 具体的思路如图 1 所示首先,根据需 要尝试构造一个同步流形 y Hx,通过近似中心流 形方法设计控制函数 Px,将 y Hx与驱动系统方 程、带未知 Px的响应系统方程联立求解 Px。 对 同步流形进行摄动,使 Px的表达式足够简单。 然 后,将求得的 Px代入耦合系统,根据 Yu 等[12]提出 的同步流形稳定性定理,判断在构造得到的控制函数 Px作用下,y Hx是否稳定。 如果 y Hx稳 定,就构造得到了稳定同步流形 y Hx;如果 y Hx不稳定,则需要对 y Hx进行摄动并重复上述 过程,直到构造得到的同步流形稳定。 最后,利用近似 中心流形方法求出在 Px控制下,耦合系统的其他同 步流形并判断其稳定性。 图 1 构造方法示意图 Fig. 1 The schematic diagram of the construction 2 验证和说明 下面结合耦合 Duffing 系统对该混沌同步控制策略 构造方法进行验证和说明。 驱动系统选取简谐激励下 的单自由度振子 x 1 x 2 x 3 x 4 x2 - wx1- vx2 1- x 3 1- ux2 fcosωt - ωx4 ωx3 2 其中,引入 x3和 x4使驱动系统变换为自治系统, x3 cosωt,x4 sinωt。 设置驱动系统参数为ω 3. 931 1,w 4,v 3,u 0. 15,f 9。 相图和 Poincare 映射图如图2 所示,功率谱图如图 3 所示。 由图 2 和图 3 可知,此时驱动系统运动轨迹缠 绕在一起并遍布在一定的相空间范围内,功率谱呈现 连续谱特性。 由此可知,在该参数条件下驱动系统处 于混沌运动状态。 a 相图 b Poincare 映射 图 2 驱动系统的相图和 Poincare 映射 Fig. 2 Phase diagram and Poincare map of the driving system 图 3 驱动系统的功率谱 Fig. 3 The power spectra of the driving system 171第 13 期左兆伦等 混沌同步控制策略构造方法研究 ChaoXing 选择响应系统为含控制函数 P x 的非线性 Duffing 隔振系统 y 1 y 2 y 3 y 4 y2 - εy2- y1-2y2 1- y 3 1 dcosωt - ωy4 ωy3 kPx 3 驱动系统以状态驱动的方式实现对响应系统的广 义混沌同步化控制,此处取 k 0. 1。 其中,引入 y3和 y4使响应系统变换为自治系统, y3 x3 cosωt,y4 x4 sinωt。 设置响应系统参 数为ε 0. 15,d 9。 尝试构造一个同步流形 y H1x A1 B1x4 其中A1[0,0,0,0] T, B1 00. 033-0. 625-0. 056 -0. 133-0. 0050. 0802. 457 0010 0001 值得注意的是,在构造该同步流形时需要多次尝 试。 首先,考虑同步流形中矩阵 B1保留小数点后一位 的情况,根据得到的控制函数 Px调整参数。 接着依 次考虑同步流形中矩阵 B1保留小数点后两位和后三 位的情况,重复上述步骤。 最后得到的控制函数 Px 的形式应该十分简单,使得将该方法应用于工程实际 时便于施加控制。 由于 Hx可微,那么有 y DxHxx 5 将式1a和式1b代入式5,得 GHx kPx - DxHxFx 06 利用近似中心流形方法设计控制函数 Px,将控 制函数 Px 展开成幂级数并保留前两项Px Mx N。 将 y H1x与驱动系统方程、含控制函数 Px的响应系统方程代入式6,得 Px 0.010.000 5 -0.031 416 -0.000 625 0.000 5-10.007 127-0.019 38 0000 0000 x1 x2 x3 x4 0 0 0 0 忽略允许范围内的计算误差,将 Px圆整为 Px 0000 0- 100 0000 0000 x1 x2 x3 x4 0 0 0 0 7 根据同步流形稳定性定理可以得出如下推论若 单向耦合系统1的最大条件 Lyapunov 指数CLE小 于 0,那么该同步流形渐近稳定;若单向耦合系统1 的最大 CLE 大于 0,那么该流形不稳定。 将求得的 Px代入到耦合系统,求得在映射 H1x作用下系统 的最大 CLE 为 -0. 744 9,可知 H1x对应的同步流形 稳定。 利用近似中心流形方法求出在 Px控制下,耦合 系统的另一同步流形 y H2x A2 B2x8 其中A2[-1,0,0,0 ] T, B2 00. 025-0. 584-0. 035 -0. 100-0. 0040. 0882. 295 0010 0001 在这里 B2的各项取值精确到小数点后三位。 求 得在映射 H2x作用下系统的最大 CLE 为 -0. 750 2, 同理可知 H2x对应的同步流形是稳定的。 通过数值仿真可以验证该构造方法的有效性。 因 初始条件不同,该系统运行于两个不同的混沌吸引子, 相图如图 4 所示。 如当初始条件为0,0,0,0时,系统 运行于稳定的小振幅吸引子 A1;当初始条件为0,0, 4,0时,系统运行于稳定的大振幅吸引子 A2。 共存混 沌吸引子均有其对应的吸引域,如图 5 所示,黑色区域 为小振幅吸引子 A1 的吸引域,灰色区域为大振幅吸引 子 A2 的吸引域。 由此可知,该耦合 Duffing 系统中存 在两个不同振幅的稳定同步流形,从而证明了该构造 方法的有效性。 图 4 k 0. 1 时,耦合 Duffing 隔振系统共存吸引子的相图 Fig. 4 The phase diagram of the coexistent attractors of the coupled Duffing VIS at k 0. 1 下面分析耦合强度 k 对该耦合 duffing 系统中共存 混沌吸引子及其吸引域的影响。 如图6 所示,随着 k 的 增大,小振幅吸引子 A1 的相轨迹范围变大,逐渐接近 大振幅吸引子 A2 的相轨迹,这说明驱动系统对响应系 统的控制作用在逐渐变强,从而证明了该耦合系统控 制函数的有效性。需要说明的是,共存的两个吸引子 271振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing 图 5 k 0. 1 时,耦合 Duffing 隔振系统共存吸引子的吸引域 Fig. 5 The attraction basins of the coexistent attractors of the coupled Duffing VIS at k 0. 1 a k 0. 2b k 0.251 c k 0. 3d k 0. 51 图 6 k 0. 2、0. 251、0. 3、0. 51 时,耦合 Duffing 隔振系统 共存吸引子的相图 Fig. 6 The phase diagram of the coexistent attractors of the coupled Duffing VIS at k 0. 2, 0. 251, 0. 3, 0. 51 的相轨迹可以无限接近但永远不会有交集。 如图7 所示,随着 k 的增大,A1 的吸引域范围逐渐 变小,这说明其稳定性在逐渐减弱,并且当 k 0. 511 时,A1 丧失其稳定性,整个相空间只剩下 A2 吸引子。 这说明随着耦合强度的增大,驱动系统与响应系统之 间的映射关系从多值映射变成了单值映射。 a k 0.2b k 0.251 c k 0.3d k 0.51 图 7 k 0. 2、0. 251、0. 3、0. 51 时,耦合 Duffing 隔振系统 共存吸引子的吸引域 Fig. 7 The attraction basins of the coexistent attractors of the coupled Duffing VIS at k 0. 2, 0. 251, 0. 3, 0. 51 3 方法的进一步应用 为了进一步扩大该构造方法的应用范围,下面考 虑该方法在两自由度非线性隔振系统中的应用。 驱动 系统仍选用式1表示的混沌单自由度振子。 响应系 统选为含控制函数 Px的两自由度非线性隔振系统 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y2 - δ1y2- y4 - y1- y3 ξ1y1- y32- y1- y33 dcosωt y4 - μδ2y4- μp2y3 μδ1y2- y4 μy1- y3 - μξ1y1- y32 μy1- y33 - ωy6 ωy5 kPx9 驱动系统仍以状态驱动的方式实现对响应系统的 广义混沌同步化控制,耦合系数 k 取为 0. 1。 其中,引 入 y5和 y6使响应系统变换为自治系统,y5 x3 cosωt,y6 x4 sinωt。 设置响应系统参数为 δ1 δ20. 8,ξ12,d 20,μ 0. 2, p22。 首先,尝试构造一个同步流形 y H3x A3 B3x10 其 中 A3 [ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] T , B3 0. 110-0. 050-1. 2340. 399 0. 2000. 1181. 1184. 850 -0. 0270. 054-0. 022-0. 186 -0. 218-0. 035-0. 2390. 086 0010 0001 应用近似中心流形方法设计控制函数 Px,将控 制函数 Px 展开成幂级数并保留前两项Px Mx N。 在这里,Px可表示如下 371第 13 期左兆伦等 混沌同步控制策略构造方法研究 ChaoXing Px m11m12m13m1400 m21m22m23m2400 m31m32m33m3400 m41m42m43m4400 m51m52m53m5400 m61m62m63m6400 . x1 x2 x3 x4 0 0 n1 n2 n3 n4 n5 n6 将 y H3x与驱动系统方程、含控制函数 Px 的响应系统方程代入式6,得 Px 0- 0.0050.005 089- 0.009 77400 - 0.0062.0070.014 350.012 30200 0.02- 0.001- 0.061 8460.004 84200 0.000 42.004 30.013 146- 0.003 47100 000000 000000 x1 x2 x3 x4 0 0 0 0 0 0 0 0 忽略允许范围内的计算误差,将 Px圆整为 Px 000000 020000 000000 0- 20000 000000 000000 x1 x2 x3 x4 0 0 0 0 0 0 0 0 11 将求得的 Px代入到耦合系统,求得在映射 y H3x作用下系统的最大 CLE 为 - 0. 059 4,可知 y H3x对应的同步流形是稳定的。 利用近似中心流形方法求出在 Px控制下,耦合 系统的另一同步流形 y H4x A4 B4x12 其中 A3 [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ] T, B4 0. 063-0. 034-1. 1960. 316 0. 1370. 0680. 9344. 700 -0. 0160. 051-0. 028-0. 168 -0. 206-0. 023-0. 1990. 111 0010 0001 求得在映射 y H4x作用下系统的最大 CLE 为 -0. 203 3,同理可知 y H4x对应的同步流形是稳 定的。 因初始条件不同,该系统运行于两个不同的混沌 吸引子,相图如图 8 所示。 如当初始条件为0,0,0, -5,2,0时,系统运行于小振幅吸引子 A1;当初始条 件为0,0,0, - 5,-4,6时,系统运行于大振幅吸引子 A2。 共存混沌吸引子对应的吸引域如图 9 所示,黑色 区域为小振幅吸引子 A1 的吸引域,灰色区域为大振幅 吸引子 A2 的吸引域。 由此可知,该两自由度非线性耦 合系统中存在不同振幅的多稳定同步流形。 图 8 k 0. 1 时,两自由度非线性隔振系统共存吸引子的相图 Fig. 8 The phase diagram of the coexistent attractors of the 2 DOF nonlinear VIS at k 0. 1 图 9 k 0. 1 时,两自由度非线性隔振系统共存 吸引子的吸引域 Fig. 9 The attraction basins of the coexistent attractors of the 2 DOF nonlinear VIS at k 0. 1 4 结 论 针对目前广义混沌同步线谱混沌化控制方法只能 通过“试错”来选择合适的混沌同步控制策略,从而实 现小振幅混沌化的难题,提出了一种混沌同步控制策 略的构造方法。 主要结论总结如下 1 广义混沌同步系统中普遍存在多个同步流 形,这是由其非线性本质决定的,但并非每个同步流形 都是稳定的小振幅混沌同步流形。 2 通过该构造方法可以将外加混沌系统按构造 的控制策略驱动非线性隔振系统,构造出所期望的包 含小振幅稳定混沌吸引子的多稳定同步流形,从而实 现隔振系统的小振幅持续混沌化。 3 构造的多稳定同步流形稳定性和耦合强度相 关,随耦合强度增大,其中一个同步流形的稳定性减弱 471振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing 并最终失稳,耦合系统只剩下一个稳定同步流形。 参 考 文 献 [ 1] 刘鹏, 刘贯领. 一种改进的声呐线谱检测处理方法[J]. 声学与电子工程, 2013, 1124 26-27. LIU Peng, LIU Guanling. An improved for detection of sonar line spectrum [ J ].Acoustics and Electronics Engineering, 2013, 1124 26-27. [ 2] 朱石坚, 姜荣俊, 何琳. 线谱激励的混沌隔振研究[J]. 海 军工程大学学报, 2003, 15 1 19 -22. ZHU Shijian, JIANG Rongjun, HE Lin.Research on the chaos vibration-isolation of line spectra excitation[J]. Journal of Naval University of Engineering, 2003, 151 19-22. [ 3] 楼京俊. 基于混沌理论的线谱控制技术研究[D]. 武汉 海军工程大学, 2006. [ 4] 俞翔. 非线性隔振系统动力学特性与混沌反控制研究 [D] 武汉海军工程大学, 2008. [ 5] 张敬, 徐道临, 李盈利, 等. 多源激励下双层隔振浮筏系 统的线谱混沌化[J]. 物理学报, 2014, 6318 120-130. ZHANG Jing, XU Daolin, LI Yingli, et al.Line spectra chaotification of a double-layer vibration isolation floating raft system under multi-source excitation[J]. Journal of Physics, 2014, 6318 120-130. [ 6] 张振海, 朱石坚, 何其伟. 基于反馈混沌化方法的多线谱 控制技术研究[J]. 振动工程学报, 2012, 251 30-37. ZHANG Zhenhai,ZHUShijian,HEQiwei.Multi-line spectra reduction of vibration isolation system based on chaotification [J]. Journal of Vibration Engineering, 2012, 251 30-37. [ 7] 楼京俊, 张晖, 俞翔, 等. 硬弹簧 Duffing 隔振系统跳跃性 对广义混沌同步影响分析[J]. 振动与冲击, 2015, 34 14 106-109. LOU Jingjun, ZHANG Hui, YU Xiang, et al. Influence of the jump phenomenon of hard duffing vibration isolation system on its generalized synchronization of chaos behavior [J].Journal of Vibration and Shock, 2015, 34 14 106-109. [ 8] 桑金玉, 王娇, 岳立娟. 异构二维延迟系统的广义混沌同 步[J]. 物理学报, 2010, 5911 7618-7622. SANG Jinyu, WANG Jiao, YUE Lijuan. Synchronization of chaos for two-dimensional time-delayed chaotic systems with different structures[J]. Journal of Physics, 2010, 59 11 7618-7622. [ 9] 杨庆超, 柴凯, 楼京俊, 等. 两自由度高静低动刚度隔振 系统的广义混沌同步化[J]. 振动工程学报, 20184 620-628. YANG Qingchao,CHAIKai,LOUJingjun,etal. Generalized chaotic synchronization for two-degree-of-freedom vibrationisolationsystemwithhigh-static-low-dynamic- stiffness[J]. Journal of Vibration Engineering, 2018 4 620-628. [10] 俞翔, 朱石坚, 刘树勇. 广义混沌同步中的多稳定同步流 形[J]. 物理学报, 20085 2761-2769. YU Xiang,ZHUShijian,LIUShuyong.Multi-stable synchronization manifold in generalized synchronization of chaos[J]. Journal of Physics, 20085 2761-2769. [11] BROWN R.Approximating the mapping between systems exhibiting generalized synchronization [ J]. Phys Rev Lett, 1998, 8122 4835-4838. [12] YU Xiang, ZHU Shijian, LIU Shuyong. A new for line spectra reduction similar to generalized synchronization of chaos[ J].Journal of Sound and Vibration, 2007, 306 835-848. 571第 13 期左兆伦等 混沌同步控制策略构造方法研究 ChaoXing