非平稳激励下薄板结构减振附加阻尼层的拓扑优化_李雪平.pdf

振 动 与 冲 击 第 39 卷第 8 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol.39 No. 8 2020 基金项目 国家自然科学基金项目11002056;11372004;51678252 收稿日期 2018 -09 -27 修改稿收到日期2018 -12 -11 第一作者 李雪平 男,博士,副研究员,1978 年生 通信作者 魏鹏 男,博士,副教授,1978 年生 非平稳激励下薄板结构减振附加阻尼层的拓扑优化 李雪平, 林猛峰, 魏 鹏, 苏 成 华南理工大学 土木与交通学院 亚热带建筑科学国家重点实验室,广州 510640 摘 要讨论了附加阻尼层的薄板结构在非平稳随机力作用下以减振为目标的阻尼材料层的拓扑优化问题。 建 立了以阻尼材料的相对密度为设计变量,以结构非平稳响应位移方差最小化为目标和阻尼材料用量为约束条件的拓扑优 化模型。 由于结构受到非平稳随机激励作用,其随机响应可以采用时域显式法快速求解;随机响应方差对设计变量的灵 敏度采用了基于伴随变量法的时域显式法进行分析,并采用优化准则法求解优化问题。 数值算例验证了所提方法在非平 稳随机激励作用下进行动力拓扑优化减振的可行性与有效性。 关键词 非平稳随机激励;薄板结构;附加阻尼层;减振;拓扑优化 中图分类号 TB535. 1 文献标志码 A DOI10. 13465/ j. cnki. jvs. 2020. 08. 036 Topology optimization of attached damping layers on thin plate structures for vibration attenuation under non-stationary stochastic excitations LI Xueping, LIN Mengfeng, WEI Peng, SU Cheng State Key Laboratory of Subtropical Building Science, School of Civil Engineering and Transportation, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China Abstract This paper investigates the optimal distribution of damping material on thin-plate structures under non- stationary stochastic excitation. In the topology optimization model, the relative densities of the damping material were taken as design variables, and the design objective is to minimize the structural displacement variances at specified positions under a given volume constraint of damping material.Since the structure was subjected to non-stationary stochastic force, the stochastic responses were solved rapidly based on an explicit time domain ETDM. The analysis of the displacement variance sensitivity was implemented by using the ETDM based on an adjoint variable . Then the topology optimization problem was solved with an optimal criteria OC . Numerical examples illustrate the feasibility and effectiveness of the proposed for vibration attenuation of structures through dynamic topology optimization of damping layer under non-stationary stochastic excitation. Key words non-stationary stochastic excitations; thin plate structures; added damping layer; vibration attenuation; topology optimization 在实际工程中,结构常常会受到随机动力荷载的 作用,如地震、风、波浪和机械振动干扰等等。 为了减 小结构的振动,在结构表面铺加阻尼材料是有效的手 段之一。 考虑到附加的阻尼材料会增加结构的整体质 量及费用,影响结构的动态性能,因此,通过拓扑优化 方法对结构表面的阻尼材料进行布局优化设计具有重 要意义。 为了改善结构的性能,近二十年来,连续体拓扑优 化方法在结构初始概念设计阶段得到了广泛应用。 Bendse 等[1]基于均匀化方法的思想研究了材料在结 构内部的最优分布问题。 随后又发展出了固体各向同 性材料惩罚模型Solid Isotropic Material with Penaliga- tion,SIMP [2 -3]、渐进/ 双向渐近结构优化法ESOEv- olutionary Structural Optimization / BESOBi-directional ESO [4 -5]、独立连续映射法Independent Cotinuous Mapping, ICM [6] 和 水 平 集 法 Level Set , LSM [7 -8]等。 随着优化方法的不断成熟,附加阻尼材 料层拓扑优化在薄板结构减振降噪方面的应用研究越 来越广。 这类研究主要分两类①以动力响应为目标, 体积为约束的拓扑优化,荷载一般是简谐荷载[9 -13],也 ChaoXing 可扩展到冲击荷载[14];②以阻尼材料体积最小为目标, 结构动力响应为约束的拓扑优化[15 -16]。 除了平面板 壳结构,阻尼材料层拓扑优化减振在圆柱体壳体结构 中也得到了一定的应用[17 -18]。 附加阻尼材料不仅能 减小振动,实际还能减小声辐射和噪音[19 -22]。 上述研究主要以确定性荷载为主,对于平稳随机 激励下的连续体结构动力拓扑优化,近几年也得到了 一定的发展[23 -24]。 但是结构在非平稳随机激励下采 用附加阻尼层减振的拓扑优化研究相对较少。 主要原 因是由于采用传统随机振动方法分析非平稳随机激励 下的结构随机响应和灵敏度时需要在频域和时域上进 行积分,计算量显著增加。 而时域显式法的求解非平 稳问题只需在时域上积分,可以显著提高非平稳随机 动力响应求解的计算效率。 时域显式法已经在随机动 力响应[25]、可靠度分析[26]、灵敏度分析[27]和拓扑优 化[28]等领域得到了广泛应用。 作者也曾利用直接微分 法研究了桁架结构在地震荷载作用下的拓扑优化问 题[29]。 由于连续体结构优化自由度和设计变量大量增 加,直接微分法因计算效率问题变得不再适用而代之 以伴随变量法。 本文基于人工阻尼材料惩罚模型,提出以结构特 定位置位移方差为目标函数,阻尼材料体积为约束的 拓扑优化模型,并采用时域显式法结合伴随变量法计 算灵敏度。 在优化算法的选取上,常用的基于灵敏度 分析的优化算法有移动渐近线法 of Moving As- ymptotes,MMA [30],全局收敛移动渐近线法Global Convegence MMA,GCMMA [31] 和优化准则法Optimi- zation Criterion,OC [32] 等。 考虑到本文是响应为优化 目标,体积为约束条件的单一目标和约束问题,OC 算 法计算效率相对较高,故选取 OC 算法实现拓扑优化问 题的求解。 1 结构非平稳随机动力响应求解 考虑n个自由度的线性结构系统,其动力学方程可 表示为 MU CU KU LXt1 式中M,C 和 K 分别为结构的总质量阵、总阻尼阵和总 刚度阵;U,U ,U 分别为结构的位移向量,速度向量和加 速度向量;Xt 为一随机激励;L 为 n 维随机激励定位 向量。 当随机激励向量 Xt 为非平稳随机过程时, Xt 可进一步表示为 Xt gtxt2 式中gt 为时间均匀调制函数;xt 为平稳随机 过程。 由于整体结构由基体层和阻尼材料层两部分组 成,可知式1 中结构的总质量阵 M 和总刚度阵 K 分 别表示为 M Mb Md3 K Kb Kd4 式中Mb,Kb分别为基体层对总质量阵和总刚度阵的 贡献;Md,Kd分别为阻尼材料层对总质量阵和总刚度 阵的贡献。 相比于附加阻尼材料层,基体层材料阻尼远小于 阻尼材料层阻尼,故忽略其对结构总阻尼阵的贡献,总 阻尼阵可写为 C Cd5 式中,Cd为阻尼材料层的阻尼阵。 为求解式 1 表达的结构动力学响应, 基于 Newmark-β 数值积分可推导出结构第 i 时刻的响应 Vi 的递推关系式为[33] Vi TVi-1 Q1Xi i 1,2,,N6 式中Vi [Ui U i U i] T;T 和 Q 1为与结构参数有关 的系数矩阵,限于篇幅原因在此不再赘述,其具体表达 式请参见文献[34]。 当系统的初始状态 V0为零向量时,由递推关系式 6 可以推导出响应 Vi的时域显式表达为 V1 Q1X1 V2 TQ1X1 Q1X2 V3 T2Q1X1 TQ1X2 Q1X3 ︙ Vi Ti-1Q1X1 Ti-2Q1X2 TQ1Xi-1 Q1Xi 7 式7 可以写为矩阵表达式 Vi AiXi8 其中, Ai [Ai Ai-1 A2 A1] Xi [X1 X2 Xi-1 Xi] T { 9 式中,系数 Ai的具体表达式为 Ai Ti-1Q1 i 1,2,,N10 式8 式10 推导了确定性响应的显式表达式,实 际计算中要得到系数 Ai,需要进行大量的矩阵运算,效 率并不高。但是通过观察式7 可知,当 X1 1,X2 X3 Xi 0,即荷载为一单位脉冲荷载时,式8 中 的系数刚好等于各个时刻的结构响应,因此通过对式 1 求解一次单位脉冲荷载下的结构响应就可以得到 全部系数,从而显著提高计算效率。此外在结构设计或 分析中,有时并不需要关注所有自由度的响应,而只对 结构某些关键部位响应感兴趣,这意味着可以对结构 进行降维计算,从而减少计算量。由式8 可知,在时刻 ti某一关键部位的位移响应 vk,i可写为 uk,i aiXi11 152第 8 期 李雪平等 非平稳激励下薄板结构减振附加阻尼层的拓扑优化 ChaoXing 式中k 为关键部位的自由度编号;ai为行向量,取自 Ai 中对应于 Vk,i的一行。 根据随机变量的二阶矩计算法则,由式11 可直 接推导出位移响应 uk,i的方差为 σ2 uk,i covuk,i,uk,i aicovXi,XiaT i 12 2 拓扑优化模型 假设在薄板结构中阻尼材料层为可设计域,以阻 尼材料相对密度为设计变量,阻尼材料用量为体积约 束,使结构特定位置的位移响应方差最小,此拓扑优化 问题列式可表示为 min ρ f σ2 uk,i s. t. MU CU KU LXt, ∑ Ne e 1 ρeV0 e - V∗≤ 0, V∗ fv∑ Ne e 1 V0 e 0 1,p2 1,本文取 p1 p2 3。 3 目标函数灵敏度分析 本文的优化问题采用 OC 求解,在优化过程中,需 要获取式13中目标函数对设计变量 ρe的灵敏度表 达式。 灵敏度分析方法主要包括直接求导法Direct Differentiation , DDM 和伴随变量法 Adjoint Varalle ,AVM两种。 直接求导法适合设计变量 比较少的问题,对于设计变量远多于约束函数个数的 优化问题,伴随变量法的计算效率显著高于直接求导 法。 因此本文采用基于伴随变量法的时域显式法进行 目标函数的灵敏度分析。 对式13 中的目标函数 f 求导,得到灵敏度表达 式为 􀆠f 􀆠ρe 􀆠σ2 uk,i 􀆠ρe 19 结构的第 k 个自由度在 tm时刻的位移响应为 uk,m可表 示为 uk,m∫ T 0 ψUδt - tmdt20 式中T 为时程分析的总时长;ψ 为所关注的结构自由 度响应定位行向量;tm为所关注的结构自由度位移方 差达到最大值时所处时刻点;δt - tm 为狄拉克函数。 引入与时间相关的伴随向量 λt T,将伴随向量与 式1 和式20 共同构造拉格朗日函数,其表达式为 Luk,m,λ uk,m∫ T 0 λtTMU CU KU -LXdt21 在任何时刻下式1 恒成立,因此增广拉格朗日函数和 Luk,m,λ 所关注的结构自由度位移响应uk,m对设计变 量 ρe的偏导数恒等,即 􀆠Luk,m,λ 􀆠ρe 􀆠uk,m 􀆠ρe 22 对式21 两端同时求偏导,整理可得 􀆠Luk,m,λ 􀆠ρe ∫ T 0 ψ 􀆠U 􀆠ρeδt - tmdt ∫ T 0 􀆠ψ 􀆠ρeUδt - tmdt ∫ T 0 λT 􀆠M 􀆠ρe U 􀆠C 􀆠ρeU 􀆠K 􀆠ρeU - 􀆠L 􀆠ρeXt - L 􀆠Xt 􀆠ρe dt ∫ T 0 λTM 􀆠U 􀆠ρe C 􀆠U 􀆠ρe K 􀆠U 􀆠ρe dt 23 式中,所关注的结构自由度位移响应定位向量 ψ、随机 激励定位向量 L 和随机激励 Xt 均独立于设计变量 ρe, 即 􀆠ψ/ 􀆠ρe,􀆠L/ 􀆠ρe和 􀆠Xt / 􀆠ρe的 值 均 为 零。 􀆠M/ 􀆠ρe,􀆠C/ 􀆠ρe和 􀆠K/ 􀆠ρe矩阵可先计算单元矩阵对应 的偏导数后通过组装而得。根据式15 式18 可 知,结构单元质量阵、单元阻尼阵和单元刚度阵的偏导 数表达式分别为 252振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing 􀆠Me 􀆠ρe Me d 􀆠Ce 􀆠ρe α0p1ρe p1-1Me d β0p2ρe p2-1Ke d 􀆠Ke 􀆠ρe pρp-1 e Ke d 24 对式23 中的最后一项进行分部积分变换,整理可得 ∫ T 0 λTM 􀆠U 􀆠ρe C 􀆠U 􀆠ρe K 􀆠U 􀆠ρe dt λTM 􀆠U 􀆠ρe - λ TM􀆠U 􀆠ρe λTC 􀆠U 􀆠ρe T 0 ∫ T 0 λ TM - λTC λTK􀆠U 􀆠ρedt 25 将初始条件􀆠U0 􀆠ρe 􀆠U 0 􀆠ρe 0 代入式25 中,整理 后并代入式23 中可得 􀆠Luk,m,λ 􀆠ρe ∫ T 0 λT 􀆠M 􀆠ρe U 􀆠C 􀆠ρeU 􀆠K 􀆠ρeU dt ∫ T 0 λ TM - λTC λTK ψδt - t m 􀆠U 􀆠ρedt λTTM 􀆠U T 􀆠ρe - λ TTM􀆠UT 􀆠ρe λTTC 􀆠UT 􀆠ρe 26 从上式可知,含有结构响应灵敏度的项都与伴随向量 λt T 相关,通过定义伴随向量满足特定的条件以消除 含有结构响应灵敏度的项,令伴随向量λt T 满足以下 条件 λ TM - λTC λTK - ψδt - t m λT T 0,λ TT 0 { 27 式27 即伴随方程,假定τ T - t,采用变量代换法将 伴随方程中的 λt T 替换成如下形式 Λτ λT - τ28 将式28 代入式27 中,且将方程的两端同时进行转 置变化,整理可得新的伴随方程及其边界条件 M d2Λ dτ2 C dΛ dτ KΛ - ψTδτm- τ Λ0 0,dΛ dτ 0 0 29 将此伴随方程的解 Λτ 结合式28 代入式26 中, 整理得到结构的第 k 个自由度在 tm时刻的位移响应 uk,m对设计变量 ρe的灵敏度表达式为 􀆠uk,m 􀆠ρe 􀆠Luk,m,λ 􀆠ρe ∫ T 0 ΛT - t T􀆠M 􀆠ρe U 􀆠C 􀆠ρeU 􀆠K 􀆠ρeU dt 30 对比式29 的伴随方程和式1 结构动力学方程 可知,两者形式一致,仅右端的荷载项不同,因此可以 采取与相应求解类似的方法求解伴随向量在各离散时 刻点上的响应 ΛT - tii 1,2,,N。 至此,将结构在各离散时刻点上的动力响应值 U, U ,U 变量代换后的伴随变量ΛT - ti 代入式30 中, 并采用梯形积分公式将此积分表达式离散,整理可得 􀆠uk,m 􀆠ρe ∑ N i 0 ΛN-iT 􀆠M 􀆠ρe U i 􀆠C 􀆠ρeU i 􀆠K 􀆠ρeUi wi[] 31 式中ΛN-i ΛT - ti;wi为积分权重;且w0 0. 5Δt, w1 wN-1 Δt,wN 0. 5Δt。 根据式8 可知结构动力响应在各离散时刻点的 时域显式表达为 Ui A∗ i X1 A∗ i-1X2 A∗ 1 Xi32 U i A 􀮩∗ i X1 A 􀮩∗ i-1X2 A 􀮩∗ 1 Xi33 U i A ∗ i X1 A ∗ i-1X2 A ∗ 1 Xi34 式中,A∗ i ,A 􀮩∗ i 和A ∗ 1 i 1,2,,N 分别为与结构参数 相关的位移、速度和加速度系数矩阵。 将式32 式34 代入式31,整理可得结构 的第 k 个自由度在 tm时刻的位移响应 uk,m对设计变量 ρe的灵敏度时域显式表达式为 􀆠uk,m 􀆠ρe c∗ mX1 c∗ N-1X2 c∗ 1 Xm cmXm35 式中, cm [c∗ m c∗ m-1 c ∗ 2 c∗ 1 ] c∗ i ∑ m j 1 Λi-j TD∗ j wN-ij Λi-j Λti- tj Xm [X1X2 Xm-1Xm] D∗ j 􀆠M 􀆠ρe A ∗ j 􀆠C 􀆠ρeA 􀮩∗ j 􀆠K 􀆠ρeA ∗ j i 1,2,,m;j 1,2,,i 36 根据二阶矩计算法则,由式35 可推导出目标函数灵 敏度显式表达式为 􀆠σ2 uk,m 􀆠ρe 􀆠covuk,m,uk,m 􀆠ρe 2cmcovXm,XmaT m 37 式中,cm为位移响应灵敏度与外激励向量之间的系数 向量。 4 数值算例 4. 1 算例 1 考虑如图 1 所示的四边简支方板结构,板的尺寸 为 3 m 3 m,由上下层厚度均为0. 05 m 的基体层和阻 尼 材 料 层 共 同 构 成。 下 层 基 体 板 的 密 度 为 2 700 kg/ m3,弹性模量为 6. 9 1010Pa,泊松比为 0. 3; 上层黏弹性阻尼材料的密度为 980 kg/ m3,弹性模量为 2. 2 108Pa,泊松比为 0. 49。 时间积分上限取 T 1 s。 352第 8 期 李雪平等 非平稳激励下薄板结构减振附加阻尼层的拓扑优化 ChaoXing 方板的正中心点作用一非平稳随机激励 Xt,现采用 均匀调制的限带白噪声随机过程进行模拟,即 Xt gtft,其中调制函数 gt取如下形式 gt t/ t12,0 ≤ t ≤ t1 1,t1≤ t ≤ t2 e -10t-t2,t 2≤ t ≤ T 38 式中t1 T/5,t2 T/2;ft 采用限带白噪声模拟,其 功率谱密度函数如下所示 Sfω S0,ω≤ ωb 0,ω ωb { 39 式中ωb为限带白噪声截止频率, rad/ s。为了方便理 解,引入转换ωb 2πfb,fb单位为Hz。谱强度因子S0 5 105N2/ Hz。ft 的相关函数表达式如下 Rffτ S0ωb sinωbτ ωbτ 40 进一步可得非平稳随机激励 Xt 相关函数表达式为 RXXt τ,τ gt τgτRffτ41 通过式41 可以计算非平稳随机荷载 Xt 的协方差。 板单元的有限元模型与文献[35] 类似,限于篇幅 不作详细说明。为了获得分辨率较高的拓扑优化结果, 将结构划分为共3 60060 60 个单元的网格。优化过 程中采用了 Sigmund[36]提出的独立于有限元网格的灵 敏度过滤技术,过滤半径取 1. 5 倍单元大小。 图 1 受非平稳随机激励作用的四边简支方板 Fig. 1 A square plate with four simply supported edges under non-stationary stochastic excitation 首先选取阻尼参数为 α03. 76,β00. 002 4,外荷 载截止频率为 fb 30 Hz,积分步长取 0. 005 s,体积分 数 fv0. 6,即附加的阻尼材料占覆盖整块板所用的材 料的 60为约束,板中心竖向位移方差最小为优化目 标。 初始设计中每个单元阻尼材料层相对密度取 0. 6。 最终通过计算得到阻尼材料层的拓扑优化分布,如图 2 所示。 从图 3 的迭代收敛曲线可知,经过 30 步迭代后 体积约束达到设定的体积分数 0. 6,目标函数板中心点 位移标准差收敛到 6. 20 mm。 为了进一步说明减振效果,图 4 给出了没有附 加阻尼材料层和采用拓扑优化附加阻尼材料层的薄 板结构在中心受到随机激励下中心点的竖向位移标 准差时程曲线。 从图 4 可知,通过按拓扑优化设计 附加阻尼材料层后板中心竖向位移标准差有显著的 下降。 图 2 阻尼材料层的拓扑优化分布 Fig. 2 The optimization layout of the damping layer 图 3 目标函数和体积分数的迭代曲线 Fig. 3 Iteration convergence curve of objection function and volume fraction 图 4 有阻尼层和无阻尼层时板中点竖向位移 标准差时程曲线 Fig. 4 The time-history curve of vertical displacement standard deviation at the middle point 图 5 给出了体积分数 fv分别为 0. 4、0. 6 和 0. 8 时 阻尼层的拓扑优化分布图。 结果表明,随着体积分数 的增加,阻尼材料在原有结果基础上逐渐扩展出新的 区域,拓扑分布发生了明显变化。 从表 1 可知,随着体 积分数的增加,附加阻尼材料的减振效果越来越好,但 是阻尼材料利用率在逐渐降低,因此在实际工程中应 当综合考虑减振效果和材料成本来确定阻尼材料的用 量。 表 1 中减振效果和材料利用率计算公式为 减振效果 σmax A - σmax AO / σmax A 42 材料利用率 减振效果/ 体积分数43 452振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing 图 5 不同体积分数下阻尼材料层的拓扑优化分布 Fig. 5 The optimal layouts with different volume fractions 表 1 不同体积分数 fv下减振效果的比较 Tab. 1 Comparison of vibration attenuation effect different volume fractions 固定参数 体积 分数 fv 无阻 尼层 σmax A / mm 有阻 尼层 σmax AO / mm 减振 效果/ 材料 利用 率/ α03. 76, β00. 002 4, fb30, S05 105 0. 49. 246. 4829. 8774. 68 0. 69. 246. 2032. 9054. 83 0. 89. 246. 0234. 8543. 56 为了探究阻尼系数对减振效果的影响,分别取 α03. 76,β00. 002 4、α07. 51,β00. 004 8 和 α0 11. 27,β00. 007 2 三组不同的阻尼参数,其对应的初 始阻尼层的第一阶和第二阶阻尼比分别为 10、20 和 30。 外荷载截止频率为 fb 30 Hz,积分步长取 0. 005 s,体积分数取 fv 0. 6。 其拓扑优化结果如图 6 a,图 6b和图 6c所示。 结果显示,拓扑优化布 局随阻尼参数改变的差异不大。 但从表 2 可知,随着 阻尼参数的变大阻尼变大,其减振效果越来越好。 实际情况下,阻尼不可能无限大,因此,实际工程中需 要选择合适的阻尼参数的阻尼材料。 图 6 不同阻尼参数下阻尼材料层的拓扑优化分布 Fig. 6 The optimal layouts with different damping parameters 表 2 不同阻尼参数下减振效果的对比 Tab. 2 Comparison of vibration attenuation effect with different damping coefficients 固定参数 阻尼 参数 无阻尼层 σmax A / mm 有阻尼层 σmax AO / mm 减振百 分比/ fv0. 6, fb30, S05 105 α03. 76 β00. 002 4 9. 246. 2032. 90 α07. 51 β00. 004 8 9. 245. 1644. 16 α011. 27 β00. 007 2 9. 244. 4651. 73 为了探究外荷载振动截止频率对减振效果的影 响,分别考虑 3 种不同的荷载截止频率,即 fb取 10 Hz、 30 Hz 和 50 Hz,为提高精度,积分步长分别取 0. 01 s, 0. 005 s 和 0. 002 5 s。 阻尼参数取 α0 3. 76,β0 0. 002 4。 体积分数取 fv 0. 6。 其拓扑优化结果分别 如图 7a,图 7b和图 7c所示。 结果表明其拓扑 优化分布随着荷载带宽的增加存在两级差异。 从表 3 的数据可知,随着外荷载截止频率的增加,其减振效果 越来越好,这说明当外荷载截止频率高于基层板第一 阶固有频率时基层板第一阶固有频率为 26. 69 Hz, 采用铺设阻尼材料优化减振的策略比较好;当外荷载 截止频率远小于基层板第一阶固有频率时,外荷载对 结构振动的影响很小外荷载截止频率为 10 Hz 时,响 应标准差 0. 82 mm,可以不用减振。 图 7 不同截止频率随机激励下阻尼材料层的拓扑优化分布 Fig. 7 The optimal layouts with different cut-off frequencies of random excitations 表 3 不同随机激励截止频率下减振效果的比较 Tab. 3 Comparison of vibration attenuation effect with differentcut-off frequencies of random excitations 固定参数 截止频率 fb/ Hz 无阻尼层 σmax A / mm 有阻尼层 σmax AO / mm 减振百 分比/ α03. 76 β00. 002 4 S05 105 fv0. 6 100. 820. 802. 44 309. 246. 2032. 90 5010. 406. 6835. 77 4. 2 算例 2 考虑如图 8 所示的两端固支的方板结构,板的尺 寸为 3 m 3 m,由上下层厚度均为0. 05 m 的基体层和 阻尼 材 料 层 共 同 构 成。 下 层 基 体 板 的 密 度 为 2 700 kg/ m3,弹性模量为 6. 9 1010Pa,泊松比为 0. 3; 上层黏弹性阻尼材料的密度为 980 kg/ m3,弹性模量为 2. 2 108Pa,泊松比为 0. 49。 时间积分上限取 T 1 s。 方板的正中心作用一个与算例 1 相同的非平稳随机激 励 Xt,以方板两侧 A,B,C,D 四点竖向位移方差总和 最小为优化目标。 图 9 给出了体积分数 fv分别为0. 4, 0. 6 和 0. 8 时阻尼层的拓扑优化分布图。 结果表明,随 着体积分数的增加,阻尼材料在原有结果基础上逐渐 扩展出新的区域。 从表 4 可知,随着体积分数的增加, 附加阻尼材料的减振效果越来越好,但是阻尼材料利 用率在逐渐降低。 552第 8 期 李雪平等 非平稳激励下薄板结构减振附加阻尼层的拓扑优化 ChaoXing 图 8 受非平稳随机激励作用的两端固支方板 Fig. 8 A square plate with two clamped edges under non-stationary stochastic excitation 图 9 不同体积分数下阻尼材料层的拓扑优化分布 Fig. 9 The optimal layouts with different volume fractions 表 4 不同体积分数 fv下减振效果的比较 Tab. 4 Comparison of vibration attenuation effect different volume fractions 固定参数 体积 分数 fv 无阻 尼层 σmax A / mm 有阻 尼层 σmax AO / mm 减振 效果/ 材料 利用 率/ α03. 76, β00. 002 4, fb40, S05 105 0. 416. 5211. 8228. 4571. 12 0. 616. 5211. 0732. 9954. 98 0. 816. 5210. 7335. 0543. 81 5 结 论 1研究了非平稳随机激励下薄板结构减振附加 阻尼材料的拓扑优化问题。 建立了以阻尼材料相对密 度为设计变量,以指定位置非平稳随机位移响应方差 的最大值最小化为目标和阻尼材料体积为约束的拓扑 优化模型,采用时域显式法求解非平稳随机位移响应 的方差,采用基于伴随变量法的时域显式法计算目标 函数对设计变量的灵敏度,再根据优化准则算法,得出 了相应的拓扑优化结果。 2拓扑优化算例验证了该优化模型的合理性。 同时计算结果也表明,通过在薄板表面附加阻尼材料 并进行拓扑优化设计,可以大幅度减小薄板结构在高 频随机激励下的振动。 3阻尼材料模型采用的是 Rayleigh 阻尼模型,实 际的阻尼材料未必满足此假设,因此需要对阻尼材料 的性能进行研究和测试,来确定更精确的阻尼模型,这 样才能做到更精确的拓扑优化减振设计。 此外,本文方法对阻尼模型和随机荷载没有明确 的限制,可以推广应用到结构在地震、风、海浪、机械振 动等其他非平稳和平稳随机激励下的阻尼材料拓扑优 化设计中。 参 考 文 献 [ 1 ] BENDSE M P, KIKUCHI N. Generating optimal topologies in structural design using a homogenization [ J]. Computer s in Applied Mechanics and Engineering, 1988,712197 -224. [ 2 ] BENDSEMP,SIGMUNDO.Materialinterpolation schemes in topology optimization [ J].Archive of Applied Mechanics, 1999, 699/10635 -654. [ 3 ] RIETZ A. Sufficiency of a finite exponent in SIMP power law s[J]. Structural Multidisciplinary Optimization, 2001, 212159 -163. [ 4 ] XIE Y M, STEVEN G P. A simple evolutionary procedure for structural optimization [ J ].Computers and Structures, 1993, 495885 -896. [ 5 ] HUANG X, XIE Y M. Convergent and mesh-independent solutionsforthebi-directionalevolutionarystructural optimization [ J].Finite Elements in Analysis and Design, 2007, 4314 1039 -1049. [ 6 ] 杨德庆,刘正兴,隋允康. 连续体结构拓扑优化设计的 ICM 方法[J]. 上海交通大学学报, 1