分数阶单自由度间隙振子的受迫振动_牛江川.pdf

 振动与冲击 第 39 卷第 14 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．39 No．14 2020 基金项目国家自然科学基金 11872254; 11802183 ; 石家庄铁道大学 在读研究生创新能力培养资助项目 YC2019035 收稿日期2018 －11 －20修改稿收到日期 2019 －04 －10 第一作者 牛江川 男， 博士， 教授， 1977 年生 通信作者 邢海军 男， 博士， 教授， 1967 年生 分数阶单自由度间隙振子的受迫振动 牛江川1， 2，赵志爽2，邢海军1， 2，申永军1， 2 1． 石家庄铁道大学 省部共建交通工程结构力学行为与系统安全国家重点实验室， 石家庄050043; 2． 石家庄铁道大学 机械工程学院， 石家庄050043 摘要研究了含有分数阶微分项的单自由度间隙振子的受迫振动， 利用 KBM 渐近法获得了系统的近似解析解。 分析了分段线性系统的主共振， 得到了分数阶阶次在 0 ～2 时分数阶项的统一表达式; 发现分数阶微分项在分段系统中 以等效线性阻尼和等效线性刚度的形式影响着系统的动力学特性， 而间隙以等效非线性刚度的形式影响着系统的动力学 特性。获得了主共振幅频响应的表达式， 并得到了系统的稳定性条件; 比较了系统主共振幅频响应的近似解析解和数值 解， 发现两者符合程度较高， 验证了近似解析解的正确性; 详细分析了分数阶项和间隙对系统主共振幅频响应的影响。研 究表明 KBM 渐近法是分析分数阶分段光滑系统动力学的有效方法。 关键词分数阶微分; 近似解析解; KBM 渐近法; 主共振 中图分类号O322文献标志码ADOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2020． 14． 034 Forced vibration of a fractional- order single degree- of- freedom oscillator with clearance NIU Jiangchuan1， 2，ZHAO Zhishuang2，XING Haijun1， 2，SHEN Yongjun1， 2 1． State Key Laboratory of Mechanical Behavior in Traffic Engineering Structure and System Safety，Shijiazhuang Tiedao University， Shijiazhuang 050043， China; 2． School of Mechanical Engineering，Shijiazhuang Tiedao University，Shijiazhuang 050043， China Abstract The forced vibration of a single degree- of- freedom piecewise linear oscillator with a clearance and a fractional- order derivative term was investigated．The approximate analytical solution for its primary resonance was obtained by the Krylov- Bogoliubov- Mitropoisky KBMasymptotic ． The primary resonance of the piecewise linear system was analyzed，and a unified expression of the fractional- order differential term was obtained，where the fractional order was restricted in 0 to 2． The effects of the fractional- order differential term on the dynamic characteristics of the piecewise system were expressed as an equivalent linear damping and an equivalent linear stiffness，while that of the clearance was an equivalent nonlinear stiffness． The expression of the amplitude- frequency response of the primary resonance was obtained，and the stability condition of the system was also achieved． The approximate analytical solutions and numerical solutions of the primary resonance amplitude- frequency responses were compared，which shows both are in good agreement． The effects of the fractional- order term and clearance on the amplitude- frequency response of the primary resonance were analyzed in detail． It concludes that the KBM asymptotic is an effective to analyze the dynamics of fractional- order piecewise smooth systems． Key wordsfractional- order derivative;approximate analytical solution;Krylov- Bogoliubov- Mitropoisky KBM asymptotic ;primary resonance 间隙这一非光滑因素广泛存在于机械系统中， 比 如齿轮传动系统中的齿侧间隙、 导杆滑块机构中的多 运动副间隙、 起落架系统中的扭转间隙、 空间机械臂的 关节间隙、 共振筛内的弹簧间隙等［1 －5 ］。系统结构内 的间隙， 是引起分段约束问题的主要因素， 它会对机械 系统的动力学特性产生重要的影响， 因此吸引了许多 学者对含间隙系统的动力学行为进行研究。例如， 吴 志强等 ［6 ］分析了含非连续阻尼的单自由度分段线性系 统的振动性能。丁旺才等 ［7 ］应用理论分析与数值模拟 对两自由度含对称间隙的干摩擦振子的分叉与混沌特 性进行了研究。张晨旭等 ［8 ］利用数值方法分析了齿轮 传动系统分岔和混沌动力学行为。宦颂梅 ［9 ］研究了二 ChaoXing 维分段光滑系统的周期解， 并确定了周期解的存在条 件。Ji 等 ［10 ］利用平均法研究了一类受简单分段非线性 约束系统的超谐共振， 并利用数值解验证了近似解析 解的正确性。 近年来分数阶微积分理论的应用研究得到了快速 发展 ［11 －13 ］， 主要表现在分数阶的建模［14 －16 ］和分数阶 控制应用方面 ［17 －20 ］。在黏弹性材料建模方面， 分数阶 模型可以用少量参数构成黏弹性材料数学模型［21 －23 ］， 并能准确地描述黏弹性材料在大频率范围的动力学特 性。因此， 学者们对含有分数阶微积分的系统动力学 进行了大量研究。其中， 在解析研究方面， 已将经典的 整数阶系统非线性动力学的解析方法拓展到了分数阶 系统， 例如平均法 ［24 ］、 KBM Krylov- Bogoliubov- Mitro- poisky 渐近法 ［25 ］、 多尺度法［26 ］、 谐波平衡法［27 ］等， 还 出现了一些改进方法， 例如 L- P 摄动法和多尺度法相 结合的方法 ［28 ］。 本文以一个分数阶单自由度间隙振子为例， 利用 KBM 渐近法研究了系统的近似解析解， 得到了系统主 共振幅频响应方程。当分数阶阶次 0 ＜ p ＜ 2 时， 得到 了分数阶微分项的统一表达式。并详细地分析了分数 阶微分项和间隙对系统主共振响应的影响。 1近似解析解 含分数阶微分的单自由度间隙振子， 由质量块、 两 个线性弹簧、 线性阻尼和分数阶微分项组成， 其中一个 弹簧含有间隙， 其物理模型如图 1 所示。 图 1分数阶单自由度间隙振子 Fig． 1 Fractional- order single degree- of- freedom oscillator with clearance 图 1 中 m 为质量块的质量; k1为第一个弹簧的刚度系 数; k2为第二个含间隙弹簧的刚度; c 为系统的阻尼系 数; Kp为分数阶微分项的系数; 2d 为弹簧间隙; x 为位 移; F0cos ωt为外部激励; F0 为外部激励的幅值; ω 为 外部激励的频率; 并令 k k1 k2。 系统中的分段变化的弹性力 f x ， 可以表示为 f x k1－ k x，－ d ≤ x ≤ d k1－ k d，x ＞ d － k1－ k d， { x ＜ － d 1 根据图1 所示的物理坐标， 可以得到系统的运动微 分方程 mx t cx t kx K pD p［ x t ］ F 0cos ωt－ f x 2 式中， Dp［ x t ］为 x t关于 t 的 p 阶导数， 分数阶阶次 的范围限制为0 ＜ p ＜ 2， 在这里采用卡普托定义， 其形 式为 Dp［ x t ］ 1 Γ 1 － p∫ t 0 x u t － u pdu， 0 ＜ p ＜ 1 1 Γ 2 － p∫ t 0 x″ u t － u pdu， 1 ≤ p ＜ { 2 3 式中， Γ z为 Gamma 函数， 满足 Γ z 1 zΓ z 。 令 k/m ω20， c/m 2εμ， Kp/m εkp， F0/m εf0， k1－ k /m εβ， f x /m εg x 。 那么 g x可以表 示为 g x βx，－ d ≤ x ≤ d βd，x ≥ d － βd，x ≤ { － d 4 则式 2可以转换为 x t 2εμx t ω2 0 x εkpD p［ x t ］ εf 0cos ωt－ εg x 5 研究系统的主共振问题， 即外部激励 ω 接近 ω0时 的共振， 引入 ω2 ω20 εσ 其中 σ 为调谐参数来定 量表示两个频率之间的接近程度， 则式 5可整理为 x t ω2x t εf 0cos ωt εP［ x t ， x t ］ 6a P［ x t ， x t ］ P 1［ x t ， x t ］ P 2［ x t ， x t ］ 6b P1［ x t ， x t ］ － g x－ 2μx t σx t 6c P2［ x t ， x t ］ － k pD p［ x t ］ 6d 对于式 6c ， 当 － d ≤ x ≤ d 时， 有 P10［ x t ， x t ］ － βx － 2μx t σx t 7a 当 x ≥ d 时， 有 P11［ x t ， x t ］ － βd － 2μx t σx t 7b 且当 x ≤－ d 时， 有 P12［ x t ， x t ］ βd － 2μx t σx t 7c 利用 KBM 渐近法求解系统的一次近似解， 设式 6a的解满足 x acos φ， x － aωsin φ 8 式中 φ ωt θ对式 6a 右侧的式子进行傅里叶级数 展开时， 可以将非周期函数视为周期趋近于无穷大的 周期函数。 于是可以得到 a － ε 2πω∫ 2π 0 P1［ acos φ，－ aωsin φ］ sin φdφ － lim T→∞ ε Tω ∫ T 0 P2［ acos φ，－ aωsin φ］ sin φdφ － εf 0 2ω sin θ 9a θ － ε 2πωa∫ 2π 0 P1［ acos φ，－ aωsin φ］ cos φdφ － lim T→∞ ε Tωa∫ T 0 P2［ acos φ，－ aωsin φ］ cos φdφ － εf 0 2ωacos θ 9b 仅考虑 a ≥ d 的情况， 则可以设 φ1 arccos d/a 252振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 是第一象限的角。 因此可以得到式 9 的第一部分的积 分为 a 1 － ε 2πω∫ 2π 0 P1［ acos φ，－ aωsin φ］ sin φdφ － ε 2πω∫ φ1 0 P11［ acos φ，－ aωsin φ］ sin φdφ － ε 2πω∫ π－φ1 φ1 P10［ acos φ，－ aωsin φ］ sin φdφ － ε 2πω∫ πφ1 π－φ1P 12［ acos φ，－ aωsin φ］ sin φdφ － ε 2πω∫ 2π－φ1 πφ1 P10［ acos φ，－ aωsin φ］ sin φdφ － ε 2πω∫ 2π 2π－φ1 P11［ acos φ，－ aωsin φ］ sin φdφ － εaμ 10a θ 1 － ε 2πωa∫ 2π 0 P1［ acos φ，－ aωsin φ］ cos φdφ － ε［ － 4dβsin φ1 aβ － π 2φ1 sin2φ1 aσπ］ 2πωa 10b 为了计算式 9 的其它部分， 引入了两个基本的数 学公式 lim T→∞∫ T 0 sin ωt tδ dt ω δ－1Γ 1 － δ cosδπ 2 11a lim T→∞∫ T 0 cos ωt tδ dt ω δ－1Γ 1 － δ sinδπ 2 11b 式中， 0 ≤ δ ＜ 1。 这两个公式的求解过程可参见文 献［ 29］ 。 a 2 lim T→∞∫ T 0 Dp［ acos φ］ cos φ dφ － εak p 2 ωp－1sinp 2 π 12a θ 2 lim T→∞ εk 1 Tω ∫ T 0 Dp［ acos φ］ cos φdφ εk p 2 ωp－1cosp 2 π 12b 当 1 ≤ p ＜ 2 时， 计算得到 a 2 － εak p 2 ωp－1cos p － 1 2 π 13a θ 2 － εk p 2 ωp－1sin p － 1 2 π 13b 根据三角函数公式， 可以得到 cos p － 1 2 π sinp 2 π 14a sin p － 1 2 π － cosp 2 π 14b 根据式 12 、 式 13和式 14 ， 可推导出当 0 ＜ p ＜ 2 时， 式 9的第二部分可以统一表达为式 12 。 联合式 6a 、 式 10和式 12 ， 可以得到 a a 1 a 2 － εf 0 2ω sin θ － εaμ － εak p 2 ωp－1sin pπ 2 － εf 0 2ωsin θ 15a θ θ 1 θ 2 － εf 0 2ωacos θ － ε 2πωa［－ 4dβsin φ1 aβ － π 2φ1 sin2φ1 aσπ］ εk p 2 ωp－1cos pπ 2 － εf 0 2ωacos θ 15b 将原系统参数代入式 15中， 则得到 a － a 2mC － F0 2mωsin θ 16a aθ － a 2mω ［ mω2－ K］－ F0 2mωcos θ 16b 引入五个新的参数， 分别为 C c C p K k K a K p C p Kpωp－1sin pπ/2 K a 2φ1 sin 2φ1－ π － 4sin φ1d/a k2 /π K p Kpωpcos pπ/2          17 系统通过参数 C p增大了系统的线性阻尼， 可以 将参数 C p定义为分数阶项引起的等效线性阻尼系 数; 通过参数 K p增大或减小了系统的线性刚度， 可 以将参数 K p定义为分数阶项引起的等效线性刚度 系数。 当 d 0 时， 有 K a 0， 此时系统为线性系统。 而当 d ＞ 0 时， 间隙 d 会对应不同的 K a 值， 会产生非 线性刚度的效果， 从而可以将 K a定义为间隙引起的 等效非线性刚度系数。 因此， 可以将参数 C 定义为系统 的等效线性阻尼系数， 将参数 K 定义为系统的等效刚 度系数。 2定常解和稳定性分析 对于系统的稳态解， 令 a 0， θ 0， 则可以得到 － aωC F0sin θ 18a － a［ mω2－ k － K a－ K p ］ F0cos θ 18b 式中， a 和 θ 分别为系统的定常解振幅和相位。 将式 18a 和式 18b 平方后相加， 消除式中的 θ， 得到幅频 响应方程 a2ω2C2 a2［ mω2－ k － K a－ K p ］ 2 F2 0 19 以及相频响应方程 tan θ ωC mω 2 － k － K a－ K p 20 接下来研究定常解的稳定性， 令a a Δa和θ θ Δθ， 并代入式 16中， 线性化后得到 dΔa dt － C 2m Δa a［ mω2－ k － K a－ K p ］ 2mω Δθ 21a 352第 14 期牛江川等分数阶单自由度间隙振子的受迫振动 ChaoXing dΔθ dt － 1 2mω － 4dk21 － d/a 槡 2 πa 2 [ － mω 2 － k － K a－ K p 2mω ] a Δa － C 2mΔθ 21b 根据式 18消去上式中的 θ， 得到特征方程 det － C 2m － λ a 2mA － 1 2mωB 1 2maA － C 2m － {} λ 0 22 其中， A mω 2 － k － K a－ K p ω B － 4dk21 － d/a 槡 2 πa 2 展开行列式 22 ， 得到系统的特征方程 λ2 C m λ Q 0 23 式中， Q C 4m2 － a 4m2ωAB A2 4m2 。 因此系统定常解的稳 定条件为 Q ＞ 0 24 3数值解验证 为验证近似解析解的正确性， 选取一组基本参数， 令 m 1， k1 10， k2 5， d 0． 05， c 0． 1， Kp 1． 5， F02。并且分别令 p 0． 55， p 1， p 1． 55 研究系统 的主共振幅频响应特性。 当 p 1 时， 式 2 转换为整数阶系统， 可以用龙格 库塔法求解系统的数值解， 结果如图 2 所示。根据式 19 可以得到 p 1 时系统的近似解析解 见图 2 。 在近似解析解求解的过程中， 为了计算方便， 可以对 φ1 arccos d/a 利用泰勒公式进行展开。由图 2 可 知， 近似解析解和数值解两者具有很高的符合度。 图 2 p 1 时数值解和近似解析解的比较 Fig． 2 Comparison of numerical solution and approximate analytical solution for p 1 当 p 0． 55 和p 1． 55 时， 求解分数阶微分方程， 本文采用 Petras 研究中介绍的幂级数方法计算式 2 ， 式 2可以表示为 x tn y tn－1 h －∑ n j 1 C1 jx tn－j 25a y tn ［－ cy tn－1－ kx tn－ Kpz tn－1 F0cos ωtn－ f x tn ］ h m －∑ n j 1 C1 jy tn－1 25b 当 0 ＜ p ＜ 1 时， 有 z tn ［ y tn ］ h1－p－∑ n j 1 C1－p j z tn－j 25c 当 1 ＜ p ＜ 2 时， 有 z tn ［－ cy tn－ kx tn－ Kpz tn－1 F0cos ωtn－ f x tn ］h 2－p m －∑ n j 1 C2－p j y tn－1 25d 式中 tn nh 为时间采样点; h 为采样时间步长; Cp j 为 分数阶二项式系数， 并且具有下述递推关系 Cp 0 1，Cp j 1 － 1 p j Cp j－1 26 计算过程中， 时间步长设定为 h 0． 003 14， 计算 时间为 188． 5 s， 并取后 75． 4 s 响应的最大值作为稳态 响应振幅， 当 p 0． 55 和 p 1． 55 时所得数值计算结 果， 如图 3 和图4 所示。 并根据式 19得到系统的近似 解析解， 计算结果也分别显示到图3和图4中。 从图3和 图 4 可知， 数值解和近似解析解具有较高的符合度。 图 3 p 0． 55 时数值解和近似解析解的比较 Fig． 3 Comparison of numerical solution and approximate analytical solution for p 0． 55 图 4 p 1． 55 时数值解和近似解析解的比较 Fig． 4 Comparison of numerical solution and approximate analytical solution for p 1． 55 452振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 4系统参数对幅频响应的影响 4． 1分数阶项对幅频响应的影响 由于分数阶项会导致系统产生等效阻尼和等效刚 度， 因此对系统幅频响应有重要的影响。当 p 0 ～ 2 变化时， 根据式 19 ， 当得到不同分数阶阶次下系统的 最大幅频响应振幅曲线和系统的主共振频率曲线， 分 别如图 5 和图 6 所示。图中令 amax表示最大幅频响应 振幅， ωr为系统的主共振频率。由图 5 可知， 随着分数 阶阶次的增大， 系统的最大幅频响应振幅先急剧减小 然后缓慢减小， 之后缓慢的增大， 当 p 接近于2 时， 又开 始急剧的增大。由图 6 可知， 随着分数阶阶次的增大， 系统的共振频率先略有增大， 然后逐渐减小。 图 5 p 变化时的最大响应振幅曲线 Fig． 5 Maximum response amplitude curve with p 图 6 p 变化时的共振频率曲线 Fig． 6 Resonant frequency curve with p 当分数阶阶次取定值 p 0． 55， 分数阶项的系数 Kp 分别取 0． 25， 0． 90， 1． 51 时， 根据式 19 绘制系统的幅 频响应曲线， 如图7 所示。从图7 可知， 当 Kp逐渐增大 时， 由于等效线性阻尼在逐渐增大， 因此使系统的共振 振幅减小; 同时， 由于系统的等效线性刚度逐渐增大， 系统的主共振频率也逐渐增大。 图 7Kp变化时的幅频响应曲线 Fig． 7 Amplitude- frequency response curves with different Kp 4． 2间隙对幅频响应的影响 当分数阶项的阶次和系数分别取定值 p 0． 5， Kp1． 5 时， 研究间隙 d 对主共振幅频响应特性的影 响。当 d 的取值分别为0， 0． 08， 0． 15 时， 其幅频响应曲 线如图 8 所示。随着间隙的增大， 系统的主共振频率 逐渐减小， 同时系统的主共振振幅也有小幅度的增大。 这说明分段线性系统的固有频率与间隙 d 相关。在实 际工程应用中， 例如非线性共振筛可以通过增大冲击 间隙参数增大振动的幅值， 以改善工作状况 ［30 ］; 而在复 合行星齿轮传动系统中， 当负载扭矩较小时， 增大齿侧 间隙可以使系统表现出更为明显的非线性振动 特征 ［30 ］。 图 8 d 变化时的幅频响应曲线 Fig． 8 Amplitude- frequency response curves with different d 5结论 本文研究了含分数阶微分的分段线性系统的受迫 振动， 利用 KBM 渐近法得到了系统的近似解析解， 并 用数值解的结果验证了不同阶次时近似解析解的正 确性。 1 分析了分数阶微分项对分段线性系统幅频响 应特性的影响， 以及间隙对系统幅频响应特性的影响。 得到了分数阶阶次在 0 ～ 2 的最大幅频响应振幅曲线 和主共振频率曲线。 2 从理论分析的角度揭示了分数阶微分项以等 效线性刚度和等效线性阻尼的形式， 以及间隙以等效 非线性刚度的形式影响系统的动力学特性。 3 本文的研究方法也为其它含分数阶微分的分 段线性或非线性系统的研究提供了参考。 参 考 文 献 ［1］ 陈思雨，唐进元． 间隙对含摩擦和时变刚度的齿轮系统动 力学响应的影响［J］ ． 机械工程学报，2009， 45 8 119 －124． CHEN Siyu，TANG Jinyuan． Effect of backlash on dynamics of spur gear pair system with friction and time- varying stiffness［ J］ ． Chinese of Journal of Mechanical Engineering， 2009， 45 8 119 －124． ［2］ 刘丽兰，刘宏昭，吴子英，等． 考虑摩擦和间隙影响的机 552第 14 期牛江川等分数阶单自由度间隙振子的受迫振动 ChaoXing 床进给伺服系统建模与分析［J］ ． 农业机械学报，2010， 41 11 212 －218． LIU Lilan，LIU Hongzhao，WU Ziying，et al． Modeling and analysis of machine tool feed servo systems with friction and backlash ［J］ ． TransactionsoftheChineseSocietyfor Agricultural Machinery， 2010， 41 11 212 －218． ［3］ 于涛． 多运动副间隙对机构动力学的影响［D］ ． 郑州 郑 州大学， 2017． ［4］ 张严，陈大伟，喻浩文． 考虑间隙特性的起落架摆振非线 性分岔分析［ J］ ． 航空计算技术， 2018， 48 1 53 －57． ZHANGYan，CHENDawei，YUHaowen．Nonlinear bifurcation analysisoflandinggearshimmyconsidering freeplay［J］ ． Aeronautical Computing Technique， 2018，48 1 53 －57． ［5］ 阎绍泽， 向吴维凯， 黄铁球． 计及间隙的运动副和机械系 统动力学的研究进展［J］ ． 北京大学学报 自然科学版 ， 2016， 52 4 741 －755． YAN Shaoze， XIANGWU Weikai， HUANG Tieqiu． Advances in modeling of clearance joints and dynamics of mechanical systems with clearances［J］ ． Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， 2016， 52 4 741 －755． ［6］ 吴志强， 雷娜． 分段线性系统的振动性能分析［ J］ ． 振动 与冲击， 2015， 34 18 94 －99． WU Zhiqiang，LEI Na． Vibration perance analysis of piecewise linear system［ J］ ． Journal of Vibration and Shock， 2015， 34 18 94 －99． ［7］ 丁旺才，张有强，谢建华． 含对称间隙的摩擦振子非线性 动力学分析［ J］ ． 摩擦学学报，2008，28 2 155 － 160． DING Wangcai，ZHANG Youqiang，XIE Jianhua． Analysis of nonlinear dynamics of dry friction oscillators with symmetric clearance［ J］ ． Tribology， 2008， 28 2 155 －160． ［8］ 张晨旭，杨晓东，张伟． 含间隙齿轮传动系统的非线性动 力学特性的研究［ J］ ． 动力学与控制学报，2016，14 2 115 －121． ZHANG Chenxu，YANG Xiaodong，ZHANG Wei． Study on non- lineardynamicsofgeartransmissionsystemwith clearance［J］ ． Journal of Dynamics and Control，2016，14 2 115 －121． ［9］ 宦颂梅． 分段光滑动力系统理论及应用［ D］ ． 武汉华中 科技大学， 2012． ［ 10］ JI J C，HANSEN C H． On the approximate solution of a piecewise nonlinear oscillator under super- harmonic resonance ［ J］ ． Journal of Sound and Vibration， 2005， 283 467 －474． ［ 11］ KILBAS A A，SRIVASTAVA H M，TRUJILLO J J． Theory and applications of fractional differential equations［M］ ． AmsterdamElsevier， 2006． ［ 12］ PETRAS I．Fractional- order nonlinear systemsmodeling， analysis and simulation［M］ ．BeijingHigher Education Press， 2011． ［ 13］ MACHADO J A T，KIRYAKOVA V，MAINARDI F． Recent history of fractional calculus［ J］ ． Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation， 2011， 16 1140 －1153． ［ 14］ ROSSIKHIN YA， SHITIKOVAMV．Applicationof fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics novel trends and recent results［J］ ．Applied Mechanics Reviews， 2010， 63 010801． ［ 15］ FUKUNAGAM， SHIMIZUN．Fractionalderivative constitutive models for finite deation of viscoelastic materials ［J］ ．JournalofComputationalandNolinear dynamics， 2015， 10 6 061002． ［ 16］ 李媛萍，张卫，欧阳东． 具有分数导数本构关系的黏弹性 浅拱的非线性动力学行为［ J］ ． 振动工程学报，2012，25 3 342 －350． LI Yuanping，ZHANG Wei，OUYANG Dong．Nonlinear dynamic behaviors of viscoelastic shallow arch with fractional derivative constitutive relationship［J］ ． Journal of Vibration Engineering， 2012， 25 3 342 －350． ［ 17］ TABASI M，BALOCHIAN S． Synchronization of the chaotic fractional- order genesio- tesi systems using the adaptive sliding mode fractional- order controller ［J］ ．Journal of Control， Automation and Electrical Systems， 2018， 29 1 15 －21． ［ 18］ DADRAS S，MOMENI H R． Fractional terminal sliding mode control designforaclassofdynamicalsystemswith uncertainty［J］ ．Communications in Nonlinear Science ＆ Numerical Simulation， 2012， 17 1 367 －377． ［ 19］ 牛江川，申永军，杨绍普，等． 基于速度反馈分数阶 PID 控制的达芬振子的主共振［J］ ． 力学学报，2016，48 2 422 －429． NIU Jiangchuan，SHEN Yongjun，YANG Shaopu，et al． Primary resonance of duffing oscillator with fractional- order