多开口矩形板自由振动特性分析_张俊.pdf

 振动与冲击 第 39 卷第 14 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．39 No．14 2020 基金项目国家自然科学基金 51839005; 51579109 ; 中央高校基本科研 业务费 HUST 2016YXZD010 收稿日期2019 －01 －08修改稿收到日期2019 －04 －15 第一作者 张俊 女， 硕士生， 1994 年生 通信作者 李天匀 男， 教授， 博士生导师， 1969 年生 多开口矩形板自由振动特性分析 张俊1， 2， 3，李天匀1， 2， 3，朱翔1， 2， 3 1． 华中科技大学船舶与海洋工程学院， 武汉 430074; 2． 高新船舶与深海开发装备协同创新中心， 上海200240; 3． 船舶与海洋水动力湖北省重点实验室， 武汉430074 摘要基于 Rayleigh- Ritz 法， 对带有多个开口的矩形板的自由振动性能进行研究。结构的各种边界条件采用刚 度可变的弹簧来模拟。选取改进的傅里叶级数作为试函数， 以配合弹簧模型模拟不同的边界条件。引入数值方法对应变 能、 动能及弹性势能进行计算， 这样能够对较复杂形状的结构进行计算， 且节省计算时间; 根据能量泛函变分原理得到振 动系统的特征方程， 求解特征方程即得固有频率。通过对比该研究算例结果与有限元软件的结果验证了该方法的准确 性， 为实际工程问题提供参考。 关键词开口群; 复杂边界条件; Rayleigh- Ritz 法; 改进的傅里叶级数; 矩形板 中图分类号U661． 44文献标志码ADOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2020． 14． 021 Free vibration characteristics analysis on a rectangular plate with multiple cutouts ZHANG Jun1， 2， 3，LI Tianyun1， 2， 3，ZHU Xiang1， 2， 3 1． School of Naval Architecture and Ocean Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China; 2． Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep- sea Exploration，Shanghai 200240，China; 3． Hubei Key Laboratory of Naval Architecture and Ocean Engineering Hydrodynamics，Wuhan 430074，China Abstract Based on the Rayleigh Ritz ，the free vibration characteristics of a rectangular plate with multiple cutouts were studied． Various boundary conditions of the structure were simulated by using springs with variable stiffness． The improved Fourier series was selected as an admissible function． A numerical was introduced to calculate the strain energy，kinetic energy and elastic potential energy for the structures with more complex shapes and also for saving computing time． According to the energy functional variational principle，the characteristic equation of the vibration system was obtained，and the natural frequency was obtained by solving the characteristic equation． The accuracy of the proposed was verified by comparing the results of numerical examples with the results of finite element ． The results provide a reference to practical engineering problems． Key words multiple cutouts;complex boundary conditions;Rayleigh- Ritz ;improved Fourier series; rectangular plate 提高舰船的隐身性能， 实现集成化的上层建筑已 经成为各国舰船发展的热点， 这种结构会导致需在上 层建筑上开设多个设备开口。开口必然会导致船体结 构整体刚度降低， 会影响结构原本的振动特性， 存在与 开口处设备共振的风险， 所以对多开口薄板的振动问 题的研究具有较为重要的意义和工程实用价值。 目前国内外已有较多的对单个开口的薄板振动问 题的研究， 无论是解析法还是数值方法都已经取得了 较多的成果。数值方法因其固有的特点， 更容易地应 用于对开口结构的计算中， 主要是应用有限元法 ［1 ］。 有时解析方法的应用较为复杂， 映射法 ［2 ］对于较为规 则的开口形状已经可以进行计算。Rayleigh- Ritz 法作 为一种常用的解析方法在单开口结构振动问题的求解 中应用较为广泛 ［3 －5 ］， 并得到了较为准确的结果。 以上述单开口的研究方法及研究成果为基础， 国 内外的许多学者已经对多开口的板壳结构的自由振动 问题进行了研究， 但是成果还并不完善。Shi 等 ［6 ］应用 改进的傅里叶级数方法对一般边界条件下多个矩形开 口的矩形板的自由振动特性进行了分析， 计算了内部 开口和外部开口的固有频率， 并得出了振型图。王龙 侃等 ［7 ］针对船舶上层建筑的多种复杂开口群结构形 式， 用 Abaqus 进行了数值模拟， 分析了不同开口参数 ChaoXing 对上层建筑的动力学特性的影响。目前国内对开口群 板壳结构的研究中应用有限元软件仿真分析的较多。 此外对于数值方法， Hota 等 ［8 ］应用有限元法中 C0 板单 元， 结合一阶剪切理论， 对任意形状多开口平板的振动 特性进行分析。此外还有学者采用解析方法对开口群 的振动问题进行研究。Liu 等 ［9 ］采用简化的傅里叶李 兹法研究了矩形板开两个矩形口的结构的振动问题， 得出各种开口状态的模态振型图。Dae 等 ［10 ］采用假定 振型法和模态叠加法对带有开口群和筋条的平板结构 的自由及受迫振动问题进行分析， 并给出模态振型图 与有限元结果进行对比， 结果较为准确。Avalos 等 ［11 ］ 应用 Rayleigh- Ritz 法对开两矩形口的矩形板进行计算， 分析了不同大小、 开口位置等对固有频率的影响。Lar- rondo 等 ［12 ］应用 Rayleigh- Ritz 法对变厚度矩形多开口 平板的自由振动进行分析， 对不同开口位置， 开口大小 对频率的影响进行分析。李凯等 ［13 ］采用区域分解法， 结合 Rayleigh- Ritz 法对开口群平板结构的动力学性能 进行计算。以上的对多开口问题的研究还多集中在对 矩形开口的计算， 并且开口的位置还多是相对较为规 律的位置。 本文采用 Rayleigh- Ritz 法对圆形开口的多开口矩 形板的自由振动特性进行计算， 为处理各种复杂边界 条件， 本文引入弹簧模型模拟多种边界条件。计算时 采用改进的傅里叶级数作为方法的试函数， 其良好的 性质可以满足多种复杂的边界条件， 其计算效率较高， 对于薄板问题的计算所需时间非常短， 并且具有非常 好的收敛性， Li［14 ］提出该方法时已经进行了较为详细 的证明。计算开口矩形板的各种能量时， 采用相同的 位移试函数， 首先计算未开口矩形板的相关能量， 再计 算开口部分的能量， 用未开口部分的能量减去开口部 分的能量即得到开口板的能量。利用相同位置位移连 续连接开口与矩形板。本文以几种不同数量的多开口 矩形板为例， 对比本文方法计算结果与有限元结果， 验 证本文方法在计算多开口时准确可靠， 为实际工程问 题提供参考。 1理论分析 1． 1多开口矩形板的物理模型 本文研究的物理模型为内部含有多个圆形开口的 矩形薄板， 如图 1 所示。矩形板的长为 a、 宽为 b， 圆形 开口的半径为 r， 板厚为 h。在矩形板的边界处作用有 沿边界线分布的位移约束线弹簧和转角约束线弹簧， 其中弹簧方向与板平面垂直。kij N/m2 和 Kij N/rad 分别为对应的弹簧刚度系数。通过改变弹簧刚度值来 实现对多开口矩形板的不同边界条件的模拟。经典的 边界条件可以通过将两种弹簧的刚度值取为 0 或无穷 来获得。对于自由边界 kij与 Kij均为零; 简支边界 kij趋 于无穷， Kij为零; 固支边界 kij与 Kij均趋于无穷; 在模拟 一般的弹性边界条件时， 只需将相应的刚度系数取为对 应的值即可。上述模型将边界条件对平板振动的影响转 化为增加的弹性势能对刚度矩阵的影响， 在求解能量泛 函的时候， 需求出由于弹簧的存在而增加的弹性势能， 计 算在能量泛函中。本文的边界条件表达方式为 自由边 界表示为 F、 固支边界表示为 C， 简支边界表示为 S， 弹性 边界表示为 E。对应矩形边的顺序为 假设边界条件为 C- S- F- E， 则 x 0 处边界为固支 C， y 0 边界为简支 S， x a边界为自由 F， y b 边界为弹性边界 E。 图 1多开口矩形薄板示意图 Fig． 1 Diagram of rectangular plate with multiple openings 1． 2Rayleigh- Ritz 法 在应用 Rayleigh- Ritz 法时， 位移试函数对结果的准 确性具有较大的影响。试函数 w 的形式为 w x， y， t∑ M m 1∑ N n 1 Amnfm x gn y eiωt 1 式中 Amm为未知的展开系数， m 和 n 为序列号， M 和 N 为截断项数; fm x 和 gn y 为沿 x 和 y 方向的正交多 项式; eiωt为简谐时间因子。 由于本文选取弹簧模型模拟各种复杂的边界条 件， 所选的位移试函数首先能够满足在整个求解域内 三阶导数连续且四阶导数各点均存在， 且必须能够满足 在边界处本身无任何约束， 这样才能够适用于弹簧模型 对复杂的边界条件的模拟。综合上述要求， 本文选用改 进的傅里叶级数作为整个结构的位移试函数 ［ 15 ］。 fm x sin mπ a x ， 0 ＜ m ＜ 5 fm x cos m － 5 π a [] x ， m ≥ { 5 2a gn y sin nπ b y ， 0 ＜ n ＜ 5 gn y cos n － 5 π b [] y ， n ≥ { 5 2b 根据 Rayleigh- Ritz 法， 需对结构应变能、 动能和弹 性势能进行计算。计算未开口矩形板的应变能 Vp表 达式为 Vp 1 2 D∫ a 0 ∫ b 0 2w x， y， t x 2 2 2w x， y， t y 2 2 [ 341第 14 期张俊等多开口矩形板自由振动特性分析 ChaoXing 2μ 2w x， y， t x 2 2w x， y， t y 2 2 1 － μ 2w x， y， t x y ] 2 dxdy 3 未开口矩形板的动能 T 表达式为 T 1 2 ρh ∫ a 0 ∫ b 0 w x， y， t /t 2dxdy 4 式中 w 为试函数; h 为板厚; ρ 为质量密度， μ 为泊松 比; D Eh3/ 12 1 － μ2 为弯曲刚度; E 为杨氏模量。 开口处圆形板的应变能为 Vpi 1 2 D∫∫ Si 2w x， y， t x 2 2 2w x， y， t y 2 2 [ 2μ 2w x， y， t x 2 2w x， y， t y 2 2 1 － μ 2w x， y， t x y ] 2 dxdy 5 式中， i 1， 2， 3， ， n 为开口数量。 开口处圆形板的动能 Ti表达式为 Ti 1 2 ρh ∫∫ Si w x， y， t /t 2dxdy 6 式中， Si 为第 i 个开口区域。 在计算开口区域的应变能及动能时， 引入数值方 法， 首先将圆形区域沿 y 方向在 2r 区间内按照长度平 均划分为 Q 份， 这样就得到 Q 个长度不等的长条， 再将 每个长条进行划分， 沿 x 方向按照长度平均划分为 Q 份， 就可以得到 Q2个小微元， 表示出每个微元的中心 点的坐标， 代入位移试函数即得微元的位移表达式， 将 求积分转化为求和， 代入应变能和动能公式最终得到 整个开口的应变能和动能。 采用弹簧模型模拟各种复杂的边界条件时， 增加 的弹簧弹性势能可以表示为 Vs 1 2∫ a 0 ky0w x， y， t 2 Ky0 w x， y， t  y [] 2 y 0 kybw x， y， t 2 Kyb w x， y， t  y [] 2 {} y b dx 1 2∫ b 0 kx0w x， y， t 2 Kx0 w x， y， t  x [] 2 x 0 kxaw x， y， t 2 Kxa w x， y， t  x [] 2 {} x a dy 7 式中， kx0， Kx0， ky0， Ky0， kxa， Kxa， kyb和 Kyb分别为四条边上 的位移弹簧刚度和转角弹簧刚度。 则系统的拉格朗日能量泛函为 Π Vp Vs－∑ n i 1 Vpi－ T ∑ n i 1 Ti 8 将式 3 、 式 4 、 式 5 、 式 6 和式 7 代入式 8 ， 并对未知的系数求极值可得 Π A mn 0 9 最终可以得到特征方程为 K － ω2M A 0 10 式中 K 为刚度矩阵; M 为结构的质量矩阵， A 为未知 的系数向量; ω 为圆频率。这样就可以将自由振动问 题转化为求解特征值问题， 求解式 10 中特征值即得 结构的固有频率， 求解特征向量并带回位移试函数中 可得相应模态的振型。 2数值计算 本节对不同数量开口的矩形板的振动特性进行分 析， 并计算其不同边界条件下的振动特性， 与有限元结 果进行对比， 说明本文方法的收敛性和精确性。下面 给出的算例中开口矩形板的材料参数均为 杨氏模量 E 2．1 1011Pa， 泊松比 μ 0．3， 密度 ρ 7 850 kg/m3。 2． 1收敛性分析 首先对方法的收敛性进行分析。Rayleigh- Ritz 法 计算过程中存在叠加求和， 因此计算结果的准确性受 到截断项数 M 和 N 的影响。首先说明截断项数对计 算结果精度的影响。选取中心两个圆形开口的开口矩 形板作为计算模型 见图 1 。矩形板的长为 a 12 m， 宽为 b 6 m， 中心圆口半径为 r 1 m， h 0． 1 m， 开口 位置圆心坐标分别为 3， 3 和 9， 3 。为避免弹簧刚度 对结果的影响， 取 k 和 K 的数值为 0 时的情况， 计算四 边自由时 M 和 N 从6 取到16 的结果， 固有频率大小随 M 和 N 的变化， 如表 1 所示。 表 1两个圆形开口的矩形板固有频率随截断项数的 变化 F- F- F- F Tab． 1 Changes of natural frequencies of rectangular plate with two circular cutouts via different truncated numbers F- F- F- F Hz 阶数 M N 6810121416FEM 13． 2993． 5533． 5233． 5053． 5003． 4953． 491 24． 3714． 3954． 3674． 3644． 3624． 3604． 331 35． 7539． 4469． 4169． 4129． 4109． 4089． 350 49． 9939． 7349． 6209． 5519． 5279． 5229． 496 510． 423 14． 086 13． 923 13． 799 13． 765 13． 754 13． 716 614． 207 17． 226 17． 149 17． 089 17． 036 17． 015 16． 906 717． 694 17． 509 17． 283 17． 125 17． 074 17． 061 16． 974 817． 854 20． 383 20． 138 19． 963 19． 887 19． 858 19． 805 由表 1 可知， 当 M N 14 时， 结构的各阶固有频 率随着 M 和 N 的增加变化很小， 此时计算结果已收 敛， 证明了改进的傅里叶级数在计算多开口板时的收 敛性和稳定性， 后续计算中取 M N 14。 在处理固支等边界时需要将边界弹簧的刚度系数 441振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 取为无穷， 实际计算时需要用一个较大的值来代替， 因此 计算结果准确性受弹簧刚度k 和K 的影响。对弹簧刚度 系数取值进行收敛性分析。取 M N 14， 将四条外直边 设为固支约束， 则 K 和 k 理论上均需取无穷， 以较大数值 代替， 验证本文方法的收敛性， 并且得到收敛时的弹簧刚 度系数取值， 以代替弹簧刚度取无穷的情况 k p N/m2， K p N/rad 。得到的固有频率变化如表2 所示。 表 2两开口的矩形板固有频率随弹簧刚度的变化 Tab． 2 Changes of natural frequencies of rectangular plate with two cutouts via different stiffnessHz 阶 数 弹簧刚度系数 p 01021041061081010101210141016FEM 13．5023．5023．5557．00914．648 17．355 17．391 17．391 17．391 17．359 24．3664．3674．4218．04019．863 24．081 24．140 24．140 24．140 24．018 39．4149．4159．44111．699 26．732 33．340 33．441 33．442 33．441 33．106 49．5599．5599．58311．731 32．439 42．554 42．678 42．679 42．677 40．873 513．819 13．819 13．846 16．292 34．579 42．663 42．809 42．811 42．811 41．827 617．099 17．099 17．115 18．657 35．444 46．944 47．116 47．118 47．119 44．925 717．153 17．154 17．177 19．333 40．743 55．032 55．266 55．268 55．269 53．825 819．980 19．980 19．995 21．391 47．026 58．631 58．793 58．794 58．793 56．122 由表 2 可知， 随着弹簧刚度系数的变化， 边界条件 由四边自由到四边弹性边界， 最后当刚度系数足够大 时为四边固支边界， 弹性边界部分随着刚度系数的不 断增大， 自由振动固有频率逐渐增大。当弹簧刚度系 数数值大于 p 1014时， 得到的固有频率值已经趋于稳 定， 基本不再变化， 认为结果已收敛于固支边界。表明 当模拟某些弹簧刚度系数取无穷的边界条件时， 实际 计算中只要将刚度系数的数值取为 k 1014N/m2， K 1014N/rad 时即可得到收敛的解。 2． 2准确性分析 根据收敛性分析， 以下计算中截断项数取 M N 14， 弹簧刚度系数为无穷大时取1014替代。下面通过算 例说明本方法在计算多开口矩形板振动问题的准确性 和适用性。 2． 2． 1两个圆形开口的矩形板自振特性分析 以两圆形开口的矩形板为例， 矩形板及开口参数 与收敛性分析的模型相同。模型边界条件如下 S- S- S- S、 C- F- C- F 和 C- S- S- F， 验证本文方法对两开口矩 形板振动问题计算的准确性。 将本文方法的计算结果与有限元仿真结果进行对 比， 结果如表 3 所示， 两者之间的误差计算公式为 Error fFEM－ fPre fFEM 100 11 式中 fFEM为有限元软件 ANSYS 计算结果; fPre为本文方 法的计算结果。 表 3不同边界条件下两圆形开口矩形板固有频率 Tab． 3 Natural frequencies of rectangular plate with two circular cutouts in different boundary conditions 阶数 S- S- S- S 本文/HzFEM/Hz 误差/ C- F- C- F 本文/HzFEM/Hz 误差/ F- C- S- S 本文/HzFEM/Hz 误差/ 18． 2448． 1990． 5483． 8813． 8610． 51910． 91810． 8910． 247 213． 64913． 5500． 7325． 8855． 8560． 51113． 38413． 3110． 550 321． 89921． 6071． 35010． 59610． 5360． 56819． 00618． 8490． 835 427． 65027． 2841． 34314． 08413． 9570． 90727． 45627． 0951． 333 531． 88231． 1752． 26717． 93317． 7371． 10733． 61233． 3190． 879 631． 89631． 1852． 28120． 96720． 8750． 44336． 19035． 8350． 990 740． 50039． 9591． 35424． 54324． 3180． 92638． 30837． 5641． 980 848． 38347． 6011． 64227． 87527． 5301． 25341． 48041． 0371． 079 表 3 中结果表明， 本方法计算结果与有限元结果 吻合良好， 计算的最大误差均小于 3， 这说明本文方 法在计算两开口矩形板的固有频率时准确可靠。 2． 2． 2三个圆形开口的矩形板自振特性分析 本节以三个圆形开口的矩形板为例， 计算不同边 界条件下固有频率， 模型的主要参数入下 矩形板的长 a 18 m， 宽 b 6 m， 厚度 h 0． 1 m， 开口半径 r 1 m， 如图 2 所示。开口位置为 3， 3 、 9， 3 、 15， 3 。选 取固支、 简支、 组合边界条件情况， 对三圆形开口矩形 板的自振特性进行分析， 结果如表 4 所示。 图 2三个圆形开口的矩形板模型 Fig． 2 A rectangular plate model with three circular cutouts 从表 4 可知， 本文方法在计算三个圆形开口矩形 541第 14 期张俊等多开口矩形板自由振动特性分析 ChaoXing 板固有频率时具有良好的准确性， 可以为工程中多开 口振动问题提供参考。 2． 2． 3四个圆形开口的矩形板自振特性分析 本节选取了四开口矩形板为计算模型， 分别为单 排开口形式和双排开口， 对不同边界条件下的四开口 矩形板自振特性进行分析， 模型如图 3 所示。单排开 口模型参数 矩形板长 a 24 m， 宽 b 6 m， 厚 h 0． 1 m， 开口半径为 r 1 m， 开口位置圆心坐标为 3， 3 ， 9， 3 ， 15， 3 ， 21， 3 ， 结果如表 5 所示。双 排开口模型参数 矩形板长 a 8 m， 宽 b 8 m， 厚 h 0． 05 m， 开口半径为 r 1 m， 开口圆心坐标 2， 2 ， 6， 2 ， 2， 6 ， 6， 6 ， 计算结果如表 6 所示， 前 6 阶模 态振型对比图如图 4。 图 3四个开口的矩形板模型 Fig． 3 Rectangular plate with four circular cutouts 表 4不同边界条件下三个圆形开口的矩形板固有频率 Tab． 4 Natural frequencies of rectangular plate with three circular cutouts in different boundary conditions 阶数 C- C- C- C 本文/HzFEM/Hz 误差/ F- F- F- F 本文/HzFEM/Hz 误差/ F- C- S- F 本文/HzFEM/Hz 误差/ 116． 53616． 5440． 0471． 5701． 5680． 1802． 5152． 5080． 267 218． 14018． 0950． 2512． 8792． 8590． 6863． 7733． 7550． 472 323． 04323． 0120． 1354． 3594． 3470． 2816． 1306． 1020． 459 427． 63427． 4780． 5686． 0736． 0320． 6719． 9869． 9370． 495 535． 07134． 9090． 4658． 4148． 3900． 28714． 70014． 6530． 323 639． 78539． 1611． 5949． 7169． 6600． 57815． 34315． 2810． 404 741． 30140． 9420． 87613． 88813． 8180． 50617． 06817． 0100． 344 843． 13542． 7470． 90713． 89113． 8430． 35020． 24620． 1200． 626 表 5单排四个圆形开口的矩形板的固有频率 Tab． 5 Natural frequencies of rectangular plate with four cutouts in a single row 阶数 F- F- F- F 本文/HzFEM/Hz 误差/ S- S- S- S 本文/HzFEM/Hz 误差/ C- C- C- C 本文/HzFEM/Hz 误差/ 12． 1462． 1310． 6786． 8876． 8700． 25216． 27616． 2910． 092 22． 4502． 4450． 2068． 2448． 2030． 49217． 14817． 1400． 049 34． 4464． 4170． 66510． 43810． 3620． 73818． 54018． 4810． 319 44． 8494． 8350． 29813． 64913． 5620． 64222． 59422． 5680． 114 57． 0426． 9970． 64217． 28517． 0991． 08925． 57925． 4610． 463 67． 8847． 8630． 27221． 89921． 6231． 27429． 82829． 5910． 800 表 6双排四个圆形开口的矩形板的固有频率 Tab． 6 Natural frequencies of rectangular plate with four cutouts in two rows 阶数 F- F- F- F 本文/HzFEM/Hz 误差/ S- S- S- S 本文/HzFEM/Hz 误差/ C- C- C- C 本文/HzFEM/Hz 误差/ 12． 4812． 4700． 4293． 5643． 5151． 3976． 6766． 6940． 270 23． 4633． 4101． 5579． 2619． 2450． 17314． 14714． 3231． 226 34． 0453． 9312． 9049． 5809． 2493． 58014． 40514． 3240． 565 46． 0496． 0040． 74017． 10316． 9221． 07222． 84623． 4042． 383 56． 0976． 0051． 53617． 71817． 4391． 60225． 65825． 3561． 192 610． 30310． 2760． 26419． 65219． 4680． 94527． 89728． 9783． 732 641振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 图 4四个开口的矩形板模态振型图 Fig． 4 Diagram of rectangular plate with four circular cutouts 3结论 本文基于 Rayleigh- Ritz 法研究了多开口矩形薄板 的自由振动特性。引入弹簧模型模拟复杂的边界条 件， 计算增加的弹性势能， 将边界对结构振动的影响转 化为弹性势能对整体刚度矩阵的影响; 位移试函数采 用改进的傅里叶级数， 具有良好的收敛性和稳定性; 分 别计算求得未开口矩形板和开口处的应变能和动能作 差得到开口结构的应变能和动能。算例对比表明本方 法具有良好的收敛性和准确性， 为工程问题中多开口 结构的振动分析提供思路。 参 考 文 献 ［1］ LOGAH P，TSO C P，LIM T L． Analysis of thin plates with holes by using exact geometrical representation within XFEM ［ J］ ． Journal of Advanced Research， 2016， 7 3 445 －452． ［2］ SONI K，UPHADHYAY A K， SHUKLA K K． Stress analysis for aninfiniteplatewithcircularholes ［C］ ∥ 5th InternationalConferenceonMaterialsProcessingand Characterization，Proceedings． HyderabadICMPC， 2017． ［3］ 邱永康， 李天匀，朱翔，等． 任意边界条件下中心开口矩 形板自由振动特性分析［ J］ ． 振动与冲击， 2017， 36 20 112 －117． QIU Yongkang，LI Tianyun，ZHU Xiang，et al． The free vibration characteristics analysis of rectangular plate with central opening using in arbitrary boundary conditions ［J］ ． Journal of Vibration and Shock， 2017， 36 20 112 －117． ［4］ 王旻昊， 李凯，邱永康，等． 基于傅里叶级数法的开孔板 振动固有特性分析［J］ ． 中国舰船研究， 2017， 12 4 102 －109． WANG Minhao， LI Kai， QIU Yongkang， et al．Free vibration characteristics analysis of rectangular plate with rectangular opening based on Fourier series ［J］ ． Chinese Journal of Ship Research， 2017， 12 4 102 －109． ［5］ 李天匀， 张俊， 朱翔， 等． 含任意形状内开口的矩形板振动 特性分析［J］ ． 华中科技大学学报 自然科学版 ， 2018， 46 11 1 －6． LI Tianyun，ZHANG Jun，ZHU Xiang，et al．Vibration characteristics analysis on rectangular plates with arbitrarily- shaped cutout［ J］ ． Journal of Huazhong University of Science and Technology Nature Science ， 2018， 46 11 1 －6． 下转第 155 页 741第 14 期张俊等多开口矩形板自由振动特性分析 ChaoXing subgrade system for the speed enhancement and remoulding engineering of the Jing- Qin railway line［J］ ．Engineering Mechanics， 2004 1 159 －164． ［5］ MIYAMOTO T，ISHIDA H，MATSUO M． Running safety of railway vehicle as earthquake occurs［J］ ． Railway Technical Research Institute， Quarterly Reports， 1997， 38 3 117 －122． ［6］ LUO X． Study on ology for running safety assessment of trains in seismic design of railway structures ［J］ ．Soil Dynamics ＆ Earthquake Engineering， 2005， 25 2 79 －91． ［7］ LUO X， MIYAMOTOT．forrunningsafety assessment of railway vehicles against structural vibration displacement during earthqu