弹性螺旋桨-轴系建模及振动特性的解析方法研究_康伟.pdf

振 动 与 冲 击 第 39 卷第 8 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol.39 No. 8 2020 收稿日期 2018 -09 -25 修改稿收到日期 2018 -12 -14 第一作者 康伟 男,硕士,1993 年生 通信作者 谌勇 男,博士,研究员,1977 年生 弹性螺旋桨 - 轴系建模及振动特性的解析方法研究 康 伟1,2, 张振果1,2, 谌 勇1,2 1. 上海交通大学 机械系统与振动国家重点实验室,上海 200240; 2. 上海交通大学 高新船舶与深海开发装备协同创新中心,上海 200240 摘 要为考虑螺旋桨自身弹性对桨 - 轴系统振动特性的影响,建立了一套基于 Timoshenko 梁理论的解析方法。 将螺旋桨、轴系均用 Timoshenko 梁建模,结合桨叶与轴系连接处的协调条件及其边界条件,给出系统横向、纵向自由振动 的控制方程;在同有限元结果对比表明本方法具有良好精度基础上,分析了桨叶弹性对系统模态的影响及桨 - 轴系统的 力传递特性。 研究表明桨 - 轴系统的模态振型中螺旋桨叶片和轴系的弹性变形同时发生且相互影响,叶片弯曲模态会 加剧轴系振动;作用于桨叶的激励引起的桨 - 轴系统轴承处的纵向传递力被桨叶弯曲和轴系纵振两阶模态显著放大,而 横向传递力主要由桨叶及轴系的弯曲模态控制。 关键词 弹性;螺旋桨 - 轴系;振动特性;Timoshenko 梁;解析解 中图分类号 O326; U661. 44 文献标志码 ADOI10. 13465/ j. cnki. jvs. 2020. 08. 030 The analytical solution of the modeling and vibration characteristics of elastic propeller-shaft KANG Wei1,2, ZHANG Zhenguo1,2, CHEN Yong1,2 1. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China;2. Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration CISSE, Shanghai Jiao Tong University,Shanghai 200240, China Abstract In order to consider the influence of the propeller elasticity on vibration characteristics of a propeller- shafting system, an analytical solution was developed based on the Timoshenko theory. The propeller blades and shaft were all modeled by a Timoshenko beam. According to the continuous condition of joint and boundary condition, the control equation of the transverse and longitudinal free vibration of system was deduced. Contrasted the solution of a finite- element model and the analytical solution, they were in good agreement. The effect of propeller elasticity on the mode and force transmission characteristics of the system was explored. The results show that the deation of both the blades and shafting of the true elastic propeller-shafting system can be seen and their vibration is coupled. The bending mode of blades can aggravate the vibration of shafting. The longitudinal force transmitted by bearing was amplified by the bending mode of propeller and longitudinal mode of shafting, while the transverse force was mainly controlled by bending modes of propeller and shafting under the excitation at the blade. Key words elasticity; propeller-shafting; vibration characteristics; Timoshenko beam; analytical solution 螺旋桨脉动力是舰船振动和辐射噪声的主要激励 源之一[1]。 尽管在设计中努力降低非定常力中窄带周 期成分的影响,但是其宽频脉动力依然显著[2],宽频力 可分布在频域的几百赫兹以内[3 -4],鉴于水动力的这 种宽频特性可激发桨 - 轴系统的固有振动,必须建立 精确的螺旋桨 - 轴系动力学模型,以更准确地预测其 振动响应及噪声。 在分析桨 - 轴系统的振动机理时,Zou 等[5]采用解 析法预测螺旋桨 - 轴系简化模型的振动响应,螺旋桨 和轴系分别用集中质量点和连续的弹性梁建模[6]。 Huang 等[7]基于确定的几何结构使用商业软件建立螺 旋桨有限元模型,借助频响综合法获得整个系统的振 动响应。 为减小舰船的水下声辐射,一些仅针对轴系 的振动控制技术被提出,例如共振转换器[8],磁流变弹 性体[9],主动控制器[10]等。 然而近几年的多次实船测 试及相关分析表明,实尺度螺旋桨固有频率可低至数 十赫兹,桨叶的弯曲模态是激励力被放大的主要因素 之一[11],因此桨叶自身的振动在桨 - 轴耦合振动分析 中值得更多的关注,研究其对桨 - 轴系统的影响规律 可能会为传递力的控制提供理论依据。 目前已有的桨 - 轴系统简化模型使用集中质量点 表示螺旋桨,忽略了桨叶弹性对系统振动特性的影响, 而数值模型大多借用有限元软件,但螺旋桨因其复杂 的几何结构难以在各叶片划分出完全对称的网络,且 ChaoXing 网格质量不易控制。 此外,采用有限元法进行参数化 分析耗时较长,尤其当几何参数变化时需要重新建模 计算。 在桨 - 轴系统设计阶段,一个精确且高效的获 取桨 - 轴振动特性的方法依然亟需。 因此,本文以同 时考虑横向、纵向振动的 Timoshenko 梁为基本单元建 立弹性桨 - 轴系的模型,通过严格数学推导给出系统 振动的控制方程,在此基础上分析桨叶弹性对系统模 态频率及振型的影响,以及系统在螺旋桨激励下的力 传递特性,为轴系振动控制提供理论依据。 1 螺旋桨 -轴系耦合振动模型的建立 船舶螺旋桨 - 轴系的原理模型如图1a所示。 本 文将轴系和螺旋桨叶片均简化成同时考虑横向和纵向 振动的 Timoshenko 梁模型,桨毂由于刚度比较大,以附 加在轴系左端的集中质量点模拟,其质量和转动惯量 分别为 m,J。 为表示方便将代表轴系的梁编号为 0,代 表桨叶的梁分别编号 1 和 2。 轴系被后艉及前艉轴承 分割为 3 个跨段,轴承的中点为分割点。 以一个两叶 直桨模型为研究对象,桨叶与轴系位置正交,用平面内 两组平动和一组转动弹簧模拟耦合作用。 推力轴承和 艉轴承的刚度均用平动弹簧简化,不同型号船舶壳体 由于结构复杂难以用统一弹性系统建模且本文主要研 究对象是桨 - 轴系统,因此近似地将其简化为刚性的 固定端,简化后的模型如图 1b所示。 图 1 船舶螺旋桨 - 轴系振动模型 Fig. 1 The vibration model of marine propeller-shafting system 1. 1 螺旋桨叶片及轴系的横向、纵向自由振动建模 螺旋桨桨叶以及轴系所有跨段的坐标系位置及方 向,如图 2 所示。 桨叶 1 的坐标原点位于其叶梢末端, 桨叶 2 的坐标原点位于叶根处,轴系各跨段坐标原点 均在该段的左侧起始点。 设桨叶 ii 1,2的横向振 动位移为 yixi,t,对应转角 ϕixi,t,其运动微分方 程可表示为[12 -14] EiIi ∂2ϕixi,t ∂xi2 - κiAiGi ϕixi,t - ∂yixi,t ∂x - ρiIi ∂2ϕixi,t ∂t2 01 ρiAi ∂2yixi,t ∂t2 - κiAiGi ∂2yixi,t ∂xi2 - ∂ϕixi,t ∂xi 0 2 式中Ei为材料弹性模量;Ii为桨叶的截面惯性矩;ρi 为桨叶的密度;Ai为桨叶的横截面积;Gi为材料的剪切 模量;κi为 Timoshenko 剪切系数。 为求解该齐次问题,将式1、式2中的 yixi,t 和 ϕixi,t解耦,可以得到 EiIi ∂4yixi,t ∂xi4 ρiAi ∂2yixi,t ∂t2 - Ii 1 Ei κiGi ∂4yixi,t ∂x2∂t2 [] ρ2 iIi κiGi ∂4yixi,t ∂ti4 03 EiIi ∂4ϕixi,t ∂xi4 ρiAi ∂2ϕixi,t ∂t2 - Ii 1 Ei κiGi ∂4ϕixi,t ∂x2∂t2 [] ρ2 iIi κiGi ∂4ϕixi,t ∂ti4 04 设式3、式4中的解耦变量分别为 yixi,t Yixieiωt5 902第 8 期 康伟等 弹性螺旋桨 - 轴系建模及振动特性的解析方法研究 ChaoXing ϕixi,t φixieiωt6 式中ω 为螺旋桨 - 轴系的模态角频率;Yixi 和 φixi分别为 yixi,t 与 ϕixi,t 的振型函数,将式 5和式6代入式3、式4可得 Yixi [cosh λixisinh λixicos λixisin λixi]Ci7 φixi [qisinh λixiqicosh λixiqisin λixi- qicos λixi]Ci8 式中Ci[Ci1,Ci2,Ci3,Ci4]T的每个元素都是常数,由桨 叶和轴系的边界条件决定,设 σi ρiω2 Ei ,τi ρiω2 κiGi,αi ρiAiω2 EiIi ,则 λi σi- τi 2 2 αi- σi τi 2 1/2 , λi σi- τi 2 2 αi σi τi 2 1/2 qi ω2ρi κiGiλi λi, qi ω2ρi κiGiλi - λi 桨叶 i 的纵向振动位移为 uixi,t,其纵向自由振 动方程 EiAi ∂2uixi,t ∂xi2 - ρiAi ∂2uixi,t ∂t2 09 求解该偏微分方程得 uixi,t Uixieiωt Uixi [cos μixi sin μixi]Di10 式中 μi ρi Ei ω2;Di [Di1 Di2] T 由桨叶和轴系的 边界条件确定。 轴系各跨段也可看作均匀的 Timoshenko 梁,根据 上述桨叶振动响应的求解方法,采用同样的过程即得 到轴系各跨段的响应,设轴系第 jj 1,2,3跨段横向 振动响应为 yj0xj0,t和 ϕj0xj0,t,纵向响应为 uj0xj0, t,各变量均用上标 j 表示分段编号。 1. 2 含轴承支承间断点的轴系振动响应传递关系 轴系被艉轴承分割为不连续的 3 跨段模型,不易 用统一的函数关系表示整段轴系的振动响应,但是分 割点两侧须满足力平衡条件和位移连续条件,因此不 同跨段振动响应的关系可由传递矩阵法给出[15]。 图 2 桨叶及轴系各跨段的坐标系 Fig. 2 The coordinate system of the blades and all spans of shafting 轴系横向振动时分割点两侧的剪力与轴承反力平 衡,挠度、转角及弯矩相等,第 jj 1,2段和 j 1 段振 动响应满足协调条件 Yj1 0 0 Yj0lj0 φj1 0 0 φj0lj0 Ej1 0 Ij1 0 dφj1 0 0 dxj1 0 Ej0Ij0 dφj0lj0 dxj0 κj1 0 Gj1 0 Aj1 0 φj1 0 0 - dYj1 0 0 dxj1 0 [] k j 0Y j1 0 0 κj0Gj0Aj0φj 0l j 0 - dYj0lj0 dxj0 [] 11 将式7、式8代入可以得出轴系第 j 1 段和第 j 跨段的响应函数中常量系数间的递推关系 Cj 1 0 Tj 1 -1 TjCj0 WjCj0,Cj 1 0 Cj 1 01 ,Cj 1 02 ,Cj 1 03 ,Cj 1 04 []T, Cj0 [Cj01,Cj02,Cj03,Cj04] T Tj 1 1010 0qj 1 0 0- qj 1 0 qj 1 0 λj 1 0 0qj 1 0 λj 1 0 0 kj0qj 1 0 - λj 1 0 kj0- qj 1 0 - λj 1 0 Tj cosh λj0lj0sinh λj0lj0cos λj0lj0sin λj0lj0 qj0sinh λj0lj0qj0cosh λj0lj0qj0sin λj0lj0-qj0cos λj0lj0 εj1cosh λj0lj0εj1sinh λj0lj0εj2cos λj0lj0εj2sin λj0lj0 εj3sinh λj0lj0εj3cosh λj0lj0εj4sin λj0lj0-εj4cos λj0lj0 设 eij Ej0Ij0 Ej 1 0 Ij 1 0 ,kgaj κj0Gj0Aj0 κj 1 0 Gj 1 0 Aj 1 0 ,kj0 kj0 κj 1 0 Gj 1 0 Aj 1 0 ,则 有 εj1 eijqj0λj0,εj2 eijqj0λj0,εj3 kgajqj0- λj0,εj4 kgajqj0 λj0。 由递推关系可得轴系第 3 跨段和第 1 跨段横向响应中常量系数满足 C3 0 W 2W1C1 0。 轴系纵向振动时,第 j 段和 j 1 段响应满足如下 协调条件[16] 012振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing Uj1 0 0 Uj0lj0 Aj1 0 Ej1 0 ∂Uj1 0 0 ∂xj1 0 Aj0Ej0 ∂Uj0lj0 ∂xj0 12 将式10 代入并写成矩阵形式有 Zj 1Dj 1 0 ZjDj0, 其中, Zj1 10 0Aj1 0 Ej1 0 μj1 0 , Z j cos μj0lj0sin μj0lj0 - Aj0Ej0μj0sin μj0lj0Aj0Ej0μj0cos μj0lj0 。 因此相邻跨段纵向响应函数中的常量系数有跟横向振 动类似的传递关系,第 j 1 跨段和第 j 跨段纵向响应 的常量系数有递推关系 Dj 1 0 Zj 1 -1ZjDj 0 SjDj0,那 么第 3 跨段和第 1 跨段间常量系数满足 D3 0 S 2S1D1 0。 1. 3 螺旋桨 -轴系的协调条件 图 1b中的模型,桨叶和轴系的横向、纵向振动 相互耦合,在连接点处须满足力平衡条件,端点处响应 要符合对应的边界条件。 Vixi表示桨叶 i 在位置 xi 处的剪力,Mixi表示对应的弯矩,剪力、弯矩和转角 与挠度的关系可表示为 Vixi κiGiAiφixi - Y′ixi Mixi EiIiφ′ixi13 任一桨叶都有一个自由端和一个弹簧连接端,两 端点的横向及纵向响应须满足协调条件 V10 0 M10 0 V1l1 k1xY1l1 - U1 00 M1l1 - kr1zφ1l1 - φ1 00 U′ 10 0 A1E1U′ 1l1 - k1yU1l1 - Y 1 00 14a V20 - k2xY20 - U1 00 M20 kr2zφ20 - φ1 00 M2l2 0 V2l2 0 A2E2U′ 20 k2yU20 - Y 1 00 U′ 2l2 0 14b 轴系左端分别与两根桨叶用三组弹簧连接,右端 为弹性支承,其两端点的协调条件可表示为 V1 00 mω 2Y1 00 - k1yY 1 00 - U1l1 - k1yY 1 00 - U10 M1 00 - Jω 2φ1 00 kr1zφ 1 00 - φ1l1 kr2zφ 1 00 - φ20 V3 0l 3 0 k0yY 3 0l 3 0, M 3 0l 3 0 0 A1 0E0U 1′ 00 - mω 2U1 00 k1xU 1 00 - Y1l1 k2xU 1 00 - Y20 A3 0E0U 3′ 0l 3 0 - k0 xU 3 0l 3 0 15 将式7、式8、式10代入式13 式15并 写成矩阵形式 pro1 pro2 sat [C1D1C2D2C1 0 D1 0] T 0181,记 H pro1 pro2 sat 16 矩阵中各元素的值见附录 A,式16即为螺旋桨 - 轴 系自由振动的协调条件,由式16可以看出只有桨叶 和轴系响应函数中的 18 个常量系数是未知量,式16 若有非零解须满足矩阵 H 对应的行列式值等于零,即 螺旋桨 - 轴系自由振动的响应由 detH 0 控制,通 过该方程可以解出系统振动的角频率 ω,进而代入式 16可得到模态振型函数的系数。 2 算例验证与分析 2. 1 结果对比校验 为验证本文提出的螺旋桨 - 轴系简化建模方法及 振动问题解析解的正确性,在 ABAQUS 中建立用梁单 元模拟的桨叶和轴系,如图 3 所示。 它们之间连接弹 簧刚度为 k1x k2x 4 1010N/ m, k1y k2y 5 1010N/ m,kr1z kr2z5 1010N/ rad。 螺旋桨叶片采用 黄铜材料,杨氏模量 E 9. 2 1010Pa,泊松比 υ 0. 32, 密度 ρ 8 900 kg/ m3,横截面参数 b 0. 04 m,h 0. 2 m,长度 l1 l2 0. 62 m。 桨毂的质量 m 223. 68 kg,转动惯量 J 2. 98 kgm2。 轴系各跨段长度 l1 0 0. 48 m,l2 01. 8 m,l 3 01. 8 m,对应的直径分别为 d 1 0 0. 16 m,d2 00. 14 m,d 3 00. 11 m,杨氏模量 E0 2. 1 1011Pa,泊松比 υ00. 3,密度 ρ0 7 500 kg/ m3。 弹性 支承轴承的刚度分别为 k1 0 1 108N/ m,k2 0 1 108N/ m,k0y1 108N/ m,k0 x7. 66 106N/ m。 表 1 弹性螺旋桨 - 轴系前八阶模态频率Hz结果对比 Tab. 1 The first eight natural frequencies of elastic propeller-shafting 阶次12345678 FEM16.28432.79555.59256.20580.48493.875 195.630 246.990 解析解16.28932.79455.58556.20580.49393.878 195.641 247.000 误差/0.0310.0030.01300.0110.0030.0060.004 相对误差|解析解数值解| / 解析解 取有限元法模态分析结果的前八阶频率与解析结 果对比,如表 1 所示,在表 2 对比了两种方法获得的系 统典型的三阶模态振型,从表 2 可知,本文提出的方法 与有限元法的计算结果吻合较好,证明提出的螺旋 桨 - 轴系的简化建模方法及其振动响应理论解的正 确性。 2. 2 桨叶弹性对系统模态频率及振型的影响 为研究桨叶弹性对系统振动特性的影响,对图 3 中 的两叶弹性桨 -轴模型进行参数化分析,通过改变桨叶 弹性模量以模拟不同刚度的螺旋桨,比较系统的前五阶 模态频率与振型的变化,结果如图4 和表3 所示。 112第 8 期 康伟等 弹性螺旋桨 - 轴系建模及振动特性的解析方法研究 ChaoXing 表 2 桨 - 轴系统模态振型对比 Tab. 2 Comparison of mode shapes of the propeller-shafting system 模态纵向模态弯曲模态桨叶弯曲 解析法 FEM 图 3 螺旋桨 - 轴系有限元模型 Fig. 3 The finite element model of propeller-shafting system 图 4 前五阶模态频率随桨叶刚度的变化 Fig. 4 The first five natural frequencies of the system with blade stiffness changed 由图4 可知,随着桨叶刚度的增加,系统前五阶的模 态频率都逐渐增大,但是在不同的刚度范围内各阶频率 变化趋势不同,第 1 阶频率在桨叶刚度大于1010Pa后基 本不再变化,说明此时系统最低阶频率由轴系控制,第 2 第4阶模态频率在 10101012Pa 内随刚度增加而迅 速增大,表明这个范围是桨叶模态频率的敏感区域,当刚 度大于1012Pa 时各阶模态频率基本不再变化,此时最低 的五阶频率由轴系决定,桨叶基本不发生弹性变形。 当桨叶弹性过大时,螺旋桨 - 轴系的低阶模态中 只有桨叶弯曲的振型,轴系基本不发生弹性变形,可作 为刚性边界,桨叶可简化为悬臂梁模型。 当桨叶刚度 较大时,在系统的低阶模态中已经看不到桨叶的变形, 仅随轴系的振动而发生刚体位移,此时可简化为轴端 的刚性质量点。 因此在分析螺旋桨 - 轴系的振动问题 时,要结合桨叶自身弹性相对大小来评估其对系统的 影响。 实际的黄铜材料弹性模量约为 9. 2 1010Pa,由表 3 可知,此时桨叶与轴系振动同时发生,相互耦合,桨叶 弯曲变形时伴有轴系的纵向振动,而作用在螺旋桨叶 片上的宽频脉动力主要能量集中在低频段,这对螺旋 桨 - 轴系是非常不利的,在脉动力与螺旋桨弯曲模态 频率相等的频点上,会引起很大的模态力,从而导致 桨 - 轴系统强烈的振动。 2. 3 桨 -轴系统的力传递特性 在桨叶叶梢末端加载沿轴系纵向的单位简谐力, 计算轴系在两个艉轴承和推力轴承处的传递力,在此 基础上分析轴承处传递力随激励频率的变化特性,结 果如图 5 所示,曲线峰值处符号表示系统的各阶模态 频率,下标代表阶次。 图5a对比了推力轴承处纵向力与横向力的传递 特性,在 75 Hz 以下的频段,推力轴承处的纵向传递力 显著大于横向力,其中由于螺旋桨弹性与轴系纵振耦 合形成的两阶模态具有显著的放大作用,但在此后的 频段里,弹性系统的滤波效应则非常显著,纵向激励力 衰减得很快。 相反,横向力由于轴系的弯曲模态频率 众多,在各阶频率处依次形成共振峰与反共振点,且高 频段衰减不明显。 图 5b对比了推力轴承、前后艉轴承处横向力的 传递特性。 结合表 3 可知,各轴承横向传递力曲线上 的峰值频率点除了轴系的弯曲模态,还有桨叶自身的 212振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing 弯曲模态,说明桨叶弹性也会对桨 - 轴系统横向振动 产生影响。 在小于75 Hz 的低频段,不同位置处轴承的 传递力峰值有明显的差异,说明在低频段,轴系弯曲模 态的模态振型显著的决定了各轴承横向传递力幅值。 在图 5b曲线的前两个共振峰处,后艉及前艉轴承传 递的力显著大于推力轴承,但随着频率的提高,波长变 短,由于弹性波的弥散效应,各个轴承处横向力的差异 逐渐减小。 因此,如需对轴系横向振动进行控制时,则 需要在每个轴承都进行不同处理才能达到比较明显的 效果。 表 3 不同弹性的桨叶下系统模态振型 Tab. 3 Mode shape for different elasticity of propeller 阶次E 9. 2 108PaE 9. 2 1010PaE 4. 5 1011PaE 9. 2 1013Pa 1 2 3 4 5 图 5 轴承传递力变化特征 Fig. 5 Bearing tran smission force change charactelistics 312第 8 期 康伟等 弹性螺旋桨 - 轴系建模及振动特性的解析方法研究 ChaoXing 3 结 论 本文给出了一套基于 Timoshenko 梁理论的弹性螺 旋桨 - 轴系解析建模方法,将桨叶与轴系用 Timoshen- ko 梁进行建模,结合桨叶 - 轴系连接点处协调条件及 其边界条件给出系统自由振动的控制方程,利用该模 型分析探讨了桨叶弹性对系统振动特性的影响,在此 基础上分析了单位简谐激励下系统的力传递特性,得 到以下结论 1螺旋桨自身弹性会对桨 - 轴系统的模态产生 影响,柔性过大的桨叶会引起系统出现以桨叶弯曲为 主的模态,而轴系几乎不发生弹性变形,可看作桨叶的 刚性边界条件,桨 - 轴间没有耦合振动。 而刚度较大 的桨叶,在系统低阶模态中几乎看不到桨叶的弹性变 形,仅随轴系的振动作刚性移动,此时螺旋桨可简化为 附加在轴系端点的刚性质量点。 实际的弹性桨 - 轴系 统中桨叶与轴系的振动同时发生,两者相互影响,桨叶 的弯曲变形会加剧轴系的振动。 2作用于桨叶的激励引起推力轴承处的纵向传 递力由于弹性滤波在高频段快速衰减,低频段由于桨 叶弹性与轴系纵振耦合而形成的两阶模态具有显著的 放大作用,远高于横向力。 推力轴承以及前后艉轴承 处横向传递力不仅被轴系各阶弯曲模态放大,还在桨 叶的弯曲模态频率处产生共振峰,横向力峰值在低频 段对不同位置有明显的差异,高频区间由于弹性波的 弥散效应差异逐渐减小。 参 考 文 献 [ 1 ] ROSS D. 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