齿轮-轴承系统非线性振动混沌吸引子周期轨道控制_林何_2.pdf

振 动 与 冲 击 第 39 卷第 13 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol. 39 No.13 2020 基金项目 国家自然科学基金51805402;陕西省自然科学基础研究计 划项目2019JQ-851;中国纺织工业联合会科技指导性计划项目 2018128 收稿日期 2018 -11 -21 修改稿收到日期 2019 -03 -31 第一作者 林何 男,博士,讲师,1985 年生 齿轮-轴承系统非线性振动混沌吸引子周期轨道控制 林 何1, 屈文宽1, MATTHIAS Rtsch2, 王三民3 1. 西安工程大学 机电工程学院,西安 710048; 2. School of Engineering, Reutlingen University, Reutlingen 72762, Germany; 3. 西北工业大学 机电学院,西安 710072 摘 要考虑轴承支撑齿轮传动系统建立了含多间隙的系统非线性动力学模型,模型中考虑了时变啮合刚度和综 合传动误差等因素。 基于 OGY 混沌控制改进策略对高维非双曲齿轮系统实施了多周期混沌控制,采用 Newton-Raphson 迭代法搜寻了 P1、P2、P4 和 P8 等多组不稳定周期轨道Unstable Periodic Orbits,UPO不动点,求解了各 UPO 解对应的 Jacobi 矩阵特征值和局部参数敏感度矢量,结合 Poincar 截面等工具解析了混沌吸引子向 P10 周期轨道转换时的轨道间 隔及迁移特性。 在 2 000 周期步下对混沌吸引子实施了 P1、P2、P4、P8 和 P10 等多种周期组合式控制,结果表明在状态转 换阶段,尤其 30 周期步内控制参数摄动量发生激增,此后恢复稳定且保持与目标控制轨道相同周期的状态演化;多周期 轨道持续控制时周期状态越高,控制难度越大,所需参数摄动量相应增加。 研究结果在理论上有助于齿轮系统混沌响应 减振控制。 关键词 混沌吸引子;混沌控制;不稳定周期轨道;Jacobi 矩阵;组合式控制 中图分类号 TH131. 1 文献标志码 ADOI10. 13465/ j. cnki. jvs. 2020. 13. 001 Periodic orbit control of nonlinear vibration chaotic attractors of a gear-bearing system LIN He1, QU Wenkuan1, MATTHIAS Rtsch2, WANG Sanmin3 1. School of Mechanical and Electrical Engineering, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China; 2. School of Engineering, Reutlingen University, Reutlingen 72762, Germany; 3. School of Mechanical Engineering, Northwestern Polytechnic University, Xi’an 710072, China Abstract Here, nonlinear dynamic model of a gear-bearing system with multi-clearance was built considering time-varying meshing stiffness and comprehensive transmission error, etc. . Multi-period chaos control was implemented for a high-dimensional non-hyperbolic gear system based on a proposed improved OGY chaos control strategy to search fixed points of unstable periodic orbits UPOs of P1, P2, P4 and P8, etc. with Newton-Raphson iteration algorithm, solve eigenvalues of Jacobi matrix and local parametric sensitivity vectors corresponding to UPOs, and analyze orbit spacing and migration characteristics during chaotic attractors transferring into P10 periodic orbit using Poincar section, etc. tools. Multi-period combined controls of P1, P2, P4, P8 and P10 under 2 000 periodic steps were implemented for chaotic attractors. The results showed that control parameter perturbation increases significantly during state transition phase, especially, within the 30 periodic step and then recovers its stability to keep state evolution with the same period as that of the target control orbit; the higher the periodic state during multi-cycle orbital continuous control, the larger the control difficulty and the more the needed parameter perturbation increase; the results are theoretically helpful to vibration reduction control of gear-bearing systems’ chaotic responses. Key words chaotic attractors; chaos control; unstable periodic orbitsUPO; Jacobi matrix; combined control 齿轮系统是机械动力装置中应用较广泛的一类传 动机构,在航空、航天及大型舰船等重点工业领域备受 青睐[1-2]。 由于轮齿啮合和轴承支撑等结构间隙与时 变刚度的存在使得齿轮系统在啮合过程中常激发强非 线性振动,如间断跳跃、Hopf 分岔和混沌响应等,造成 齿轮动载恶化与高频噪音。 为降低齿轮传动中无规则 混沌振动,郜志英等[3]运用分频采样技术解析了直齿 轮强非线性系统窗口共存层次结构问题,观察到主倍 周期分岔与混沌带合并序列等相应普适规律。 李以农 ChaoXing 等[4]提出次级通道在线辨识反馈 FxLMS 算法,借助压 电作动器对齿轮系统实施主动控制降低了系统实际振 动与噪声。 Kengne 等[5]详细分析了 Duffing-Holmes 型 混沌振子,揭示了多吸引子共存参数域与混沌危机路 径。 实际中,基于固有参数调整等手段在一定范围内 可规避齿轮系统潜在的混沌,但当混沌已存在时被动 式的控制便失去了效用。 为此,Grebogi 等[6-8]结合非线 性理论与混沌控制思想开展了齿轮振动混沌行为控制 研究。 Saghafi 等[9]在 Melnikov 法基础上提出外部激励 式消除齿轮系统混沌响应的控制策略,并进一步通过 同宿分岔混沌控制验证了其有效性。 Farshidianfar 等[10]针对典型时变刚度齿轮系统考虑了参数多激励因 素,并利用数值模拟预测出混沌发生时的控制参数阀 值域。 基于 OGY 混沌控制原理,Gritli 等[11]对半被动 式双足动力系统实施混沌控制,借助 Floquet 乘子和 Poincar 截面等工具产生了环面分岔与间断性倍周期 分岔。 齿轮系统 OGY 法混沌控制是对系统混沌响应进 行特定周期轨道稳定驱动,迫使混沌吸引子迁移至预 设的目标轨道上消除振动内在紊乱状态[12-13]。 混沌吸 引子的各态遍历性Ergodicity是确保控制对象收敛至 内嵌目标轨道上的前提[14-15]。 多维齿轮动力系统控制 时,首先需找到混沌吸引子骨架上蕴藏的不稳定周期 轨道UPO,但在对系统 Jacobi 矩阵特征值求解时发 现其特征值谱极易产生复共轭特征值致使部分轨道不 动点发生不稳定维数变异,造成微域摄动值始终为零, 控制失效。 鉴于混沌响应的普遍非双曲性,本文基于 改进混沌控制策略,重构特征子空间与混沌控制条件 实现长周期轨道持续稳定控制,主要对吸引子状态切 换迁移和参数微扰摄动规律进行了研究。 1 齿轮-轴承系统强非线性模型 忽略摩擦力和轴向振动,各齿轮视为标准渐开线 圆柱直齿轮,由集中质量法建立含多间隙的 3 自由度 齿轮-轴承系统非线性动力学模型图 1。 图 1 齿轮-轴承系统含间隙振动模型 Fig. 1 Dynamic model of gear-bearing system with backlashes 图 1 中,ki,cii 1,2表示齿轮 i 滚子轴承的支撑 刚度和阻尼;k0t、c0和 b0分别为啮合副处时变刚度、 阻尼和齿侧间隙,k0t由 Fourier 谐波级数展开描述 k0t km∑ ∞ i 1 k′ 0cosiωt φ′, km表示平均啮合 刚度值,k′ 0cosiωt φ′为谐波分量,φ′为相位角; e0t表示综合传动误差,而 k0t和 e0t均为齿频的 简谐函数。 x1、x2分别为齿轮 1、2 在轴承支撑方向上 的位移;x3t 表示齿轮传动的传递误差,x3t r1θ1- r2θ2 - x1- x2 - e0t,rii 1,2表示基圆 半径;θii 1,2表示齿轮传动转角位移。 F1和 F2分 别为主从动齿轮滚子轴承上的外径向预载荷;T1表示 输入扭矩;T2表示输出扭矩。 根据牛顿第二定律建立振动平衡方程,得到系统 动力学微分方程为 m1x 1 - k1fx1 - c1x 1 k0fx3 c0 x 3t - F1 m2x 2 - k2fx2 - c2x 2 - k0fx3 - c0 x 3t F2 M0[x 3 x 1 - x 2 e 0t] - k0fx3 - c0 x 3t Fm 1 式中m1、m2分别表示齿轮1、2 的质量;M0为啮合副等 效质量;Fm T1/ r1 T2/ r2,Fm为轮齿传递的静态啮 合力。 为确保数值计算收敛性,对式1进行量纲一化处 理,得到二阶微分方程矩阵形式如下 100 010 1- 11 X 1 X 2 X 3 c1 m1ωn 0- c0 m1ωn 0 c2 m2ωn c0 m2ωn 00 c0 M0ωn X 1 X 2 X 3 k1 m1ω2 n 0- k0 m1ω2 n 0 k2 m2ω2 n k0 m2ω2 n 00 k0 M0ω2 n fX1 fX2 fX3 - F1 m1ω2 nbc F2 m2ω2 nbc Fm M0ω2 nbc Eτ 2 式中Xii 1,2,3表示量刚一位移;Eτ为量刚一综 合传动误差,Eτ Eω2sinωt φ,E 为误差幅值,ω 为啮合频率,φ 为初始相位角,令 φ 0。 同时,可对式 2实施简化,相应系数变量如下 ξ11 c1/ m1ωn, ξ13 - c0/ m1ωn, ξ22 c2/ m2ωn, ξ23 c0/ m2ωn, ξ33 c0/ M0ωn; 2振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing k11 k1/ m1ω2 n, k13 - k0/ m1ω2 n, k22 k2/ m2ω2 n, k23 k0/ m2ω2 n, k33 k0/ M0ω2 n 假定轴承径向间隙值分别为 2b1和 2b2、齿轮副齿 侧间隙值为 2b0,引入位移标称尺度 bc,bc为一常值 10 -6 m,间隙形成的分段非线性力-位移函数为 fXi Xi- bi/ bc Xi bi/ bc 0 - bi/ bc≤ Xi≤ bi/ bc Xi bi/ bc Xi - bi/ bc i 0,1,2 3 间隙构成的非线性力-位移函数如图 2 所示。 图 2 间隙形成的非线性函数 Fig. 2 Nonlinear function generated by backlash 量纲一化前后式1、式2中振动位移、速度和 加速度间存在如下变换关系 xt bcXτ x t dxt dt dxt dτ dτ dt dbcXτ dτ dtωn dt bcωnX τ x t dx t dt dx t dτ dτ dt dbcωnX τ dτ dτ dt bcω2 nX τ 式中τ ωnt;ωn为时间标称尺度。 2 OGY 控制改进策略 在状态空间中,3 自由度齿轮-轴承系统表现为具 有周期激励的微分方程组,其不稳定周期轨道点对应 于频闪映射的不动点,在频闪映射建模时可将其描述 为离散动力系统形式 Xn1 fXn,μ Xn∈ RN4 式中f 表示映射关系;μ∈R 为具备可控性的参数对 象;Xn为状态变量。 在一定范围内,OGY 混沌控制类似于极点配置,其 不动点位置对应于控制器极点。 当齿轮振动非线性混 沌吸引子轨道点 Xn靠近不动点 xF且满足 - Δμmax μn- μ0 Δμmax时,对不动点处参数 μ0实施摄动,使后 续迭代沿着稳定流形方向Jacobi 矩阵特征值 λ1的分量实现稳定,如 图 3 所示。 图 3 不动点混沌控制原理 Fig. 3 Control principles of chaos at saddle point 当吸引子接近于目标周期轨道不动点时,相对于 原始参考混沌态,摄动操作始终围绕在控制参数名义 值 μ0附近,给定 μ0微小摄动量,其摄动域 δμ 为 - Δμmax δμ Δμmax5 式中Δμmax为控制中允许的最大扰动幅值,为一定常 数, μn- μ0 Δμmax { 6 基于式5、6,当 μ μ0时,吸引子运行至第 n 步状态,调整 μn μ0 Δμn,结合式4,借助频闪映射 将非自治周期激励齿轮动力系统转变为离散动力系 统,在不动点微小领域内实施线性化映射,具体操作为 Xn1 fXn,μn fXn,μn ≈ fXfμn,μn JXfμnXn- Xfμn 7 式中,J 为状态方程在频闪截面上的交点 Xfμn处的 雅克比矩阵,数值求解式7,得到 μ0点线性化近似后 吸引子运行轨迹,为 Xn1- Xfμ0 gΔμn JXfμ0Xn- Xfμ0 - gΔμn8 式中g ∂Xf ∂μ μ μ0;JXfμn ∂f ∂X Xfμn 式8中 Jacobi 矩阵 J 的特征值 λ 揭示了吸引子 轨道在 Xn 1点发生维数变异与否。 当 λ1 时系统位于不稳定流形方向上,存在特 征向量 eu。 同时,为避免数值误差累积每迭代步都将 重新求解雅克比矩阵。 高周期不动点下,若稳定维数发生变异,即 Jacobi 矩阵特征值为复共轭特征值时,产生非双曲周期轨道。 微分流形理论指出,若映射 f1xD →x D 为一线性微分同 胚,那么相空间 xD可分解为 xD Ξs⊕ Ξu⊕ Ξc9 式中Ξs、Ξu和 Ξc分别为在映射 f1作用下生成的稳 3第 13 期林何等 齿轮-轴承系统非线性振动混沌吸引子周期轨道控制 ChaoXing 定特征子空间、不稳定特征子空间和中心特征子空间; s、u 和 c 分别对应特征子空间的维数。 经 m 步演化后当吸引子轨迹 Xn至不动点领域范 围 Xm nμ时,若使 Ξ⊥ s Xm nXn - Xm nμ 0 10 上述式10成立,则 Xn将被驱动至 Xm n 局部稳定 流形上,最终实现不动点 Xm n 上的稳定;其中,Ξ⊥ s Xm n 为 ΞsXm n对应的正交补空间。 3 混沌吸引子控制 已知系统主要参数如下齿数 z125,z225,模数 m 3 mm,齿侧间隙为 0. 01 mm,轴承径向间隙为 0. 01 mm;其它量刚一参数为啮合频率 ω 1. 4,外径向预载 荷名义值 F1 0. 1,ξ13 0. 012 5,ξ23 0. 012 5,ξ33 0. 05;k111. 25,k221. 25。 3. 1 UPO 不动点搜寻 寻找不稳定周期轨道不动点时,给定初始状态为 X0 0,0,0,0,0,0 T,初始雅克比矩阵值 J diag1, 1,1,1,1,1,假定迭代步超过 30 次视为本次搜索未求 解出不动点,转入下次循环。 针对不同周期状态设定 的总寻找次数为 N 10 P,P 对应于吸引子周期状态, 每迭代步都对 Poincar 截面上的映射点进行评估。 为 保证参数摄动控制下准确地将吸引子驱动到目标轨道 上,在 UPO-ii 1,2,4,8不动点求解时,设置 10 -4量 级的数值精度。 由 Newton-Raphson 迭代法求解提取到 的部分 1 周期、2 周期和 4 周期不稳定周期解不动点 如下 UPO-1 -0. 072 3, -0. 015 3, 0. 072 3, 0. 015 3, 0. 863 9, -0. 114 7 UPO-2 -0. 073 9, -0. 045 8, 0. 073 9, 0. 045 8, 0. 837 5, 0. 074 9 -0. 064 3, 0. 064 7, 0. 064 3, -0. 064 7, 0. 800 1, -0. 149 3 UPO-4 -0. 063 7, -0. 036 6, 0. 063 7, 0. 036 6, 0. 770 8, 0. 087 0 -0. 079 4, 0. 057 9, 0. 079 4, -0. 057 9, 0. 852 3, -0. 124 6 -0. 083 2, -0. 051 5, 0. 083 2, 0. 051 5, 0. 903 8, 0. 026 5 -0. 051 8, 0. 055 3, 0. 051 8, -0. 055 3, 0. 758 9, -0. 176 9 各 UPO 不动点对应的局部 Jacobi 矩阵特征值 λ和 参数敏感度矢量 B 分别为 UPO-1 λ1 [ -1. 425 6, 0. 300 6 0. 953 7i, 0. 300 6 - 0. 953 7i, 0. 677 0 0. 450 4i, 0. 677 0 -0. 450 4i, -0. 541 1] 局部参数摄动矢量 B1 B1 [ -0. 647 3, 0. 519 5, 0. 087 8, 0. 333 5, 1. 596 4, 0. 619 5] T UPO-2 λ2 [ -1. 299 5, -0. 633 3, 0. 300 6 0. 953 7i, 0. 300 6 -0. 953 7i, 0. 896 5, 0. 691 3] 局部参数摄动矢量 B2 B2 [ -0. 703 0, 0. 564 4,0. 143 5, 0. 288 6, 1. 496 8, 0. 677 0] T UPO-4 λ4 [1. 000 0, 0. 637 2, 0. 300 6 0. 953 7i, 0. 300 6 -0. 953 7i, 0. 259 3 0. 856 3i, 0. 259 3 -0. 856 3i] 局部参数摄动矢量 B4 B4 [ -0. 584 1, 0. 810 4, 0. 024 6, 0. 042 7, -0. 255 9, 0. 793 3] T 3. 2 10 周期轨道控制 确定外部可控参数为径向预载荷 F1,微扰摄动域 Δμmax为 0. 05。 首先求解原始混沌吸引子运行形态图 4和 Poincar 截面映射解域图 5,施加控制后,从第 1 000 步 3 000 步范围内吸引子被驱动在了 P10 轨道 上图 6,故图 7 中 10 个映射点的量纲一位移值分别 为 -0. 025 95、 - 0. 068 81、 - 0. 066 79、 - 0. 096 24、 -0. 06、 - 0. 088 05、 - 0. 096 44、 - 0. 071 53、 -0. 045 51和 -0. 036 11。 其中在 -0. 096 位置出现上 下两点遮挡现象,是因为高周期下吸引子轨迹缠绕复 杂,相邻轨线处无限靠近的趋势显著增大。 捕捉区 Poincar 截面上点 a 和点 b 的速度值分别为 0. 022 26 和 -0. 029 59,速度方向相反,二者对应的位移值分别 为 -0. 096 4 和 -0. 096 2,可见位移值非常接近以至于 图 6 中位移在 -0. 096 处两条轨线近似重叠,造成轨道 减少假象,Poincar截面上的速度从侧面揭示了系统振 图 4 混沌吸引子无摄动下的运动状态 Fig. 4 Motion of chaotic attractor without controlling 4振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing 图 5 混沌吸引子 Poincar 截面映射 Fig. 5 Poincar section map of chaotic attractor 图 6 混沌吸引子 P10 轨道稳定控制 Fig. 6 P10 trajectory stabilization of chaotic attractor 图 7 P10 吸引子 Poincar 截面映射 Fig. 7 Poincar section map of P10 attractor 动状态及控制效果。 3. 3 状态转换迁移 图 8 给出了 P10 轨道控制过程中在时间域上的位 移迭代演化,状态切换点分别发生于 1 000 步和 3 000 步位置。 控制开始后系统并非立即进入预期的周期轨 道上,而是维持原有状态持续一小段时间后才逐渐转 入周期态,持续时间长短与摄动域以及选定的不稳定 周期轨道不动点直接相关。 在状态转换期间 400 步内 观察,控制实施后从混沌运动到达稳态 P10 轨道的响 应时间较长,约 171 步;但参数摄动停止后,10 周期吸 引子快速失稳偏离控制轨道,仅经历 4 个周期步即恢 复为混沌,这是由于吸引子对初始条件和参数摄动具 有指数量级的敏感特性,导致轨道失稳异常灵敏。 两 次转换的过渡时间并不相同,前者更耗时,即将混沌吸 引子稳定到周期态所需时间更长,且参数的摄动也更 具持久性;一旦摄动停止系统仍将偏离已稳定的目标 轨道且快速跳转至混沌上。 a 混沌→10 周期 b 10 周期→混沌 图 8 混沌与 10 周期轨道控制过渡 Fig. 8 Transition between chaos and P10 trajectory 3. 4 控制参数摄动 为了将已知的混沌吸引子控制到不同的目标周期 轨道上,实施两组不同目标轨道下 3 段短程周期态控 制图 9。 第一组目标轨道分别为 UPO-1、UPO-2 和 UPO-4,第二组目标轨道分别为 UPO-1、UPO-8 和 UPO- 10,二者均从初始态 X0 0,0,0,0,0,0 T开始演化, a P1、P2、P4 轨道控制 b P1、P8、P10 轨道控制 图 9 混沌吸引子多周期持续稳定化控制 Fig. 9 Multi-stage periodic trajectories stabilization of chaotic attractor 5第 13 期林何等 齿轮-轴承系统非线性振动混沌吸引子周期轨道控制 ChaoXing 每一状态下给定 2 000 周期步长。 结果发现在每次状 态起始位置,如 P2、P4 以及 P8、P10 切换点均出现混沌 瞬态、短暂失稳现象,由于各目标吸引子的初始条件均 以第一阶段混沌在 2 000 步结束时的状态为基准开始 演化而导致。 同时可见吸引子一旦被稳定,其相轨迹 将在参数摄动下维持于目标轨道上。 图 10 中对第一组 UPO-1、UPO-2 和 UPO-4 进行分 析,取 100 步迭代观察,图 10b中的点划线表示对混 沌的控制尚未触发,从混沌到 UPO-1 的过程中,参数的 摄动是从 2 008 步开始的,摄动量 Δμ 仅为 0. 002 9,持 续到 2 027 周期步后摄动量近乎为 0,系统维持在 P1 状态,期间摄动激励共 20 步。 此外,同一周期内运动 步的摄动值并不相同,摄动值是依据系统状态自适应 动态调整的,进入 P1 态后,系统形态简单且稳定故此 后续时间步摄动量近乎为 0。 图 10c和d中从 P2 到 P4 的迁移过渡经历了短暂失稳后跃迁至 P4 轨道 上,过渡期间约从 6 000 步 6 030 步,此时产生混沌紊 乱现象,最大映射点位移波动幅值为 0. 08,稳定至 P4 周期 后 波 动 幅 值 约 为 0. 03, 而 参 数 摄 动 量 增 至 0. 000 2,过渡过程虽短暂却不利于系统的稳定。 可以 看出周期状态越高、相轨迹越复杂则越难被控制,过渡 阶段持续就越长,P10 轨道是此次控制所能达到的最高 周期态。 在持续多周期阶段组合控制时,转换点更易 出现短暂混沌瞬态,随着迭代步数的推进和向目标轨 道的逼近,瞬态最终将收敛至周期轨道上。 a 混沌→1 周期 b 混沌→1 周期 c 2 周期→4 周期 d 2 周期→4 周期 图 10 P1、P2、P4 轨道稳定过渡区控制 Fig. 10 Stabilization transition of P1, P2 and P4 trajectories 4 结 论 针对多间隙齿轮系统非线性混沌吸引子周期轨道 控制,基于 OGY 混沌控制改进策略实现了参数微扰摄 动控制,得到主要结论如下 1 构建了齿轮系统混沌控制条件,求解了局部 Jacobi 矩阵特征值和参数敏感度矢量,基于频闪映射 Poincar 截面搜寻到了 UPO-1、UPO-2、UPO-4 和 UPO-8 等多组不稳定周期轨道不动点。 2 在 2 000 周期步范围实施了独立 10 周期和多 周期持续迁转的组合式控制,解析出了 10 周期轨道控 制中部分异常接近的轨线;基于单参数轴承预载荷摄 动将同一混沌吸引子连续驱动稳定在 P1、P2、P4、P8 和 P10 等多种形态周期轨道上。 3 在周期状态转换阶段,通常 30 周期步内控制 参数摄动量发生激增;轨道趋于稳定后,参数摄动量保 持与目标周期轨道相同周期的状态演化;且目标周期 轨道状态越高,控制难度越大,参数摄动量也相应 增加。 参 考 文 献 [ 1] ERITENEL T, PARKER R G. 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