基于弹性力学的裂缝梁自由振动分析_赵佳雷.pdf

书书书  振动与冲击 第 39 卷第 12 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．39 No．12 2020 基金项目国家自然科学基金 51778288 ; 江苏省交通厅重大专项课题 2014Y01 收稿日期2018 －12 －12修改稿收到日期2019 －03 －06 第一作者 赵佳雷 男， 硕士生， 1995 年生 通信作者 胡朝斌 男， 讲师， 1966 年生 基于弹性力学的裂缝梁自由振动分析 赵佳雷，周叮，张建东，胡朝斌 南京工业大学土木工程学院， 南京 211816 摘要基于弹性力学平面应力理论， 采用 Chebyshev- Ritz 法分析裂缝梁的自由振动特性。将梁分成三个子梁， 取 边界函数与 Chebyshev 多项式的乘积作为每个子梁的位移试函数， 保证解的快速收敛性， 并使该方法适用于不同的几何 边界条件。用里兹法列出每个子梁的振动特征方程， 并根据各子梁在界面上的位移连续性条件得到整个裂缝梁的振动特 征方程。计算结果与文献数据和有限元分析吻合很好。最后分析了裂缝深度和梁的高跨比对动力特性的影响。 关键词平面应力理论; Chebyshev- Ritz 法; 裂缝梁; 频率和振型 中图分类号TH212; TH213． 3文献标志码ADOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2020． 12． 011 Free vibration of a beam with a crack based on elasticity ZHAO Jialei，ZHOU Ding，ZHANG Jiandong，HU Chaobin College of Civil Engineering，Nanjing Tech University，Nanjing 211816，China Abstract Free vibration characteristics of a beam with a crack were presented using the Chebyshev- Ritz in this paper． The analysis procedure was based on the plane stress theory of elasticity． In the analysis，the cracked beam was divided into three sub- beams． The product of boundary function and Chebyshev polynomials was taken as the admissible functions of the displacement functions． This ensures the fast convergence of the solution and makes the suitable for different geometric boundary conditions． The eigenvalue equations of each sub- beam can be established using the Ritz ． The vibration characteristic equation of the whole cracked beam was obtained by the displacement continuity condition of each sub- beam at the joint． The results are consistent with that of in literature and the finite element analysis，and it verified the accuracy of the in this paper． Finally，the effects of the structural parameters such as height- span ratio，crack depth on non- dimensional natural frequencies and mode shapes were pered． Key wordsplane stress theory;Chebyshev- Ritz ;cracked beam;frequency and mode shape 在土木和机械等工程的实际应用中， 许多梁式构 件在复杂的受力环境中或者由于其自身的缺陷而产生 裂缝。当构件出现裂缝时， 其局部刚度减小， 动力特性 会受到影响。Christides 等 ［1 －2 ］提出了一种一致裂缝梁 理论， 用经验函数来修正裂缝引起的应力场变化， 但函 数必须通过实验获取。Chondros 等 ［3 ］用无质量转动弹 簧来模拟裂缝， 用局部柔度法来确定自由振动的频率 和振型。Barad 等 ［4 ］参考这种模型， 忽略了剪切变形， 计算了裂缝悬臂梁的频率。邓昊等 ［5 ］将该方法拓展到 铁木辛柯梁， 并计算了不同边界条件下裂缝梁的固有 频率。包日东等 ［6 ］推导了裂纹管道的模态系数和局部 柔度系数， 研究了输流管道的非线性动力学特征。金 超超等 ［7 ］用弹簧模拟了环向表面裂缝， 对含环向表面 裂纹有限长充液圆柱壳的耦合振动特性进行了研究。 翁丰壕等 ［8 ］将该理论和实验相结合， 进一步分析了裂 缝对各阶固有频率和振型影响不一的情况。Swamidas 等 ［9 －10 ］将能量法应用于裂缝梁的振动问题， 但是依然 需要引入经验公式来进行求解。Yashar 等 ［11 ］在其裂缝 梁的能量法应用中， 依然需要将裂缝假设为无质量弹 簧。马辉等 ［12 －13 ］基于 ANSYS 软件建立了带有单边裂 缝的悬臂梁有限元模型， 并分析了振动响应。李兆军 等 ［14 ］将能量法结合有限元位移模式， 提出了一种裂缝 梁动力学模型。王迪等 ［15 ］采用能量有限元法对带有裂 缝的平板和耦合板结构的振动特性进行分析， 并验证 了能量有限元法的准确性。但是该方法需要将梁或板 划分为许多个单元才能保证精度， 基于该方法所编制 的程序运算量相对较大。 ChaoXing 本文基于弹性力学平面应力理论， 用能量法分析 带裂缝的固支梁、 悬臂梁和简支梁的自由振动， 无需假 设模型和引入经验公式。只需将梁划分为三个子梁， 用 Chebyshev- Ritz 法 ［16 －17 ］建立每个子梁的振动特征方 程， 并根据三个子梁的位移连续性条件得到整个裂缝 梁的振动特征方程。求解该方程得到裂缝梁的频率参 数和模态系数。 1裂缝梁的振动分析 1． 1研究模型和动力学公式 实际工程中， 若承载梁的抗弯强度不足， 其下表面 会出现沿梁横截面扩展的裂纹， 如运送货物的桥式或 门式起重机的主梁等。为便于研究， 假设裂缝的侧面 光滑且与梁的轴线垂直， 裂纹深度沿梁的宽度方向不 发生变化。本文只研究裂纹梁作微幅自由振动时的固 有振动特性， 假设梁自由振动时裂纹始终处于开口状 态 忽略裂纹尖端附近小区域闭合的影响， 对于承受 较大载荷的梁， 其裂缝下端确不易闭合 ， 不涉及裂 纹张开闭合交替的动力响应问题。考虑如图 1 所 示的裂缝梁， 该梁长为 a1， 高为 h， 宽为 b。裂缝到梁 两端的距离分别为 a2和 a3。裂缝尖端到梁上表面 的距离为 h1， 裂缝的深度为 h2。材料的密度为 ρ， 泊 松比为 v， 弹性模量为 E。将梁分为三个子梁， 并建 立三个局部坐标系。 图 1裂缝梁的分析模型 Fig． 1Analytical model of the cracked beam 每个子梁的线弹性应变能表示为 Vq 1 2∫ a q 2 － aq 2∫ h q 2 － hq 2 σ q xε q x σ q zε q z τ q xzγ q xz bdxdz 1 式中σqx和 σqz分别为第 q 个子梁在 x 和 z 方向上的正 应力， τqxz为切应力， εqx和 εqz分别为在 x 和 z 方向的正应 变， γqxz为切应变， 其中 q 1， 2， 3，h3 h2。 平面应力理论中的应力 － 应变关系 σqx E 1 － v2 ［ ε x vεz］ σqz E 1 － v2［ vε x ε z］ τqxz E 2 1 v γqx          z 2 将式 2 代入式 1 得 Vq bE 2 1 － v2∫ a q 2 － aq 2∫ h q 2 － hq 2 ［ εqxx 2 εqzz 2］ 2vεq xxε q zz 1 － v 2 τ q xz 2dxdz 3 式中εqxx u q x ，ε q zz w q z ，τ q xz u q z w q x ，uq和 wq分 别为第 q 个子梁在 x 和 z 方向上的位移分量。 第 q 个子梁的动能 Tq为 Tq ρb 2∫ a q 2 － aq 2∫ h q 2 － hq 2 u q  t 2 w q  t [] 2 dxdz 4 将 x， z 坐标无量纲化 ξq 2x/aq ，ζ q 2z/hq 5 1． 2梁的位移函数 第 q 个子梁的自由振动的位移函数分量表示为 uq ξ， ζq， t Uq ξ， ζq ejωt wq ξ， ζq， t Wq ξ， ζq e jω { t 6 式中t 为时间， j 为单位虚数， ω 为裂缝梁的圆频率， Uq和 Wq分别为第 q 个子梁在 x 和 z 方向的振幅函数。 将式 6 代入式 4 和 3 中， 可得第 q 个子梁应变能 和动能的最大值分别为 Vq max bE 2λ q 1 － v 2∫ 1 －1∫ 1 －1 λq U q ξ q 2 W q ζ q [] 2 2vλ q U q ξq W q ζq 1 － v 2 U q ζq λ q W q ξ q 2 dξ q dζ q 7 式中λq hq/aq。 Tq max ρba qhqω 2 8 ∫ 1 －1∫ 1 －1［ Uq 2 Wq 2］ dξ q dζ q 8 用切比雪夫多项式和边界函数的乘积构造振幅 函数 Uq ξ q ， ζ q qu ξ q φ q u ζ q∑ Iq i 1 ∑ Jq j 1 Aq ijPi ξ q Pj ζ q Wq ξ q ， ζ q qu ξ q φ q w ζ q∑ Lq l 1 ∑ Mq m 1 Bq lmPl ξ q Pm ζ q          9 Ps x cos［ s － 1 arccos x ］ ， s 1， 2， 3， 10 考虑如图 2 所示的带裂缝的固支梁、 简支梁和悬 臂梁。 97第 12 期赵佳雷等基于弹性力学的裂缝梁自由振动分析 ChaoXing 图 2带裂缝的固支梁、 简支梁和悬臂梁 Fig． 2The fixed beam，the simply- supported beam and the cantilevered beam with a crack 固支梁的三个子梁的边界函数为 1u ξ 1  1 w ξ 1 1 － ξ 2 1 ， φ 1 u ζ 1 φ 1 w ζ 1 1 2u ξ 2  2 w ξ 2 1 ξ2 ， φ 2 u ζ 2 φ 2 w ζ 2 1 3u ξ 3  3 w ξ 3 1 － ξ3 ， φ 3 u ζ 3 φ 3 w ζ 3 { 1 11 简支梁的三个子梁的边界函数为 1u ξ 1 1，  1 w ξ 1 1－ξ 2 1 ， φ 1 u ζ 1 φ 1 w ζ 1 1 2u ξ 2 1，  2 w ξ 2 1ξ2 ， φ 2 u ζ 2 φ 2 w ζ 2 1 3u ξ 3 1，  3 w ξ 3 1－ξ3 ， φ 3 u ζ 3 φ 3 w ζ 3 { 1 12 悬臂梁的三个子梁的边界函数为 1u ξ 1  1 w ξ 1 1 － ξ 2 1 ， φ 1 u ζ 1 φ 1 w ζ 1 1 2u ξ 2  2 w ξ 2 1 ξ2 ， φ 2 u ζ 2 φ 2 w ζ 2 1 3u ξ 3  3 w ξ 3 φ 3 u ζ 3 φ 3 w ζ 3 { 1 13 1． 3梁的特征方程 由瑞利 － 里兹法， 得  Vq max － Tq max A q ij 0，  Vq max － Tq max B q lm 0 14 将式 7 和 8 代入式 14 可以得到第 q 个子梁 的特征方程 ［ Kq］－ Ω2［ Mq］ { Xq} 0 15 式中， ［ Kq］ ［ Kuuq］ ［ Kuwq］ ［ Kwuq］ ［ Kwwq ］ ， ［ Mq］ aqhq hL ［ Muuq］［ 0］ ［ 0］［ Mwwq ］ ， Ω ωρ 槡hL/E， { Xq} { { Aq} { Bq} } T 16 式中 ［ Kq］ 和［ Mq］ 分别是第 q 个子梁的刚度矩阵和质 量矩阵;{ Aq} ， { Bq} 是第 q 个子梁特征方程中未知系 数组成的列向量。 { Aq} { Aq 11 Aq 12 Aq 1Jq Aq 21 Aq IqJq} T， { Bq} { Bq 11 Bq 12 Bq 1Jq Bq 21 Bq IqJq} T 17 式中， Kuuq λqD 11q uiui －G00q ujuj － 1 － v 2λ q D 00q uiui －G11q ujuj －， Kuwq vD10q uiwlG 01q ujwm 1 － v 2 D01q uiwlG 10q ujwm， Kwwq 1 － v 2 λqD 11q wlwl －G00q wmwm － 1 λqD 00q wlwl －G11q wmwm －， Muuq 1 － v2 4 D 00q uiui －G00q ujuj －， Mwwq 1 － v2 4 D 00q wlwl －G00q wmwm － 18 式中， Dss －q αδβθ ∫ 1 －1 ds ［  q α ξ Pδ ξ ］ dξ s d s － ［  q β ξ Pθ ξ ］ dξ s{} － dξ Gss －q αδβθ ∫ 1 －1 ds［ f q α ζ q Pδ ζ q ］ dζ s q d s －［ f q β ζ q Pθ ζ q ］ dζ s － {} q dζ q s， s － 0， 1; α， β u， w; θ i －， j－， l－， m－; δ i， j， l， m 19 合并三个子梁的特征方程， 得到整个裂缝梁的特 征方程为 ［ K］－ Ω2［ M］ { X} { 0} 20 式中， ［ K］ ［ K1］00 0［ K2］0 00［ K3         ］ ， ［ M］ ［ M1］00 0［ M2］0 00［ M3         ］ ， { X} { { X1} { X2} { X3} } T 21 考虑三个子梁在交界处的位移连续性条件， 即 U1 ξ 1，－ 1 U2 ξ 2， 1 ，－ 1≤ξ1＜2 a2 a1 － 1 W1 ξ 1，－ 1 W2 ξ 2， 1 ，－ 1≤ξ1＜2 a2 a1 － 1 U1 ξ 1，－ 1 U3 ξ 3， 1 ， 2 a2 a1 － 1 ≤ ξ1 ≤ 1 W1 ξ 1，－ 1 W3 ξ 3， 1 ， 2 a2 a1 － 1 ≤ ξ1≤            1 22 ξ1 ， ξ 2 ， ξ 3满足条件 ξ2 a1 a 2 ξ1 a1 a2 － 1 ，－ 1 ≤ ξ1＜ 2 a2 a1 － 1 ξ3 a1 a 3 ξ1－ a1 a3 － 1 ， 2 a2 a1 － 1 ≤ ξ1≤        1 23 考虑切比雪夫多项式的性质 Pc 1 1， Pc － 1 － 1 c－1 ∫ 1 －1 Ps ξ Pt ξ 1 － ξ 槡 2 dξ 0， s ≠ t π 2 ，s t ≠ 1 π，s t { 1 24 08振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 将式 23 代入式 22 ， 四个等式两边分别同时乘以 PI ξ 2 I 1， 2， 3， ， I2 ， PL ξ 2 L 1， 2， 3， ， L2 ， PI ξ 3 I 1， 2， 3， ， I3 ， PL ξ 3 L 1， 2， 3， ， L3 ， 并 将式 24 代入， 在区间－1， 1 对 ξ2和 ξ3积分得 π∑ J2 j 1 A2 ij ∑ I1 i － 1 ∑ J1 j 1 A1i－j － 1 j－1f ii －，i 1， π 2 ∑ J2 j 1 A2 ij ∑ I1 i － 1 ∑ J1 j 1 A1i－j － 1 j－1f ii －，i 2， 3， ， I2， π∑ M2 m 1 B2 lm ∑ L1 l － 1 ∑ M1 m 1 B1l－m － 1 m－1F ll －，l 1， π 2 ∑ M2 m 1 B2 lm ∑ L1 l － 1 ∑ M1 m 1 B1l－m － 1 m－1F ll －，l 2， 3， ， L2， π∑ J3 j 1 A3 ij ∑ I1 i － 1 ∑ J1 j 1 A1i－j － 1 j－1g ii －，i 1， π 2 ∑ J3 j 1 A3 ij ∑ I1 i － 1 ∑ J1 j 1 A1i－j － 1 j－1g ii －，i 2， 3， ， I3， π∑ M3 m 1 B3 lm ∑ L1 l － 1 ∑ M1 m 1 B1l－m － 1 m－1G ll －，l 1， π 2 ∑ M3 m 1 B3 lm∑ L1 l － 1 ∑ M1 m 1 B1l－m － 1 m－1G ll －，l 2， 3， ， L3 25 其中， 对固支梁， fst Fst∫ 1 －1 2k － ξ2－ 1 k21 － ξ 槡 2 2 Ps ξ2－ k － 1 [] k Pt ξ 2 dξ 2， gst Gst ∫ 1 －1 2k ξ3－ 1 k21 － ξ 槡 2 3 Ps ξ3 k － 1 [] k Pt ξ 3 dξ 3 26 对简支梁 fst∫ 1 －1 1 1 － ξ 槡 2 2 Ps ξ2－ k － 1 [] k Pt ξ 2 dξ 2， Fst∫ 1 －1 2k － ξ2－ 1 k21 － ξ 槡 2 2 Ps ξ2－ k － 1 [] k Pt ξ 2 dξ 2， gst∫ 1 －1 1 1 － ξ 槡 2 3 Ps ξ3 k － 1 [] k Pt ξ 3 dξ 3， Gst∫ 1 －1 2k ξ3－ 1 k21 － ξ 槡 2 3 Ps ξ3 k － 1 [] k Pt ξ 3 dξ 3 27 对悬臂梁 fst Fst∫ 1 －1 1 k1 － ξ 槡 2 2 Ps ξ2－ k － 1 [] k Pt ξ 2 dξ 2， gst Gst ∫ 1 －1 2k ξ3－ 1 k1 － ξ 槡 2 3 Ps ξ3 k － 1 [] k Pt ξ 3 dξ 3 28 式中s i， l;t i － ，l － ;k a1 a2 ;k a1 a3 。 由上式可知， 式 21 系数矩阵［ X］ 中的系数是线性 相关的。由式 25 可得矩阵［ S］ ， 使系数矩阵满足下式 { X} ［ S］ { X } 29 将式 29 代入式 20 得 式中，［ K ］［ S］ T［ K ］ ［ S］ ，［ M］［ S］ T［ M ］ ［ S］ ， ［ K ］ 和［ M］ 分别是裂缝梁的刚度矩阵和质量矩阵，Ω 和{ X } 分别是裂缝梁的频率参数和模态系数。 2特征频率的收敛性和比较研究 考虑裂缝分别出现距离端部1/5、 2/5 和1/2 处的固 支裂缝梁， 取高跨比 h/a1 0． 1， 裂缝深度与梁高度比 h2/h 0．2。为了程序计算的简便， 对每个子梁的振幅函 数 U、 W 取相同的级数项。表 1 给出了裂缝在不同位置 处 a2/a10．2， 0．4， 0．5 ， 固支裂缝梁无量纲频率参数 Ω 的收敛性。由表可知， 取 m n 40 20 时， 可以保证 前八阶无量纲特征频率参数的精度达到三位有效数字。 表 1固支梁前八阶的频率参数 Ω 的收敛性 Tab． 1Convergence of the first eight frequency parameters Ω of fixed beam a2/a1m nΩ1Ω2Ω3Ω4Ω5Ω6Ω7Ω8 0．2 10 5 20 10 30 15 40 20 0．192 2 0．192 0 0．192 0 0．192 0 0．490 8 0．489 7 0．489 2 0．488 9 0．882 5 0．879 0 0．877 1 0．875 8 0．990 5 0．989 1 0．988 4 0．988 0 1．349 7 1．346 4 1．345 0 1．344 0 1．875 9 1．867 4 1．867 1 1．866 9 1．987 8 1．986 9 1．986 6 1．986 4 2．434 1 2．403 3 2．402 2 2．401 5 0．4 10 5 20 10 30 15 40 20 0．190 5 0．189 9 0．189 6 0．189 4 0．490 0 0．488 9 0．488 3 0．487 9 0．890 4 0．888 8 0．888 2 0．887 8 0．995 0 0．994 6 0．994 4 0．994 3 1．342 2 1．336 9 1．334 3 1．332 3 1．876 5 1．868 5 1．868 3 1．868 2 1．978 3 1．975 2 1．973 4 1．972 0 2．419 9 2．382 4 2．378 8 2．376 3 0．5 10 5 20 10 30 15 40 20 0．189 8 0．189 1 0．188 8 0．188 5 0．493 6 0．493 2 0．493 1 0．493 1 0．880 0 0．876 5 0．874 5 0．873 0 0．995 8 0．995 6 0．995 6 0．995 6 1．359 7 1．358 5 1．358 4 1．358 4 1．854 6 1．837 6 1．833 3 1．830 1 1．975 6 1．972 8 1．971 3 1．970 2 2．437 6 2．409 8 2．409 6 2．409 5 表 2、 表 3 和表 4 给出了不同深度的裂缝 h2/h 0． 2， 0． 35， 0． 5 下， a2/a10． 5， h/a10． 1 时， 固支梁、 简支梁和悬臂梁前八阶无量纲频率参数 Ω 与有限元解 FEA 的比较。由表可知最大误差为 3． 644， 验证了 本文分析方法对于不同深度裂缝下的梁都是有效的。 表 2固支梁计算结果与有限元分析的对比 h/a10． 1，a2/a10． 5 Tab． 2Comparison of the results of fixed beam with those from FEA h/a10． 1，a2/a10． 5 h2/hΩ1Ω2Ω3Ω4Ω5Ω6Ω7Ω8 本方法 0．188 5 0．493 1 0．873 0 0．995 6 1．358 4 1．830 1 1．970 2 2．409 5 0．2有限元 0．187 5 0．493 1 0．867 6 0．995 6 1．358 3 1．818 4 1．966 7 2．409 4 误差/ 0．53300．6220 0．0070．6430．1780．004 本方法 0．181 2 0．492 9 0．835 5 0．995 6 1．356 5 1．740 8 1．945 4 2．404 3 0．35 有限元 0．179 5 0．492 8 0．827 1 0．995 6 1．355 8 1．720 5 1．942 6 2．402 3 误差/ 0．9470．0201．0160 0．0521．1800．1440．083 本方法 0．171 8 0．492 0 0．792 0 0．995 6 1．350 6 1．624 5 1．923 6 2．387 9 0．5有限元 0．169 8 0．491 8 0．783 1 0．995 6 1．348 4 1．603 1 1．921 1 2．381 2 误差/ 1．1780．0411．1370 0．1631．3350．1300．281 18第 12 期赵佳雷等基于弹性力学的裂缝梁自由振动分析 ChaoXing 表 3简支梁计算结果与有限元分析的对比 h/a10． 1，a2/a10． 5 Tab． 3Comparison of the results of simply- supported beam with those from FEA h/a10． 1，a2/a10． 5 h2/hΩ1Ω2Ω3Ω4Ω5Ω6Ω7Ω8 本方法 0．086 1 0．339 2 0．698 4 0．981 0 1．180 6 1．671 5 1．983 9 2．263 7 0．2有限元 0．085 4 0．339 2 0．693 3 0．977 7 1．180 6 1．662 8 1．983 9 2．263 4 误差/ 0．82000．7360．338 00．52300．013 本方法 0．080 4 0．339 1 0．660 5 0．951 3 1．179 1 1．620 2 1．983 9 2．258 8 0．35 有限元 0．078 9 0．339 0 0．650 9 0．945 2 1．178 5 1．609 8 1．983 9 2．256 7 误差/ 1．9010．0291．4750．645 0．0510．64600．093 本方法 0．071 1 0．338 6 0．603 8 0．908 0 1．174 4 1．576 8 1．983 9 2．243 4 0．5有限元 0．068 6 0．338 4 0．590 5 0．900 6 1．172 6 1．569 4 1．983 9 2．237 1 误差/ 3．6440．0592．2520．822 0．1540．47200．282 表 4悬臂梁计算结果与有限元分析的对比 h/a10． 1，a2/a10． 5 Tab． 4Comparison of the results of cantilevered beam with those from the FEA h/a10． 1，a2/a10． 5 h2/hΩ1Ω2Ω3Ω4Ω5Ω6Ω7Ω8 本方法 0．031 7 0．186 0 0．494 0 0．503 7 0．895 4 1．395 5 1．481 2 1．888 4 0．2有限元 0．031 6 0．184 4 0．493 0 0．503 6 0．889 9 1．395 3 1．478 4 1．879 4 误差/ 0．3160．8680．2030．020 0．6180．0140．1890．479 本方法 0．031 1 0．174 4 0．483 7 0．503 3 0．858 7 1．392 3 1．453 6 1．835 9 0．35 有限元 0．030 9 0．171 3 0．481 0 0．503 2 0．850 4 1．391 1 1．447 1 1．825 5 误差/ 0．6471．8100．5610．020 0．9760．0860．4490．570 本方法 0．030 0 0．156 4 0．462 4 0．502 4 0．819 0 1．380 8 1．408 9 1．794 3 0．5有限元 0．029 6 0．151 8 0．457 5 0．502 0 0．811 3 1．375 6 1．401 6 1．787 6 误差/ 1．3513．0301．0710．080 0．9490．3780．5210．375 为了检验本文方法对于不同跨高比下裂缝梁的 精度， 将本文的解与 Khaji 等 ［18 ］给出的解进行比较。 表5 给出了不同高跨比 h/a11/3， 1/5， 1/7， 1/9 下， h2/h 0． 35， a2/a1 0． 5 时， 裂缝梁一阶频率参数 Ω1 的比较。由表可知最大相对误差仅为 2． 805， 可知本 文方法对于不同跨高比下的裂缝梁都具有较高的精 度。Khaji 等在分析裂缝梁的动力学特性时， 将裂缝梁 等效为在开裂截面处由无质量弹簧连接的两部分无损 梁， 获得了一阶至四阶的固有频率。此方法需首先确 定对应于裂缝深度的等效弹簧刚度， 分析误差随频率 阶次升高而加大， 适用于低阶 主要是基阶 频率的计 算。而本文方法无需这样的假设， 按照实际情况直接 将梁划分为三部分进行分析， 用位移连续性条件整合 三部分的方程， 具有精度高的特点。 表 5第一阶频率参数 Ω1 与 Khaji 解的对比 Tab． 5Comparison of the first frequency parameter Ω1with Khaji’ s results 方法与误差 h/a1 1/31/51/71/9 Khaji 解法0． 717 30． 421 7 0． 282 10． 204 5 固支梁本文解法0． 738 00． 430 90． 287 70． 208 4 误差/2． 8052． 135 1． 9461． 871 Khaji 解法0． 357 00． 195 5 0． 127 10． 090 9 简支梁本文解法0． 358 90． 198 40． 129 40． 092 8 误差/0． 5291． 462 1． 7772． 047 Khaji 解法0． 165 00． 083 1 0． 051 70． 036 0 悬臂梁本文解法0． 165 90． 083 70． 052 00． 036 2 误差/0． 5420． 717 0． 5770． 552 3参数分析 分析裂缝深度对裂缝梁自振频率的影响， 图 3 给出 了 a2/a10．5， 高跨比 h/a1 0．1 时， 裂缝深度对前八阶 频率参数的影响。由图可知， 随着裂缝深度的增大， 裂缝 梁的频率参数逐渐减小， 且各阶频率减小的速度不相同。 图 3带裂缝梁前八阶频率参数随裂缝深度变化图 Fig． 3The first eight frequency parameters of cracked beams with different crack depths 分析不同的裂缝深度和高跨比对裂缝梁振型的影 响。分别取高跨比 h/a10．1， 0．2， 0．3，裂缝深度与梁 高度之比 h2/h 0，0． 2，0． 35，0． 5。在绘制振型图时， 为了便于对比分析， 取子梁 1 下表面的竖向位移与无损 梁在同阶振型中， 相同位置处的最大的竖向位移的比值， 将其结果绘制成曲线。图 4 ～ 图 6 分别给出了固支梁、 简支梁和悬臂梁在 h/a10．1， a2/a10．5 时， 不同裂缝 深度下的 W 位移的振型图 悬臂梁第三阶振型为 x 方向 的振动， 这里不进行参考对比 。由图可知， 随着裂缝深 度的增大， 各阶振型的位移也越大。当裂缝位于振型的 28振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 最大位移时， 振型受裂缝的影响最大。当裂缝位于振型 的零位移处时， 振型受裂缝的影响极小。这也解释了图 3 中各阶频率参数受裂缝影响大小不同的情况。 图7 和图8 分别给出了高跨比 h/a10．2 和 h/a1 0．3 时， a2/a10．5， 不同裂缝深度 h2/h 0， 0．2， 0．35， 0． 5 下， 固支裂缝梁的前三阶振型的对比。与图 3 中 h/a10． 1 时固支裂缝梁的振型进行比较可得， 随着高 跨比的增大， 裂缝对振型的影响也越大。 图 4不同裂缝深度下固支梁 W 的前三阶振型 h/a 10． 1 Fig． 4The first three mode shapes of W of fixed beam with different crack depths h/a10． 1 图 5不同裂缝深度下简支梁 W 的前三阶振型 h/a 10． 1 Fig． 5The first three mode shapes of W of simply- supported beam with different crack depths h/a10． 1 图 6不同裂缝深度下悬臂梁 W 的前二阶振型 h/a 10． 1 Fig． 6The first two mode shapes of W of cantilevered beam with different crack depths h/a10． 1 图 7不同裂缝深度下固支梁 W 的前三阶振型 h/a 10． 2 Fig． 7The first three mode shapes of W of fixed beam with different crack depths h/a10． 2 38第 12 期赵佳雷等基于弹性力学的裂缝梁自由振动分析 ChaoXing 图 8不同裂缝深度下固支梁 W 的前三阶振型 h/a 10． 3 Fig． 8The first three