基于Hausdorff距离的光纤陀螺阈值滤波算法_曹健.pdf

收稿日期2019-07-03 作者简介曹健 （1993） ， 男， 硕士研究生。通讯作者杨志强 （1961） ， 男， 教授， 博士， 博士研究生导师。 总第 526 期 2020 年第 4 期 金属矿山 METAL MINE 基于Hausdorff距离的光纤陀螺阈值滤波算法 曹健杨志强刘晨晨 1 （长安大学地质工程与测绘学院， 陕西 西安 710054） 摘要要实现采矿机组的智能化， 必须对采矿机械的位姿进行实时准确地控制。由于开采工作面环境复 杂， 可选用捷联惯性导航技术来实现对采矿机械的监测。光纤陀螺作为捷联惯导系统的核心元件， 其随机噪声制 约着惯性导航系统的精度。传统的建模滤波及小波消噪方法由于其自身的局限性， 不能保证准确性和去噪效果。 所以结合经验模态分解 （Empirical Mode Decomposition， EMD） ， 提出了Hausdorff距离 （Hausdorff Distance， HD） 筛选准 则与阈值滤波相结合的去噪算法。该算法以本征模态函数 （Intrinsic Mode Function， IMF） 与原始信号概率密度函数 （Probability Density Function， PDF） 的 Hausdorff 距离为判别依据， 对所有 IMF 进行筛选， 之后引入阈值对筛选出的 IMF进行滤波处理， 最后将其与余项重构。通过试验比较了软硬阈值的滤波效果， 确定了该算法采用硬阈值。为 验证算法的有效性， 将该算法与其他3种方法进行比较， 仿真信号与实测陀螺静态漂移数据的试验结果表明了该 方法的优越性， 能够有效降低陀螺的各项随机误差。 关键词光纤陀螺随机漂移经验模态分解Hausdorff距离阈值滤波 中图分类号TD178， TP391文献标志码A文章编号1001-1250 （2020） -04-171-07 DOI10.19614/ki.jsks.202004027 Threshold Filtering Algorithm of FOG Based on Hausdorff Distance Cao JianYang ZhiqiangLiu Chenchen2 （College of Geological Engineering and Geomatics， Changan University， Xi’ an 710054， China） AbstractIn order to realize the intellectualization of mining unit， the position and posture of mining machinery must be controlled in real time and accurately. Because the mining working face environment is complex，strapdown inertial navi- gation technology can be used to monitor mining machinery.As the core component of strapdown inertial navigation system， the random noise of fiber optic gyro restricts the precision of inertial navigation system.Traditional modeling filtering and wavelet denoising s can not guarantee the accuracy and denoising result because of their own limitations. Combined with empirical mode decomposition（EMD）， a denoising algorithm combining Hausdorff distance（HD）screening criteria and threshold filtering is proposed. In this algorithm， HD of probability density functions（PDF）which are the estimate of in- trinsic mode function（IMF）and the original signal is used as the discrimination basis to screen all IMFs， and then threshold- ing is introduced to filter the selected IMFs and reconstruct it with remaining terms.The filtering results of soft and hard thresholds is compared through tests and the hard threshold are adopted in the algorithm.In order to verify the effectiveness of the algorithm，the algorithm is compared with EMD-Cor， EMD-CMSE and other s.Simulation and test results show the superiority of the ， which can effectively reduce the random errors of gyro. KeywordsFOG， Random drift， EMD， Hausdorff distance， Threshold filtering Series No. 526 April 2020 采矿机械的导航定位与姿态控制是实现采矿自 动化的关键技术之一， 惯性导航以导航信息的实时 性与自主性使其成为一种在复杂采矿工作面可行的 采矿机械定位与姿态控制技术。光纤陀螺是一种基 于Sagnac效应的全固态角速度传感器， 是惯性导航 系统 （Inertial navigation system， INS） 的核心器件 ［1］， 但 其随机漂移是制约INS精度的重要因素。为了抑制 光纤陀螺的随机漂移， 传统的滤波方法主要有两种， 一种是进行时间序列分析， 建立自回归滑动平均模 型 （Auto-Regressive Moving Average Model， ARMA） ， 并设计Kalman滤波器进行补偿 ［2］。而Kalman滤波需 要完整的信号和噪声的统计特性， 其初始参数确认 171 ChaoXing 金属矿山2020年第4期总第526期 较复杂， 同时在实际情况中， 光纤陀螺会受到测试系 统噪声及外界环境等各种因素干扰， 使输出信号表 现出非平稳、 弱非线性的特征， 因此难以建立准确的 数学模型。第二种是使用小波变换的降噪方法 ［3-5］。 小波具有良好的时频局部性和多分辨分析能力， 但 小波消噪性能非常依赖于基函数的选择和分解层数 的预先设定， 这些先验信息的确定使去噪方案失去 了自适应性， 无法保证时变信号小波去噪的效果。 Huang等 ［6］针对非平稳、 非线性信号提出了一种 新型的信号处理方法经验模态分解。EMD是一 种不需要任何信号先验信息的自适应数据处理方 法， 能够根据信号的本身特征， 自适应地将信号分解 为若干个由高频到低频的本征模态函数及一个余 项。 在利用EMD滤波时， 很多文献都是通过经验判断 或者多次测试， 直接把分解后的前若干个IMF分量当 作噪声进行剔除， 这类方法过于主观， 缺乏严谨的理 论框架支撑， 且很难恰当地排除噪声干扰。将EMD与 时间序列分析相结合， 可以从全频率角度对随机误差 进行分析建模 ［7］， 但该方法需要对所有IMF分别进行 建模与去噪处理， 过程繁琐， 计算量较大。当采用局 部重构方法时， 需要对提取的IMF进行物理解释， 以 确定IMF是纯噪声、 纯信号， 还是两者都包含 ［8］。基于 相关系数的EMD部分重构方法 （EMD-Correlation Co- efficient， EMD-Cor） ， 使用相关系数来区分相关和不相 关的IMF ［9］。对于不同信噪比的噪声信号， 在某些情 况下， 由于各IMF与原始信号的相关性太强或太弱， 使得该方法非常不稳定。基于连续均方误差准则 （EMD-Consecutive Mean Square Error， EMD-CMSE） 的 滤波方法 ［10］对IMF在能量第一次发生重大变化处开 始进行部分重构， 取得了不错的效果， 但是在某些情 况下 EMD-CMSE 准则可能会被限制在局部极小值 中。Ali Komaty等 ［11］提出表示数据分布形状的概率密 度函数， 可以反映两种信号的差异。根据输入信号与 各IMF的PDF之间的相似性来选择相关IMF。这种相 似性值越大， 说明所比较的信号越具有相似的特征， 因此重构信号中应包含相关的IMF。而基于信息理论 度量 （Kullback-Leibler Divergence， KLD） 的概率相似 性测量方法对于分布的形式 （高斯、 均匀、 双峰等） 非 常敏感， 在某些情况下可能会造成误判。 基于以上问题， 本研究提出了一种基于几何度 量的概率相似性测量方法Hausdorff距离 ［12］与硬 阈值相结合的EMD信号滤波算法。 1滤波方法原理 EMD将任意随时间t变化的信号x t分解为一 组IMF， 每个IMF具有不同的频率尺度 ［6］。信号x t 可分解为L个从高频到低频排列的IMF， 以及一个余 项rL t ， 即 x t ∑ i 1 L IMFi t rL t .（1） 式中，IMFi t 为第i阶IMF分量。 根据经验模态分解原理， 对于混有随机噪声的 信号， 低阶IMF分量通常对应于信号的高频噪声 ［13］。 若除去若干个低阶IMF， 把剩余的相关IMF与余项重 构为一个新信号， 可以削弱随机噪声的影响。相关 IMF的选择需要根据一个给定的准则， 该准则能够识 别携带了输入信号信息的IMF分量。 假设y t 为无噪的纯信号，n t 为高斯白噪声， 则光纤陀螺输出信号x t 模型可表示为 x t y t n t .（2） 去噪的目标是找到x t 的估计y͂ t ， 来提高信号 的信噪比， 即 y͂ t ∑ i kth L IMFi t rL t ， （3） 式中，kth为局部重构起始分量的阶数， 使用该式的关 键是如何确定参数kth。 由于PDF包含其对应IMF的完整信息， 因此可以 使用PDF相似性量度来识别带有y t 特征的IMF。对 原始信号进行EMD分解之后， 使用核密度函数估计 IMF的PDF。所以就要寻找这样一种度量方法， 利用 PDF来区分相关和不相关的IMF， 也就确定了参数kth。 1. 1Hausdorff距离 Hausdorff 距离是描述两个点集之间距离的方 法， 该方法可作为两个点集之间的相似性量度。在 本研究中， HD不是用作两个几何形状间的相似性量 度， 而是用在两个一维PDF之间。HD相较于其他距 离度量方法的优点是对异常值非常敏感， 同时顾及 目标的整体形状 （或边界） ， 而不是将两个空间目标 的距离简单地表达为两个点之间的距离。 令da,b ‖‖a - b为元素a、 b之间的欧氏距离。 元素a到有限集合B {}b1,,bN之间的距离定义为 da,B min b ∈ B da,b min b ∈ B ‖‖a - b. （4） 两个有限集A {}a1,,aM和B {}b1,,bN之间 的单向HD可以定义为 hA,B max a ∈ A d a,B max a ∈ A min b ∈ B da,b max a ∈ A min b ∈ B ‖‖a - b .（5） 类 似 地 ，两 个 有 限 集B {}b1,,bN和 A {}a1,,aM之间的单向HD可定义为 172 ChaoXing 2020年第4期曹健等 基于Hausdorff距离的光纤陀螺阈值滤波算法 hB,A max b ∈ B d b,A max b ∈ B min a ∈ A db,a max b ∈ B min a ∈ A ‖‖b - a .（6） 单向HD具有非对称性， 这是极大极小函数的特 性。绝对HD为2个单向HD的最大值， 即 HDA,B max{}hA,B ,h B,A.（7） 如果A、 B两组点是相似的 （距离较近） ， 但B中存 在一点b， 有远离A的任意一点， 那么该距离就是由这 个点决定的。这一距离可以表明IMF的分布曲线有 多少尖锐和突出的部分。 1. 2IMF的选择及阈值滤波 为了选择相关的IMF， 首先将信号x t 分解为若 干个 IMF， 之后估计x t 及各 IMF的 PDF， 分别记为 PDF[]x t与PDF[]IMFi t 。将估计的分布看作度 量空间 （欧式空间） 的子集， 用HD测量相似程度。采 用 （5） 式、（6） 式和 （7） 式计算x t 与各IMF之间PDF 的HD值， 记为HDi HD i HD{ } PDF[]x t ,PDF[]IMFi t . （8） 重构所选择的起始 IMF分量是 HD在第一个局 部最大值之后开始减小的第一个IMF。记这个指数 为kHD， 即 kHD arg max i {}HDi 1.（9） 得到kHD后， 则可确定信号的局部直接重构信号 y1 t y1 t ∑ i kHD L IMFi t rL t . （10） 若直接重构， 则重构信号中仍然含有部分噪声。 所以在重构之前需要对相关IMF进一步去噪， 方法可 以借鉴小波阈值去噪。阈值去噪方法有硬阈值和软 阈值 ［14］， 两种阈值后的各阶 IMF 分别见式 （11） 、 式 （12） 。 hi t ■ ■ ■ ■ ■ IMFi t ||IMFi t ＞ Ti 0||IMFi t ≤ Ti ，（11） hi t ■ ■ ■ ■ ■ sgn[]IMFi t [ ]||IMFi t - Ti||IMFi t ＞ Ti 0||IMFi t ≤ Ti . （12） 式中，kHD≤ i ≤ L；Ti表示第i个IMF的阈值，Ti的选择 可采用小波阈值估计方法 ［15-16］。 软阈值的优点是具有良好的连续性和平滑性， 但它是对所有系数进行压缩， 如果阈值估计产生误 差， 该误差会扩散到所有系数上， 导致有偏的结果。 而硬阈值只对低于阈值的部分进行处理， 对高于阈 值的部分予以保留， 可以免受阈值估计误差的影响， 故而本研究采用硬阈值滤波方法。 由于使用了硬阈值的消噪策略， 随着i的增加， IMF系数的大部分幅值都高于阈值， 阈值的作用会逐 渐降低。所以无需判别噪声信号混合的IMF与有用 信号为主的高阶IMF的边界， 不加区分地对所有需要 被重构的模态进行阈值滤波。所以最终的重构信号 为 y͂ t ∑ i kHD L hi t rL t . （13） 综上所述， 本研究提出的基于 Hausdorff距离的 EMD阈值滤波 （EMD-Hausdorff Distance Threshold Filtering， EMD-HD TF） 算法的具体实现步骤如下 （1） 对原始信号进行EMD分解， 得到若干个IMF 分量。 （2） 使用核密度函数， 估计原始信号及各IMF的 PDF。 （3） 使用HD方法比较IMF分量与原始信号PDF 的相似性， 确定重构的起始分量第kHD个IMF。 （4） 计算各需要重构的IMF的噪声阈值Ti， 按照 式 （13） 重构输出信号。 2试验与结果分析 2. 1数据仿真试验 为验证硬阈值的优越性， 对测试信号 （以Doppler 信号为例） 加入不同大小的白噪声， 输入信噪比为-6 ～6 dB， 分别使用硬阈值与软阈值对所有IMF进行滤 波并重构， 结果如图1。硬阈值的去噪效果在各信噪 比下都优于软阈值， 故本研究选择HD筛选准则与硬 阈值滤波相结合。 为测试本研究滤波方法的有效性， 对4个代表性 的测试信号 （Doppler、 Heavysine、 Bumps 和 Blocks） 分 别加入以上噪声， 使用EMD-Cor、 EMD-CMSE、 EMD- HD （EMD-Hausdorff Distance） 及 EMD-HD TF 4 种 方法进行去噪， 对去噪结果进行比较研究。 以输入信噪比为-4 dB的Doppler含噪信号为例， 173 ChaoXing 金属矿山2020年第4期总第526期 其经过 EMD 分解后得到的 10 个 IMF 见图 2。各阶 IMF 的 HD 取值见图 3， 由此可得kHD 6。在 EMD- HD TF方法中， 对IMF6～10分别进行阈值滤波， 结果 如图4所示。 最终按式 （13） 将滤波后的 IMF 与余项重构。 从图5中可以看出， 相比于其他几种方法， 由EMD- HD TF 方法得到的信号更能保留 Doppler 标准信 号的特征， 初步判断为最佳的去噪结果。表 1给了 的 4 种 滤 波 结 果 的 信 噪 比（Signal to Noise Ratio， SNR）及 均 方 根 误 差（Root Mean Square Error， RMSE） 。 从表1可知， 4种方法都对白噪声具有一定的去 噪能力， 但EMD-Cor方法效果相对较差。两种基于 HD准则的EMD局部重构方法的去噪性能明显优于 另外两种方法， 在此基础上使用硬阈值方法进行滤 波可以进一步提升去噪效果。 统计4种信号在不同输入信噪比下滤波后的信 噪比及均方根误差， 如图6与图7所示。由此可知， 基于 EMD 的滤波方法对于不同类型的信号都表现 出不同程度的去噪效果， 具有一定的适用性。其中 EMD-Cor方法在输入信噪比较低时性能较差， 但会 随着输入信噪比的提高而改善， 逐渐达到与其他方 法相近的水平。但在多次试验中， 经常会有重构后 的信号与原信号相似度过高或者过低的现象发生， 导 致 无 法 进 行 筛 选 ， 所 以 该 方 法 稳 定 性 较 差 。 EMD-HD TF在EMD-HD基础上加入硬阈值， 虽然 滤波效果在本研究中只是略有提升， 但在绝大多数 情况下都能得到最佳的滤波效果。上述去噪效果不 仅支持了EMD-HD和阈值滤波混合方法的有效性， 而且证明了IMF中所携带的信号信息可以通过它们 的 PDF 来表现， 同时 HD 比 EMD-Cor和 EMD-CMSE 法更有效地量化了信号与相关 IMF 之间的相互作 用， 进而使用HD进行筛选更为有效。 174 ChaoXing 2020年第4期曹健等 基于Hausdorff距离的光纤陀螺阈值滤波算法 2. 2陀螺滤波试验 在常温 （25 ℃） 下， 对某型号陀螺漂移信号进行 了试验测试。采样周期为 100 ms， 为了避免启动过 程中的温度变化， 选取中间3 h的数据， 样本总数为 108 000个。对该组数据分别采用文中的4种方法进 行处理。其中EMD-Cor、 EMD-CMSE、 与两种HD方 法重构的起始IMF分量分别为第5阶、 第7阶和第9 阶。为了验证降噪效果， 采用了惯性器件误差分析 中最常用的艾伦 （Allan） 方差。Allan方差的双对数曲 线图可以识别陀螺的各种随机误差成分， 包括量化 噪声 （Q） 、 角度随机游走 （N） 、 零偏不稳定性 （B） 、 角速 率随机游走 （K） 和速率斜坡 （R） ， 由试验所得的Allan 方差图如图8所示。不同的误差具有不同的斜率特 性， 可由Allan方差拟合得到 ［17-18］， 拟合得到的各种误 差成分如表2所示。 由图8和表2可知， 4种方法对角速率随机游走 （K） 和速率斜坡 （R） 均有良好的抑制效果。但经 EMD-Cor和EMD-CMSE方法处理后， 量化噪声 （Q） ， 角度随机游走 （N） 和零偏不稳定性 （B） 不但没有减 少， 甚至还有小幅度增加。基于HD方法得到的重构 IMF较为恰当， 其抑制5种噪声的效果优于前两者。 在此基础上加入阈值滤波的EMD-HD TF方法又 能进一步滤除噪声， 使各项噪声得到了进一步降低， 取得了最佳滤波效果。 3结论 （1） 本研究提出了一种新的EMD局部重构与阈 值相结合的 EMD-HD TF 方法， 该方法首先以各 阶 IMF和原始信号 PDF的 HD 为依据对 IMF进行筛 选， 减少了 IMF 的重构个数； 然后采用硬阈值处理 方法， 对信号的噪声进行了进一步滤除。该方法的 优点是对异常值敏感、 复杂度低， 在滤波应用中较 为实用。 （2） 为了验证该方法的有效性， 在不同的信噪比 情况下进行了数值模拟。与EMD-Cor、 EMD-CMSE 和单纯的EMD-HD方法相比， 该方法具有更好的去 175 ChaoXing ［1］ 噪性能。最后， 将该方法应用于对实测陀螺漂移信 号进行试验。从Allan方差曲线可以看出， EMD-HD TF方法大大降低了各项随机误差。因此， 本研究 提出的光纤陀螺消噪算法在采矿机械导航定位与姿 态控制的自动化方面具有广泛的应用前景。 参 考 文 献 袁慧铮， 陆俊清， 李星善， 等.大量程高精度光纤陀螺的设计与 实现 ［J］ .导航定位与授时， 2014， 1 （3） 59-62， 68. Yuan Huizheng，Lu Junqing，Li Xingshan，et al. Design and im- plementation of high precision I-FOG with wide dynamic range ［J］ . Navigation Positioning Timing， 2014， 1 （3） 59-62， 68. 金属矿山2020年第4期总第526期 176 ChaoXing ［2］ ［3］ ［4］ ［5］ ［6］ ［7］ ［8］ ［9］ ［10］ ［11］ ［12］ ［13］ ［14］ ［15］ ［16］ ［17］ ［18］ 柳贵福， 邢艳丽， 张树侠. 光纤陀螺零偏稳定性的数据建模方 法研究 ［J］ . 中国惯性技术学报， 2001， 9 （3） 48-52. Liu Guifu，Xing Yanli，Zhang Shuxia. Investigation on the model- ing of fiber optic gyro bias Instability ［J］ . Journal of Chinese Iner- tial Technology， 2001， 9 （3） 48-52. Daubechies I . The wavelet trans，time-frequency localization and signal analysis ［J］ . IEEE Transactions on Ination Theory， 2002， 36 （5） 961-1005. 党淑雯， 田蔚风， 钱峰. 基于提升小波的光纤陀螺分形噪声 滤除方法 ［J］ . 中国激光， 2009， 36 （3） 625-629. Dang Shuwen，Tian Weifeng，Qian Feng. De-noising fractional noise in fiber optic gyroscopes based on lifting wavelet ［J］ . Chinese Journal of Lasers， 2009， 36 （3） 625-629. 汤巍，李士心，刘鲁源，等. 关于陀螺信号处理中小波基选 取的研究 ［J］ . 中国惯性技术学报， 2002， 10 （5） 28-30. Tang Wei，Li Shixin，Liu Luyuan，et al. Select of wavelet basis in gyro signal processing［J］ . Journal of Chinese Inertial Technology 2002， 10 （5） 28-30. Huang N E ，Shen Z ，Long S R ，et al. The empirical mode de- composition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-station- ary time series analysis ［J］ . Proceedings of the Royal Society， Math- ematical， Physical and Engineering Sciences 1998， 1971903-995. 刘文涛， 刘洁瑜， 沈强. 光纤陀螺随机误差的集成建模及滤 波处理 ［J］ . 光电工程， 2018， 45 （10） 53-61. Liu Wentao， Liu Jieyu， Shen Qiang. Integrated modeling and filter- ing of fiber optic gyroscopes random errors［J］ . Opto-Electronic Engineering， 2018， 45 （10） 53-61. Patrick F，Paulo G， Gabriel R.Detrending and denoising with em- pirical mode decompositions ［C］ // European Signal Processing Con- ference. IEEE， 20041581-1584. 甘雨， 隋立芬. 基于经验模分解的陀螺信号消噪 ［J］ . 测绘学 报， 2011， 40 （6） 745-750. Gan Yu，Sui Lifen. De-noising for gyro signal based on EMD ［J］ . Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2011，40 （6） 745-750. Boudraa A O ，Cexus J C . EMD-Based Signal Filtering ［J］ . IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement， 2007，56 （6） 2196-2202. Komaty A ，Boudraa A O ，Augier B ，et al. EMD-Based Filtering Using Similarity Measure Between Probability Density Functions of IMFs［J］ . IEEE Transactions on Instrumentation and Measure- ment， 2014， 63 （1） 27-34. Huttenlocher D P ，Klanderman G A ，Rucklidge W J . Comparing images using the Hausdorff distance ［J］ . IEEE Transactions on Pat- tern Analysis and Machine Intelligence， 1993， 15 （9） 850-863. 戴吾蛟，丁晓利，朱建军，等. 基于经验模式分解的滤波去噪 法及其在GPS多路径效应中的应用 ［J］ . 测绘学报， 2006， 35 （4） 321-327. Dai Wujiao，Ding Xiaoli，Zhu Jianjun，et al. EMD filter and its application in GPS multipath ［J］ . Acta Geodaetica et Carto- graphica Sinica， 2006， 35 （4） 321-327. 肖文健， 陈志斌， 马东玺， 等. 光纤陀螺基于本征模态函数筛选 的阈值滤波算法 ［J］ . 中国惯性技术学报， 2015， 23 （5） 685-689. Xiao Wenjian，Chen Zhibin，Ma Dongxi，et al. De-noising of FOG with DEMD threshold based on IMF criterion ［J］ . Journal of Chinese Inertial Technology， 2015， 23 （5） 685-689. Johnstone I M ，Silverman B W . Wavelet Threshold Estimators for Data with Correlated Noise ［J］ . Journal of the Royal Statistical Soci- ety， 1997， 59 （2） 319-351. Kopsinis Y ，Mclaughlin S . Development of EMD-Based Denois- ing s Inspired by Wavelet Thresholding ［J］ . IEEE Transac- tions on Signal Processing， 2009， 57 （4） 1351-1362. Li J ， Fang J . Sliding average allan variance for inertial sensor sto- chastic error analysis ［J］ . IEEE Transactions on Instrumentation Measurement， 2013， 62 （12） 3291-3300. 黎奇， 白征东， 赵思浩， 等. Allan方差方法分析环形激光陀螺 仪噪声的性能评估 ［J］ .清华大学学报 自然科学版，2019，22 （9） 1-8. Li Qi，Bai Zhengdong，Zhao Sihao， et al.Perance uation of the Allan variance for ring laser gyroscope noise analyses ［J］ . Journal of Tsinghua UniversityScience and Technology， 2019， 22 （9） 1-8. 2020年第4期曹健等 基于Hausdorff距离的光纤陀螺阈值滤波算法 177 ChaoXing