基于机床运动模型的走刀步长计算方法.pdf

第 4 5卷第 7期 2 0 0 9 年 7 月 机械工程学报 J 0UR NAL OF MECHANI CAL ENG1 - NEERI NG VO1 ． 45 N O． 7 J u 1 ． 2 00 9 Dol 1 0 ． 3 9 01 ／ JM E． 2 0 0 9． 07 ． 1 8 3 基于机床运动模型的走刀步长计算方法 张 莹 吴 宝海 张定华 李 山 西北工业大学现代设计与集成制造技术教育部重点实验室西安7 1 0 0 7 2 摘要为提高五坐标数控加工刀具轨迹生成的精度和切削效率，通过特定机床结构运动建模，对 自由曲面刀具轨迹规划中的 走刀步长计算方法进行研究。 针对刀具摆动与工作台转动类型的非正交结构五坐标机床， 在建立机床运动传递关系的基础上， 实现任意刀轴方位的机床各轴运动坐标分解，构建机床运动模型。基于此，分析切削误差产生机理，推导出非正交结构的机 床实际运动误差估计公式。利用切削误差对比关系，迭代计算满足精度要求的最大走刀步长。算例表明，在相同的允许误差 条件下，本文算法较之传统变步长方法，最大误差降低了 3 7 ． 0 1 ％，而平均步长相对于等步长方法，增加了 8 ． 9 1 ％，说明基 于机床运动模型的走刀步长计算方法能够有效控制切削误差，并提高 自由曲面五坐标加工的刀具轨迹质量。 关键词 切削误差走刀步长机床运动模型五坐标加工 中图分类号 T P 3 9 1 ． 7 Ca l c u l a t i o n M e t h o d f o r S t e p Le n g t h Ba s e d o n t h e Ki ne ma t i c s M o d e l o f M a c h i n e To o l s ZHANG Yi n g W U Ba o h a i ZHANG Di n g h u a LI S ha n Ke y L a b o r a t o r y o f C o n t e m p o r a r y De s i g n a n d I n t e g r a t e d Ma n u f a c t u r i n g T e c h n o l o g y , Mi n i s t r y o f E d u c a t i o n ， N o r t h we s t e r n P o l y t e c h n i c a l U n i v e r s i t y , Xi ’ a l l 7 1 0 0 7 2 Abs t r a c t T o i mp r o v e t h e p r e c i s i o n a n d c u t t i n g e ffi c i e n c y o f th e t o o l p a t h g e n e r a t i o n i n fi v e a x i s NC ma c h i n i n g o f s c u l p t u r e d s u r f a c e s ， t h r o u g h k i n e ma t i c m o d e l i n g o f t h e s p e c i a l ma c h i n e t o o l s ， a n e w c a l c u l a t i o n m e t h o d f o r s t e p l e n g t h i s p r e s e n t e d ． Ai mi n g a t fi v e - a x i s NC ma c h i n e s wi t h n o n o r h o g o n a l s t r u c t u r e o f t o o l s wi n g i n g a n d t a b l e r o tat i o n t y p e ， th e k i n e m a t i c mo d e l i n c l u d i n g t h e e s t a b l i s h me n t o f t h e mo ti o n t r a n s mi s s i o n a n d t h e d e c o mp o s i t i o n o f the mo t i o n c o o r d i n a t e i s c o n s t r u c t e d ． An d t h e n ， i t i s s h o wn t h a t t h e c u t t i n g e r r o r d e p e n d s o n t h e s t r u c t u r e s o f t h e ma c h i n e t o o l s a s we l l a s t h e s urc e g e o me t r y ．Mo r e o v e r ,a n e w a l g o r i t h m i s d e v e l o p e d t o e s t i ma t e the c u tt i n g e r r o r a n d c a l c u l a t e t h e max i mu m a l l o wa b l e s t e p l e n g t h ． E x a mp l e s s h o w t h a t t h e max i mu m e r r o r o f the n e w a l g o r i t h m i s r e d u c e d b y 3 7 ． 0 1 ％ c o mp a r i n g wi t h t h e c o n v e n t i o n a l me t h o d o f v a r i a b l e s t e p ， a n d t h e a v e r a g e s t e p l e n gth i s i mp r o v e d b y 8 ． 9 1 ％ c o mp a r i n g wi t h the e q u a l s t e p a t t h e s a me c u t t i n g t o l e r a n c e ． I t s u g g e s t s t h a t t h e c u t t i n g e r r o r C an b e c o n t r o l l e d e ff e c t i v e l y a n d the p r o p o s e d me t h o d i s a n e ffe c t i v e me a n s for i mp r o v i n g ma c h i n i n g e ffi c i e n c y an d q u a l i t y o f fiv e a x i s ma c h i n i n g o f s c u l p t u r e d s u r f a c e s ． Ke y wo r d s Cu t t i n g e r r o r S t e p l e n g th Ki n e ma tic s mo d e l F i v e - a x i s ma c h i n i n g 0 前言 走刀步长是数控编程 中刀具轨迹规划的重要参 数，保证理论刀具轨迹离散逼近 引起 的加工误差在 允许 的范围之内，对 曲面加工的效率和质量有着重 要的影响【 。基于曲面几何性质的传统方法，即通 2 0 0 8 0 7 1 3收到初稿，2 0 0 9 0 3 1 5收到修改稿 过线性插值刀位点，利用弦弓高误差近似代替切削 误差 以控制走刀步长的计算方法，仅适用于三坐标 数控加工L 2 J 。在五坐标数控加工中，增加 的两个转 动坐标使得直线插补过程中刀位点的运动轨迹不再 是直线 ，而是一空间曲线。因此 ，实际的加工误差 可能会大于线性插值 的逼近误差[ 3 -4 ] 。 HWANG等l 2 针对刀具双摆动类型机床的研究表明，切削误差不 仅与曲面的几何性质有关，同时也依赖于刀具的摆 动角度和刀具尺寸，并提出了一种基于切削误差分 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 机械工程学报 第 4 5 卷第 7期 析的最大允许步长计算方法。而对于双转台形式的 五坐标机床， HO等『 4 】 通过工作台的运动建模分析， 认为切削误差与工作台的旋转角度和加工区域到旋 转中心的距离相关， 并给 出了最大步长 的计算公式。 可以看出，转动坐标带来的运动误差导致多坐标数 控机床与三坐标机床在计算走刀步长方面有着根本 的不同。因此 ，结合机床结构类型，合理计算走刀 步长以实现切削误差的有效控制，成为 自由曲面五 坐标加工刀具轨迹规划 中的一个重要 问题 。 目前，已有的误差分析研究仅限于正交结构的 五坐标机床I 4 】 。 随着加工对象的复杂程度和应用领 域的不断增加，非正交结构的五坐标机床应用越来 越多。虽然 S HE等[ 6 - 7 1 针对非正交结构的五坐标机 床提出了相应的后置处理算法，但并没有给出适于 走刀步长计算的误差分析方法。 为此，本文针对刀具摆动与工作台转动的五坐 标机床 ，建立 了机床运动模型，推导了刀轴矢量与 机床转动坐标的变换关系。在此基础上 ，分析了机 床运动误差关联因素，并给 出了实际切削误差的计 算方法以确定满足精度要求的最大走刀步长 。 1 机床运动模型 在五坐标加工中，走刀步长是保证实际切削误 差在允许范围内的逼近线段最大值。其中，切削误 差的有效估计是计算最大允许步长的前提，该误差 不仅与 曲面几何性质有关， 还与机床结构密切相关 。 建立机床运动模型，合理分解五坐标机床各轴运动 的变换关系，是切削误差准确计算 的首要条件 。本 文 以图 1 所示机床为例展开讨论。 图 1 刀具摆动与工作台转动机床示意图 该机床为典型的刀具摆动与工作 台转动的非正 交结构五坐标机床。三个平动坐标和转动坐标 均 由主轴运动实现，工作台仅实现坐标 的旋转 。不 同于正交结构机床，此时 轴的旋转轴线为 y m Z m 平面中的 轴 ， 其中，Y m 轴与 Z m 轴夹角 5 0。。 机床运动模型的内在含义是机床运动传递关系 的建立，并对于任意空间方位 ，实现机床各轴运动 的有效分解 。不论是何种类型的正交结构五坐标机 床，转动坐标的计算均相同 】 。但是，对于非正交 结构机床，由于旋转轴可能是任意空间直线，无法 简单计算转动坐标 ，必须根据不同的机床结构，建 立相应的运动传递关系，通过方程求解计算出机床 转动坐标。 假 设 机 床 坐 标 系 r r m Z m与 工 件 坐 标 系 D y w z 一致， O tx t y t z t 为与刀具固联的刀具坐标系， 其原点设为刀具中心点。机床运动关系为刀具坐标 系 O t x tY t Z t 相对于工件坐标系 D ． ． 的坐标变换， 可进一步分解为 O tx t Y tZ t 相对于 D z T n 的平动和 Dr r o y m Z m相对于 啪 的转动。 设 给 定 的工 件 坐 标 系 刀位 数 据 Z w ，刀轴矢量 l i w j w k w ，对应的机床 、 轴 转角分别为 、 ，平动坐标位置矢量 T m X m Y m ；在刀具坐标系 中，刀位点位置矢量和刀轴矢 量初始值分别为 O t 0 0 0 和 ／ t o 0 1 ， 建立非正 交结构机床运动传递关系如下如图 1 所示，刀具 随机床主轴平动， 并绕 y 轴旋转形成机床转动坐标 B ，同时工作台绕 ‰ 轴回转构成转动坐标 ，通过 、 的联动配合最终形成要求的刀轴方位。 基于此 ，建立运动方程 ，求解机床各轴运动坐 标。如图 2所示，记锥面 z 为 Z m 轴单位矢量 绕 轴旋转 8 0 。所形成的曲面， 根据机床运动传 递关系，Z m轴单位矢量绕 轴逆时针旋转 角得 中 间 矢量 ， ，此 时 中间 单 位 矢 量 ， 位 于 锥 面 D m Z m 上， 再将 逆时针绕 X m 轴旋转 角得到刀 轴矢量 ， ，即 - l， 0 0 1 i w J w k w 1 式 中 表 示 绕 轴逆 时针 旋转 0角 的变 换 矩 阵 。 【 Y } 二 ＼ 图 2 非正交结构机床运动模型 根据计算机图形学中矢量绕空间任意轴的旋转 变换计算方法， Z m 轴单位矢量绕 二 轴逆时针旋转 角可进一步分解 ，即 R R x 一 口 R x a 2 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 2 0 0 9年 7月 张莹 等基 于机床 运动模型的走刀步长计算方法 1 8 5 则式 1 转化为 一 R z 0 0 1 f w 3 r 1 0 0 、 l 0 c o s 一 s i n I 4 0 s i n C O S ／ f C O S 一 s i n 0 1 l s i n c o s 0 I 5 0 0 1 j 而 、 一 与 定义类似， 将式 4 、 5 代入式 3 并展开得关于 、 的方程式 l s i n 5 s in { 一 s i n 5 c o s c o s O a 一 口 一 c o s s s in O A 一 J w 6 l s i n a c o s O s s in O A 一 c o s a c o s O A 一 k w 解得 a r c s i n_ O a r c t a n二 二 A 一 一 C O S s i n s j wC 0 S 5 k w 式 中 一 的取值与 s i n O A一 、 c o s O A 一口 符号 相关。 针对主轴摆动的五坐标机床 ，机床平动坐标的 参考 点以摆刀中心 C 0 作为参照点， 设刀具有效刀长 为 ，则当 、 轴转动后，机床 的运动状态如 图 3 所 示 。 图 3 机床 、 轴 转动后的运动状态 在图 3所示的机床坐标系中，根据机床运动坐 标 的规定 ，工作 台相对于 X 轴顺 时针方向旋转为 正，因此当工件顺时针旋转 角后得到的平动坐标 R x 一 ，而相应刀具轴线对应的方向矢量 ， R x 一 ，，则 摆 动 中心 C o对 应 位 置矢 量 r c 0 ，即 r c n 一 ， O 0 1 8 2 切削误差估计 限制，只能采用一系列的小直线段逼近理论刀具轨 迹，再 由机床作线性插补运动近似成型，不可避免 地将会产生切削误差。 设 为最大允许误差， 为实际最大切削误 差， S 为走刀步长 ，S 为误差允许范围内的最大 走刀步长。当采用三坐标球头刀加工 ，相邻切触点 、 间的刀具轨迹，以圆心 D ，半径 R ， 弧度 的圆弧逼近时 1 - c o s 则 ≤ 4 4 e ra 2 R o 一 ， 最 大 走 刀 步 长 S m a x 4 8 e m 。 而采用五坐标加工时，特别是非正交结构的刀 具摆动与工作台转动机床 ，根据特定机床结构建立 的机床运动模型 ，直线插补对应的实际机床运动轨 迹是由摆刀 中心 的线性平动、 主轴转动坐标 和 工作台转动坐标 的线性转动 的联动复合作用而 成。以环形刀加工为例，实际切削误差包含了刀具 的摆动和工作台转动误差 的耦合，产生机理如 图 4 所示 ，其 中图 4 a为刀具参数 。 c l l l 星 - 0 。 b 图 4切削误差产 生机理 设 、 对应的刀位点及刀轴矢量分别为 、 和， 1 、， 2 ，Q l 、Q 2 分别为环形刀位参考点，由机 床运 动模型计算两点对应 的机床转角分别为 、 和 、 。 以圆心 D 户 为坐标原点建立局部 坐标 系，如图 4 b ，X L轴表示切削进给方向 f，Y L 表示 点单位法矢方向n，令 bf ， l ，以Z L 轴表 示 ，并设局部坐标系 到工件坐标系 的变换矩 阵为 ，则在局部坐标系中 0 e , o 0 0 e , o 0 r P 2 ‘ ‘ 在 曲面加工中，由于数控系统线性插补能力的 式 中， 、 、 、 分别 为点 、 、 、 对 一 产＼＼ 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 1 8 6 机械工程学报 第 4 5 卷第 7期 应的空间位置矢量 ，同时记 r 0 。 为圆心点 D 尸 的位置 矢量。 当机床工作台顺时针旋转 角时，工件随之旋 转 ，则 一 t o , R x 一 z t o , 9 式中， 、 表示圆心 随工作台顺 时针旋转 和 后对应点 q 、 的空间位置矢量 。相 应有 一 。 f 1 0 【 一 z M 式 中， 、 表示环形刀位参考点 Q l 、Q 2 分别 随工作台顺 时针旋转 。 和 后对应点 、 Q 2 的空间位置矢量 。 而各 自对应的摆动中心 C l 、C 2 位 置矢量为 』 rG 0 ⋯ f r c 2 z 一 一 0三一， ． 为分析切削误差，以Q点作为参考点，在实际 切削过程中，摆动中心作线性插值运动 r c 1 一 0 ≤ ≤1 1 2 式中， 为轨迹参数 ，， c ㈨ 为摆动 中心运动轨迹 C 的位置矢量 ， 则对应 Q点的运动轨迹 位 置矢量变化为 r c z 一Ry 一 Rr 0 Lr 1 3 而同时工件随工作台 ‰ 轴线性转动，即 R x 一 1 4 式中， r o A 为圆心 D 尸 随工作台顺时针转动 后 对应点 的位置矢量 ，此时 { 瓮 毒 ⋯ 2 G 2’ 15R R l ，．。一 1 一 。 2 在理想情况下， 与 的距离应等于 R ， 。因此，实际最大切削误差 ， ， l 一 。 r D D M s i n 0 c o s 0 o T 1 9 一 o m Y 一 一 R～， ． 0 L-r 式中， J ， l 为机床工作台转动坐标 影响切削误差的 空间矢量，n l ， 表示刀具轨迹圆弧逼近和机床运动 共 同作用的误差影响矢量， J ， l 是机床主轴转动坐标 及刀具参数对应的切削误差影响矢量。 可以看 出，最大切削误差不但包含 了弦长逼近 误差 ，还包含了机床转动坐标误差，与曲面几何参 数 R， ，非正交结构机床运动参数 ， ， ，刀 具参数 LR ， ， ． 均有关 ，对五坐标数控编程 中走刀 步长的计算产生重要影响。 3 走刀步长计算 走刀步长是满足精度要求的刀具轨迹曲线线性 逼近线段距离。在给定最大允许误差条件下，如何 有效估计最大走刀步长是数控编程 中刀具轨迹规划 的重要问题。 由基于机床运动模型的切削误差分析可知，走 刀步长 s R 0 但是式 1 7 复杂，无法推导步长 S 与 切削误差 e T的简单关系表达式。因此，在实际计算 中，通过近似迭代方法计算满足允许误差要求的最 大走刀步长 S 。假设已知刀轴方位计算方法 ，则 有以下几步。 f 1 根据当前切触点 尸1 的几何性质，建立局部 坐标系，并计算刀轴方位及对应的机床转动坐标； 初始化走刀步长 。 √ 8 。 2 按步长 6 “0 估计下一切触点 ，并计算相应 的刀轴方位及机床转动坐标。 3 根据式 1 7 ，计算实际切削误差 。 4 若 ≤e m a x，则 S m a xS o， 退 出 ；否 则 S 0 [ 1 一 一 ／ ， 返回 2 。 m a x ．1 ， 一 一 1 6 4算 例 分 析 将式 9 ～ 1 5 代入式 1 6 中，通过一次函数泰勒展 开， 并略去高阶无穷小量进行详细推导。 当 1 ／ 2 时，切削误差 取得最大值，代入 展开并化简得 * [竽 2m 3{IJ 1 7 △ 2 一 △ 一 。 1 8 针对某航空发动机 自由曲面形式叶片的五坐标 加工，进行其中某段刀具轨迹的走刀步长计算。机 床结构及参数如图 1 所示，刀具参数R 2 5 m i ll ， 4n 2 1 1q ，L 2 0 0 I i l i i 1 。给定最大允许误差 0 ． 0 1 ， 在变 步 长 。 √ 8 ‰ 条件 下刀 轴 倾角 变 化对实 际 切削误差的影响分布如图5 所示。可以看出，刀轴 倾角的变化引起机床转动坐标的变化 ，进而影响切 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 2 0 0 9年 7月 张莹等 基于机床 运动模型的走刀步长计算方法 1 8 7 削误差，是实际切削误差估计 的重要因素 。 占 襄 霹 0 0 ． 1 0．2 0 - 3 O．4 O．5 0 ． 6 0 ． 7 0 ． 8 0 ． 9 1 ．O 刀具轨迹曲线参数 f 图 5 0 条件下实 际切削误差分布 而不同走刀步长计算方法估计的实际切削误差 分布如图 6所示 。可 以看出，对于相同的刀具轨迹 曲线，本文算法的实际切削误差均小于最大允许误差 e m a x，较之传统变步长方法最大误差降低了 3 7 ． 0 1 ％。 而与等步长计算方法相 比， 平均步长增加 了 8 ． 9 1 ％， 意味着在曲面加工精度提高的同时，切削效率也得 到 了有效保证。 刀具轨迹 曲线参数 ， 图 6 不同步长计算方法的切削误差对比 5 结论 1 非正交结构五坐标机床的旋转轴可能是任 意空间直线 ，必须建立机床运动模型，实现任意刀 轴方位对应 的机床转角运动分解 。 2 最大切削误差不但包含弦长逼近误差，还 包含机床 转动坐标误差 ，与曲面几何参数、机床运 动参数和刀具参数有关。 3 在实际切削误差估计 的基础上 ，通过近似 迭代方法计算满足允许误差要求的走刀步长。 4 通过对一个 自由曲面形式的叶片进行具体 的刀具轨迹走刀步长计算表明，在相 同的误差允许 条件下 ，本文算法较传统变步长方法，最大误差降 低了 3 7 ． 0 1 ％，而平均步长相对于等步长计算方法， 增加 了 8 ． 9 1 ％。可见基于机床运动模型的走刀步长 计算方法是提高五坐标 曲面加工刀具轨迹精度和效 率的有效方法 。 参考文献 [ 1 ]周济，周艳红．数控加工技术【 M】 ．北京国防工业出 版社 ，2 0 0 2 ． Z HOU J i ， ZHOU Ya n h o n g ．T e c h n o l o g y o f NC ma c h i n i n g [ M] ．B e i j ing Ni o n a l De f e n c e I n d u s t r y P r e s s ， 2O0 2． [ 2 】HWANG Y R ， L I A NG C S ．C u t t i n g e r r o r s a n a l y s i s f o r s p i n d l e t i l t i n g t y p e 5 - a x i s NC ma c h i n e s [ J ] ．I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f Ad v a n c e d M a n u f a c t u r i n g T e c hn o l o g y , 1 9 9 8 ， 1 4 6 3 9 9 - 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4 5 3 7 5 4 5 ． [ 8 】 L E E R S ， S HE C H．D e v e l o p i n g a p o s t p r o c e s s o r for t h r e e t y p e s o f fi v e a x i s ma c h i n e t o o l s [ J ] ．I nte r n a t i o n a l J o u r n a l o f Ad v a n c e d Ma n u f a c t u r i n g T e c hno l o gy,1 9 9 7 ，1 3 9 6 5 8 ． 6 6 5 ． 作者简介张莹，女，1 9 8 1 年出生，博士研究生。主要研究方向为复杂 曲面的计算机辅助几何设计及多坐标数控加工理论。 ． E ma i l z h a n g y mg h e l e n 1 6 3 ． c o rn g 噻 襄 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m