并联机床空间曲线等弦长插补算法研究.pdf

1 6 2 机 械设 计 与制造 Ma c h i n e r y De s i g nMa n u f a c t u r e 第 3 期 2 0 1 0年 3月 文章编号 1 0 0 1 3 9 9 7 2 0 1 0 0 3 0 1 6 2 0 2 并联机床空间曲线等弦长插补算法研究 卢军霞赵庆志王友林姜培昌 山东理工大学 机械工程学院， 淄博 2 5 5 0 4 9 Re s e a r c h o n s p a c e c u r v e i n t er p o l a t i o n o f e qu a l c h o r d l e n g t h f o r p a r a l l e l ma c h i n e t o o l L U J u n - x i a ， Z H A O Q i n g z h i ， WA N G Y o u l i n ， J I A N G P e i c h a n g S c h o o l o f Me c h a n i c a l E n g i n e e r i n g ， S h a n d o n g Un i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y ， Z i b o 2 5 5 0 4 9， C h i n a 【 摘 要】 通过对空间隐式方程曲线、 参数方程曲线的插补算法的研究， 把等弦长插补算法用于并联 5 6机床， 用微小直线 段拟合曲 线。 首先根据弦长求出 各离 散点， 并求出 其对应杆长， 根据 相邻两点 之间的 杆 9 9长 增量 按比 例进给。 插补无累 积误差， 从而 提高了 插补算法的准 确性和高 效 性。 关键词 并联机床； 插补算法 ； 空间曲线 ； 等弦长 6 【 A b s t r a c t 】 T h e i n te r p o l a t i o n a l g o r i t h m s o f e q u al c h o r d l e n g t h a r e a p p l ie d p a r al l e l M a c h in e t o o l 2 t h r o u g h d i s c u s s in g t h e i n t e r p o l at i o n of i m p l i c i t c u r v e a n d p ar a m e t r i c c u r v e ． C u r v e s a p e ap p r o x i m a t e d b y s t r a i g h t - l i n e s e g m e n t s ． F i n d o u t d i s c r e t e p o i n t s b a s e d o n c h o r d l e n gth a n d t h e i r c o r r e s p o n d i n g l e n gth D ／ s h ank s ． P r o p o r t i o n n te rp o l at io n b a s e d o n in c r e m e n t ofi n t e rf aci n gp o in t ． A c c u r at e and h i g h ef fi c ie n c y of 5 5 i n t e r p o lat io n al g o r it h ms ar e e n s u r e d a s r e s u h ofn O c u m u l at i v e i n a c c u r acy ． 2 K e y w o r d s P a r a l l e l ma c h i n e t o o l ； I n t e r p o l a t i o n a l g o r i t h m s ； S p a c e c u r v e ； E q u a l c h o r d l e n g t h ● ◇●● ● ●● ●◇● ●◇●◇●◇●◇● ● ● ◇● ● -◇● ●●◇●◇●●◇● ●◇● ● ● ● ● 中图分类号 T H1 2 ， T G 6 5 9 文献标识码 A 并联机床 又称虚拟轴机床 打破了传统机床固定导轨导向 的方式，采用可变长度杆驱动主轴作多自由度运动的并联结构。 并联机床与传统机床的本质区别在于刀具在操作空间中的运动 是关节空间伺服运动的非线性映射， 即使是刀具两离散点的简单 匀速直线运动也将被映射为各伺服轴的变速运动， 比较进给的方 法无法应用于并联机床，所以采用等弦长法进行并联机床插补， 其基本思想是使用微小直线段拟合曲线 ， 首先根据弦长求出各离 散点， 并求出其对应杆长 ， 然后根据相邻两点之问的杆长增量进 给。所以， 准确高效的求解离散点的坐标值是提高并联机床加工 效率的重要因素，以6 - U P U并联机床为例介绍并联机床空间曲 线的插补算法。 l 并联机床逆解模型 并联机床刀具在操作空间中的运动是关节空间伺服运动的 非线性映射 又称虚实映射 。 因此， 在进行运动控制时， 通过逆解 模型求得相应杆长， 只对平动逆解模型进行说明。 如图 1 所示， 坐标系O - XY Z建立在固定平台上， 0为正六边 形 A B C D E F外接圆圆心， 半径为 r ， 动平台A B C 。 D 。 E 。 的外接 圆半径为 两平台半径之差。 图 1并联机床机构简图 由于平动时上下平台相似， 设其顶点』4 ， B B ， c c 。 ， D D ， E E ， 对应的单位向量分别为 元 ， ， ， ， ， 元 6 ， 任意 分支向量， 如图2 所示。 p r l i n k z k l ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 即 2 △ 式中 一动平台位置中心向量。 图 2顶点向量 图 标量化后求得位置反解为 一2 A ； △ r 2 1 利用此方法可以准确求解各离散点对应的杆长， 从而把月具 位姿及速度信息变换为伺服系统的控制指令， 以驱动并联机构实 现刀具的期望运动。 2 空间曲线插补算法 空间二次曲线形状简单且有较广泛的应用， 用等弦长法解决 了此类曲线插补问题。 2 ． 1 参数方程曲线的插补算法 2 ． 1 ． 1弦长与参数的关系 空间曲线的参数方程为 f x x t { y y t 2 l ￡ 第3 期 卢军霞等 并联机床空间曲线等弦长插补算法研究 1 6 3 曲线的增量方程为 I △ f △ ￡ z { A y y t A t - y t 3 I A z z t A t - z t 、 ／ 4 式中 拟合曲线的弦的长度， C N C系统要求每次插补所形成的 弦长相等， 在满足弦长￡相等时， 的是动态变化的， 因此实际 插补算法不能建立在参数的等分上，而是每个弦长， J 相等的 基础 匕 ， 如何陕速准确的选取A t 是影响拟合效率的重要因素。 假设所对应的曲线上的点 Y o ， Z 。 ， 可知 4 式是关于 的 方程。构造关于的函数 ， △ 2 A y z 2 _ L 5 2 ． 1 - 2 确定求解区间 当A t O时 A t - L 2 0 ， 并且在区间内存在唯一的 △ ￡ 满足 A t --- - } 。 2 ． 1 ． 3 求解 利用二分法在区间[ 0 ， m] 内求解方程 A t 0 ， 二分法的优 点是算法简单， 且总是收敛的， 虽然不能准确求出方程的根， 但是 在满足精度要求的前提下，可以快速为根求得一个较好的近似 解。为了方便计算， 有根区间用 a ， b ] 表示， 逐渐缩小区间直至小 于允许误差。 由 可求得 t o A t 所对应的坐标值 ， Y ， z ， 此种方法可以 准确高效的对参数曲线进行离散化。 2 _ 2 隐式方程曲线的插补算法 空间曲线是由空间曲面相交获得， 其隐式方程为 ，y ， 。 6 t g x ， Y ， z J 0 2 2 2 L 7 直接求解 6 7 计算量较大， 影响插补速度， 为了在满足精 度要求的前提下快速求解隐式方程曲线的离散点， 对曲线方程进 行微分变换。 微分方程的数学表达式如下 f d ， 要 要 O { ． z 8 I 誓 誓 对表达式 6 进行泰勒展开如下 ， ， - ， ， Y ， 西 f o 1 l ， ” ， z ， Y ， 其中， 是高阶微分， 舍去后仍然能够满足精度要求。 当点 Y o ， z 。 和弦长L已知， 把 8 式代入 9 并和弦长 ￡组 成关于 ， ， 三元二次方程组 l a u d a , fl y 0 1 3 0 ， Y o ， z 0 { 口 2 l以 c 2 一 0 ， Y o ， o 1 0 I ，J 因为计算过程舍去了 高阶 微分 ， 大大增加了求解速 度， 方程组 1 o 的解分别为 ， 。 ， ， 如， ， d z 2 两种情况， 如 图 3 所示。从图中可以明显看出要舍去 ， ， ， 但需要转化 成数学表达式进行判断。 曲面 ， Y ， z -- - o和 ， Y ， 0在 Y o ， Z 0 处的法向量分别为 ， ， 即可得到曲线在此点的切向量 。 。 同时构造方程的解向量 d x 。 ， ， 。 6 ， d 其与切向量的夹角的余弦分别为 c 0 s 0 ， 二 1 1 c o s 0 2 1 2 面 根据余弦值的符号来进行取舍， 把小于 0 的舍去， 观察 1 1 、 1 2 可知 和 都是正数， 进而简化为判断a 芋 和 后直接 进行取舍。根据 1 式求解杆长， 然后根据杆长增量进行进给。 图3隐式方程解向量 图4弓高与弦长的关系 通过试验表明， 根据机床的精度要求选择弦长， 此方法得到的 离散点完全满足精度要求， 而且减小求解的复杂性， 提高了效率。 3 误差分析 空间曲线由等长度弦拟合得到， 保证了直线的两个端点都在 曲线上， 避免了累计误差 ， 提高了插补精度。 等弦长插补算法的误 差由两部分组成 曲线拟合产生的粗插补误差和离散后直线段的 精插补误差。等弦长拟合误差， 如图4所示， 弓高误差 ， 设第 七 、 k 1 个离散点的曲率半径分别为风、 R ， 图中4 a 所示。 曲线弧 近似认为是半径R m i n R 。 ， R 的圆弧， 图中4 b 所示。 的近似解 为 一 、 ／ 二 砑 。精插补误差 不超过一个脉冲当量 s ， 因 此 ， 总误差量满足 s m a X IA h I IA S I 。 4结论 并联机床的动平台采用运动物理量的直接控制是难以实现 的， 为了满足并联机床的空间位置和运动姿态的要求采用间接控 制策略， 把空间曲线离散为等弦长的直线段 ， 通过离散点把 6 个 独立的驱动杆有机地协调起来； 另外， 等弦长插补无累计误差， 而 且弦长的取值与实际加工精度和运算速度是一致的， 所以空间曲 线的等弦长插补算法不仅能够保证并联机床的精度， 而且能够提 高加工效率。 参考文献 1 张伟． C N C系统 中任意空间曲线的插补方法[ J ] _ 机械 ， 2 0 0 2 ， 2 9 2 3 6 - 3 7 2 金建新． 机床C N C 系统中任意空间曲线的可控步长插补方法 [ J ] ． 机械工 程学报 ， 2 0 0 0 ， 3 6 4 9 5 9 7 3 周海安． 基于Wi n d o w s 三坐标数控系统控制方法的研究 [ D] ． 山东理工大 学学报， 2 0 0 7 1 5 - 2 2 4 李庆扬． 数值分析[ M] ． 北京 清华大学出版社， 2 0 0 1 2 6 2 2 6 5 5 刘文涛， 盂庆鑫， 王知行． 并联机床线性运动插补研究[ J j ． 中国机械工程， 2 0 0 4 ， 1 5 1 2 7 2 9 6 倪田 荣， 范守文． 新型并联机床数控系统插补算法的研究 [ J ] ． 工具技术， 2 0 0 3 ， 3 7 5 1 6 ～ 1 9