渐开线内啮合齿轮泵内齿圈内壁受液压力的计算.pdf

液 压 气 动 与 密 封 ／ 20 1 6年 第 0 3期 d o i l O 。 3 9 6 9 ． i s s n ． 1 0 0 8 0 8 1 3 。 2 0 1 6 ． 0 3 ． 0 1 5 渐开线内啮合齿轮泵内齿圈内壁受液压力的计算 黄 鹏 四川省宜宾普什驱动有限公司， 四川 宜宾 6 4 4 0 0 0 摘 要 针对内啮合齿轮泵内齿圈与泵体间可能发生的胶合问题 ， 对内齿圈内壁所受液体压力进行研究。将内齿圈齿廓曲线分为四 类 ， 分别对其在不同区域所受液压力进行了理论推导 ， 给出了考虑齿廓形状受力的精确计算公式； 采用辛普森公式逐次分半算法对不 同时刻内齿圈受力进行数值积分， 得到内齿圈内壁受液体压力随时间变化的情况， 计算结果较传统的简化计算方法大， 对内啮合齿轮 泵的设计具有一定的指导作用。 关键词 内啮合齿轮泵； 液压力； 渐开线齿廓； 数值积分 中图分类号 T H1 3 7 ； T H3 文献标志码 A 文章编号 1 0 0 8 - 0 8 1 3 2 0 1 6 0 3 - 0 0 4 6 0 4 Co mp u t a t i o n o f Hy d r a u l i c Fo r c e o n I n ne r Ri n g W la U o f I n v o l u t e I n t e r n a l Ge a r Pu mp HUA NG Pe n g P u s h D r i v e C o ． ， L t d ． ， Y i b i n 6 4 4 0 0 0 ， C h i n a Ab s t r a c t Ac c o r d i n g t o a g g l u t i n a t i o n f a i l u r e i n i n t e r n a l g e a r p u mp ， r e s e a r c h o f h y d r a u l i c f o r c e o n i n n e r s u r f a c e wa s c a r r i e d o u t ． T h e t o o t h p r o fi l e c u r v e s we r e d i v i d e d i n t o f o ur c a t e g o r i e s a n d t h e p r e c i s e c o mp u t a t i o n a l e q u a t i o n s for e a c h c a t e g o r y i n d i ff e r e n t z o n e s we r e d e d u c t e d ． T h e v a r i a t i o n o f h y d r a u l i c f o r c e wa s c a l c u l a t e d wi t h S i mp s o n f o r mu l a s u c c e s s i v e s u b s t i t u t i o n a l me t h o d ． Th e r e s u l t s h o ws t h a t t h e h y dra u l i c f o r c e i s g r e a t e r t h a n t h e r e s u l t c a l c u l a t e d b y t r a d i t i o n a l s i mp l i fie d me t h o d ． Ke y wo r d s i n t e ma l g e a r p u mp ； h y dra u l i c f o r c e ； i n v o l u t e t o o t h p r o fi l e ； n u m e ri c a l i n t e g r a t e O 引言 渐开线 内啮合齿 轮泵 由于其流量和压力脉动小 、 效率高、 噪声低等特点， 受到了广泛的应用n 。在内啮 合齿轮泵运行过程中， 内齿圈会受高压油的液压力作 用， 内齿轮外壁对泵体会产生较大压力， 可能会造成内 齿圈与泵体发生胶合失效口 。然而 ， 目前对于内啮合齿 轮内齿圈内壁所受液压力的计算 ， 往往采用简化的方 式 ， 即将液压力简化为仅作用在齿顶圆上1 。实际上 ， 液压力是作用在内齿圈渐开线的轮廓线上 ， 且作用力 方向为渐开线轮廓线的法向， 并且采用传统计算方式 并不能得到受力随着 内齿圈转动的变化情况。此处对 考虑渐开线轮廓的内齿圈内壁受液压力的情况进行详 细推， 对内啮合齿轮泵的设计提供参考。 1 内齿圈受液压力的计算 内啮合齿轮泵内齿圈受液压力主要有两部分 ， 即 作用在齿圈内部作用于齿廓曲线的液压力和齿轮泵出 口处平衡槽内作用于内齿圈外部的用于平衡一部分内 部液压力的平衡力。内齿圈外部液压力的计算较简 单， 此处仅考虑作用在内齿圈内部的液压力的计算。 收稿 日期 2 0 1 5 0 9 2 1 作 者简介 黄 鹏 1 9 8 7 一 ， 男 ， 四川泸州人 ， 助 理工程师 ， 硕士 ， 研究 方向 液压元件设计。 4 6 以内齿圈圆心为原点， 以内齿轮和外齿轮中心的 连线为 轴 ， 建立坐标系如图 1 ， 图中的两条虚线将区 域分为三部分 高压区、 低压区和过渡区。高压区即液 压油在此区域被齿轮压出形成高压 ， 即 0 ， 西 ． 的部分 受到输出压力P 的作用 ； 低压区即相互啮合的齿轮在 此脱 开吸入液压油 ， 即 2 订 的部分直接 与油缸连 接， 压力与油箱压力相等， 一般取为零 ； 过渡区即为高 压区和低压区间被新月形片隔离 的区域 ， 即 的 部分 ， 假设此 区域 内的压力 随圆心角 的变化呈线性分 布 ， 则整个内齿圈圆周上压力 的分布为 p P 0≤咖≤咖 ． ． 咖 一 咖 z 咖 t- ≤ 1 0 咖 2 2 咖≤2 “ r r ， ，、＼＼ 压油区 ‘ 低压区 ， 吸油区 图 1内齿图示意图 由图1 所示， 忽略齿廓问过渡曲线 ， 整个内齿圈的 Hy d r a u l i c s P n e u ma t i c s S e a l s ／ No ． 0 3 ．2 01 6 轮廓由1 4 种小线段连接形成 ， 接下来分别讨论4 种曲 线在各个区域的受力情况。 1 ． 1 渐开线发生线逆时针纯滚动 齿廓渐开线的发生线逆时针做纯滚动， 即曲线 1 的 情况 ， 如图2 。渐开线齿廓在齿顶圆上的起点和齿根圆 上的终点所对应的角度分别为 西 和 ， 想对应的齿顶 圆压力角和齿根 圆压力角分别为S 和S ， 在 圆心角 西处 取一微元 d西， 则该微元 所对应 的渐开线为 d Z ， 作用在 该微元渐开线上的液体压力为d F ， 若该渐开线受到的 液体压力为P ， 其垂直于纸面的轴向宽度为B， 则 d F B p d l 2 图2 曲线 1 受力分析示意图 考虑到渐开线的参数方程 r 3 r 二 。 。 j COS S 0 t a n s s 4 则由平面曲线的弧长求法 d l √ r r 2 o a o 5 又 r 啬 ‘ 6 d r 一d rb d a C O S r h s e c t a n 7 d 、 ⋯ 一⋯⋯ ⋯ d O -d s t a n s- s e c 2 o ／ -1 8 将式 7 8 带人 6 r O r b s e c st a n s 1 9 将式 3 8 带入 5 d ／ t a n s S e C s d a 1 O 将式 1 0 带人 2 d F r b B Pt a n s s e c a d s 1 1 由图2 知 ， d F与 方向的夹角为口， 又 A 卢 要 1 2 A 詈一 ， 日 IT 一 1 3 将式 1 3 带人 1 2 ． 咖一 IT 1 4 则d F 在x、 Y方向的分力分别为 d F c o s fl d F r h B p c o s f S 一 - 5 - 1t a n S s e c a d s 1 5 d F s i n fl d F r b B p s i n 咖 一 号t a n s e c a d s 1 6 由图2 中放大的部分可知， 在西 处对应的渐开线的 展角为0 ， 内齿圈齿顶圆对应的渐开线展角为 ， 故 0 咖一 0 即 咖 0 1 0 t a n s一 咖l 一 0 1 7 将 4 1 7 带人 1 5 1 6 d F r hB p c o s ta n s 咖 l - 0 一 5竹 - 1ta n s e c a d s 1 8 F r h B p s i n t a n s 4, 一 0 一 号t a n s e c a d s 1 9 对整个渐开线在 ， 内积分 ， 即可得到整段渐 开线所受x、 Y 方向的受力， 即 F x 却 c 。 s ta n s 4, 1 -- 号 j ta n s s e c Zs d 2 0 F f2 r bB p s in ta n s 一 一 号 ta n a s e c 2s d 2 1 考虑到曲线随着齿轮的转动， 其位置会发生改变 ， 则在某一任意时刻其可能处于 高压区、 低压区、 过渡 区、 一部分在高压区一部分在过渡区、 一部分在过渡区 一 部分在低压区和一部分在低压区一部分在高压区六 种情况。 1 渐开线处于高压区。此时， 液体压强p _ p ， 则 F x - r bB p fC O S ta n s 号 ta n s s e c Zs d F y r b B p arS in ta n s j ta n s s e c 2s d 2 渐开线处于过渡区 F x - r b B t a n s - s cos t a n s 咖 1 0 一 1ta n s e c a d s F y r b B t a n s - a - s in f t a n s 1 0 一 3竹 - 1t a n S s e c a d s 3 渐开线处于低压区。此时， 液体压强p 0 ， 则 F 0 ，F 0 若渐开线处于六种情况 中的后三种情况， 则将渐 开线进行分段积分 ， 求各段在其所处区域所受 、 y 方 向的受力， 然后再分别求和， 则可以得到整个完整渐开 线的受力。 1 ． 2渐开线发生线顺时针纯滚动 齿廓渐开线的发生线逆时针做纯滚动， 即曲线2 的 情况 ， 如图3 所示。按2 ． 1 ． 1 的分析方法如图， 渐开线发 4 7 液 压 气 动 与 密 r,d - ／2o l 6年 第 0 3期 生线顺 时针滚动时 ， “ i T 一 咖 ， A B 号 即 B A 一 号 ---- O -- ， 卢 詈 一 B 咖 一 号 l 垒 l 3 曲线 2受 力 分 析 不 蒽 圈 则 在 、 y 方 向的分力分别为 d F c o s fl d F 却 c 。 一 t a n c 池 d ， s in fl d F r 印s i n f -- O l t a n a s e c 2 0 L 妇 又0 一 咖 0 即 咖 一 0 2 0 一 t a n 咖2 0 将 的表达式 带人微元在 、 y 方 向受力的表达式 ， 并对整个渐开线在 O ／ ， O ／ 内积分 ， 即可得 到整段渐 开 线所受 X、 Y方向的受力 ， 即 F x B p c 。 s t a n c - z 一ta n a s e c 2 d 2 2 F - f rr b 8 p s i n f t a n a - z 一 一 t a n a s e c 2 a d 2 3 曲线 随着齿 轮的转动 ， 其所处位 置同样存在六 种 情况 。 1 渐开线处于高压区 此时， 液体Kp p ， 则 F x - r b B p c 。 s ta n a - z 一 一 ta n a s e e 2 o ／d F y -- r b B p s in ta n a - 咖 一 一 - t a n a s e c Za d 2 渐开线处于过渡区 F x -- T b - t a n a a ” c 。 s ta n a - 一 一 - ta n a s e c 2 o／d F y -- r b - t a n a a ” s ta n a - 一 号 j ta n ⋯c ＼ 二 ／ 3 渐开线处于低压区 此时， 液体Kp 0 ， 则 F 0 ，F 0 若渐开线处于6 种情况中的后3 种情况 ， 则将渐开 线进行分段积分， 求各段在其所处区域所受 、 l ， 方向 的受力 ， 然后再分别求和， 则可以得到整个完整渐开线 的受力 。 1 ． 3 齿根圆、 齿顶圆上的圆弧段 齿 根 圆 、 齿顶 圆上 的圆弧 段 ， 即 曲线 3 和 4的情 况。如 图4 所示 ， 一段圆弧的起点和终点所对应的角度 分别为咖 。 和 ， 在圆心角咖 处取一微元 ， 则该微元所 对应的圆弧长度为d l ， 作用在该微元圆弧上的液体压 力为d F ， 若该圆弧受到的液体压力为P ， 其垂直于纸面 的轴向宽度为B ， 则 d F d l r B p d 4, 图 4 曲线 3 、 4受力分析示意 图 则 在 、 y 方向的分力分别为 d F r B PC O S 4, d 4, d F r B P s i n 4, d 4, 对整个圆弧段在 西。 ， 西 内积分， 即可得到整段 圆弧所受 、 y 方 向的受力 ， 即 F r B p C O S 4, d 4, F r S p s i n 4, d 4, 其中 ， 若小 圆弧段在齿顶 圆上 ， 即曲线编号为 4 ， 则 r T a ； 若小圆弧段在齿根圆上， 即曲线编号为3 ， 则r r f 。 1 圆弧段处于高压区 此时， 液体压强p ， 则 F r S p 2C O s 4, d 4, r S p s i n 4, - s i n 4, ． F rB p f2 s in 4, d 4, 一 r B p C O S 4, -- C O S 4, 。 2 圆弧段处于过渡 区 F 培 。。 p 一 2 2 l [ 4, 。 2 咖 - 4 , 一 2 。 。 s i n 4, 。 2 一 咖 1一 22 n 咖 1 l 一 os l 3 圆弧段处于低压 区 F 0 ，F 0 同样 ， 若圆弧段处于六种情况中的后三种情况， 则 将圆弧进行分段积分 ， 求各段在其所处区域所受 、 l ， 方 向的受力 ， 然后再分别求 和， 则可以得到整个完整 圆 弧段 的受力。 Hy d r a u l i c s P n e u ma t i c s S e a l s ／ No ． 0 3 ． 2 0 1 6 至此， 知道任意时刻内齿圈内齿形的位置， 即可求 出齿圈内壁每一段渐开线和圆弧的受力， 对每一段所 受的力求和， 即得整个齿圈内壁所受分别在 方向和y 方向的合力。 2 计算流程及计算结果讨论 2 ． 1计算流程 齿轮泵内齿圈内壁所受液压力计算的计算流程 如下 1 读人 内齿圈参数 齿数 、 模数 、 压力角 、 压力区 的边界等 ， 运行参数 输 出压力 、 转速等 及计 算控制 参数 积分精度、 最大计算步数等 ； 2 计算内齿圈渐开线结构参数及初始时刻内齿 圈各段小曲线的位置分布； 3 置计数器为零 ； 4 根据各段小曲线的编号 ， 采用上述 已推导出的 对应的计算式 ， 对各段小曲线的受力情况进行计算； 若 小曲线全部在一个区域 ， 则直接采用推导的计算式进 行计算 ； 若小曲线跨过两个区域， 对于渐开线则首先调 用子程序计算分界线在渐开线上所对应的压力角 ， 再 分两段对压力角进行积分并求和， 对于圆弧段则直接 以分界线所对应 的圆心角为界 ， 分别对两段圆弧进行 积分并求和 ； 5 将所有小曲线段 的受力求和 ， 得到整个 内齿 圈 内壁所受液压力， 输出结果； 6 计数器加 1 ， 若计数器的值大于最大计算步数 则停止计算 ； 7 根据转速更新各段小曲线的位置； 若有曲线段 的端点所对应的圆心角的值超过 3 6 0 。 ， 则将其转化在 03 6 0 。 间； 8 重复 4 到 7 的步骤 。 对于第 4 步中积分式的计算 ， 采用S i m p s o n 公式 的逐次半分算法进行数值积分， 积分精度为1 0 一 。 2 ． 2 计算结果及讨论 对给定参数进行 内齿 圈内壁受液压力 的计算 ， 其 中 模数m -- 3 m m， 齿数z 1 9 ， 分度圆压力角o 2 2 ．5 。 ， 变 位系数x 0 ．5 2 8 5 m m， 齿根圆d 6 6 m m， 齿顶圆直径 矾 5 4 ． 1 5 m m， 7 0 ． 0 4 。 ， 1 9 9 ． 5 3 。 ， 输出压力p h 1 0 MP a ， 转 速w l O O O r ／ mi n 。 由图5 及图6 可以看出， 内齿圈内壁受液压力合力 大小在 3 2 4 4 4 ～ 4 0 0 8 5 N内呈周期性变化， 其随时间的 平均大小为 3 5 3 4 5 N， 同时 ， 受力 方 向在图 1 的坐标 系 中， 与x 轴正 向的角度在 6 8 ． 9 。 一 7 3 ． 7 4 。 内呈周期性变化 ； 对照采用传统计算方法计算结果 ， 液压力合力大小为 3 7 8 8 5 N， 合力的方向为7 0 。 ； 采用传统方法计算得到的 合力较考虑渐开线轮廓计算的最大合力小。 计算步 数 ／ 步 图6 内齿圈内壁所受合力方向 3 结论 1 通过理论推导和编制程序进行数值计算， 得到 了计算内啮合齿轮泵内齿圈内壁受液压力的情况 ， 计 算得到 的最大液压力较采用传统方法计算 的液压 力大 ； 2 发展 了一套计算程序 ， 可以较方便地计算 内啮 合齿轮 内齿 圈内壁受液体压力 的情况 ； 3 为下一步考虑齿圈平衡槽的设计 、 外齿轮轴 的 校核及 内齿圈与泵体问的油膜承载能力的考察奠定 了 基础。 参考文献 [ 1 ] 何存兴． 液压元件[ M】 ． 北京 机械工业出版社， 1 9 8 2 ． [ 2 ] 李康康． 高压内啮合齿轮泵关键技术研究【 D 】 ． 沈阳 辽宁工 程技术大学， 2 0 1 2 ． [ 3 】 宋伟． 渐开线水液压内啮合齿轮泵研究【 D ] ． 杭州 浙江大 学， 2 0 1 3 ． [ 4 ] 李宏伟， 高绍站． 内啮合齿轮泵齿轮轴的受力分析【 J ] _ 液压 与气动， 2 0 0 7 ， 5 7 0 7 2 ． 【 5 ] 王强， 姜继海， 袁俊超． 利用流场仿真技术计算水压外啮合 齿轮泵内液压径向力 流体机械， 2 0 0 8 ， 3 6 6 3 9 4 2 ． 【 6 ] 郑文纬， 吴克坚． 机械原理 [ M] ． 北京 高等教 育 出版社， 1 9 9 7 ． [ 7 ] 邱鹞， 等． 外啮合齿轮泵工作原理探究[ J ] ． 液压气动与密封， 2 0 1 5 ， 4 1 0 1 1 ． [ 8 】 祝海林， 等． 双作用齿轮泵【 液压气动与密封， 2 0 1 4 ， 5 62- 64． 4 9