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第 2 9卷第 6期 Ol L AND GAS F l E L D DE VEL OP ME NT 分形球向流油气藏模型及其解 盛翠翠李顺初许东旭 西华大学应用数学研究所 ， 四川 成都 6 1 0 0 3 9 油号田开发 摘 要 对不稳定渗流 的数 学模 型进行 了推 导，建立 了以变流 率生产 和考 虑表皮效应影响 的分形球 向 流油气藏的数学模型， 利用 L a p l a c e变换 、 变型B e s s e l 函数性质和数学物理方程方法求得在三种不 同外边界 无穷大、 定压、 封闭 条件下的L a p l a c e空间储层压力和井底压力的表达式， 分析 了分形维 数、 分型指数和表皮效应对储层压力和井底压力的影响。 对研究分形球向流油气藏的试井分析和研 究其渗流规律具 有重要意义 。 关键词 分形 油气藏 ； 球 向流 ； 表皮效应 ； L a p l a c e变换 文 献标识 码 A 文章编号 1 0 0 6 5 5 3 9 2 0 1 1 0 6 0 0 5 5 0 4 0前言 分形作为非线性科学 的三大块之一 ． 已被广泛运 用于多种学科领域 。在油气工程学科中 ， 已成为描述 介质复 杂性 的有力 工具 。 自从 1 9 1 9年 Ha u s d o r f f E 首 次提出分数维 ， 定义了 H a u s d o r f f 测度以来 ， 直到 1 9 8 2 年 Ma n d e l b r o t E 才创建和发展 了分形几何 ． 它是描述 自然界 中常见的 、 变幻莫测的、 不稳定的 、 非常不规则 的现象 。 大量的理论与实践证 明[ 3 - 1 1 ] 把分形理论引入 渗流力学 ， 能有效地描述油气藏孑 L 隙的复杂性 。 使建 立的分形油气藏模型更接近于实际油气藏。 在实际油气层开采中 ， 当采用储层 只打开很少 的 层段 、 不完善钻井及底水推进等方式开采时 。 流体球 向流入井内。很多油气藏研究表明E 1 2 ] ， 在钻井过程中， 泥浆中的固体颗粒直接堵塞井筒壁附近的油层孑 L 隙 ， 使井筒壁被污染 ， 导致井底附近 的流体渗流阻力大于 理论上的渗流阻力。 本文把分形理论 、 球 向渗流规律和井筒壁被污染 程度 即表皮效应 引入油气藏 中， 建立了考虑表皮效 应影响的分形球向流的数学模型 ，用 L a p l a c e变换把 建立的偏微分方程初边值问题转化为常微 分方程定 解问题 ， 再利用变型 B e s s e l 函数性质和数学物理方程 方法解出了在三种不同外边界 无穷大、 定压和封闭 条件下 的 L a p l a c e 空间的储层压力和井底压力 的表达 式 ， 从其表达式可 以很清晰地分析 出分形维数 、 分形 指数和表皮效应对储层压力和井底压力的影响。 1 分形球 向流油气藏物理模型 a 分形维数为 的分形渗流网络嵌入到 d维欧 几里得岩块 中， 渗流 只发生在分形 网络 中． b 空隙介 质均一， 各 向同性 ， 产层厚度均匀 ； C 介质压缩 系数不 变 ； d 流体微可压缩 ； e 无物理化学反应 ； f 忽略重力 、 毛管力 的影响 ； g 单 相流体球向渗流流人井内 ； h 不 考虑井筒储集 的影响， 考虑表皮效应的影响； i 储层中 只有一 口井生产 ； i 开井前 ， 油藏中各处压力均等于原 收稿 日期 2 0 1 1 - 0 8 - 0 6 基 金 项 目 国家科技重大专项项 目 2 0 0 8 Z X 5 0 4 4 3 1 4 ； 西华大学应用数学重点学科资助项 目 X Z D 0 9 1 0 - 0 9 1 ； 西华大学创新基金 Y C J J 2 0 1 1 1 8 作 者 简 介 盛翠翠 1 9 8 8 - ， 女 ， 江西抚州人 ， 助教 ， 硕士 ， 主要从事微分方程及其应用 和渗流力学研究。 5 5 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 5 6 天熟 亏 与石 油 N A T U R A L G A S A N D O IL 2 0 1 1 年1 2 月 始地层压力P o ， 开井后以变流率 q 生产。 2 分形球 向流油气藏 数学模 型 2 ． 1 数学 模型 的建 立 对分形球 向流油气藏 ， 孑 L 隙度和渗透率的分布规 律可 表示 为 l l 3 ] 4, f r f 一 ／- dt-d 1 式中 分形孔 隙度 ， 无量纲 ； 井壁孑 L 隙度 ， 无量纲 ； r 储层 中任一点距井 口的距离 ， m； r 井筒半径， m； 欧几里得空间维数 ， 无量纲； d 分形维数 ， 无量纲。 k f k f dr d-O 2 式中 分形渗透率， m ； 井壁渗透率 ， m 。 ； 分形指数 ， 无量纲。 运动方 程 r 一 3 d r 式 中 流体球向流速， m ／ s ； p 储层中任一点处的压力 ， MP a ； z 一储层流体粘度 ， m P a S 。 连续性方程 枷 0 4 r 厶 O r Ot 式中p 流体密度 ， g ／ c m ； ￡ 时 间 ， S 把式 1 ～ 3 代入式 4 得分形球 向流油气藏线 性渗流方程 窖 旦 挈 咝 望 5 a r r a r ＼ F w ／ k 0 t 其 中 一 d - 8 2 ， ， c f _ 1 ，c I C L C f P d p f d p 式中 C 。 _流体的压缩系数 ， M P a ～ ； C f 岩石 的压 缩 系数 ， MP a ～ ； C ．综合压缩系数 ， MP a ～ ； p 流体密度 ， g ／ c m ； p 储层中任一点处的压力 ， MP a 。 初始条件 P r ， O 0 6 内边界条件 O r ㈩ 忆 式中日 原有体积压缩系数 ， m ／ m ； 5 表皮 因子， 无量纲。 外边界条件 外 边界 无穷 大 时P 。 。 ， 。 8 外 边 界定压 时P R ， p 。 9 外 界 封 闭 时 l 0 1 0 d r I R 式中q f 油井变流率 ， 13 1 ／ d ； p 厂原始 地层 压力 ， MP a ； 尺 一圆形油藏外边界半径 ， i n 。 2 ． 2数 学模型 的无 量纲化 定义如下无量纲量 无 因次化变量 ． 2 “ r r k w r ， 、 2 “ r r k r ， 、 p。 p加 w D 9 。 r [ ／nD - r D 式 中q 。 参考油井产量 ， m3 ／ d ； 下 标 D 无 量纲 w 井底 则式 5 ～ 1 0 无 量纲量 化形 式如 下 渗流数学方程 一a 2p o 旦 a r 6 F D O r b O t D 初始 条件p 。 r 。 ， 0 O 内边 界条 件 1 1 1 2 _I pwD srn 外边界条件 外边界无穷大时P o ∞， t D 0 外 边界 定压 时p 。 R n ， t 。 0 外界 封闭 时 j 0 O r D I ， D 1 4 1 5 1 6 3数 学模型 的 L a p la c e空间形式 取关于无量纲时间 t o 的 L a p l a c e变换m ∞ p D r D , z J 。 e 。 r 。 ， 。 d 。 ∞ p w o z 』 。 e -z t w 。 。 d r 。 。 J 。 e q D t 。 d r 。 则 上 述 的 分 形 球 向 流 油 气 藏 数 学 模 型式 1 1 ～ 1 6 转化 为如下 常微 分方 程 的边 值 问题 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 内边界条件 1 7 二 √ rn 外边界条件 外边界无穷大时 ∞， z 0 外边界定压时 o 尺 o ， O 拥时 d r D 1 9 2 0 2 t 4数学模型 L a p l a c e空 间解 定解方程式 1 7 为 3 2 - 1 y ．B e s s e l 方程 。 于 是 ， 它的通解可 由下式给出r 1 j 。 ro ， [A L f 2 0 ／ BK f 2 2 0 1 ／] 2 2 其 中L 、 K 为 阶的第一类 、 第二类变型的 B e S s e 1 函数 ； 曰为任意常数 ， 求其特解 时由内外边界 条件确定。 把式 2 2 代人内边界条件式 1 8 得 i f 2 0 f 2 0 q D 州 2 3 一 f 2 0 } ／ 2 0 1／．s 2 v⋯ -一 B24 4 ． 1 外边 界 无穷大 条件 下 的解 联合式 1 9 、 2 2 一 2 4 ， 解得外边界无穷大条件 下分形球 向流油气 藏数学模 型 L a p l a c e空 间的精确 解 L a p l a c e 空间无量纲储层压力 。 r D ， g D f 2 、 ／ T-2 0 ＼ f， 一 1 旱 ＼ 百 ／ r 、 2 V 2枷Y L a p l a c e空间无量纲井底压力 2 0／ 2 5 2 6 第 2 9卷第 6期 Ol L A N D GA S F I E L D D E V E L 0P ME N T 油号田开发 2 。‘ r。， 。 r。 蔫 27 、／ ， ＼ 。 ， ／ 、一、j 20 2 ⋯V 一 p wD办 。z 1 s _ _ f ‰ D 一 2 2 0 2 8 其中 ， ， ， ． K x z I 十 一 1 “ I m x z K y z 下同 。 4 ． 3外边 界封 闭条件 下 的解 联合式 2 1 ～ 2 4 ， 解得外边界封闭条件下分形 球向流油气藏数学模型 L a p l a c e 空间的精确解 L a p l a c e空间无量纲储层压力 篓 1， D 2 , 2 0 L a p l a c e 空间无量纲井底压力 一⋯ f 20 2 V ％ --一 1 I 1 一 J I 4 1 - , ‰ ,,v ] ／ 2 ， ／4／ I 、 ／ 川＼ l ，‰‘ ， 3 0 5结论 a 本文将分形理论应用于渗流力学 ， 描述了分形 球 向流油气藏流体的渗流规律 ， 建立 了其线性数学模 型 ， 并求得了此模型的解。该研究扩大了渗流力学 的 研究领域 ， 为研究分形球 向流油气藏打下了坚实的基 础 。 b 从式 2 5 3 0 可以看出， 分形维数 、 分形指数 和表皮效应对储层压力分布和井底压力分布的影响 d r 2 、 0 0是只考 虑表皮效应影响的经典球 向流油气 藏数学模型的解 ；表皮效应对储层压力没有影 响， 对 井底压力有影响 ， 且 w D o 1 ， 5 ， 井底 污染 越严重 ， 井底压力越小 ， 反之则相反。 e 一般情况下 ， 可采用数值反演公式[ 1 5 1 7 ] ， 求得储 层压力和井底压力对应的不 同外边界条件下 的实空 57 一 B D Q 。 L ～ 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 58 天 然 号 与 石 油 NA T UR AL GAS A ND Ol L 2 0 1 1年 1 2月 问的数值解 ， 完全满足试井分析中的应用需要 d 不考虑表皮效应 S 0 的分形球 向流油气藏模 型 、 不考虑表皮效应 S 0 的经典球 向流油气藏模型 、 考虑表皮效应 S ≠0 的经典球 向流油气藏模型均是 其特例。本文的建模方法可以推广到分形复杂球 向流 油气藏 参考文献 [ 1 ] 孔祥言． 高等渗流 力学 [ M ] ． 合肥 中国科技 大学 出版社 1 99 9， 3 86 -3 9 3． [ 2 ]葛家理 ， 同登科 ． 复杂渗 流 系统 的非 线性流体 力学[ M ] ． 北 京 中国石油大学出版社 ， 1 9 9 8 ， 6 9 1 7 5 ． [ 3 ]李凡华， 5 ,1 慈群． 有界分形油藏的压力动态分析『 L1 ] ． 西南石 油学院学报 ， 1 9 9 7 ， 1 9 2 4 7 5 [ 4 ]同登科 ， 葛家理 分形油藏不稳 定渗流 问题 的精确 解⋯ ． 力 学学报 ， 1 9 9 8 ， 3 0 5 6 2 1 6 2 7 ． f 5 ]同登科 ，陈钦 雷． 分形油藏渗流 问题 的精 确解及动 态特征 [ ．J l l 水动力学研 究与进展 ， 1 9 9 9 ， 1 4 2 2 0 1 2 0 9 ． [ 6 ] 何炳全， 向开理． 分形油藏不稳定渗流有效井径数学模 型的 解析解[ I ] ． 西南石 油学院学报 ， 2 0 0 0 ， 2 2 3 3 7 4 ． ； 毒 刍 曼各 题 刍 是 叁 慧 刍 ≥ 曼 [ 7 ]同登科 ， 张鸿庆． 双重介质分形油藏渗流 问题【 l 1 ． 应 用数 学 和 力学， 2 0 { 1 ， 2 2 1 0 1 J } 9 - 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