油气井杆管柱力学及应用.pdf

“ 杆管柱承受的扭矩 在井口处最大，钻头处最小。当用井下动力钻具钻进时, 由于钻头旋转给杆 管柱施加反扭矩, 杆管柱内仍然有扭矩存在;杆管柱承受的扭矩在钻头处最 大，越往上越小。 五、纵向振动 钻进时钻头特别是牙轮钻头的转动，引起杆管柱的纵向振动。纵向振 动与钻头结构、岩石性质、钻压、转速等因素有关。当钻头的转速和杆管柱 固有振动周期相同或者成倍数时，就产生共振现象，称为跳钻。严重的跳钻， 会使杆管柱弯曲、磨损增快、以致迅速疲劳破坏和严重影响钻头使用寿命。 17 六、扭转振动 由于钻头破碎岩石时井底反扭矩的变化，引起杆管柱的周向振动，如蹩 钻。它和钻头的结构、岩石性质、钻压和转速等因素有关。 七、横向振动 当用转盘旋转钻进时,由于杆管柱偏心或杆管柱绕井眼轴线公转诱发杆 管柱的横向振动; 它和下部钻具组合、钻头的结构、岩石性质、钻压和转速 等因素有关。 八、动载 在起下钻中，由于杆管柱运动速度的变化，会引起纵向动载，在杆管柱 中产生纵向瞬时交变应力，动载的大小与操作有关。射孔作业对管柱也造成 比较大的冲击载荷。 九、杆管柱与井壁的正压力和摩擦力 由于有井斜和曲率的存在,承受重力和拉力作用的杆管柱与井壁之间就 有正压力存在；当杆管柱运动时，就存在摩擦力。 十、内外压力 管柱内外都有压力作用，不同时期的压力大小不同。 十一、热应力 如果杆管柱是自由的， 那么温度的变化， 将导致杆管柱几何尺寸的变化； 如果杆管柱是被约束的，那么温度的变化，将在杆管柱内产生热应力。 第二节 油气井杆管柱的失效方式 杆管柱在不同载荷、不同载荷历史的条件下，有不同的失效形式 [2]。 一、塑性变形 如果杆管柱内的应力强度达到屈服极限，则杆管柱就会产生变形。变形 的特点是材料仍然连续。例如挤瘪、屈曲和螺纹变形。图 2-1。 18 1 挤瘪 2 轴向屈曲 3 螺纹变形 图 2-1 塑性变形 二、断裂 如果杆管柱内的应力强度达到断裂极限或疲劳极限，并且则杆管柱就会 产生强度破坏。具体的形式有爆裂、拉断、错断、纵裂、射孔开裂、疲劳开 裂等。图 2-2 和图 2-3。 19 图 2-2 强度断裂 图 2-3 疲劳断裂 三、粘扣 在钻柱振动比较强烈的条件下，钻铤的公扣和母扣会粘焊在一起，给起 钻带来困难，并使钻铤失效。图 2-4。 图 2-4 粘扣 四、磨损 管柱在井筒内运动时，由于摩擦力的作用，会造成杆管柱与井筒内壁套 20 管/油管/岩石的相互磨损。严重时，杆管柱会被磨穿。图 2-5。 图 2-5 套管与钻杆相互磨损 五、腐蚀 杆管柱在腐蚀介质内工作。介质会腐蚀杆管柱，并使其失效。图 2-6。 图 2-6 杆管柱的腐蚀 六、脱扣 当管体螺纹连接不合理时，在较大的轴向拉力作用下，母扣膨胀、公扣 缩径，导致杆管柱脱扣。 七、丝扣漏 在管内外压力差的作用下，丝扣密封失效。 参 考 文 献 [1] 陈涛平, 胡靖邦. 石油工程[M]. 北京 石油工业出版社, 2000. [2] 李鹤林. 油井管发展动向及若干热点问题[C]. 中国石油天然气集团公司石油管材 研究所, 2004. 21 第三章 油气井杆管柱动力学基本方程及应用简况 杆管柱是油气钻采工程中最重要的下井工具。油气井杆管柱在充满流体 的狭长井筒内工作, 在各种力的作用下, 处于十分复杂的受力、变形和运动 状态。 对油气井杆管柱进行系统全面、 准确的力学分析, 可以达到如下目的 1 快速、准确、经济地控制油气井的井眼轨道； 2 准确地校核各种杆管柱的强度, 优化杆管柱设计； 3 优化油气井井身结构； 4 及时、准确地诊断、发现和正确处理各类井下问题； 5 优选钻采设备和工作参数。 应油气田开发的迫切需要, 自二十世纪五十年代以来针对油气井杆管 柱的某些特殊问题已进行了较广泛、较深入的研究, 发表了数以百计的学术 论文。特别是“七五”和“八五”期间国家组织的对定向井和水平井的科技 攻关, 使我国的油气井杆管柱力学研究水平大大提高。但所有的研究工作都 是基于某项特殊需要而进行的, 未形成统一的理论, 对某些问题如动力问 题和几何非线性问题研究较少, 为此需要对杆管柱动力学问题进行系统的 研究, 建立统一的理论。 文献[1]提出了建立油气井杆管柱力学基本方程的设想,文献[2]和[3] 基本完成,文献[4]和[5]逐步完善。 本章通过对油气井杆管柱进行力学和运动分析, 建立了用于对油气井 杆管柱进行动静力学分析的几何方程、运动平衡方程和本构方程,简单介绍 了应用。 第一节 油气井杆管柱动力学基本方程 一、基本假设 本章采用了如下基本假设 1 杆管柱处于线弹性变形状态； 2 杆管柱横截面为圆形或圆环形； 3 略去剪力对杆管柱变形的影响。 二、坐标系 本章采用直角坐标系ONED和自然曲线坐标系, 其中 t e、 n e和 b e分别 为油气井杆管柱变形线的切线方向、主法线方向和副法线方向的单位向量, 参见图 3-1。 22 三、几何方程 设油气井杆管柱变形线任意一点的矢径为,tlrr , 其中l和t分别为 油气井杆管柱变形前的弧长和时间变量。若用,tlss表示油气井杆管柱发 生位移和变形后的曲线坐标, 由微分几何可知 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ − ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ nn b tbbn n nb t t e e ee e e e r e k s kk s k s s 3.1 式中kb 和 kn分别为r点的曲率和挠率,且满足 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , , 2 b 3 3 2 2 n 2 2 2 2 2 b k sss k ss k rrr rr 3.2 四、运动平衡方程 取油气井杆管柱微元受力如图 3-2所示,运动状态如图 3-3所示,其中F 表示油气井杆管柱的内力,h表示单位长度油气井杆管柱上的外力,M表示 油气井杆管柱的内力矩,m表示单位长度油气井杆管柱上的外力对油气井杆 eb E j N i o D k r et en 图 3-1 坐标系 23 管柱中心 2 O的矩,H表示单位长度油气井杆管柱对井眼中心 1 O的动量矩。 通过受力分析, 建立如下运动平衡方程 O1 ωω Ri O Ro ΩΩ r ro O 图 3-3 钻柱的运动状态 r rΔr hΔs mΔs MΔM Δs -F -M FΔF O 图 3-2 钻柱微元受力分析 24 ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ − ∂ ∂ ∂ ∂ 2 i 2 o 2 RRA t A s 2 π ρr h F 3.3 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ −− ∂ ∂ ∂ ∂ 2 ][ 2 i 2 oo ooo t RRAI IA ts ρ ρωrrΩrrH H mFe M 3.4 式中,A为油气井杆管柱的截面积,ρ为油气井杆管柱材料密度,t为时间,Ω 为油气井杆管柱绕井眼中心公转角速度矢量,ω为油气井杆管柱自转角速度 矢量, o I为单位长度油气井杆管柱绕自身轴线的转动惯量, o R为油气井杆 管柱外半径, i R为油气井杆管柱内半径, o r为井眼中心的矢径。 用动量定理和动量矩定理推导运动平衡方程的过程如下。 动量定理质点系的动量对时间的导数, 等于作用于质点系上所有外力 的矢量和。 动量矩定理质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数等于质点系所 受外力对同一点的矩的矢量和。 对于图 3-2 所示微元, 动量定理可表达成 s t sAρ ΔΔ Δ hFFF v − ∂ ∂ 因为, t ∂ ∂ r v, 将上式两边同除以sΔ,取极限得 h Fr ∂ ∂ ∂ ∂ s t Aρ 2 2 对于井眼轴线 1 O的动量矩定理可表达成 ] ρ [ 2 2 o oo t A ss s t s ∂ ∂ −− −−− − ∂ ∂ r hrr FrrFFrrr mMMM H ΔΔ ΔΔ ΔΔ Δ 其中 ωrrΩrrH ooo ][IA−−ρ 将方程两边同除以sΔ, 利用 s∂ ∂ r et, 并略去小量, 取极限得 25 ts∂ ∂ ∂ ∂H mFe M t 五、本构方程 设油气井杆管柱的抗弯刚度为EI, 抗扭刚度为GJ, 忽略剪力的影响, 则本构方程为 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ∂ ∂γ ε−− ∂ ∂ ∂ ∂γ ∂ ∂ s GJM T l s EAF s GJ s EI t t t t t 1 e e eM 3.5 式中,E为弹性模量,I为截面惯矩, G为剪切弹性模量, J为截面极惯矩, γ为杆管柱的扭转角, t F为轴向拉力, T为温度的增量,ε为线膨胀系数, t M为杆管柱的扭矩。 第二节 动力学基本方程应用简况 由于油气井杆管柱动力学基本方程统一了现有一切油气井杆管柱力学 分析的微分方程, 即 现有的油气井杆管柱力学分析的微分方程都可由该 动力学基本方程通过适当简化而得到, 所以, 该基本方程在石油钻采工程 界具有广泛的应用。 一、油气井杆管柱的稳定性 石油工程中的钻柱、套管柱、油管柱和抽油杆柱在井筒中工作时在某些 井段经常处于压扭状态, 发生正弦或螺旋屈曲。屈曲后, 杆管柱内的应力急 剧增加, 与井壁的摩擦阻力增加, 会发生自锁现象, 严重时可发生强度破 坏。 从油气井杆管柱动力学基本方程出发, 推导了斜直井中受压扭细长杆 管柱几何非线性屈曲的微分方程, 建立了水平井段杆管柱稳定性力学分析 的数学模型, 分析了无重受压扭圆杆管柱的螺旋屈曲。 二、油气井杆管柱的拉力和扭矩 在油井作业中, 油气井杆管柱与井壁接触所产生的轴向阻力和扭矩损 失对钻采作业有很大的影响, 甚至成为作业成败的关键。合理的拉力和扭矩 模型, 尤其在与先进的地面扭矩、大钩载荷、井底扭矩和钻压的测量仪器结 合使用时, 可达到如下目的1优选井眼轨迹, 使整个油气井杆管柱的摩 26 擦阻力和扭矩损失最小；2选择和校核地面设备, 优化油气井杆管柱设计； 3监测井下问题；4指导下套管作业；5确定油气井杆管柱与井壁的接 触压力, 估计套管的磨损程度和键槽是否存在；6指导泥浆性能的设计； 7根据地面悬重计算钻头实际钻压。 依据油气井杆管柱动力学基本方程, 已经建立了定向井、水平井杆管柱 稳态拉力扭矩模型,并得到了成功的应用。 三、下部钻具力学分析 钻直井时的防斜, 钻定向丛式井、水平井时的按设计轨迹钻进等都是钻 井工程的基本问题。为了解决这些技术问题, 首先要对下部钻具组合的力学 特性进行分析。下部钻具组合力学分析应具有如下功能1定量描述下部钻 具组合的受力和变形, 算出钻头与地层的作用力和转角；2确定稳定器与 裸眼井壁或套管间的接触位置和接触力, 估计稳定器、套管的磨损率和井眼 扩大率；3计算下部钻具组合中的应力, 确定危险断面, 以便采取合适的 措施；4确定井下测量接头轴线与井眼中心方向的偏差, 校正测斜数据； 5选择下部钻具组合和钻进参数, 使钻头按设计方向钻进。 从油气井杆管柱动力学基本方程出发, 已经推导出了下部/导向钻具三 维小挠度静力学分析、三维大挠度静力学分析和三维小挠度动力学分析的数 学模型, 并应用于定向井、水平井的井眼轨道预测中, 取得了良好的效果。 四、有杆泵抽油系统井下工况诊断与预测 在油田采油的人工举升方式中, 有杆泵抽油系统的效益最高、最可靠、 适应性最强、应用最广泛。准确地了解有杆泵抽油系统运行时的各项动态参 数对于防止各种机械事故、优选抽油设备和抽吸参数以及其它各种工艺措施 是十分必要的。但目前由于对抽油系统的动态力学参数了解不足, 使得抽油 过程中经常发生问题。因此, 研究有杆泵抽油系统动态参数分析方法即诊断 技术和预测技术具有非常重要的意义。 从油气井杆管柱动力学基本方程出发, 已经分别建立了有杆泵抽油系 统井下动态参数诊断和预测的数学模型, 其中斜直井有杆泵抽油系统诊断 技术已获得了较成功的应用。 五、钻柱振动 在钻井过程中, 由于钻头牙齿间断地与地层接触或岩石的间歇破碎,导 致钻头带动钻柱振动。钻柱振动按形式分为纵向振动、扭转振动和横向振动 三类。产生振动的原因一是钻头间歇破碎岩石所产生的轴向交变力和位移, 二是钻柱绕井眼中心的涡动。当钻头振动的频率为钻柱固有频率的整数倍时, 钻柱将处于共振状态。钻柱内的交变应力和振幅相当大, 导致钻柱断裂或粘 扣。研究钻柱的纵向振动对设计钻柱、设计减振器和选择合适的转速有重要 27 的指导意义。 从油气井钻柱动力学基本方程出发, 已经建立了垂直井钻柱纵向、扭转 振动及其耦合振动的数学模型, 并在钻井作业中获得了成功的应用。 六、热采井管柱力学分析 注蒸汽采油是开采稠油时应用最广泛、效益较高的方法之一。影响注蒸 汽采油效益至关重要的因素是高温在油井管柱内产生的热应力, 此应力可 能使套管产生屈服变形或断裂、注汽管柱发生屈曲。为此, 从水蒸汽的热力 学性质入手, 已经建立了井筒地层热学计算的理论数学模型；结合现场实际, 建立了井筒地层热学计算的简化数学模型；利用热弹性力学理论, 对套管和 隔热油管进行了力学分析。根据套管热弹性力学分析理论, 提出了防止热采 井套管热破坏的预膨胀固井技术。 参 考 文 献 [1] 高德利, 刘希圣, 徐秉业. 钻柱力学研究的若干基本问题[C]. 中国石油工程学会钻井 基础理论研讨会, 1992 年 8 月, 大庆. [2] 李子丰, 马兴瑞, 黄文虎. 油气井杆管柱动力学基本方程[J]. 力学与实践, 1995, 17140-42. [3] 李子丰, 马兴瑞, 黄文虎. 钻柱力学基本方程及其应用[J]. 力学学报, 1995, 274 406-414. [4] 李子丰, 李敬元, 马兴瑞, 黄文虎. 油气井杆管柱力学基本方程及应用[J]. 石油学报, 1999, 20388-91. [5] Li Zifeng, Li Jingyuan. Fundamental Equations for Dynamic Analysis of Rod and Pipe String in Oil-Gas Wells and Application in Static Buckling Analysis[J]. Journal of Canadian Petroleum Technology, 2002, 41544-53. 28 第四章 钻柱自转和公转诱发牛顿液体层流流动的 数学模型 在钻进过程中,钻柱在绕自身轴线旋转向下推进的同时,还可能绕井眼 轴线公转,钻井液在环形空间除了在轴向压差作用下作轴向流动外,还在钻 柱自转和公转的作用下作平面流动,因此,钻井液在井眼内的流动是一种复 杂的偏心环形空间螺旋流。钻井液在环形空间的流动最早简化成牛顿液体同 心环空轴向流,进而发展成非牛顿液体同心环空轴向流、牛顿液体同心环空 螺旋流、非牛顿液体同心环空螺旋流、牛顿液体偏心环空螺旋流、非牛顿液 体偏心环空螺旋流,研究成果越来越符合实际,但是由于问题的复杂性,模型 中仍然未计入钻柱绕井眼中心的公转对钻井液流动规律的影响。研究钻柱自 转和公转条件下的钻井液的流动规律,除了其本身的意义外,还将为研究钻 柱在井下的运动和受力状态、优化钻柱设计奠定基础。 本章将钻井液视为牛顿液体,在柱坐标系内建立了钻柱自转和公转条件 下钻井液偏心螺旋流动的微分方程,确立了边界条件。 第一节 钻柱自转和公转诱发牛顿液体层流流动数学模型 一、基本假设 为了建模方便, 作如下基本假设 1钻井液为不可压缩牛顿流体； 2钻井液处于层流状态,不汽化； 3井壁和钻柱表面均为圆柱面； 4轴向压力梯度为常数。 二、坐标系 本节选用的柱坐标系如图41所示,其 中r为P点到井眼中心线z轴的距离,θ为极 角,z为纵坐标。 三、微分方程 由于钻柱外表面和井壁均为细长圆柱面, 在任意横断面上,钻井液的流动规律都相同, 有 Pr,θ,z z z A O θ r 图 4-1 柱坐标系 29 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 0 0 0 z θ r z u z u z u 4.1 钻井液流动的连续性方程式[1] 0 1 rθr ∂ ∂ ∂ ∂ r uu rr u θ 4.2 运动方程式为 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ −− ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 11 211 1 211 2 z 2 2 z 2 z 2 z zθz r z 2 θr 22 θ 2 2 θ 2 θ 2 θ θrθθθ r θ 2 rθ 22 r 2 2 r 2 r 2 r 2 θrθr r r θ μ ρ θ ρ θ θ μ θ ρ θ ρ θ θ μ ρ θ ρ u r r u r r u z p F u r u r u u t u r uu r u r r u r r u p r F r uuu r u r u u t u r uu r u r r u r r u r p F r uu r u r u u t u 4.3 式中, ρ为密度， zθr ,,FFF为单位体积质量力， r u为径向流速， θ u为切向流 速， z u为轴向流速，p为压强，μ为动力粘度。 设压强场 ,,,,, 21 zptrptzrpθθ 4.4 式中, 1 p为钻柱自转和公转诱发的动压强场， 2 p为由轴向流动和静压力引起 的压强场，t为时间。 212 czczp 4.5 式中, 1 c为轴向压强梯度， 2 c为常数。 将4.4、4.5、代入4.3得到 30 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ −− ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 11 211 1 211 2 z 2 2 z 2 z 2 1z zθz r z 2 θr 22 θ 2 2 θ 2 θ 2 1 θ θrθθθ r θ 2 rθ 22 r 2 2 r 2 r 2 1 r 2 θrθr r r θ μ ρ θ ρ θθ μ θ ρ θ ρ θθ μ ρ θ ρ u rr u rr u cF u r u r u u t u r uu r u rr u rr u p r F r uuu r u r u u t u r uu r u rr u rr u r p F r uu r u r u u t u 4.6 在上述方程中共有4.2和4.6四个独立的微分方程, r u、 θ u、 z u和 1 p四 个独立的函数,可以求出全部函数的通解。 四、边界条件 设井眼半径为 w R,钻柱半径为 o R、偏心距为e、自转角速度为ω、公转 角速度为Ω； 在0t时,钻柱中心正处于极轴上； 钻柱的轴向运动速度为 d u。 1．井壁 在井壁处,钻井液粘附在井壁上,流速为零,即 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ 0 0 0 w w w z θ r Rr Rr Rr u u u 4.7 2．钻柱表面 在钻柱表面处,钻井液随钻柱绕钻柱轴线和井眼公转以及作轴向运动。 钻 柱在绕井眼中心公转时,钻柱表面若用S表示,则它满足方程 2 o 22 cos2ReΩtrer−−θ 4.8 如果 o Re≤,则对于任意θ和t,r都只有一个正根； 如果 o Re, 则该方程 只在ΘΩtΘ≤−≤−θ的范围内才有实根, 且为两个正根, 见图4-2, 其中 arcsin o e R Θ （4.9） 31 1如果 o Re≤对于任意θ, 有 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ −−− −− dz 222 oθ r sincos sin uu ΩteRΩteΩu ΩtΩeu s s s θωθ θω 4.10 2如果 o Re则对于ΘΩtΘ≤−≤−θ有, 界面 o S ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ −−− −− dz 222 oθ r sincos sin o o uu ΩteRΩteΩu ΩtΩeu s s s θωθ θω 4.11 界面 i S ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ −−−− −− dz 222 oθ r sincos sin i i uu ΩteRΩteΩu ΩtΩeu s s s θωθ θω 4.12 3．井眼两断面 设在0z的A面上,钻井液的静压强为 a p,某点0 ,, mm θrM在0t时 的动压强为 m p；在Lz的B面上,钻井液的静压强为 b p,则有 A O O1 e ω Ω Ωt Ro A O O1 e ω Ω Ωt Ro Si So Ωt-○ H Ωt○ H A. e≤Ro B. eRo 图 4-2 钻柱的运动状态 32 ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ b2 mmm1 a2 0 ,, 0 pLp prp pp θ 4.13 五、应用举例 在一般条件下,该数学模型的通解是十分复杂的,目前尚未求得。当 0e,0 r F,0 θ F,gF z , ba pp、、ω和 m p为 常 数 时,0 r u,0 θ ∂ ∂ θ u ,0 z ∂ ∂ θ u ,0 θ ∂ ∂ t u ,0 z ∂ ∂ t u ,0 ∂ ∂ θ p , 该数学模型蜕化为同 心环空螺旋稳定流动的数学模型 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ mm1 b2 a2 dz z oθ θ 212 21 1 z 2 z 2 2 θθ 2 θ 2 2 θ1 0 0 0 1 0 1 o w o w prp pLp pp uu u Ru u czcp ppp gc r u rr u r u r u rr u r u r p Rr Rr Rr Rr ω ρμ ρ 4.14 解得 33 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ − −− −− −−− − − − ma ab 2 m 2 4 w m 2 w 2 m 2 22 w 2 o 4 o 2 d w o w2 o 2 w w o w2 w 2ab z 2 w 2 w 2 o 2 o θ ] 11 ln4[ -2 ln ln ] ln ln [ 4 1 pp L zpp rr R r r Rrr RR R p u R R R r RR R R R r Rrg L pp u r R r RR R u ρω ρ μ ω 4.15 第二节 钻柱与钻井液相互作用研究进展 理论、室内实验和现场实践都证明，在旋转钻进时，直井内下部钻柱存 在反向涡动。反向涡动容易导致钻柱破坏。 在钻柱与钻井液相互作用方面，现有的理论只是借用的滑动轴承动力润 滑理论。本章第一节仅给出了数学模型，没有进行求解。文献[3]对该类问题 进行了研究，从流体力学角度研究了二次流问题，但对钻柱与钻井液的相互 作用研究较少。 在解决钻柱与钻井液的相互作用之前，不可能解决钻柱反向涡动的定量 计算问题。 参 考 文 献 [1] 赵学端, 廖其奠. 粘性流体力学[M]. 北京 机械工业出版社, 1983. [2] 李子丰, 李敬元, 马兴瑞, 黄文虎. 钻柱自转和公转诱发牛顿液体层流流动的数学模 型[J]. 力学与实践, 1995, 17551-53. [3] 崔海清, 季海军, 蔡萌, 修德艳. 流体在内管做行星运动的环空中流动的二次流[J]. 大庆石油学院学报, 2005, 29216-18,22. 34 第五章 油气井杆管柱的静力稳定性 在石油钻井和采油作业中，钻柱、套管柱、油管柱和抽油杆柱等在井筒 中工作时某些井段经常处于压扭状态, 有些时候会发生屈曲和塑性变形图 5-1。对它们的受力和变形状态进行较精确的分析有助于进行优化设计。 图 5-1 钻杆弯曲与扭曲 1962 年, Lubinski 首先用能量法分析了无重油管柱螺旋屈曲,求得了螺 距与轴向压缩力的数学关系 [1]。1964 年, Paslay 用能量法分析了斜直圆柱 约束下圆杆的稳定问题 [2]。 1984 年 Dawson 将 Paslay 的结果进行了一些技术 处理得到了斜直井杆管柱失稳载荷的较简单的计算公式 [3]。R.F.Mitchell 分 别于 1982、1986、1988 年发表文章, 利用力学基本方程分析螺旋屈曲的轴 向载荷、接触压力和内力等 [4-6]。1988 年 Young W. Kwon分析了螺旋屈曲 [7]。 1990 年, Yu-Che Chen 推导了正弦屈曲和螺旋屈曲的临界屈曲压力的公式, 并用实验进行了验证 [8]。从 1994 年起，作者对油气井杆管柱的稳定性问题进 行了系统的研究，并对某些提法进行了澄清 [9-27]。 本章建立了斜直井中受压扭细长杆管柱几何非线性屈曲的微分方程,建 立了斜井段杆管柱稳定性力学分析的数学模型,分析了无重受压扭圆杆管柱 的螺旋屈曲。最后，阐述了杆管柱的稳定性与纵横弯曲的区别；澄清了某些 35 错误认识。 第一节 斜直井中杆管柱屈曲的微分方程 一、补充假设 本节在第三章基本假设的基础上，做如下补充假设 1 杆管柱被压扭缩成螺旋状或正弦状,与井壁连续接触； 2 井壁为直圆柱形； 3 忽略杆管柱与约束井壁之间的滑动摩擦力； 4 杆管柱沿其自身轴线的长度不变； 5 杆管柱绕自身轴线旋转； 6 略去一切动力效应。 二、坐标系 为了表达方便，本节采用如下两个坐标系。 1 空间笛卡尔直角坐标系oxyz。如图 5-2 所示, 其中o取在井眼轴线 上,一个螺距的左端；x轴垂直于井眼轴线指向井壁下方, 单位矢量为 1 e；z 轴沿井眼轴线向右, 指向杆管柱上方, 单位矢量为 3 e；y轴由右手法则确定, 单位矢量为 2 e。 2 柱坐标系。 柱坐标系的原点与直角坐标系oxyz的原点一致, 柱坐标 系的极轴与直角坐标系oxyz的x轴一致, 柱坐标系的ｚ轴与直角坐标系 oxyz的z轴一致, 极角如图 5-2 所示。 θ rb OO xe1 z e3 ye2 xe1 ye2 α 垂直线 螺旋屈曲 正弦屈曲 图 5-2 杆管柱的正弦和螺旋屈曲 36 三、微分方程 若 杆 管 柱 轴 线 用 321 eeerWVU表 示 ； 杆 管 柱 的 内 力 用 3z2y1x eeeFFFF表示；由补充假设56得 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ∂ 0 H 0m 0 r t t ∂ ∂ ∂ 5.1 令 ld d ′ , 2 2 d d l ″ , 3 3 d d l , 4 4 d d l ,根据补充假设4,杆 管柱轴线的切向矢量 321t ee ereWVU′′′′ 5.2 其中U、V、W分别为杆管柱轴线的x、y、z方向的坐标。 将5.2代入3.5得 ] [ 321t3 21 eeee eeM WVUMUVVU WUUWVWWVEI ′′′′ ′′−′ ′′ ′ ′′−′ ′′′ ′′−′ ′′ 5.3 将5.1～5.3代入3.4并分别点乘 321 ,,eee得 ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ′−′′ ′′ ′ ′′−′ ′ ′′ ′−′′ ′′ ′ ′′−′ ′ ′′ ′−′′ ′′ ′ ′′−′ ′ ′′ UFVFWMU VV UEI WFUFVMW UU WEI VFWFUMV WW VEI yxt xzt zyt 5.4 由补充假设４，得 1 222 ′′′WVU 5.5 代入5.4可以发现，由前两式可以导出第三式。因此，5.4的三个方 程在5.5的条件下不是独立的。 根据假设3 32 b c 1 b c cossineeeh⋅−−−ααq r VN r UN q 5.6 式中，q为单位长度杆管柱的浮重，α为井斜角， c N为杆管柱与井壁的线接 触压力， b r为井筒半径与杆管柱半径之差。 代入3.3并积分得 37 ∫∫ ∫ −−− ll l FlqFl VN Fl r UN q FFF 0 0z3 0 0y b c 2 0 0 x b c 1 3z2y1x dcos ]d r [ ]dsin[ α α ee e eeeF 5.7 式中，0l时, 30z20y10 x0 eeeFFFF为杆管柱的内力， 0 x F 为0l时 杆管柱x方向的分力， 0y F为0l时杆管柱y方向的分力， 0z F为0l时杆 管柱z方向的分力。 5.7分别点乘得 321 ,,eee ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ −− ∫ ∫ α α cos d dsin 0zz 0 b c 0yy 0 b c 0 xx qlFF l r VN FF l r UN qFF l l 5.8 根据补充假设1 b 22 rVU 5.9 由5.4、5.5、5.8、5.9组成直角笛卡尔坐标系内油气井杆管柱 静力几何非线性屈曲微分方程 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ −− ′′′ ′−′′ ′′ ′ ′′−′ ′ ′′ ′−′′ ′′ ′ ′′−′ ′ ′′ ′−′′ ′′ ′ ′′−′ ′ ′′ ∫ ∫ b 22 0zz 0 b c 0yy 0 b c 0 xx 222 yxt xzt zyt cos d dsin 1 rVU qlFF l r VN FF l r UN qFF WVU UFVFWMU VV UEI WFUFVMW UU WEI VFWFUMV WW VEI l l α α 5.10 由图 5-2 可知 ⎭ ⎬ ⎫ θ θ sin cos b b rV rU 5.11 38 将5.11代入5.10, 经整理得 b 2 t z2 sinsin }] [{]6[ r q WW M W F W W EI αθ θθθθ θθθ θ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ −′ ′ ′ ′ ′′′ ′ ′ ′−′ ′ ′′ ′ ′ 5.12 ]} ][ 1 ]43 [{sincos 2 t2 zt 3 t 24 2 bc W WM FMM W W W EIrqN ′ ′ ′′ ′ ′−′ ′ ′−′ ′ ′ ′ ′′′ ′′− ′ ′′ ′ ′ − θ θθθ θθθθ θ αθ 5.13 式中， 2 b 1θ′−′rW。5.12式用于求解θ,5.13式用于计算压力N。 如果N有负值存在，则杆管柱的实际变形与本章假设不符，需另行研究。 若令 1≈′W 、0≈′ ′W则得几何线性分析的微分方程 b tz 2 sinsin 3]6[ r q MF““EI αθ θθθθθθ′ ′′−′′′ ′′− 5.14 } ]43[{cossin 2 zt 3 t 24 bc θθθ θθθθθα ′−′ ′ ′−′ ′ ′ ′′′ ′′− FMM EIrqN 5.15 第二节 水平井段杆管柱几何线性屈曲的数学模型 该节和下节的目的是为斜井段杆管柱的稳定性判别打下基础。 一、补充假设 在本章第一节的基础上再增补如下两条 1 油井半径与杆管柱半径之差相对于杆管柱长度为小量； 2 井斜角为 90 度。 二、坐标系 本节采用柱坐标系。 三、微分方程 令5.14、5.15中的 o 90α得 b tz 2 sin 3]6[ r q MF““EI θ θθθθθθ′ ′′−′′′ ′′− 5.16 39 } ]43[{cos 2 zt 3 t 24 bc θθθ θθθθθ ′−′ ′ ′−′ ′ ′ ′′′ ′′− FMM EIrqN 5.17 四、边界条件 在本假设下水平井段的轴向力 z F处处相等， 杆管柱屈曲的波形具有周期 性，在一个波形的两端的横向位移相等、转角相等、弯矩相等、内力相等， 用柱坐标可表示为 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′′ ⎩ ⎨ ⎧ 0 0 0 1 , 0 , 2 00 L L L n n nL θθ θθ θθ πθ θ 螺旋屈曲 正弦屈曲 5.18 式中,L为一个周期内杆管柱沿其轴线的长度。 第三节 水平井段杆管柱几何非线性屈曲的数学模型 一、补充假设 在本章第一节的基础之上再增补井斜角为 90 度。 二、坐标系 本节采用柱坐标系。 三、微分方程 令5.12、5.13中的 o 90α得 b 2 t z2