天然气藏非线性不稳定渗流的解析解.pdf

第 4 O卷第 l 0 期 2 0 l 1年 l 0月 当 代 化 工 C o n t e mp o r a r y C h e mi c a l I n d u s t r y V o 1 ． 4 0 ， N o ． 1 0 O c t o b e r ，2 0 1 l 天然气藏非线性不稳定渗流的解析解 郑 洲，米洪洋 东北石油大学华瑞学院石油 J 程系， 黑龙江 哈尔滨 1 5 0 0 0 0 摘 要根据真实气体在多孔介质中的渗流特性 ，建立了天然气非线性不稳定渗流偏微分方程。以无限大 气藏单井渗流为例 ，恰当引入拟压力函数，使非线性气体渗流方程线性化，并通过拉普拉斯变换及复杂的抟氏 逆变换得 了天然气不稳定渗流问题的解析解。该解析解可以很好的反应气藏稳产或变产时井底压力变化与各 参数之间的关系。 关键词非线性渗流；拉普拉斯变换 ；偏微分方程；解析解 中图分类号T Q 0 1 9 文献标识码 A 文章编号 1 6 7 1 0 4 6 0 2 0 1 1 1 0 - 1 0 8 4 0 3 Ana l y t i c So l ut i o n o f t h e Na t u r a l Ga s P o o l No n l i n e a r Un s t a b l e S e e p a g e F l o w Z HENG Zh o u， M IHo n g- ya n g Hu a r u i C o l l e g e o f O i l E n g i n e e r i n g ， No r t h e a s t e r n P e t r o l e u m Un i v e r s i t y , H e l o n g j i a n g Ha e r b i n 1 5 0 0 0 0 ，C h i n a Ab s t r a c t Ba s e d o n s e e p a g e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e r e a l g a s i n t h e p o r o u s me d i a ． p a r t i a l d i ffe r e n t i a l e q u a t i o n o f n a t u r a 1 g a s n o n l i n e a r u n s t a b l e s e e p a g e flo w wa s e s t a b l i s h e d ．T a k i n g s i n g l e we l l s e e p a g e f l o w o f i n fi n i t e g a s p o o l a s a n e x a mp l e ，p r o p e r l y i n t r o d u c i n g t h e p s e u d o p r e s s u r e f u n c t i o n ， l i n e a r i z i n g t h e n o n l i n e a r g a s t r a n s f u s i o n e q u i t i o n ， a n d u t i l i z i n g t h e l a p l a c e a n d t h e c o mp l e x i n v e r s e l a p l a c e t r a n s f o r ma t i o n ． t h e a n a l y t i c s o l u t i o n o f t h e n a t u r a l g a s n o n l i n e a r u n s t a b l e s e e p a g e f l o w p r o b l e m wa s g a i n e d ． T h i s a n a l y t i c s o l u t i o n ma y f o r e c a s t t h e r e l a t i o n s h i p b e t we e n t h e p r e s s u r e c h a n g e a n d e v e r y p a r a me t e r s u n d e r t h e s t a b l e p r o d u c t i o n o r u n s t a b l e p r o d u c t i o n o f t h e g a s r e s e r v o i r ． Ke y wo r d s No n l i n e a r s e e p a g e fl o w La p l a c e t r a n s f o r ma t i o n ； P a rti a l d i f f e r e n t i a l e q u t i o n ； An a l y t i c s o l u t i o n 天然气非线性不稳定渗流是油气藏渗流力学研 究的一个重点课题D - 3 1 ， 对气藏产能评价及地层压力 变化规律的研究具有实际意义。以往的不稳定渗流 模型均是在欧几里德几何理论的基础上建立的 。 而实际上对于孔隙结构复杂的低渗透油气藏来说， 上述模型往往不能满足实际生产要求。从数学、力 学理论出发建立新 的非线性不稳定渗流数学模型至 关重要 。。笔者基于数学物理方程的相关理论，并 结合真实气体在多孔介质中的渗流特性，建立了天 然气非线性不稳定渗流偏微分方程。通过 函数变换 得出了方程的解析解 。可为进一步研究复杂非均质 油气藏不稳定渗流问题提供一定的理论基础。 效半径为 r w 。 l- w e ～ ，气藏中天然气等温渗流，且压 力梯度较小 ，气体粘度 尸 ，压缩因子 ，压 缩系数 均为随气体压力P变化的已知参数。 故以井轴为中心，真实气体在气藏内向井底渗 流的平面轴对称问题控制方程如下 I I r rw et 0 1 初始条件 p r , o p ”， 2 内边界条件 c 3 而l 一 1 非线性渗流数学模型 无限 大 气藏 边界 条件 假定气藏的厚度为h ， 原始地层压力为P ， 在气 藏中心打开一口半径为 n v 的井，且井以变量 f 生产。井筒储存常数为 ，井的视表皮系数为 反映了井底污染或改善状况及湍流影响 ， 该井的有 o O ， f P i，t 0 4 半径为 R的圆形封闭气藏边界条件为 0， f 0 收稿 日期 2 0 1 1 0 6 一 O 5 作者简介 郑洲 1 9 8 4 一 ，女 ，黑龙江绥滨人，助教，研究方向石油，天然气非线性渗流方面的研究。E - m a i l a i m i a i z h o u 1 6 3 ． c o rn 。 第 4 0卷第 1 0期 郑 洲，等天然气藏非线性不稳定渗流的解析解 1 0 8 5 气藏外边界定压问题的提法 p R ， f 一 P i，f 0 6 式中 t --气藏压力； 只一井底压力 ； c 一地面气体压力 ； 一 地面气体温度 ； 产 气藏温度。 2 非线性渗流 问题的解析解 真实气体在均质无限大气藏内渗流时， 储层内 压力分布满足下列定解 问题 { l j focp p 8p ， r rw ,t O J p r，0 P， f71 f I p o o ， p 。 引入拟压力函数可使定解问题线性化 f 彘 8 作如下变量代换；设 r D ， fO t 9 _w t o - f 1 0 1 pc T ／ 2 T 1w T c 。 衰 1 1 [ P ] 1 2 式中，c ， ， 分别为原始状态下的气体压缩系数与粘度 。 考虑到气体压缩系数与粘度的乘积 尸 ， 尸 在生产期 间的变化可忽略不计 的，则定解问题 7 可化简为如下问题 c m D P a 。 p f m D ， [ f p ] r D , ． O ] 。 [ p ， ] 1 3 c o 。[ p ， r ] 0 对式 1 3 取关于 的拉普拉斯变换， 并记 r。 ，z ，J 【m 。 ] Q z [ g 号 ] ] 可 得 一ZU 0 d r D d U ， z 0 1 4 d U L Q Z - C D Z U 1，z 方程 1 4的通解为 ， z ， z ， 0 √ e X 0 “ D 1 1 5 利用 1 4 式中的边界条件可确定通解的待定系 数 A ， B进而求得 u r n ， z Q z 1 6 面 1 7 从而有 c ， ， z ，Z Q z 1 8 w ， z 1 9 取如图 1 所示的积分 围线 ，令 肛∞， 一0不 难证 明 、 ＼ ＼ v i fi ． 一 I ／ r I v一 ， ／ 那么则有 图 1 积分 围线 Fi g． 1 Con t o ur i n t e g r a t i o n 2 0 w ， r I I 2 1 在割线上沿』 上积分， 令Z H 2 一 则 ,／ 2 i ， 那么有 -u 2r e- u 2 r 2 利用公式 。 f 詈 f [ f y 一 。 ] 2 3 f 手 [ f y 一 ] 2 4 可得 f 丽尚 z e u 2 r 丽 5 在割线下沿j ， 积分，令Z H 2 P 一 。 ， 则 1 0 8 6 当 代 化 工 2 0 1 1年 1 0 月 √ Z一 i u，习 么有 f u 2 r 6 将上式右端 的被积函数用第一类 ，第二类贝塞 尔函数表 出，即 f z ‰2 7 将式 2 5与式 2 7相加可得 j f 一 z “ ． f2 8 1 』 二 一 “ 一 “ ] [ 一 C “ t o “ ] 一 二 l l J l “ 一 c 。 “ _ 7 1 “ 一 c u r o 【 “ 记 q 6 ，“ y m 一 2 9 则上式变为 j j 3 -- 2 而 2而 0 ．, r D , I,u - C D U 丽CP o．o r D , l, u d “ 3 。 将式 3 0 代人式 2 1 可得 丽 - 记 q ∽ 2 那么式 3 1 可写为 w e u Er G ． ， v a “ 3 3 应用拉氏变换的卷积定理 ，由式 1 8可得 。 ， b ， f E [ ， b ， z ] [ Q Z 】 W _ W ，f q 【 J w ． g [ 3 4 令 可将上式写成 。 r 。 ， f 0 q f _ w r 。 ， o 4 d 3 5 由式 7 式可得，气井以任意变产量 q t 生产 时，均匀气藏内的拟压力分布表达式为 咖 ] 一 d 3 6 当 f q为常产量时，有 m D ， f g 0 w f W 2 ， 0 4 d 4 ．2q _．O I 如 o e- “ G r D U d d 3 7 经计算得 。 G 。 d 3 8 兀 “ 一 于是由 7 式可得 ，气井以常量 生产时，均 质气藏 内的拟压力分布表达式为 咖] 一 2q Tp o 譬 。【 u 39 在式 3 7 、 3 9 即分别为天然气井以变产量 ， 定产量生产时 ，井底拟压力的解析解 。 3 结 论 天然气的不稳定渗流状态方程都是用微分方程 来描述的， 不利于分析各个参数对渗流过程的影响， 利用数学物理方程的相关理论 ， 结合真实气体在多 孑 L 介质中的渗流特性 ，建立 了天然气非线性不稳定 渗流时的非线性偏微分方程，基于非线性偏微分方 程不便于求 出解析解 ，本文恰当地引入函数变换 ， 使方程式线性化，在确定气藏渗流问题的实际定解 条件后，得 出了气藏渗流问题的解析解。 参考文献 [ 1 ]何炳全， 向开理． 分形油藏不稳定渗流有效井径数学模型的解析解『 J 】 西南石油大学学报 ，2 0 0 0 ， 2 2 3 3 7 4 1 ． [ 2 ]刘月 田，葛家理 各 向异性圆形地层渗流的解析解[ J ] ． 石油大学学报 自然科学版 ，2 0 0 0 ， 2 4 2 4 0 4 4 ． 【 3 ]汪周华 ，钟兵，伊向艺． 低渗气藏考虑非线性渗流特征的稳态产能方 程l J 1． 天然气工业 ，2 0 0 8 ， 2 8 8 8 0 8 3 ． [ 4 ]邓英尔，刘慈群．低渗非线性渗流规律数学模型及其应用阴． 石油学 报，2 0 0 1 ，2 2 4 3 7 4 3 ． [5 ]沈瑞 ，熊伟，高树生． 低渗透多孔介质单相流体非线性渗流及计算方 法l J 1 ．武汉工业学院学报 ，2 0 0 9 ， 2 8 3 3 3 3 5 ． [ 6 ]向开理， 李允， 李铁军． 井筒相再分布的分形油藏不稳定渗流有效井径 数学模型的解析解『 J 1 l油气井测试 ，2 0 0 1 ，1 0 3 5 1 0 ； 3 7 4 0 ．