第02章-7 离散时间信号和离散时间.ppt

第02章离散时间信号和离散时间系统,邹江zoujiang,2.7系统函数,描述线性非移变系统的方式,线性常系数差分方程、单位取样响应、频率响应描述、系统函数。,设xn、yn和hn分别是线性非移变系统的输入、输出和单位取样响应，Xz、Yz和Hz分别表示相应的Z变换。系统函数定义为,它是单位取样响应hn的Z变换。,1、系统函数的定义,2、系统函数与系统差分方程的关系,线性非移变系统可以用线性常系数差分方程描述,对上式两边求Z变换，利用线性性质和时不变性质，得,因此,可见系统函数的系数也正是其差分方程的系数。,系统函数还可以进一步分解成,式中，{dk和{cr}分别表示Hz在z平面上的极点和零点。这样，系统函数可以用z平面上的极点、零点和常数A来确定。,例根据系统函数求差分方程,求该系统的差分方程。,为了求满足该系统输入输出的差分方程，可以将Hz的分子和分母各因式乘开，而得到如下的形式,于是，,其差分方程就是,3、系统函数的收敛域与系统的稳定性,已知线性非移变系统稳定的充要条件,当|z|1时，上式变成,这就是系统稳定的充要条件。,因此，若系统函数在单位圆上收敛，则系统是稳定的。这也意味着，如果系统函数Hz的收敛域包括单位圆，则系统是稳定的。反之，如果系统稳定，则系统函数Hz的收敛域一定也包括单位圆。,显然，一个稳定的因果系统的系统函数的收敛域应该是,例2.21设一个线性非移变系统的系统函数为,试画出极-零点分布图，并确定Hz的收敛域和稳定性。,解对Hz的分母进行因式分解得,极点为z1-1/4,z2-1/2；零点为z10,z21/2。,1若收敛域是极点z2-1/2所在的圆的外部区域，且,说明该系统的Z变换没有正幂项，根据z变换的定义式，说明n≥0时xn才有定义，那么系统是因果的。,2若收敛域选的是极点z1-1/4所在的圆的内部区域，且,那么系统是逆因果的，系统的收敛域为,因为收敛域没有包含单位圆，所以系统是不稳定的。,3若收敛域是极点z1-1/4与z2-1/2所在的两个圆之间的环域，即,则因为单位圆没有包含在收敛域中，所以系统是不稳定的。,系统的收敛域为,因为该收敛域包含了单位圆，所以系统是稳定的。,说明Z变换没有负幂项，根据z变换的定义式，说明n≤0时xn才有定义，,从上例可以看出，因果性和稳定性不一定是互为兼容的。要使输入输出满足标准差分方程的线性时不变系统既因果又稳定，相应系统函数的收敛域必须是位于最外面极点的外面，又包括单位圆。很显然，这就等于要求该系统函数的全部极点都在单位圆内。,系统的描述方法小结,用系统的数学定义描述ynT[xn]用系统的单位取样响应hn来描述但并不是每个系统都能写出其单位取样响应。差分方程描述系统需附加初始条件，一些瞬态响应求解困难，系统的频率特性不清楚。系统函数描述系统易于定性分析，了解系统的稳定性，系统的频率特性清楚，但不易分析其瞬态响应。,系统的稳定性判别方法,直接由定义判别若|xn|≤M，则|yn|＜∞对于线性非移变系统，可由其单位取样响应绝对可和或系统函数的收敛域包含单位圆判别。对于因果线性非移变系统，由其系统函数的收敛域或其极点位置判别。,