第三章 极限与函数的连续性1-2.doc

第三章 极限与函数的连续性 1 极限问题的提出 17世纪，牛顿当时把连续量称为流量，把变化率称为流数．引入流数术。 考虑自由落体运动，路程看作流量， 流数就是瞬时速度．牛顿当时推导流数的方法是 给时间一个微小的改变称之为瞬moment，则平均速度为 . 然后令，便得瞬时速度． 非零又是零，到底是什么难怪贝克莱讥讽说这是“消失的量的鬼魂”． 广泛的应用显示了巨大的威力 哈雷彗星哈雷观测了前两次彗星的出现，用牛顿的方法算出了彗星第三次出现的时间。事实证明计算结果是正确的可惜哈雷没看见就去世了。 直到19世纪柯西引进极限的概念，但仍不完善， 魏尔斯特拉斯最终用的语言，彻底解决了这个困难，从而推动了近代分析的蓬勃发展． 2 数列的极限 定义3.1 定义域为正整数的函数称为数列，记为，即有 ＝，。 数列也可以写成 ，，，，，。 例如 ＝， 写出来就是 1，，，，； ＝， 写出来就是 －1，，－，，； ＝， 写出来就是 2，，，，； ＝， 写出来就是 1，4，9，16，； ＝ 写出来就是 -1，1，-1，1，。 1.极限的概念 数列的极限，粗略地说，就是当无限增大时，的变化趋势． ＝ 当无限增大时，无限接近于0，因而的极限是0． ＝，当无限增大时，在0的左右跳动，总的趋势无限接近于0。 ＝， 当无限增大时，单调下降无限地接近于1． ＝， 当无限增大时，也无限增大，并不无限接近任一个常数。 ＝ 它在-1与1两个数来回跳动，并不无限地接近任一个常数。 注意，不能说越来越接近 “当无限增大时，无限接近于”， 确切的意思究竟是什么接近到什么程度如何在数量上刻划 下面寻求一种语言，从数量上分析接近程度，使“无限”严格化。 以＝为例， 的增大程度 与0的接近程度，用距离 当时， ， 当时， ， 当时， 。 直观形象地说，如果把数列 ，，，，， 从第N1项起后面的所有项叫做数列的尾巴，则尾巴中的每项与0的距离都小于。 “无限”二字如何反映 应该是与0的距离可以任意小。因此应该起主导作用 将上面的叙述反过来 给定，，当时，有 给定，，当时，有 给定，，当时，有 将上面的语言抽象化，便有下面的定义． 定义3.2 设是一数列，是一实数．若对于任意给定的正数，存在正整数，当时，都有 ．取＝[ ]l，则当时，有 . 故的极限为0． 例7 设，证明＝0． 证法1 若，结论显然成立．故不妨设．对任意给定的，不妨设1．记＝10，则 ＝＝1. 因此 ＝0． 推论3.2 设， i） 若，则存在，当时，有； ii）若，则存在，当时，有 . 推论3.3 若，是常数，则 ＝. 定理3.7唯一性 若数列有极限存在，则极限是唯一的． 证明 用反证法．如果不然，设有极限和，，不妨设0． 证明 由0，知对＝0，存在，当时，有 0. 定理3.3证完见图3－2． 推论3.2 设， 1） 若，则存在，当时，有； 2） 若，则存在，当时，有 . 定理3.1的证明 i 对任意给定的，由，存在，当时，有 |－|. 由，知存在，当时，有 . 取＝，则当时，有 |－| ≤|－|. 即 ． ii 对任意，有 |－||－－| |||－||||－|. 由及，由定理3.2，知存在0，使 ||≤ ，＝1，2，． 任给，根据极限定义，又知存在，当时，有 |－|0，使得 ，＝1，2， 其次由是无穷小量，对任意给定的，知存在，当时，有 。 因此，当时，有 。 定理3.4证完. 例10 求 解 因为＝0，而是有界数列，所以 ＝0. 例11 求。 解 ＝ ＝＝＝2. 更一般地，若，，，是正整数，，则 ＝， 定理3.5（保序性） 若＝，＝，且，则存在，当时，有。 推论若＝，且，则存在，当时，有。 若＝，且，则存在，当时，有。 定理3.6极限不等式 若对任意正整数有≤，且，，则≤. 注1定理条件可以减弱为“存在，当时有≤”. 注2如果将条件“≤”改成“0， 即，证毕． 值得指出的是，证法l用的是定理3.3的证明方法，证法2用的是定理3.3的结论．对一个定理，既要学会用它的结论，也要学会用它的证明方法，这是以后学习要注意的． 定理3.6极限不等式 若对任意正整数有≤，且，，则≤. 证明 用反证法．如果不然，设，则由定理3.5，存在，当时有，与假设条件矛盾，故必有≤． 注意到数列的前有限项并不影响数列的极限，因此定理3.6的条件可以减弱为“存在，当时有≤”. 如果将条件“≤”改成“0，求证。 证明 由于 ＝≤≤＝. 而 ＝1＝， 由夹迫性，即得 ＝． 类似可证 例13 证明＝1． 证法l 当1时1，令＝1＋，其中0．这时 ＝＝1 ≥， （） 因此≤．故 11时，由平均值不等式得 l，则称{}是无穷大量，记为 ， 或 （）. ，，当时，有。 ，，当时，有。 ，，当时，有。 值得指出的是，尽管这里仍沿用记号＝，同样我们也常沿用说法“极限为”，但这仅仅是为了书写和语言的方便，并不意味着收敛和的极限存在，我们说的极限存在，指的是极限值是一个数． 从几何上看，无穷大量是指任意给定区间，必然从某项起，后面的所有项都落在区间之外．换句话说，数列至多有项，，，落在区间之中． 例16 证明＝是无穷大量． 证明 对任意给定的0，不妨设2，要使 ＝＝， 即 ， 只要，令，当时，有，即是无穷大量． 例1 7 证明． 证明 对任意给定的0，不妨设1，要使，只要．取，则当时，有，故． 无穷大量的运算法则和性质 1、 无穷大量与无穷小量的关系 是无穷大量当且仅当是无穷小量。 2、 若，是正负无穷大量，则是正负无穷大量． 3、 若是无穷大量，是有界量，则是无穷大量． 4、 若是无穷大量，满足存在，当时，有，则是无穷大量。 例18 若，，． 证明 由，则由保号性，存在，当时，有 0． 由，则对任意给定的0，存在，当时，有 令＝，则当时，有 ， 所以。 例19 证明． 解 由于，利用无穷大量和无穷小量的关系即得证。 更一般地，若，，，是正整数，则