第二单元 隐函数与参数方程的导数.pdf

第二单元第二单元 隐函数和参数方程的导数隐函数和参数方程的导数 本单元内容要点本单元内容要点 了解隐函数的概念，掌握隐函数的求导方法；掌握参了解隐函数的概念，掌握隐函数的求导方法；掌握参 数方程所确定的函数的导数数方程所确定的函数的导数 本单元教学要求本单元教学要求 掌握隐函数的求导方法；参数方程所确定的函数的导掌握隐函数的求导方法；参数方程所确定的函数的导 数．数． 本单元的重点与难点本单元的重点与难点 重点两类非显函数的求导方法．重点两类非显函数的求导方法． 难点由参数方程所确定的函数的高阶导数．难点由参数方程所确定的函数的高阶导数． 教学时数教学时数2课时．课时． 隐函数的导数隐函数的导数 隐函数的概念隐函数的概念 所谓函数表示的是两个变量 和之间的 关系．这种对应关系在某种情况下，可以用一个较为 明确的关系式来表示．例如都反映 了这种对应关系．这类关系的特点是对自变量的 每一个取值，都可以通过表达式确定一个唯一的因变量 的取值．用这种方式表达的函数称为显函数． 所谓函数表示的是两个变量 和之间的 关系．这种对应关系在某种情况下，可以用一个较为 明确的关系式来表示．例如都反映 了这种对应关系．这类关系的特点是对自变量的 每一个取值，都可以通过表达式确定一个唯一的因变量 的取值．用这种方式表达的函数称为显函数． xy ,sin n yxyx x y yf x 但某种情况下，这种对应关系是 通过一个方程 来确定的．通过方程可以确定 和的对应 关系，但这个关系不能象显函数那样用一个显蚀方程来 表示．例如方程 但某种情况下，这种对应关系是 通过一个方程 来确定的．通过方程可以确定 和的对应 关系，但这个关系不能象显函数那样用一个显蚀方程来 表示．例如方程 , 0F x y xy 3 1 0 xy− 就在区间上确定了一个隐函数又 如方程 就在区间上确定了一个隐函数又 如方程 ,−∞ ∞ ;yy x 22 1xy 当限定，则在区间当限定，则在区间-1, 1内确定了一个隐函数．内确定了一个隐函数．0y 在某些情况下，隐函数能转化成显函数，例如在例在某些情况下，隐函数能转化成显函数，例如在例1 中，相应的函数关系可转化成中，相应的函数关系可转化成 3 1.yx− 但在某些情况下，并不能把隐函数转化成显函数．例如但在某些情况下，并不能把隐函数转化成显函数．例如 由由 5224 3512,yx yx 所确定的隐函数就很难把它表达成一个显函数的形式．所确定的隐函数就很难把它表达成一个显函数的形式． 对给定的方程，在什么条件可以确定隐 函数，并且关于可导，这个问题在下册 中将会详细讨论．在这里通过具体的例子来说明如何 求出隐函数的导数． 对给定的方程，在什么条件可以确定隐 函数，并且关于可导，这个问题在下册 中将会详细讨论．在这里通过具体的例子来说明如何 求出隐函数的导数． , 0F x y yy xyx 例例1 求由方程所确定的隐函数的导数求由方程所确定的隐函数的导数0 y exye−y . dy dx 解方程两边对求导，并注意到是的函数，利用 复合函数的求导法则，有 解方程两边对求导，并注意到是的函数，利用 复合函数的求导法则，有 x yx 0 , yy dd dxdx − 0, y xx e yyxy′′ 即有即有 0 . y x y y yx e x e ′ − ≠ 从而得从而得 例例2 求由方程所确定的隐函数 的导数． 求由方程所确定的隐函数 的导数． sin01yxyεε y 解方程两边对求导，并注意到是的函数，利用 复合函数的求导法则，有 解方程两边对求导，并注意到是的函数，利用 复合函数的求导法则，有 xyx 1cosyy yε′′ ⋅ 即有即有 1 1cos y yε ′ − ．． 例例3 求由方程确定的曲线在求由方程确定的曲线在0, 0 点的切线方程．点的切线方程． 2 sincosxyyx 解根据隐函数求导法则，方程两边对解根据隐函数求导法则，方程两边对x 求导，得求导，得 2 cos12cossinxyyyyxyx′′− ，， 代入代入x0，，y0即得，故即得，故10 y′ 0 1 x y ′− ，， 因此所求切线方程为因此所求切线方程为 yx− ．． 对数求导法对数求导法 所谓对数求导法，是通过其对数的方法，求出一些较所谓对数求导法，是通过其对数的方法，求出一些较 为复杂的函数的导数．它所针对的对象主要是为复杂的函数的导数．它所针对的对象主要是 1.幂指函数幂指函数[] . v x yu x 2.多个函数乘积形式．多个函数乘积形式． 12m yfx fxfx 例例4 求函数的导数．求函数的导数． x yx 解两边取对数，得解两边取对数，得 lnln ,yxx 再求导，利用隐函数的求导方法，得再求导，利用隐函数的求导方法，得 1 ln1,yx y ′ ln1ln 1. x yyxxx ′ 从而从而 例例5 求的导数．求的导数． sin xx yxx 解令解令 sin 12, xx yxxyy sin 11 ,lnsin ln , x yxyxx sin 11 1 1sinsin cos ln,cos ln, x xx yxxyxxx yxx ⎛⎞ ′′⇒ ⎜⎟ ⎝⎠ 22 ln1ln 1, x yyxxx ′ sin sin cos ln1ln. xx x yxxxxx x ⎛⎞ ′ ⎜⎟ ⎝⎠ 例例6 求函数的导数．求函数的导数． 2 3 2 11 2 xx y x − 解对这一类函数尽管也可以用导数的四则运算来求得 但是相当烦琐的．用对数求导法可大大简化计算． 因 解对这一类函数尽管也可以用导数的四则运算来求得 但是相当烦琐的．用对数求导法可大大简化计算． 因 2 1 2ln1ln1 3ln2 2 , xxx ye − 2 32 2 11216 . 1212 2 xxx y xxx x − ⎡⎤ ′∴− ⎢⎥ − ⎣⎦ 由参数方程确定的函数的导数由参数方程确定的函数的导数 在平面解析几何中，我们学习了用参数来表示曲线，在平面解析几何中，我们学习了用参数来表示曲线， 例如，参数方程例如，参数方程 cos 02, sin xr yr θ θπ θ ⎧ ≤≤ ⎨ ⎩ 表示的中心在原点、半径为 的圆．通过参数可以建 立 与的对应关系 表示的中心在原点、半径为 的圆．通过参数可以建 立 与的对应关系 rθ yx 22 yrx− 如果如果 0;θπ≤≤ 或或 22 yrx −− 2. πθπ≤≤如果如果 一般，若参数方程一般，若参数方程 , xt yt ϕ φ ⎧ ⎨ ⎩ 确定变量与之间的函数关系，则称此函数为由参数 方程所确定的函数． 确定变量与之间的函数关系，则称此函数为由参数 方程所确定的函数． yx 在上式中，若函数在某个定义区间上具有 单调、连续的反函数，并且此函数能与函 在上式中，若函数在某个定义区间上具有 单调、连续的反函数，并且此函数能与函 xtϕ 1 txϕ − 数构成复合函数，由此得函数数构成复合函数，由此得函数 ytφ 1 ,yf xxφ ϕ − ⎡⎤ ⎣⎦ 再由复合函数的求导法则，得再由复合函数的求导法则，得 . dy tdydy dt dt dx dxdt dxt dt φ ϕ ′ ′ 注意得是这里的导数一般情况下，仍然可能用参数注意得是这里的导数一般情况下，仍然可能用参数 来表示．来表示． 如果函数与有二阶导数，则有函数 的二阶导数公式 如果函数与有二阶导数，则有函数 的二阶导数公式 xtϕ ytφ yf x 2 22 . ttttd y dx t φϕφϕ ϕ ′′′′′′− ′⎡⎤ ⎣⎦ 但更多的情况下，我们宁可采取直接求导的方法来求但更多的情况下，我们宁可采取直接求导的方法来求 出高阶导数，而不是死记这个烦琐的公式．出高阶导数，而不是死记这个烦琐的公式． 例例7 求曲线在处所对应的切线和法 线方程． 求曲线在处所对应的切线和法 线方程． 2 xt ytt ⎧ ⎨ ⎩ 1t 解当时，曲线上相应的点的坐标为解当时，曲线上相应的点的坐标为1, 2，曲线 在相应的点的切线斜率为 ，曲线 在相应的点的切线斜率为 1t 11 2 3, tt dytt k dxt 231,yx−− 31.yx 故切线方程为故切线方程为 −即即 1 21 , 3 yx− −−法线方程为法线方程为 17 . 33 yx − 即即 例例8 计算由摆线的参数方程计算由摆线的参数方程 sin 1 cos xa tt yat −⎧ ⎪ ⎨ − ⎪ ⎩ 所确定的函数的二阶导数．所确定的函数的二阶导数． 1cos sin cot, 1cos2 sin at dyatt dxat a tt ′ −⎡⎤ ⎣⎦ −′ −⎡⎤ ⎣⎦ 解解 2 2 22 1 cot csc 12 2 2 , 1cos 1cos sin t t d y dxat t a tt ′ ⎛⎞ −⋅⎜⎟ ⎝⎠ − −′ − −⎡⎤ ⎣⎦ 2,.tkkZπ≠∈