第二单元 多元函数微分学.pdf

第二单元多元函数的微分第二单元多元函数的微分 本单元内容要点本单元内容要点 本单元主要讨论多元函数的各种求导方法本单元主要讨论多元函数的各种求导方法, 主要有 一、多元函数的偏导 二、多元函数的全微分 三、多元复合函数的求导法则 四、多元隐函数的求导法则 主要有 一、多元函数的偏导 二、多元函数的全微分 三、多元复合函数的求导法则 四、多元隐函数的求导法则 本单元教学要求本单元教学要求 通过本阶段的学习通过本阶段的学习, 使学生掌握多元函数的各种求导 方法 使学生掌握多元函数的各种求导 方法, 并了解一元函数与多元函数在可导并了解一元函数与多元函数在可导, 可微上的差 别 可微上的差 别; 隐函数存在定理的条件及隐函数的求导方法隐函数存在定理的条件及隐函数的求导方法. 重点重点 掌握各类函数的求导方法掌握各类函数的求导方法 本单元重点与难点本单元重点与难点 难点难点 多元复合函数的 求导方法多元复合函数的 求导方法, 尤其是多元抽象复 合函数的高阶导数 尤其是多元抽象复 合函数的高阶导数; 多元函数可导和可微的条件及相互 的关系 多元函数可导和可微的条件及相互 的关系, 隐函数存在的条件隐函数存在的条件. 教学时数教学时数 6课时课时. 一、偏导数一、偏导数 在一元函数的微积分中，我们知道，所谓一元函数的 导数是函数增量与自变量增量的比值的极限，即 在一元函数的微积分中，我们知道，所谓一元函数的 导数是函数增量与自变量增量的比值的极限，即 00 0 00 limlim. xx f xxf xy fx xx ∆ →∆ → ∆−∆ ′ ∆∆ 自然，多元函数的情况要复杂的多，但有时候也会遇 到一个变量的改变而引起函数改变的情况。为此，我们 引入 自然，多元函数的情况要复杂的多，但有时候也会遇 到一个变量的改变而引起函数改变的情况。为此，我们 引入 1.定义定义 1.偏增量 设函数定义域 为点 给自变量 以增量并使得 相应的函数的增量为 偏增量 设函数定义域 为点 给自变量 以增量并使得 相应的函数的增量为 ,,zf x y,D 000 ,,P xyD∈ x, x∆ 000 ,,P xx yD′ ∆∈ 0 P 0 P′ x∆ 0000 ,.,f xx yf x y ∆− 称其为函数在点 关于自变量 的偏增量，记为 称其为函数在点 关于自变量 的偏增量，记为 ,zf x y 000 ,P xy x . x z∆ 即即 0000 ,.. xz f xx yf x y∆ ∆− 2.偏导数 定义设函数在点的某邻域内有定 义，给 以增量并使得若极限 偏导数 定义设函数在点的某邻域内有定 义，给 以增量并使得若极限 ,zf x y 00 ,xy x, x∆ 00 ,,xx yD ∆∈ 0000 00 ,, limlim x xx f xx yf xyz xx ∆ →∆ → ∆−∆ ∆∆ 存在，则称此极限为函数在点对 的偏导数，记作 存在，则称此极限为函数在点对 的偏导数，记作 ,zf x y 00 ,xyx 0000 0000 ,, ,,,, ,. xx xyxy zf zxyfxy xx ∂∂ ∂∂ 或或 类似地，若极限类似地，若极限 0000 00 ,, limlim y yy zf xyyf xy yy ∆ →∆ → ∆ ∆− ∆∆ 存在，则称此极限为函数在点对 的偏导数，记作 存在，则称此极限为函数在点对 的偏导数，记作 ,zf x y 00 ,xyy 0000 0000 ,, ,,,, ,. yy xyxy zf zxyfxy yy ∂∂ ∂∂ 或或 当函数在点同时存在对的偏 导数，则称函数在点可偏导。 当函数在点同时存在对的偏 导数，则称函数在点可偏导。 ,zf x y 00 ,xy, x y ,zf x y 00 ,xy 如果函数在某平面区域内的每一点 都存在对或对 的偏导，由此得到了新的函数，称其 为的偏导函数，记为 如果函数在某平面区域内的每一点 都存在对或对 的偏导，由此得到了新的函数，称其 为的偏导函数，记为 ,zf x yD , x y yx ,f x y ,,,,,,,, xyxy ff fx yfx yz z xy ∂∂ ∂∂ 等。等。 注从偏导数的定义中可以看出，多元函数对某一变 量的偏导数，实际上是把其它变量视为常数的导数。因 而在对某变量求导的过程中，只需把其它变量视为常 数，对该变量用一元函数求导的方法，即可求出相应的 导数。 注从偏导数的定义中可以看出，多元函数对某一变 量的偏导数，实际上是把其它变量视为常数的导数。因 而在对某变量求导的过程中，只需把其它变量视为常 数，对该变量用一元函数求导的方法，即可求出相应的 导数。 例例1 求函数在点处的导数。求函数在点处的导数。 23 2zxyxy−1,2 解解 2 22 ,32 , xy zxy zyx − 所以所以1,26,1,24. xy zz − 例例2 设求设求arctan, ,. xy x zz z y 解 由一元复合函数的求导法则得解 由一元复合函数的求导法则得 222 11 , 1 x y z yxy x y ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 2222 1 . 1 y xx z yxy x y ⎛⎞− − ⎜⎟ ⎛⎞ ⎝⎠ ⎜⎟ ⎝⎠ 设二元函数在点有偏导。设 为曲面上的点 设二元函数在点有偏导。设 为曲面上的点 ,zf x y 00 ,xy 00000 ,,,Mxyf xy x y z o x0 0, zf xy y0 0 ,zf x y y T x T 0 M 2.偏导数的几何意义偏导数的几何意义 x y z o x0 0, zf xy y0 0 ,zf x y y T x T 0 M 过点作平面此平面与曲面相交得一曲线，曲 线的方程为 过点作平面此平面与曲面相交得一曲线，曲 线的方程为 0 M 0, yy 0 , . zf x y yy ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 由于偏导数 为一元函数的导 数故由一元 函数导数的几何意义知 由于偏导数 为一元函数的导 数故由一元 函数导数的几何意义知 00 , x fxy 0 ,f x y 0 0 ,, x x fx y ′ 偏导数在几何上表示曲线在点偏导数在几何上表示曲线在点 00 , y fxy 0 ,zf x y xx ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 偏导数在几何上表示曲线在点偏导数在几何上表示曲线在点 00 , x fxy 0 ,zf x y yy ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 处的切线对 轴的斜率。处的切线对 轴的斜率。y 000 ,Mxy 处的切线对 轴的斜率。处的切线对 轴的斜率。 000 ,Mxyx 在一元函数微分学中我们知道，如果函数在一点可 导，则在该点一定连续。但是对多元函数而言，此结论 就不成立了。即如果函数在某一点可偏导，并不能保证 函数在该点连续。 在一元函数微分学中我们知道，如果函数在一点可 导，则在该点一定连续。但是对多元函数而言，此结论 就不成立了。即如果函数在某一点可偏导，并不能保证 函数在该点连续。 3.可导与连续可导与连续 例例3 设求设求 22 22 22 0 ,, 0 0 xy xy xyf x y xy ⎧ ≠ ⎪ ⎨ ⎪ ≠ ⎩ ,f x y 解当时，解当时，,0,0 x y ≠ 2222 22 2222 2 ,, x y xyx xyy yx fx y xyxy −⋅− 2222 22 2222 2 ,, y x xyy xyx xy fx y xyxy −⋅− 的偏导。的偏导。 当时，当时，,0,0 x y 0 ,00,0 0,0lim0, x x fxf f x ∆ → ∆− ∆ 0 0,0,0 0,0lim0. y y fyf f y ∆ → ∆− ∆ 即函数在任意点的两个偏导都存在，但在上节中我们 知道，函数在点处不连续。 即函数在任意点的两个偏导都存在，但在上节中我们 知道，函数在点处不连续。0,0 设函数在平面区域内处处存在偏导数 如果这两个偏导数仍可偏导，则称它 们的偏导数为函数的二阶偏导数，由求导 次序，可得到相应的四个二阶偏导 设函数在平面区域内处处存在偏导数 如果这两个偏导数仍可偏导，则称它 们的偏导数为函数的二阶偏导数，由求导 次序，可得到相应的四个二阶偏导 ,zf x y D ,,, xy fx yfx y ,zf x y 22 2 22 2 ,, ,. zzzz xxxx yyx zzzz y xxyyyy ∂∂∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟ ∂∂∂∂ ∂∂∂ ⎝⎠⎝⎠ ⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂ ⎜⎟⎜⎟ ∂ ∂∂∂∂∂∂ ⎝⎠⎝⎠ 4.高阶偏导高阶偏导 而其中的第二与第三项称为混合偏导。而其中的第二与第三项称为混合偏导。 例例4 求的二阶偏导数。求的二阶偏导数。arctan x z y 解解 2222 ,, xy yx zz xyxy − 22222 222 222222 22 ,, xxxy xyxyyxy zz xyxyxy −−− 22222 222 222222 22 ,. yxyy xyxxyxy zz xyxyxy −− − 在上面的例子中，我们可以看到这两个混合偏导是相 同的。 在上面的例子中，我们可以看到这两个混合偏导是相 同的。 例例5 设求设求 3 22 22 22 0 ,, 0 0 x y xy xyf x y xy ⎧ ≠ ⎪ ⎨ ⎪ ≠ ⎩ 0,0 , xy f 0,0 . yx f和 解当时， 和 解当时， ,0,0 x y ≠ 24 222 22 32 ,, x x yx y fx y xy xy − 332 222 22 2 ,, y xx y fx y xy xy − 而当时，而当时，,0,0 x y 0 ,00,0 0,0lim0, x x fxf f x ∆ → ∆− ∆ 0 0,0,0 0,0lim0. y y fyf f y ∆ → ∆− ∆ 所以所以 0 0,0,0 0,0lim0, xx xy y fyf f y ∆ → ∆− ∆ 0 ,00,0 0,0lim1. xx yx x fxf f x ∆ → ∆− ∆ 此时，此时， 0,00,0 . xyyx ff≠ 定理如果函数的两个二阶混合偏导数 在区域内内连续，那么在该区域 内 定理如果函数的两个二阶混合偏导数 在区域内内连续，那么在该区域 内 ,zf x y ,,, xyyx fx yfx y D ,,. xyyx fx yfx y 例例6 验证函数满足波动方程验证函数满足波动方程sinzxay− 22 2 22 . zz a yx ∂∂ ∂∂ 证因证因 2 2 2 2 2 cos, sin, cos,sin. zz xayxay xx zz axayaxay yx ∂∂ − −− ∂∂ ∂∂ −− −− ∂∂ 从而有从而有 22 2 22 . zz a yx ∂∂ ∂∂ 例例7 验证函数满足拉普拉斯方程验证函数满足拉普拉斯方程 22 lnzxy 22 22 0. zz xy ∂∂ ∂∂ 证因证因 222 2222 22 ,, zxzyx xxyx xy ∂∂− ∂∂ 由对称性，得由对称性，得 222 22 22 , zxy y xy ∂− ∂ 由此得由此得 22 22 0. zz xy ∂∂ ∂∂ 二、全微分二、全微分 在一元函数的微分定义中，若因变量的增量可以表 达为 在一元函数的微分定义中，若因变量的增量可以表 达为 y∆ ,yA xox∆ ∆ ∆ 则函数可微，且相应的微分为则函数可微，且相应的微分为 yf x .dyAdxfx dx ′ 平行地，我们引入平行地，我们引入 1.全微分的定义全微分的定义 定义设函数在点的某邻域内有定 义，如果函数在点处的全增量 定义设函数在点的某邻域内有定 义，如果函数在点处的全增量 ,zf x y 00 ,xy 00 ,xy 0000 ,,zf xx yyf xy∆ ∆ ∆− 可以表达为可以表达为 ,zA xB yoρ∆ ∆ ∆ 其中是不依赖于的常数其中是不依赖于的常数, 则称函数在点处可微，并称 为函数在点的全微 分，记作即 则称函数在点处可微，并称 为函数在点的全微 分，记作即 ,A B, xy∆∆ 22 ,xyρ∆ ∆ ,zf x y 00 ,xy A xB y∆ ∆,zf x y 00 ,xy ,dz .dzA xB y∆ ∆ 若函数在平面区域内处处可微时，我 们称为内的可微函数。 若函数在平面区域内处处可微时，我 们称为内的可微函数。 ,zf x yD ,zf x yD 定理定理1（可微必要条件） 若函数在点 可微，则 ⑴在点处连续； ⑵在点处可偏导，且有 即有 （可微必要条件） 若函数在点 可微，则 ⑴在点处连续； ⑵在点处可偏导，且有 即有 ,zf x y 00 ,xy ,zf x y 00 ,xy ,zf x y 00 ,xy 00 ,, x Afxy 00 ,, y Bfxy 0000 ,,. xy dzfxyxfxyy∆ ∆ 2.可微的条件可微的条件 证⑴由条件函数可微，即有 等式两边取时的极限，即有 证⑴由条件函数可微，即有 等式两边取时的极限，即有,0 xy∆∆ → ,0,0 limlim0. xyxy zA xB yoρ ∆∆ →∆∆ → ∆ ∆ ∆ ⎡⎤ ⎣⎦ 故，在点处连续。故，在点处连续。,zf x y 00 ,xy ,zA xB yoρ∆ ∆ ∆ ⑴ ⑵为证⑵，在⑴中，令则有 ⑴ ⑵为证⑵，在⑴中，令则有0,y∆ 0000 ,,,zf xx yf xyA xox∆ ∆−∆ ∆ 两边同除以并令得两边同除以并令得x∆0,x∆ → 0000 0 ,, lim, x f xx yf xy A x ∆ → ∆− ∆ 同理可得同理可得 0000 0 ,, lim. y f xyyf xy B y ∆ → ∆− ∆ 所以，在点处可偏导，且有所以，在点处可偏导，且有,zf x y 00 ,xy 0000 ,,,. xy fxyA fxyB 习惯上，自变量的增量常写成因而当 函数可微时，上式可写成 习惯上，自变量的增量常写成因而当 函数可微时，上式可写成 , xy∆∆,.dx dy 0000 ,,. xy dzfxydxfxydy 注意函数连续与可偏导是可微的必要条件而非充分条 件，事实上，函数可导并不能保证函数可微。 例函数 注意函数连续与可偏导是可微的必要条件而非充分条 件，事实上，函数可导并不能保证函数可微。 例函数 22 ,0,0 ,, 0 ,0,0 xy x y xyf x y x y ⎧ ≠ ⎪ ⎨ ⎪ ≠ ⎩ 则，容易得到，则，容易得到，0,00,00, xy ff 若函数可微，则若函数可微，则 , xy zfxfyoρ∆ ∆ ∆ 又因又因 22 22 00, xy z xy xy xy xy ∆ ⋅∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ⋅∆ ⋅∆ ∆ ∆ ∆ 但极限但极限 22 00 limlim zxy xy ρρ ρ →→ ∆∆ ⋅∆ ∆ ∆ 不存在不存在, 这和这和 22 xy o xy ρ ∆ ⋅∆ ∆ ∆ 为矛盾，从而函数在点不可微。为矛盾，从而函数在点不可微。 0,0 定理定理2 （可微充分条件）若函数在点 具有连续偏导数，则在点处可微。 （可微充分条件）若函数在点 具有连续偏导数，则在点处可微。 ,zf x y 00 ,xy ,f x y 00 ,xy 证对于充分小的将函数的全增量写成证对于充分小的将函数的全增量写成,,xy∆∆ 0000 ,,zf xx yyf xy∆ ∆ ∆− 0000 ,,f xx yyf xyy ∆ ∆− ∆⎡⎤ ⎣⎦ 0000 ,,f xyyf xy ∆−⎡⎤ ⎣⎦ 由假设，在每一个方括号内，由微分中值定理得由假设，在每一个方括号内，由微分中值定理得 0000 ,, xy zfxx yyxfxyyxθη∆ ∆ ∆∆ ∆∆ 001002 ,, xy fxyxfxyyαα⎡⎤∆ ∆⎡⎤ ⎣⎦⎣⎦ 000012 ,, xy fxyxfxyyxxαα∆ ∆ ∆ ∆ 又因，又因， 12 12 00 ,00 , xyαα αραρ ρρ ∆∆ ≤→→≤→→ 从而，从而， 12 ,xxoααρ∆ ∆ 所以函数在点处可微。所以函数在点处可微。,zf x y 00 ,xy 例例1 求函数在点处的全微分。求函数在点处的全微分。 2xy zxe 2,1 解因解因 2,. xyxy xy zxyezxe 故全微分为故全微分为 22 42.dzedxe dy 例例2 设求函数在点处当 时的全微分。 设求函数在点处当 时的全微分。 ln2,zxy2,30.1,x∆ 0.2y∆ 解因解因 12 ,, 22 xy zz xyxy 11 2,3,2,3, 84 xy zz 所以所以 111 0.10.2. 8416 dz 例例3 设求设求, y zx.dz 解因解因 1, ln , yy xy zyxzxx − 所以，所以， 1 ln. yy dzyxdxxxdy − 对于三元函数对于三元函数, 平行地有 定理若函数有对各个变量的连续偏导 平行地有 定理若函数有对各个变量的连续偏导, 则函数可微则函数可微, 且有且有 , ,uf x y z , ,, ,, ,. xyz dufx y z dxfx y z dyfx y z dz 例例4 设求设求 2 ln,uxyz−.dz 解容易得到解容易得到 222 112 ,,, xyz z uuu xyzxyzxyz − −−− 所以所以, 2 1 2.dudxdyzdz xyz − − 例例5 设设 2222 22 22 1 sin 0 , 0 0 xyxy xyf x y xy ⎧ ≠ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 证明函数的各偏导数存在证明函数的各偏导数存在, 但在点的任何邻域内 各偏导数无界 但在点的任何邻域内 各偏导数无界, 不连续不连续, 而在点处可微而在点处可微. 0,0 0,0 证当时证当时, 有有,0,0 x y ≠ 222222 121 ,2 sincos, x x fx yx xyxyxy − 222222 121 ,2 sincos, y y fx yy xyxyxy − 而当时而当时,有有 ,0,0 x y 0,00,00. xy ff 因函数因函数 1 2222 1 ,cos, x fx y xyxy 2 2222 1 ,cos, y fx y xyxy 在的任何邻域内不连续在的任何邻域内不连续,无界无界, 而函数而函数 0,0 34 2222 11 ,2 sin,,2 sin,fx yxfx yy xyxy 在的极限为由此得到两个偏导函数在的 任何邻域内不连续 在的极限为由此得到两个偏导函数在的 任何邻域内不连续,无界无界. 又对自变量的增量 相应因变量的增量为 又对自变量的增量 相应因变量的增量为 0,0 0, 0,0 ,,xy∆∆ 22 22 1 sin,fxy xy ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 从而从而 22 22 22 1 sin xy f xy xy ρ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 22 22 1 sin0,xy xy ∆ ∆→ ∆ ∆ 上式说明上式说明 0,00,0, xy ffxfyoρ∆ ∆ ∆ 此即说明函数在点处可微此即说明函数在点处可微. 0,0 3.全微分的应用 设函数在点处可微，则 全微分的应用 设函数在点处可微，则 ,zf x y 00 ,xy 从而有从而有 0000 ,,, xy zdzfxyxfxyy∆ ≈∆ ∆⑵⑵ 0000 0000 ,, ,,. xy f xx yyf xy fxyxfxyy ∆ ∆≈ ∆ ∆ ⑶⑶ 例例6 计算的近似值。计算的近似值。 2.02 1.04 解设利用函数在点的可微 性，再利用近似计算公式⑶，得 解设利用函数在点的可微 性，再利用近似计算公式⑶，得 ,, y zf x yx 1,2 2.02 1.041.04,2.02f 1,21,21,2 xy ffxfy≈⋅∆ ⋅∆ 12 0.040 0.021.08. ⋅⋅ 例例7 设有一圆柱体设有一圆柱体, 它的底半径由增加到 其高度由减少到试求体积变化的近似值 它的底半径由增加到 其高度由减少到试求体积变化的近似值. R2cm2.05,cm H10cm9.8,cm 解由体积公式得解由体积公式得 2 ,VR Hπ RH VdVVRVH∆≈⋅∆⋅∆ 2 2 RHRRHππ⋅∆⋅∆ 3 2 2 10 0.0540.2 1.2.cm ππ π ⋅ ⋅⋅⋅⋅ − 例例8 设的绝对值很小设的绝对值很小, 证明有下面的近似公式证明有下面的近似公式, x y 证明令则有证明令则有 ,11. mn f x yxy 1 ,11, mn x fx ymxy − 1 ,11. mn y fx ynxy − 当的绝对值很小时当的绝对值很小时,考虑函数在的全增量考虑函数在的全增量, 则有则有, x y0,0 ,11. mn f x yxydf∆≈ 111. mn xymxny≈ 再由再由 0,00,00,0 xy fdffxfy∆≈ .mxny 而由此即得而由此即得 0,01,f 111. mn xymxny≈ 二元可微函数的几何意义 在一元函数微分学中 二元可微函数的几何意义 在一元函数微分学中, 我们知道我们知道, 可微函数的几何意义 是 可微函数的几何意义 是 可用切线段近似代替弧段可用切线段近似代替弧段. 对于二元可微函数对于二元可微函数, 我们 有相仿的结论 我们 有相仿的结论. 设二元函数在点可微设二元函数在点可微, 则在点 的某一邻域内有 则在点 的某一邻域内有 ,zf x y 00 ,xy 00 ,xy 00 ,,f x yf xy− 000000 ,,, xy fxyxxfxyyy≈−− 记上式的右端为记上式的右端为 000000 ,,, xy zfxyxxfxyyy−− 即即 00 000000 ,, ,,, xy f x yf xy fxyxxfxyyy ≈ −− 它表示过点且以它表示过点且以 0000 ,,,xyf xy 0000 ,,,, 1 xy fxyfxy− 为法向的平面为法向的平面. 在第七节中在第七节中,我们知道该平面是该点的我们知道该平面是该点的 切平面切平面. 此说明此说明,若函数在点可微若函数在点可微, 则曲面在点 的近旁的一小部分 则曲面在点 的近旁的一小部分, 可用曲面在该 点的切平面来近似代替 可用曲面在该 点的切平面来近似代替. 00 ,xy 0000 ,,,xyf xy -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0 0.2 0.4 .5 -0.25 0 0.25 x y z 在一元函数的微分学中，我们知道，若函数 在点 可导，函数在对应点 可导，则复合函 数在点 可导，且有 在一元函数的微分学中，我们知道，若函数 在点 可导，函数在对应点 可导，则复合函 数在点 可导，且有 xg t t yf xx yf g tt . dydy dx dtdx dt ⋅ 将上述法则推广到多元函数，则有下面的将上述法则推广到多元函数，则有下面的 三、复合函数的导数三、复合函数的导数 1.全导数全导数 定理定理1 如果函数都在 可导，函数 在对应点具有连续偏导数，则复合函 数在点 可导，且有 如果函数都在 可导，函数 在对应点具有连续偏导数，则复合函 数在点 可导，且有 ,utvtϕφt ,zf u v , u v ,zfttϕφ⎡⎤ ⎣⎦ t . dzz duz dv dtu dtv dt ∂∂ ∂∂ 证给 以增量，相应地使函数 获得增量则复合函数也获得了增量 证给 以增量，相应地使函数 获得增量则复合函数也获得了增量. 由于函数 有连续偏导数，故有 由于函数 有连续偏导数，故有 t t∆ ,utvtϕφ ,,uv∆∆ 12 , zz zuvuv uv αα ∂∂ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∂∂ 其中为时的无穷小。两 边同除以得， 其中为时的无穷小。两 边同除以得， 12 ,α α 22 0uvρ∆ ∆→ t∆ 12 , zzuzvuv tutvttt αα ∆∂ ∆∂ ∆∆∆ ∆∂∆∂ ∆∆∆ 由条件在点 处可导，所以当 时，有 由条件在点 处可导，所以当 时，有 ,utvtϕφt0t∆ → ,, uduvdv tdttdt ∆∆ →→ ∆∆ 又由于当时， 于是 又由于当时， 于是 0t∆ →0,0,0,uvρ∆ →∆ →⇒→ 12 0,0, uv tt αα ∆∆ →→ ∆∆ 由此即得由此即得 0 lim. t zdzz duz dv tdtu dtv dt ∆ → ∆∂∂ ∆∂∂ ⑴ 公式⑴中的导数称为全导数。 ⑴ 公式⑴中的导数称为全导数。 例例1 设求设求 cos sin, t zt. dz dt 解令则由求导公式解令则由求导公式sin ,cos , , v ut vtzu 1 coslnsin vv dzz duz dv vutuut dtu dtv dt − ∂∂ − ∂∂ cos1cos1 2 cossinsinlnsin . tt ttt − ⋅− 例例2 设设 2 arctan ,sin ,ln ,, t zuvw ut vt we . dz dt 求 解 求 解 dzz duz dvz dw dtu dtv dtw dt ∂∂∂ ∂∂∂ 2 2 11 cos2 1 t vtuve tw 2 2 11 cos ln2 sin ln. 1 t t tttte te 定理定理2 如果函数在点可 微，函数在对应点有连续偏导数，则复合函 数在点可微，且有 如果函数在点可 微，函数在对应点有连续偏导数，则复合函 数在点可微，且有 ,,,ux yvx yϕφ , x y ,zf u v ,,,zfx yx yϕφ⎡⎤ ⎣⎦ , x y . zzuz v xuxv x ∂∂ ∂∂ ∂ ∂∂∂∂ ∂ . zzuzv yuyv y ∂∂ ∂∂ ∂ ∂∂∂∂ ∂ ⑵⑵ 2.复合函数求导法则复合函数求导法则 例例3 设求设求 2 32, xy zxy ,. xy z z 解令则解令则 2 32 ,, . v uxy vxyzu 12 3ln vv xuxvx zz uz vvuuu y − ⋅ ⋅ 22 1 22 33232ln 32. xyxy xyxyyxyxy − 例例4 设求设求 3 arcsin,,, t zxyxse yt ,. zz st ∂∂ ∂∂ 解由公式⑵得解由公式⑵得 3 2226 , 11 tt t zz xz yyt ee sx sys x yse t ∂∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ −− 2 22 1 3 1 t zz xzy ysex t txtyt x y ∂∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ − 32 226 1 3. 1 tt t t set se s e t − 例例5 设求设求sin ,,, u x zev uxy v y ,. zz xy ∂∂ ∂∂ 解由公式⑵得解由公式⑵得 1 sincos uu zzuz v yevev xuxv xy ∂∂ ∂∂ ∂ ∂∂∂∂ ∂ 1 sincos. xyxy xx yee yyy 2 sincos uu zzuzvx xevev xuyv yy ∂∂ ∂∂ ∂ − ∂∂∂∂ ∂ 2 sincos. xyxy xxx xee yyy − 例例6 设是类函数，证 明 设是类函数，证 明 12222 ,, zf xyyxfC−− 0. zz yx xy ∂∂ ∂∂ 证令则证令则 2222 ,,uxy vyx−− 22, zzz xx xuv ∂∂∂ − ∂∂∂ 22, zzz yy yuv ∂∂∂ − ∂∂∂ 22 220. zzzz yxxyxy xyuv zz xyxy uv ∂∂∂∂ − ∂∂∂∂ ∂∂ − ∂∂ 所以所以 设二元函数为二阶可导函数，而设二元函数为二阶可导函数，而,zf u v 也为二阶可导函数，则复合函数也为二阶可导函数，则复合函数 ,,,,uu x yvv x y ,,,zf u x yv x y⎡⎤ ⎣⎦ 也为二阶可导函数，本目讨论相应的求导方法。也为二阶可导函数，本目讨论相应的求导方法。 3.复合函数的高阶导数复合函数的高阶导数 例例7 设其中 是函数，设其中 是函数， 2 ,,wf xyzxyz− 2 ,. ww xx z ∂∂ ∂∂ ∂ uxvxuv w f uf vfyzf x ∂ ∂ f 2 C 求 解令由公式⑵ 求 解令由公式⑵ 2 ,,uxyz vxyz− 2 uvv zz w fyfyz f x z ∂ ′′ ∂ ∂ uuzuvzvvuzvvz f uf vyfyz f uf v 22 uuuvvvuvv fzf xyyfyz fzf xy−− 22 22. uuuvvvv zfxyyzfyff xy z −− 例例8 设求设求,, y y zfx x ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ ,,. xxxyyy zzz 解令则解令则,, y y uvx x 1 2 , y xuxvxuv y zf uf vfyxf x − − 1 ln, y yuyvyuv zf uf vfxxf x 21 32 2 1 yy xxuuvv xx yy zffy yxfyxf xx −−′′ −− 1 322 2 y uuuuv yyy fff yx xxx − ′ ⎛⎞⎛⎞ −− ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ 211 2 1. yyy vvuvv y y yxfyxff yx x −−− ⎛⎞⎛⎞ −− ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ 11 22 1 ln yy xyuuvv y y zffxfyxxf xx −−′ −− 111 1 lnln. yyyy vvvuvv xfyxxfyxff xx x −−− ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 1 22 11 ln yy vuuuuv y y yxffff xx xxx − ⎛⎞ ′ −− ⎜⎟ ⎝⎠ 21 ln yy yyuvv yy zfxxfxf x ′′ 21 1 lnln yy uuuvv fxxfxxf xx ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 1 ln. yy vuvv xfxxf x ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 例例9 设是类函数，试将表达式设是类函数，试将表达式,uf x y 2 C 2 2 uu xy ⎛⎞∂∂ ⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ ⎝⎠ 转换成极坐标下的形式。 解直角坐标与极坐标之间的关系为 转换成极坐标下的形式。 解直角坐标与极坐标之间的关系为 cos ,sin ,xyρθρθ 作复合则由复合函 数的求导公式得 作复合则由复合函 数的求导公式得 ,cos ,cos,uf x yfρθ ρθ cossin , sincos , uuxuyuu xyxy uuxuyuu xyxy θθ ρρρ ρθρθ θθθ ∂∂∂∂∂∂∂⎧ ⋅⋅ ⎪ ∂∂ ∂∂ ∂∂∂ ⎪ ⎨ ∂∂∂∂∂∂∂ ⎪ −⋅⋅ ⎪∂ ∂ ∂∂ ∂∂∂ ⎩ 将视为未知量，解此线性方程组得，将视为未知量，解此线性方程组得，, uu xy ∂∂ ∂∂ sin cos, cos sin, uuu x uuu y θ θ ρρθ θ θ ρρθ ∂∂∂⎧ − ⎪ ∂∂∂ ⎪ ⎨∂ ∂∂ ⎪ ⎪∂ ∂∂ ⎩ 所以所以 22 2 sin cos uuuu xy θ θ ρρθ ⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂ ⎛⎞ − ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ∂∂∂∂ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ 22 2 2 cos1 sin. uuuuθ θ ρρθρρθ ⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ∂∂∂∂ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 四、