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第 2 章 弹性空间问题基本理论 教学提示建立求解弹性力学问题的基本方程是本章的主要任务。弹性力学的基本方 程包括平衡微分方程、几何方程、物理方程。基于微元体的平衡建立起平衡微分方程，通 过变形分析给出几何方程，用虎克定律给出物理方程。通过这三组基本方程将弹性体的 6 个应力分量、6 个应变分量及 3 个位移分量联系起来。弹性力学的正确解答应在弹性体内 满足应变协调方程，在边界上满足边界条件。 教学要求重点掌握弹性力学的基本方程（平衡微分方程、几何方程、物理方程、应 变协调方程）的表现形式和推导过程。掌握弹性体的边界条件的确定，了解弹性体的一点 应力状态和一点应变状态，了解位移法求解的基本方程，应力法求解的基本方程和轴对称 问题的基本方程。 2.1 平衡微分方程 任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系。实际的弹性力学问题都是 空间问题，人们讨论问题常常是在笛卡儿坐标中进行。因此，使用六个与坐标面平行的平 面从弹性体中任意一点 P 的邻域截取一个微六面体，如图 2.1 所示。在这个微六面体中， 若微面的外法线方向与坐标正方向一致，则称为正面；若与坐标正方向相反，则称为负面。 因此有三个正面和三个负面。 物体处在平衡状态，其内部的每一点都应处在平衡状态。使用一个微六面体代表物体内 的一点，则作用在该微六面体上的所有力应满足平衡条件，由此可推导平衡微分方程。 如图 2.1 所示的微六面体，取直角坐标系的坐标轴与边重合，各边的长度分别为 dx， dy，dz。在微六面体 x0 的面上，应力是 x σ， xy τ， xz τ；在 xdx 面上的应力，根据应力函 数的连续性并按 Taylor 级数相对 x0 的面展开，略去高阶项，它应是 d x x x x σ σ ∂ ∂ ，d xy xy x x τ τ ∂ ∂ ，d xz xz x x τ τ ∂ ∂ 同理，可由y0，z0面上的应力表示ydy，zdz面上的应力。最后，所有各面上的 应力如图2.1所示。 当弹性体平衡时，P点的平衡就以微元体平衡表示。这样，就有6个平衡方程 0 x F ∑ ，0 y F ∑ ，0 z F ∑ 0 x M ∑ ，0 y M ∑ ，0 z M ∑ 弹性力学 12 12 图 2.1 考虑微单元体沿x方向的平衡，可得 dd dd ddd dd d yx x xxyxyx xy zy zyx zx z xy τ σ σσττ ∂⎛⎞ ∂⎛⎞ −− ⎜⎟⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ ⎝⎠ dd dd dd d d0 zx zxzx zx yx yX x y z z τ ττ ∂⎛⎞ − ⎜⎟ ∂ ⎝⎠ 整理上式并除以微单元体的体积dxdydz，得 0 yx xzx X xyz τ στ ∂ ∂∂ ∂∂∂ 2-1a 同理，建立y、z方向的平衡条件，可得 0 xyyzy Y xyz τστ∂∂∂ ∂∂∂ 2-1b 0 yz xzz Z xyz τ τσ ∂ ∂∂ ∂∂∂ 2-1c 式2-1就是弹性力学的平衡微分方程。注意式2-1中X，Y，Z是单位体积里的体积力 沿x，y，z方向上的分量。 考虑图2.1中微单元体的力矩平衡。对通过点C平行于x方向的轴取矩。凡作用线通 过点C或方向与x轴平行的应力和体力分量对该轴的力矩均为零。 dddd dd dd ddd dd d0 2222 yzzy yzyzzyzy yyzz yx zx zyx yx y yz ττ ττττ ∂∂⎛⎞⎛⎞ −− ⎜⎟⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠⎝⎠ 于是力矩平衡方程在略去高阶项后只剩两项 d d dd d d0 yzzy x zyx yzττ− 由此可得 yzzy ττ 2-2a 第 2 章 弹性空间问题基本理论 13 13 同理，对沿y和z方向的形心轴取矩得 xzzx ττ, xyyx ττ 2-2b 这就是剪应力互等定理。在材料力学中已给出，它表明在两个相互垂直的平面上， 与两平面的交线垂直的剪应力分量的大小相等，方向指向或背离这条交线。根据剪应力互 等定理，式2-1中包含的9个应力分量中只有6个是独立的，这6个应力分量描述了物体 内任意一点的应力状态。 式2-1称为微元体的平衡微分方程，又称Navier方程。 2.2 物体内任一点的应力状态 应力状态即指弹性体内任一点处各个不同方向截面上的应力分布情况， 在应力状态中， 若 已知三个互相垂直面上的应力分量，其他任一斜面上的应力分量可从该点的平衡条件中导出。 如图2.2所示的微四面体由通过弹性体内某点P的三个负面和一个斜面组成，△ABC 就是P点的任一斜面，斜面的外法线单位矢量为 nlixmiy niz 2-3 斜面ΔABC的面积为dS，则三个负面的面积分别是 ΔBPC ldS ΔAPC mdS ΔAPB ndS 四面体的体积为 1 dd d d 6 Vx y z 设斜面上的全应力为矢量 S，它沿斜面的法线和切向分解，就是该面的正应力σN和剪 应力 N τ；沿坐标轴方向分解成三个分量XN ，YN ，ZN。 图 2.2 由微四面体的平衡条件0 x F ∑ 得 XN dS- σxldS- yx τmdS- zx τndS XdV 0 式中X是单位体积力分量，式中的最后一项是比前面项高一阶的小量，可忽略不计，得到 弹性力学 14 14 lσx m yx τ n yx τXN 同样可以由0 y F ∑ 和0 z F ∑ 得出两个相似方程，与上式合并成为 xyxzxN xyyzyN xzyzzN lmnX lmnY lmnZ σττ τστ ττσ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 2-4 这就是著名的Cauchy公式，又称为斜截面应力公式，其实质是微四面体的平衡条件。 斜截面全应力大小为 222 NNN SXYZ 2-5 Cauchy公式有两个重要的应用。 1 求斜截面的各种应力。斜截面上的正应力 N σ是应力分量S沿其法线方向的投影， 考虑到式2-3和式2-5，因此有 σN XNl YNm ZNn 2-6a 将式2-4代入上式得 σN σxl2 σym2 σzn2 2τxylm 2τyzmn 2τzxnl 2-6b 斜截面上的剪应力分量是 222222 NNNNNN SXYZτσσ−− 2-7 由此可见，在物体的任一点，如果已知坐标面方向的六个应力分量，就可以求得任一 斜面上的正应力和剪应力。所以，6个应力分量完全决定了一点的应力状态。 2 确定应力边界条件。在特殊情况下，如果斜面是物体上受面力作用的边界面时， 则XN ，YN ，ZN成为面力分量X，Y，Z，由此得到空间受力体的应力边界条件 xyxzx xyyzy xzyzz lmnX lmnY lmnZ σττ τστ ττσ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 2-8 【例 2.1】 在物体内的一点，应力分量是 x σ10 MPa， y σ30 MPa， z σ50 MPa， xy τ0， yz τ0， zx τ-40 MPa，求在方向余弦为l，m，n 1 2， 1 2 −， 1 2 的斜面上的全应力、法 向正应力和切向剪应力。 解 1 利用式2-4求该斜面上应力矢量的3个坐标分量是 Nxyxzx Xlmnσττ 111 100 40 222 − −520 2−MPa 111 030015 222 Nxyyzy Ylmnτστ− −MPa 第 2 章 弹性空间问题基本理论 15 15 111 40050 MPa 2025 2 222 Nxzyzz Zlmnττσ ⎛⎞ −− − ⎜⎟ ⎝⎠ MPa 2 计算斜截面上的全应力，由式2-5式得 222222 520 2 15 2025 2MPa39.61 NNN SXYZ− − −MPa 3 该斜面上的正应力由式2-6a得 σN XNl YNm ZNn 111 520 2152025 2MPa3520 2 MPa6.72 222 ⎡⎤ −− − −− ⎢⎥ ⎣⎦ MPa 4 该斜面上的剪应力由式2-7得到 2222 39.616.72MPa39.04 NN Sτσ−－MPa 2.3 主应力、最大与最小应力 根据 Cauchy 公式，给定一点的应力状态，即已知坐标面方向的六个应力分量，各斜截 面上的应力分量随斜截面法线方向 N 而改变。根据材料力学知识，在所有的斜截面中存在 这样的面，该面上只有正应力作用，而剪应力为零，即该面上的应力分量 SN只有沿法线 方向的分量。则把这个正应力称做主应力，这个斜面称做主应力平面。 下面求这个斜截面的单位法线矢量N以及该面上的正应力σ。 设斜截面的单位法线矢量N lixmiy niz，即斜面的方向余弦为l，m，n，根据上面 的描述，应有 N τ 0, σN σ 则 XN l σ，YN m σ，ZN n σ 式中 l，m，n 是 N 在 3 个坐标轴上的投影，将上式代入式2-4得 xl σ yx τm zx τn l σ xyl τ ym σ zyn τ m σ 2-9 xzl τ yzm τ zn σ n σ 整理得 0 xyxzx lmnσσττ− 0 xyyzx lmnτσστ− 2-10 0 xzyzz lmnττσσ− 上式是关于l，m，n的齐次方程，由于 l2 m2 n2 1 2-11 因此，l，m，n不可能同时为零，即方程式2-10应有非零解。欲使该方程有非零解，则要 求其系数矩阵行列式为零 弹性力学 16 16 xxyxz yxyyz zxzyz σσττ τσστ ττσσ − − − 0 2-12 将 xy τ yx τ， yz τ zy τ， zx τ xz τ代入上式，展开可得一个关于σ的一元三次方程，该方程在 数学上称为特征方程 σ3− I1σ2 I2σ− I30 2-13 式中I1，I2，I3分别为 I1σxσyσz I2σxσyσxσzσyσz− 222 xyyzzx τττ 2-14 I3 xxyxz yxyyz zxzyz σττ τστ ττσ 222 2 xyzxyyzzxxyzyzxzxy σ σ στ τ τσ τσ τσ τ−−− 这里I1，I2，I3分别称为第一、第二、第三应力不变量。其不变的含义是指当坐标系旋转 时每个应力分量都在变化，但这三个量是不变的。事实上，物体内一定的应力状态是在一 定的参考坐标系中，随坐标系的旋转而改变，然而主应力是唯一的，当且仅当I1，I2，I3 不变时，式2-13所确定的实根才是唯一的。 解特征方程式2-13，可得3个特征实根σ1，σ2，σ3，这3个特征根被称为主应力。 通常按代数值大小排列成为σ1≥σ2≥σ3， 其中σ1，σ3分别称为最大主应力、 最小主应力。 将这3个主应力分别代回方程式2-10，由于系数矩阵的行列式为零，式2-10中只有两 个方程是独立的，结合方程式2-11，可求得3组解li，mi ，nii1，2，3。这3组解分 别代表3个主应力所在斜截面的法线方向，这3个方向称为主应力方向，这3个斜截面称为 主平面。沿3个主方向的直线通常称为主轴。不难证明，3个主应力方向相互垂直。 三次方程2-13可以写成如下形式 123 0σσσσσσ−−− 2-15 展开成为 32 123122331123 0σσσσ σσ σσ σσ σ σσ σ σ−− 2-16 可见，三个不变量为 I1 123 σσσ I2 122331 σ σσ σσ σ 2-17 I3 123 σ σ σ 用三个主应力表示任一斜截面上的应力，由式2-6及式2-7则有 222 123N lmnσσσσ 2-18a 22 22222222222 123123 N lmnlmnτσσσσσσ− 2-18b 利用式2-11消除式2-18a中的三个方向余弦之一，例如l，得 第 2 章 弹性空间问题基本理论 17 17 222222 123 N lmnmnσσσσ−− 为了求出σN的极值， 用求极值的方法， 令0 N m σ∂ ∂ ，0 N n σ∂ ∂ ， 得m0，n0， 从而有1l 。 代入式2-18a，得到 N σ的一个极值，即 1 σ。同理，采用上述方法，依次消去m和n，又 可得出 N σ的另外两个极值，分别等于 2 σ和 3 σ。这就是说， N σ的极值为 1 σ， 2 σ， 3 σ。 将截面方向余弦作为变量，结合式2-11消除一个方向余弦，用求极值的方法，可得剪应 力的6个极值及其所在面的法线方向及 N σ， N τ的变化范围和极值。计算结果如表2-1所示。 表 2-1 主应力及主剪应力 l m n 2 N τ N σ 1 0 0 0 σ1 0 1 0 0 σ2 0 0 1 0 σ3 0 1 2 1 2 2 23 2 σσ−⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 23 2 σσ 1 2 1 2 0 2 12 2 σσ−⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 12 2 σσ 1 2 0 1 2 2 13 2 σσ−⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 13 2 σσ 可以看出，前三个极值所在的平面是主平面，这些面上的剪应力为0， 2 N τ取最小值， 三个主应力中最大的一个就是该点的最大正应力，最小的主应力就是该点的最小主应力。 而剪应力 N τ则在与主应力面成45方向截面取极值，大小为两两主应力差的平均值中最大 和最小者；当三个主应力相等时，该点所有各截面上的正应力都相等，而剪应力都等于零。 13 max 2 σσ τ − 2-19 所在的平面与中主应力σ2平行而与最大主应力和最小主应力的角度分别为45。 【例 2.2】 已知受力物体内某一点的应力分量为σx0，σy2 MPa，σz1 MPa，τxy1 MPa， τyz0，τzx2 MPa，试求经过此点的平面x3yz1上的正应力和剪应力，且计算此点的主 应力及主应力方向。 解 1 先求出平面x3yz1的法线的方向余弦为 1 11 l ， 3 11 m ， 1 11 n 2 将应力分量及方向余弦代入式2-4，得 Nxyxzx Xlmnσττ 5 11 MPa 1.508 MPa 7 11 Nxyyzy YlmnτστMPa 2.111 MPa 弹性力学 18 18 3 Z 11 Nxzyzz lmnττσMPa 0.905 MPa 3 该斜面上的正应力及剪应力由下式得 N σ XNl YNm ZNn 2.637 MPa 2222 0.771 NNNNN XYZτσ－MPa 4 计算主应力，由式2-12列出行列式 1 2 1 2 0 2 0 1 σ σ σ − − − 0 用代数余子式展开上式 2 330σσ−− 解得 1 σ3 MPa， 2 σ1.732 MPa， 3 σ -1.732 MPa 5 计算主应力方向。第一主应力方向，将 1 σ3 MPa及各应力分量代入式2-10，且 联立式2-11，有 222 0 0 1 lm ln lmn ⎧ − ⎪ − ⎨ ⎪ ⎩ 求解上列方程组，得l1，m1，n1 3 3 −， 3 3 −， 3 3 −及 3 3 ， 3 3 ， 3 3 。两个主应力 方向表明主应力 1 σ有两个相差180的面。 第二主应力方向，将 2 σ1.732 MPa及各应力分量代入式2-10，与式2-11联立，有 222 0.2680 20.7320 1 lm ln lmn ⎧ ⎪ − ⎨ ⎪ ⎩ 解得l2，m2，n20.211，−0.787，0.576及−0.211，0.787，−0.576。 同理，将 3 σ−1.732 MPa及各应力分量代入式2-10，与式2-11联立，得l3，m3， n30.789，−0.211，−0.576及−0.789，0.211，0.576。 不难证明，主应力方向是相互正交的。 2.4 几 何 方 程 2.4.1 几何方程 弹性体的位移和应变之间是相互联系的， 应变是描述弹性体单位变形的一个物理量。 弹性体发生变形时，通过分析微元体的应变分量和位移分量之间的关系，建立起几何方 第 2 章 弹性空间问题基本理论 19 19 程。在弹性体内任一点Px,y,z截取一微元体dVdxdydz，受力变形后P点移到P点。为 方便研究，我们将微元体的棱边及变形投影到三个坐标平面。首先，考查xOy坐标面上 的投影，微元体在xOy坐标面上的投影为矩形平面微元，取变形前矩形平面微元两条相 互垂直的边，如图2.3所示，边长PAdx，PBdy，在弹性体发生变形后，P点移到P 点，A点移到A点，B点移到B点。在小变形假设下，变形后长度和角度的改变量可以 近似地用坐标轴上的投影量代替。P点移到P点，其位移可分解为沿坐标轴的u和v两 个分量。点A，B移到A，B点，其沿坐标轴的位移分量可以在P点进行泰勒展开，在略 去二阶以上微量后有 图 2.3 d A u uux x ∂ ∂ ，d A v vvx x ∂ ∂ d B u uuy y ∂ ∂ ，d B v vvy y ∂ ∂ 根据应变的定义，线段PA，PB的线应变是 d d d d x y u uxu PAPAu x xxPA v vyv PBPBvy yyPB ε ε ∂ − −∂ ∂ ≈ ∂ ∂ − −∂∂ ≈ ∂ 微线段PA，PB分别转动了α1，α2，在小变形情况下有 1 d d v vxv v x xx α ∂ − ∂ ∂ ≈ ∂ ， 2 d d u uyu uy yy α ∂ − ∂∂ ≈ ∂ 则剪应变两条相互垂直线段的角度改变量为 12xy vu xy γαα ∂∂ ∂∂ 此三式就是xOy坐标面上的几何关系。 同理， 将以上方法向yOz和zOx坐标面方向推广， 可得到类似的几何关系。 经过整理， 弹性力学 20 20 去掉重复表达式，得到六个独立式。这就是几何方程 , , xyz xy yz zx uvw xyz vu xy wv yz uw zx εεε γ γ γ ∂∂∂⎧ ⎪ ∂∂∂ ⎪ ∂∂⎪ ⎪ ∂∂⎪ ⎨ ∂∂ ⎪ ⎪ ∂∂ ⎪ ∂∂ ⎪ ⎪ ∂∂⎩ 2-20 几何方程也称为Cauchy方程。 2.4.2 刚体位移 对于几何方程的求解有两种情况。一种是已知位移求应变，求解过程是将表示位移的 连续函数求导，可以得到确定的应变；另一种是已知应变求位移，求解方法须将表示应变 的连续函数求积分，得到的位移表达式中尚包含待定的积分常数，要由约束条件来确定。 下面来考查应变分量均为零的情况，即 0 xyzxyyzzx εεεγγγ 代入几何方程2-20，得到 0, 0, 0 uvw xyz ∂∂∂ ∂∂∂ 2-21a 0, 0, 0 vuwvuw xyyzzx ∂∂∂∂∂∂ ∂∂∂∂∂∂ 2-21b 由式2-21a积分得到 123 , , , , , ufy zvfx zwfx y 2-22 其中f1，f2，f3是任意函数，代入式2-21b中得 21 32 31 , , 0 , , 0 , , 0 fx zfy z xy fx yfx z yz fx yfy z zx ∂∂⎧ ⎪ ∂∂ ⎪ ∂⎪∂ ⎨ ∂∂ ⎪ ⎪ ∂∂ ⎪ ∂∂ ⎩ 2-23 先求f1y,z，将式2-23中的第一式对y求导，第三式对z求导，得 22 11 22 , , 0, 0 fy zfy z yz ∂∂ ∂∂ 可见，f1y,z函数只包含常数项、y项、z项和yz项，可以表示为 f1y,zabyczdyz 式中a，b，c，d都是任意常数。 第 2 章 弹性空间问题基本理论 21 21 同理可求得 f2x,zefxgzhxz f3x,yijxkylxy 将求得的f1，f2，f3代回到式2-23，得到 gbhdz0 kflhx0 cjdly0 无论x，y，z取何值，上式都成立，所有常数项及一次项系数均为零，于是得到 g -b，d -h，f -k l -h，c -j，d -l 可见ldh0，最后求得 f1y,za－gy＋cz f2x,ze－kz＋gx f3x,yi－cx＋ky 将a，e，i，k，c，g分别改写为u0，v0，w0， x ω， y ω， z ω，代入式2-21a，得到 0 0 0 yz zx xy uuzy vvxz wwyx ωω ωω ωω −⎧ ⎪ − ⎨ ⎪ − ⎩ 2-24 式2-24表示的位移与应变无关，是应变为零时的位移，称为刚体位移。实际上u0，v0， w0表示物体不变形情况下沿x，y，z坐标方向的刚体平移，而 x ω， y ω， z ω分别表示绕x， y，z坐标轴的刚体转动。 2.4.3 边界条件 在弹性力学分析中，弹性体的边界条件分为三种边界条件，分别为位移边界条件、应 力边界条件和混合边界条件。 物体应变为零时可以有刚体位移，可见，弹性体发生应变时，由于边界约束条件不同， 它产生的刚体位移也不同，弹性体刚体位移中的常数要由约束条件来确定。弹性体在边界 上受约束点的约束，约束点的已知位移函数称为弹性体的位移边界条件，即 s s s uu vv w w ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ 2-25 S指弹性体的边界曲面，u，v，w为边界上约束点的已知位移。 在弹性体的边界曲面上已知某区域的受力情况及约束点的约束力条件，称为应力边界 条件。具体表达式为式2-8。 在混合边界条件中，弹性体一部分边界具有已知位移，另一部分边界具有已知面力； 也有可能在同一边界上既已知位移，又已知面力，它们包含位移和应力的两种条件，称之 弹性力学 22 22 为混合边界条件。 2.4.4 应变协调方程 通过几何方程，建立了弹性位移与弹性体应变之间的关系，从数学角度上看，弹性体 在连续变形过程中而不被破坏，其应变分量应该存在着一定的函数关系，即应变分量必须 满足一定条件，使物体变形后仍保持连续，这些数学关系称为应变协调方程或相容方程。 这种协调方程分为两类，第一类为平面内的应变协调方程；第二类为平面与平面之间的应 变协调方程。 应变协调方程是由几何方程推导出来的。 平面内的应变协调方程，把几何方程2-20中的 x ε对y求二阶偏导数， y ε对x求二阶 偏导数，然后相加得 22 22 22 yxy x vu xyx yxyx y εγ ε ∂∂ ∂⎛⎞∂∂∂ ⎜⎟ ∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂ ⎝⎠ 同理，可以得到另外两个相类似的方程，归纳起来有 22 2 22 22 2 22 222 22 yxy x yyz z xzxz xyx y yzy z zxz x εγ ε εγ ε εγε ⎧∂ ∂ ∂ ⎪ ∂∂∂ ∂ ⎪ ⎪ ∂∂ ∂⎪ ⎨ ∂∂∂ ∂ ⎪ ⎪∂ ∂∂ ⎪ ∂∂∂ ∂ ⎪ ⎩ 2-26a 平面与平面之间的应变协调方程，将几何方程2-20求偏导数，即 22 22 22 xy yz zx vu zx zy z wv xy xz x uw yz yx y γ γ γ ∂⎧ ∂∂ ⎪ ∂∂ ∂∂ ∂ ⎪ ⎪∂ ∂∂⎪ ⎨ ∂∂ ∂∂ ∂ ⎪ ⎪∂ ∂∂ ⎪ ∂∂ ∂∂ ∂ ⎪⎩ 将上式第一、第二两式相加后减去第三式，得 2 2 xyyz zx v zxyx z γγ γ ∂∂ ∂∂ − ∂∂∂∂ ∂ 将此式对y求偏导数，得到 2 3 22 xyyzy zx v yzxyx y zx z γγε γ ∂∂∂⎛⎞ ∂∂∂ − ⎜⎟ ∂∂∂∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ⎝⎠ 同样，可以得到另外两个方程，归并到一起，有 第 2 章 弹性空间问题基本理论 23 23 2 2 2 2 2 2 xyyzy zx yzxy zxz xyyz zxx yzxyx z zxyzy x xyzxz y γγε γ γγ γε γγ γε ⎧∂∂∂ ⎛⎞∂∂ − ⎪⎜⎟ ∂∂∂∂∂ ∂ ⎝⎠⎪ ⎪ ∂∂⎛⎞ ∂∂∂⎪ − ⎨⎜⎟ ∂∂∂∂∂ ∂ ⎝⎠⎪ ⎪ ∂∂⎛⎞ ∂∂∂ ⎪ − ⎜⎟ ⎪∂ ∂∂∂∂ ∂ ⎝⎠ ⎩ 2-26b 式2-26a，2-26b合起来就是应变协调方程，又称Saint-Venant方程。 如果应变分量不满足这些方程，那么弹性体发生的位移就不可能是单值连续函数，即 弹性体变形后被破坏了，出现了裂缝或重叠。可以证明，应变分量满足应变协调方程，是 保证物体连续的充分必要条件。 2.5 物体内任一点的应变状态 2.5.1 应变状态 应变状态是弹性体内某一点各个不同方向的应变情况，同应力分量一样，物体内任一 点的六个应变分量随坐标系的旋转而改变。弹性体也存在三个相互垂直的应变主方向，在 物体发生变形后，沿这三个方向的微分线段只有长度变化，它们之间的直角变形后仍保持 为直角，即剪应变为零。此时的三个应变为主应变，用 1 ε， 2 ε， 3 ε表示。根据应变理论 分析，在小变形条件下有 222 Nxyzxyyzzx lmnlmmnnlεεεεγγγ 2-27 在确定主应变时，假设一点的主应变方向，其方向余弦为l,m,n，则有 11 0 22 11 0 22 11 0 22 xxyxz xyyyz xzyzz lmn lmn lmn εεγγ γεεγ γγεε ⎧ − ⎪ ⎪ ⎪ − ⎨ ⎪ ⎪ − ⎪ ⎩ 2-28 若上式有非零解，其系数行列式必须为零 11 22 11 0 22 11 22 xxyxz xyyyz xzyzz εεγγ γεεγ γγεε − − − 2-29 展开后有 32 123 0JJJεεε−− 2-30 这里J1，J2，J3分别为第一、第二、第三应变不变量。分别为 弹性力学 24 24 1 222 2 222 3 1 4 11 22 111 224 11 22 xyz yzzxxyyzzxxy xxyxz xyyyzxyzxyyzzxxyzyzxzxy xzyzz J J J εεε ε εε εε εγγγ εγγ γεγε ε εγ γ γε γε γε γ γγε − −−− 2-31 方程2-30有三个实根，即3个主应变 1 ε， 2 ε， 3 ε。用主应变表示的不变量为 1123 212233 1 3123 J J J εεε ε εε εε ε ε ε ε 2-32 2.5.2 体积应变 体积应变定义为弹性体单位体积的改变量，用θ表示，微元体变形后，边长dx，dy， dz变为1 x εdx、1 y εdy、1 z εdz，则变形后体积变为 d111d d d xyy Vx y zεεε 111d d dd d d d d d xyy xyzxyyzzxxyz x y zx y z x y z εεε θ εεεε εε εε εε ε ε − 在小变形情况下，二次以上的乘积项略去不计，则体积应变为 xyz θεεε 2-33 将几何方程2-20的前三式代入可得到 ddd uvw xyz θ ∂∂∂ 2-34 2.6 物 理 方 程 物体在受力过程中会出现应力、应变和位移效应。受力效应的变量之间存在着相互关 系。在单向拉伸应力状态下，弹性阶段的应力与应变关系用虎克定律描述 Eσε 式中E为弹性模量。 第 2 章 弹性空间问题基本理论 25 25 上式表明了单向拉伸时应力与应变的相互关系。推广到三维受力状态，对一般情况， 应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关。考虑材料的线弹性变形阶段，其应力 分量与应变分量为线性组合关系，即 111213141516 212223242526 313233343536 414243444546 5152535455 xxyzxyyzzx yxyzxyyzzx zxyzxyyzzx xyxyzxyyzzx yzxyzxyyz CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCC σεεεγγγ σεεεγγγ σεεεγγγ τεεεγγγ τεεεγγ 56 616263646566 zx zxxyzxyyzzx C CCCCCC γ τεεεγγγ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 2-35 对于各向同性材料，材料的物理性质与方向无关，即材料的任意一个方向上的应力作 用产生的应变效应相同，在数学上反映就是式2-35中的系数是对称的。 在理想弹性体的小变形状态下，应力与应变的线性关系，称为广义虎克定律。对笛卡 儿直角坐标系，虎克定律的表达式为 1 [] 1 [] 1 [] 1 1 1 xxyz yyxz zzxy xyxy yzyz zxzx E E E G G G εσμ σσ εσμ σσ εσμ σσ γτ γτ γτ ⎧ − ⎪ ⎪ ⎪ − ⎪ ⎪ ⎪ − ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ 2-36 上式称为弹性力学物理方程，式中E为弹性模量，G为剪切弹性模量，μ为泊松比。是由 实验测定的材料常数。它们存在关系式 21 E G μ 2-37 将式2-36中的前三式相加，得 12 xyzxyz E μ εεεσσσ − 2-38 命 xyz σσσΘ为体积应力，则 12 E μ θΘ − 2-39 由此看出， 体积应力与体积应变之间为线性关系， 它们之间的比例常数1 2 E μ− 称为体积模量。 弹性力学 26 26 将物理方程进行变换，用应变分量表示应力分量，得到 2 2 2 xx yy zz xyxy yzyz zxzx G G G G G G σλθε σλθε σλθε τγ τγ τγ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 2-40 式中λ为拉梅Lame常数 112 Eμ λ μμ − 2-41 2 12 Gμ λ μ − 2-42 至此，我们导出了求解弹性力学问题的15个基本方程3个平衡微分方程，6个几何 方程，6个物理方程。方程中包含15个基本未知量6个应力分量，6个应变分量和3个 物理分量。 2.7 轴对称问题的基本方程 在空间问题中，如果弹性体的几何形状、边界约束条件及所受的外力作用，都对称于 某一轴，即通过此轴的任一平面都是对称面或弹性体绕此轴旋转任一角度后与旋转前都相 同，则所有的应力、应变和位移都对称于这个对称轴，这种问题称为轴对称问题。 为便于求解轴对称问题，采用圆柱坐标r、θ、z来描述应力、应变和位移，假设z轴为 弹性体的对称轴，则所有的应力分量、应变分量和位移分量都只是r、z的函数，与θ无关， x方向和z方向的体力分别为Xr和Z。 首先来推导轴对称问题的平衡微分方程。 对于轴对称问题，从弹性体割取一个微元体PABC，如图2.4所示。径向正应力为 r σ ， 环向正应力为 θ σ ，轴向正应力为 z σ 。根据对称性，剪应力 0 rrθθ ττ ， 0 zzθθ ττ 。这 样微元体总共只有四个应力分量，即 r σ ， θ σ ， z σ ， zrrz ττ ，都是r和z的函数，且Xr 和Z分别表示x方向和z方向的体力。 将六面体的各力投影到微元体中心的径向轴上有 d d d d dd d2d d sin 2 d d dd dd d d0 r rr zr zrzrr r rrzrzr z r z rrrrX rr z z θ σθ σθσθσ τ τθτθθ ∂ −− ∂ ∂ − ∂ 化简， d sin 22 θθ ≈,方程两边除以d d drr zθ，略去微量，得 0 rrzr r X rzr θ σσστ−∂∂ ∂∂ 第 2 章 弹性空间问题基本理论 27 2