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第 5 章 平面问题的直角坐标解 教学提示作为对于实际工程结构的某些特殊形式，经过适当的简化和力学模型的抽 象处理，就可以归结为弹性力学的平面问题，例如水坝，受拉薄板等。这些问题的特点是 某些基本未知量被限制在平面内发生的，使得数学上成为二维问题，从而简化了这些问题 的求解。 教学要求本章的任务让学生了解弹性力学平面问题两种主要求解方法，即位移法和 应力法。通过例题求解典型平面问题，使学生重点掌握弹性力学平面问题主要方法，即应 力函数法，掌握应力函数法求解平面问题的基本步骤。 5.1 按位移求解平面问题 求解弹性力学问题的方法与在材料力学里计算超静定问题的方法相类似， 也有三种基本 方法，即位移解法、 应力解法和混合解法。我们主要讨论前两种方法。下面首先介绍位移法。 所谓位移解法就是以位移分量为基本未知函数，首先建立由位移分量表示的基本方程 和边界条件，并由此先行求出位移分量u，v，然后再由几何方程式求出应变分量 x ε， y ε， xy γ，进而由物理方程式求出应力分量 x σ， y σ， xy τ。 位移解法是以位移作为未知数的一种求解方法。为此，需要将基本方程和应力边界条 件中的其他物理量用位移表示。对于平面问题，位移分量u，v，只需要两个独立的方程 即可求解，它们就是平衡方程。为此，将式4-20变换用应变表示应力，写成 2 2 1 1 xxy yxy xyxy E E G σεμε μ σμεε μ τγ ⎧ ⎪ − ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ 5-1 考虑到几何方程式4-18，代入式5-1，用位移分量表示的应力分量为 2 2 1 1 21 x y xy Euv xy Euv xy Euv yx σμ μ σμ μ τ μ ⎧∂∂ ⎪ −∂∂ ⎪ ⎪∂∂ ⎨ −∂∂ ⎪ ⎪ ∂∂ ⎪ ∂∂ ⎩ 5-2 第 5 章 平面问题的直角坐标解 89 89 再将上式代入平面问题的平衡方程式4-17中，化简后可得 222 222 222 222 11 0 122 11 0 122 Euuv X xyx y Evvu Y yxx y μμ μ μμ μ ⎧⎛⎞ ∂−∂∂ ⎪⎜⎟ −∂∂∂ ∂ ⎪⎝⎠ ⎨ ⎛⎞∂−∂∂ ⎪ ⎜⎟ ⎪ −∂∂∂ ∂ ⎝⎠⎩ 5-3 对于一个边值问题的求解，除了在弹性体内部满足基本方程外，在边界上还必须满足 应力边界条件。这时应力边界条件要求用位移来表示，只需在应力边界条件的应力分量用 式5-1代入，由边界应力条件式4-23得用位移表示的应力边界条件 2 2 1 12 1 12 Euvvu lmX xyxy Evuvu lmY xyyx μ μ μ μ μμ μ ⎧⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞∂∂−∂∂ ⎪⎢⎥ ⎜⎟⎜⎟ −∂∂∂∂ ⎝⎠⎝⎠⎪⎣⎦ ⎨ ⎡⎤⎛⎞⎛⎞ −∂∂∂∂⎪ ⎢⎥⎜⎟⎜⎟ ⎪ −∂∂∂∂ ⎝⎠⎝⎠⎣⎦ ⎩ 5-4 对于位移边值问题，在边界上还必须满足位移边界条件 uu，vv 然而对于一个混合边值问题，除了在应力边界上应该满足应力边界条件外，在位移边 界上还必须满足唯一边界条件。 应该指出，上述方程是在平面应力条件下建立的，但是如果将 E 换成 2 1 E μ− ，μ换成 1 μ μ− ，即可用于平面应变问题的求解。按位移求解的方法适用范围比较广泛，它既可以用 于求解位移边值问题，也可以求解应力边值问题，还可以用于求解混合边值问题。 5.2 按应力求解平面问题 所谓应力解法就是以应力分量为基本未知函数，首先建立由应力分量表示的基本方程 和边界条件，并由此先行求出应力分量 x σ， y σ， xy τ，然后，再由物理方程式求出应变分 量 x ε， y ε， xy γ，进而由几何方程式求出位移分量u，v。 按应力求解平面问题时，作为未知数的应力分量有3个，即 x σ， y σ， xyyx ττ，只用 两个平衡方程是不能确定这3个未知数的，还必须考虑应变协调方程作为补充条件，而平 衡方程和边界条件所有的未知力都是应力，所以只需将应变协调方程 22 2 22 yxy x yxx y εγ ε ∂∂ ∂ ∂∂∂ ∂ a 加以变换，使其中的应变用应力来表示。 将物理方程式4-19代入应变协调方程a，注意到弹性常数之间的相互关系，有 弹性力学 90 90 2 22 22 21 xy xyyx yxx y τ σμσσμσμ ∂ ∂∂ −− ∂∂∂ ∂ b 为了得到更加简单的表达式，可利用平衡方程式4-17，消去上式中的 xy τ项。为此将平衡 方程式4-17改写成 yx x xyy X yx Y xy τ σ τσ ∂⎧ ∂ −− ⎪ ∂∂ ⎪ ⎨ ∂∂ ⎪ −− ⎪ ∂∂ ⎩ 5-5 把第一式对x求导数，第二式对y求导数，然后相加，得 22 2 22 2 xyy x XY x yxyxy τσ σ ∂∂ ∂∂∂ −−−− ∂ ∂∂∂∂∂ c 比较b式和c式得 2 222 2222 11 y x xyyx XY yxxyxy σ σ σμσσμσμμ ⎛⎞∂ ∂⎛⎞∂∂∂∂ −− −−⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ∂∂∂∂∂∂ ⎝⎠ ⎝⎠ 上式移项、展开、化简后，有 22 22 2222 1 yy xx XY xyxyxy σσ σσ μ ∂∂ ∂∂⎛⎞∂∂ − ⎜⎟ ∂∂∂∂∂∂ ⎝⎠ 即 2222 2222 1 xy XY xyxyxy σσμ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂ − ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ∂∂∂∂∂∂ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 最后可得 22 22 1 xy XY xyxy σσμ ⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂ − ⎜⎟⎜⎟ ∂∂∂∂ ⎝⎠⎝⎠ 5-6 这就是平面应力情形下的用应力表示的应变协调方程。如果将式中的μ换成 1 μ μ− ，则 可得平面应变情形下的用应力表示的应变协调方程为 22 22 1 1 xy XY xyxy σσ μ ⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂ − ⎜⎟⎜⎟ ∂∂−∂∂ ⎝⎠⎝⎠ 5-7 式5-6或5-7都作为补充方程，与平衡方程式4-17联立，3个方程求解3个未知数， 并结合边界条件，就可以求解平面应力问题。 当体积力X，Y为常数时，如重力，则式5-6和式5-7的右端式中 0 X x ∂ ∂ ，0 Y y ∂ ∂ 第 5 章 平面问题的直角坐标解 91 91 于是，式5-6和5-7成为同一个表达式，写成 22 22 0 xy xy σσ ⎛⎞∂∂ ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ 5-8 或用拉普拉斯算子表示成为 2 0 xy σσ∇ 5-9 式中拉普拉斯算子 22 2 22 xy ∂∂ ∇ ∂∂ ，式5-9通常称为莱维lvy方程。 把平衡方程和应力表示的应变协调方程写在一起，有 22 22 0 0 0 yx x xyy xy X xy Y xy xy τ σ τσ σσ ⎧∂ ∂ ⎪ ∂∂ ⎪ ⎪∂ ∂ ⎪ ⎨ ∂∂ ⎪ ⎪⎛ ⎞∂∂ ⎪ ⎜⎟ ∂∂⎪⎝ ⎠⎩ 5-10 应用式5-10求得的3个应力分量就是弹性力学解， 再满足某个具体问题的边界条件， 则成 为该具体问题的弹性力学解答。 反过来， 如果有一组应力解答， 在弹性体内部满足式5-10， 在应力边界上能够满足式4-23给出的应力边界条件或在短边满足圣维南原理的边界条 件，那么这组解答必定是这个问题的弹性力学解答。所以，满足式5-10及4-23是弹性力 学问题解答的充分且必要条件。 【例 5.1】 下面给出平面应力问题单连通域的应力场和应变场，试分别判断它们是否为 可能的应力场与应变场不计体力。 1 22 3 2 x x yσ −， 4 1 4 y yσ −， 3 xy xyτ； 2 22 x C xyε， 2 y Cyε，2 xy Cxyγ。 解 将式1应力代入平衡方程 0 xy x X xy τ σ ∂ ∂ ∂∂ ，0 yxy Y xy τσ∂∂ ∂∂ 得到 22 330 xyxy−， 33 0yy− 将式1应力代入相容方程 22 22 0 xy xy σσ ⎛⎞∂∂ ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ 弹性力学 92 92 有 224 31 24 xy x yyσσ ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ 22 222 22 3330 xy yxy xx σσ ⎛⎞∂∂ −−−≠ ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ 所以，式1不是一组可能的应力场。 将式2应变量代入应变表示的相容方程得到 2 2 2 x C y ε∂ ∂ ， 2 2 0 y x ε∂ ∂ ， 2 2 xy C x y γ∂ ∂ ∂ 22 2 22 220 yxy x CC yxx y εγ ε ∂∂ ∂ −− ∂∂∂ ∂ 式2满足相容方程，所以2为可能的应变分量。 5.3 多项式应力函数解平面问题 弹性力学问题的边界力多数都是均匀或线性的简单形式的分布形式，所对应的应力函 数是呈多项式形式的。所以在弹性范围内，我们可以构造幂次不同的应力函数ϕ，考察其 是否满足双调和方程4-28，然后由式4-2求出应力分量，运用这些分量去分析物体边界上 面力的分布情况，并确定应力函数ϕ能够求解什么问题。 设有矩形平面弹性体，假设体积力为零，现讨论如下不同幂次应力函数所对应的边界 面力分布情况。 5.3.1 一次多项式 取一次多项式 , x yaxbycϕ，其中a，b，c为待定系数。检验 , x yϕ是否满足 双调和方程 444 4 4224 20 xxyy ϕϕϕ ϕ ∂∂∂ ∇ ∂∂∂∂ 显然 , x yϕ满足双调和方程，因而可作为应力函数。 其对应的应力分量由式4-25得 2 2 0 x y ϕ σ ∂ ∂ 2 2 0 y x ϕ σ ∂ ∂ 第 5 章 平面问题的直角坐标解 93 93 2 0 xy x y ϕ τ ∂ − ∂ ∂ 所以可以得到这样的结论1 一次多项式的应力函数对应于无体力和无应力状态； 2 在函数 , x yϕ上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 5.3.2 二次多项式 取二次多项式 22 axbxycyϕ，其中a，b，c为待定系数。检验 , x yϕ是否满足 双调和方程，显然有 4 4 0 x ϕ∂ ∂ ， 4 4 0 y ϕ∂ ∂ ， 4 22 0 xy ϕ∂ ∂∂ 即 4 0ϕ∇，显然 , x yϕ满足双调和方程，因而可作为应力函数。 由式4-25计算应力分量假设a 0 , b 0, c 0 2 2 2 x c y ϕ σ ∂ ∂ ， 2 2 2 y a x ϕ σ ∂ ∂ ， 2 xy b x y ϕ τ ∂ − − ∂ ∂ 应力分量为常数，所以可得到二次多项式是表示对应于均匀应力分布的应力函数。如图5.1 所示就是弹性板在不同面力作用下的应力函数。 图 5.1 5.3.3 三次多项式 取三次多项式 3223 axbx ycxydyϕ，其中a，b，c，d为待定系数。 检验 , x yϕ是否满足双调和方程，显然有 4 4 0 x ϕ∂ ∂ ， 4 4 0 y ϕ∂ ∂ ， 4 22 0 xy ϕ∂ ∂∂ 即 4 0ϕ∇，显然 , x yϕ满足双调和方程，因而可作为应力函数。 由式4-25计算应力分量 2 2 26 x cxdy y ϕ σ ∂ ∂ ， 2 2 26 y byax x ϕ σ ∂ ∂ ， 2 22 xy bxcy x y ϕ τ ∂ − −− ∂ ∂ 可见三次多项式的应力函数是对应于线性应力分布的。若取0abc，0d ≠，则可得 6 x dyσ，0 yxy στ。这就是如图5.2所示的梁受纯弯曲情况的应力状态和边界面力的 分布情况。 2 0 2 y σ ϕ y x y xyyx 0 ,τϕ 0 τ x 0 τ 弹性力学 94 94 图 5.2 5.3.4 四次多项式 取四次多项式 432234 axbx ycx ydxyeyϕ，检验 , x yϕ是否满足双调和方程 4 4 24a x ϕ∂ ∂ ， 4 22 28c xy ϕ∂ ∂∂ ， 4 4 24e y ϕ∂ ∂ 代入 4 0ϕ∇ 会得到 330ace a 可见，对于函数 432234 axbx ycx ydxyeyϕ，其待定系数须满足系数关系式a才能作 为应力函数。 假定满足，由式4-25计算应力分量假定X Y 0 2 22 2 2 22 2 2 22 2612 2612 343 x y xy cxdxyey y cybxyax x bxcxydy x y ϕ σ ϕ σ ϕ τ ⎧∂ ⎪ ∂ ⎪ ⎪ ∂⎪ ⎨ ∂ ⎪ ⎪ ∂ − −−− ⎪ ∂ ∂ ⎪⎩ b 由式b可见应力分量为x，y的二次函数。例如若取0abc，0d ≠，则可得应力分量 为6 x dxyσ，0 y σ， 2 3 xy dyτ −，令0d ，则此时应力函数可取为 3 dxyϕ，弹性体的 边界面力如图5.3所示。 图 5.3 类似的代数多项式还可以写出多个， 掌握了上述这些简单应力函数所对应的应力特点， 还可以用叠加原理去解决实际上比较复杂的问题。 总之，用幂次不同的多项式来解决简单的平面问题时应注意以下几个问题 2 3dh yx −τ y x dlh x 6−σ l o h h 2 3dh yx −τ 2 3dy xy −τ 2 3dy xy −τ 0 x σ 2 3dh−y xo h h 第 5 章 平面问题的直角坐标解 95 95 1 多项式应力函数ϕ的性质。 ① 多项式次数n＜4时，则系数可以任意选取，总可满足 4 0ϕ∇。 ② 多项式次数n≥4时，则系数须满足一定条件，才能满足 4 0ϕ∇。 ③ 多项式次数n越高，则系数间需满足的条件越多。 2 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数Φx,y加上或减去一个 一次多项式，对应力无影响。 3 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性 分布应力。 4 用多项式构造应力函数Φx,y的方法只能解决简单直线应力边界问题。 5.4 矩形截面梁纯弯曲的应力函数解 本节说明如何由应力函数和边界条件求出纯弯曲梁的应力函数解。设有如图5.4所示 的矩形截面梁，它的宽度远小于或远大于梁的另外两个几何尺寸，为研究方便，取单位宽 度，此单位宽度梁在两端受相反的力偶M而弯曲，体力不计。 由5.3节可知，考虑边界没有剪应力分布的情况下，其应力函数试取 3, dyϕ在体力 0XY时，由式4-25得应力分量 6 x dyσ，0 y σ，0 xy τ a 图5.4中梁对应的上下与左右边界条件自然满足 0,0 2 6d ,0 yxy xxy h y xly στ στ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 再分析常数d与弯矩M的关系，由梁端部较小的边界条件可知，梁的左端和右端的水平面 力合成的主矩为力偶M，主矢量为零。所以可以应用圣维南原理得下式关系 2 2 d0 h hx yσ − ∫ b 图 5.4 max 3dhσ x max 3dhσ 1 ll 2 h 2 h y M M 弹性力学 96 96 2 2 d h hxy yσ − ⋅ ∫ M c 式a代入b从而得 2 2 6d0 h h dyy − ⋅≡ ∫ 自然满足。 式a代入c得 2 2 2 6d h h dyy − ∫ M 积分计算得 3 2 d h M 由常数d得应力函数为 3 3 2M y h ϕ 常数d代入式a得 3 12 x M y h σ 可进一步写成 x M y I σ 可见式中 3 1 1 12 Ih 为截面垂直于平面的z轴惯性矩。 上式就是矩形梁受纯弯曲时的应力 分量，可见此结果与材料力学中结果相同，说明材料力学中纯弯曲梁的应力结果是正确的。 应力函数ϕ的结论所针对的组成梁端面力是必须按直线分布的，若两端的面力是按其他形 式分布的， 此解答是有误差的， 但除梁的两端附近外， 其他离梁端较远处， 按照Saint-Venant 原理，误差是可以不计的。 5.5 悬臂梁自由端受力弯曲的应力函数解 本节求解如图5.5所示的一悬臂梁，设梁的截面为矩形，其宽度为1，在悬臂梁的自由 端面上，作用一合力P不计体力。显然，这是一个平面应力问题，要想利用多项式应力 函数解决问题，首先应确定应力函数。由材料力学可知，此梁任一截面上的弯矩与截面的 位置x成正比，而该截面上任何点的应力与y成正比。因此可以假设 x Axyσ 第 5 章 平面问题的直角坐标解 97 97 图 5.5 其中A为待定系数。对上式进行两次积分得 3 12 , 6 A x yxyyf xfxϕ 5-11 式中 1 f x， 2 fx为待定函数，可由相容方程确定。于是将式5-11代入双调和方程4-28得 44 12 44 d d 0 dd f xfx y xx 由于 1 f x及 2 fx只是x的函数，上式的第二项与y无关，在梁的范围内不论x和y为任何 值，要使上式得以满足，唯一的可能是 4 1 4 d 0 d f x x ， 4 2 4 d 0 d fx x 对上式进行积分，得 32 1 32 2 f xBxCxDxE fxFxGxHxK ⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩ 5-12 式中B，C，D，E，F，G，H，K是积分常数。 若将式5-12代入式5-11，得应力函数 KHxGxFxEDxCxBxyxy A 23233 6 ϕ 5-13 这个应力函数是一个三次幂多项式。注意到体积力为0，于是应力分量可由4-25式求得 2 2 2 2 2 22 62 32 2 x y xy Axy y ByF xCyG x A yBxCxD x y ϕ σ ϕ σ ϕ τ ⎧∂ ⎪ ∂ ⎪ ⎪ ∂⎪ ⎨ ∂ ⎪ ⎪ ∂ − −−−− ⎪ ∂ ∂ ⎪⎩ 5-14 边界条件要求在yh 时，0 y σ，因此可得 620BhF xChG 620BhF xChG−− 对于从0到l的所有x值，上列方程均应满足，因此得 0,0BhFChG x y p O l h 1 h 弹性力学 98 98 0,0BhFChG−− 解上列方程，可得 0BCFG 把上式代入式5-14，应力分量为 2 0 2 x y xy Axy A yD σ σ τ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ −− ⎪⎩ 5-15 式中积分常数还可根据边界条件确定。 当yh 时，0 xy τ，由式5-15得 2 2 0, 22 Ah hDDA−− − 在xl的端面上，剪力总值为P，其值显然是整个面上剪应力的总和，因此取积分 22 dd 2 hh xy hh A yyhyPτ −− − ∫∫ 因此得 3 3 2 z P AP hI − − 式中 33 12 1 2 123 z Ihh ，将所得系数A及D代入式5-15，得应力分量为 22 0 2 x z y xy z P xy I P hy I σ σ τ ⎧ − ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ −− ⎪ ⎩ 5-16 上述结果证明材料力学按平面假设所得的应力分量是正确的。但P必须按5-16中的 xy τ所表示的方式分布于端面上。如P按另一种方式分布，则应力 x σ和 xy τ也将不同，不过 根据圣维南原理，只对悬臂梁自由端面附近有影响，在距自由端面稍远处，应力会很快地 按式5-16所示的规律分布。 5.6 均布荷载作用下简支梁的应力函数解 一个承受均匀分布载荷q的简支梁，其跨度为2l，横截面高度为hhl，取单位厚 度来考虑。并且设其自重可以忽略不计。考察应力函数ϕ及梁内应力。 5.6.1 应力函数的确定 首先对应力状态做一个基本分析，由材料力学分析可知弯曲正应力 x σ主要是由弯矩 第 5 章 平面问题的直角坐标解 99 99 引起的；弯曲切应力 xy τ主要是由剪力引起的；而挤压应力 y σ应是由分布载荷q引起的。分 布载荷q不随坐标x而改变，而σy为坐标y的函数，在图5.6所示坐标系中因梁的几何尺 寸和载荷是关于yz平面对称，所以 y σ不随x变化，即 y f yσ 图 5.6 下面由应力分量表达式4-25确定应力函数 , x yϕ的形式 2 2 y f y x ϕ σ ∂ ∂ 积分得 2 12 2 x f yxfyfyϕ a 其中， f y， 1 f y， 2 fy为任意的待定函数。 由式a求如下偏微分量 4 4 0 x ϕ∂ ∂ ， 42 444 12 4 2 x fyxfyfy y ϕ∂ ∂ ， 4 2 22 22 fy xy ϕ∂ ∂∂ 上式代入相容方程 4442 44442 12 4224 2 2 0 2 x fyxfyfyfy xxyy ϕϕϕ ϕ ∂∂∂ ∇ ∂∂∂∂ 化简为 2 4442 12 2 0 2 x fyxfyfyfy 方程的特点是关于x的二次方程，且要求l−≤x≤l内方程均成立。由高等代数理论，须 有x的一、二次的系数及自由项同时为零，即 4 0fy ， 4 1 0fy ， 42 2 2 0fyfy b b式对前两个方程积分 32 32 1 f yAyByCyD fyEyFyGy ⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩ c 此处略去了f1y中的常数项。 1 ql y x l l y 2/h z ql q 2/h 弹性力学 100 100 由b式第三个方程得 42 2 2 fyfy −124AyB −− 积分得 5432 2 106 AB fyyyHyKy −− d 此处略去了f2y中的线性关系项。 将式c及式d代入式b，有 2 3232 2 x AyByCyDx EyFyGyϕ 5432 106 AB yyHyKy ⎛⎞ −− ⎜⎟ ⎝⎠ e 公式e中变量前共有9个待定的系数。 5.6.2 应力分量的确定 由式4-25求应力分量得 22 32 2 62 62 2262 2 x x AyBxEyFAyByHyK y ϕ σ ∂ −− ∂ f 2 2 y x ϕ σ ∂ ∂ 32 AyByCyD g 2 xy x y ϕ τ ∂ − ∂ ∂ 22 3232xAyByCEyFyG −− h 5.6.3 应用对称条件与边界条件确定待定系数 1. 对称条件的应用 由于载荷q对称、几何对称， x σ, y σ为x的偶函数， xy τ为x的奇函数。由此得 620EyF, 2 320EyFyG 要使上式对任意的y都成立，须有 0EFG 则应力进一步写成 2 32 32 2 62 2262 2 32 x y xy x AyBAyByHyK AyByCyD xAyByC σ σ τ ⎧ −− ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ − ⎩ i 第 5 章 平面问题的直角坐标解 101 101 2. 边界条件的应用 由于简支梁是外力静定的，两端的支座反力是已知的，因此在求解时，不妨将支座看 作外力已知的边界，于是可写出下列边界条件。 上下边界主要边界 , 2 ,0 2 ,0 2 y y xy h yq h y h y σ σ τ ⎧ − − ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 将式i是的第二、第三式代入上式，可得 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −−− 0 248 248 23 23 DC h B h A h qDC h B h A h ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − 0 4 3 0 4 3 2 2 CBh h A CBh h A 由此解得 3 2q A h −，0B ， 3 2 q C h , 2 q D − 再代入应力公式得 23 33 3 3 2 3 64 62 23 22 63 2 x y xy qq x yyHyK hh qqq yy hh qq xyx hh σ σ τ ⎧ − ⎪ ⎪ ⎪ −− ⎨ ⎪ ⎪ − ⎪ ⎩ j 左右边界次要边界由于对称，所以只考虑右边界即可。当xl时 22 0 xx l hh y σ − ≤ ≤ 从上面的应力公式j考察难以满足，需要借助于圣维南原理来解决。 由静力等效条件知，在端截面轴力0N ；弯矩0M ；剪力Qql −。可列平衡方程 ≤ ≤ 弹性力学 102 102 2 2 2 2 2 d0 d0 d h h xx l h hxx l h hxyx l Ny My y Qyql σ σ τ − − − ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ − ⎪ ⎩ ∫ ∫ ∫ 代入应力分量得 23 2 33 2 2242 2 33 2 2 2 3 2 64 62d0 64 62d0 63 d 2 h h h h h h qq l yyHyKyy hh qq l yyHyKyy hh qlq ylyql hh − − − ⎧ ⎛⎞ − ⎪⎜⎟ ⎝⎠ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎞ − ⎨ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎪ ⎪ ⎛⎞ ⎪ − − ⎜⎟ ⎪⎝⎠ ⎩ ∫ ∫ ∫ k 由k式第一式积分可得0K ，由f式第二式积分可得 2 3 10 qlq H hh −。 k式第三式积分 3 3 2 63 22 32h y ql yq lyql hh ⎛⎞ − − ⎜⎟ ⎝⎠ 这一条件自动满足。 所以式j代入常量H，K得应力分量 2 22 32 2 2 2 3 63 4 5 2 11 2 6 4 x y xy qyy lxyq hhh qyy hh qh xy h σ σ τ ⎧⎛⎞ −− ⎪⎜⎟ ⎝⎠ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎞⎛⎞ −− ⎨ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⎪ ⎪ ⎛⎞ ⎪ −− ⎜⎟ ⎪ ⎝⎠ ⎩ l 考虑材料力学单位宽的矩形截面梁中几个参数，即截面惯性矩I、静矩S、剪力Q和 弯矩M，并将其代入上式，所得结果与材料力学结果相比较，应力分量 xy τ是相同的，而 应力分量 y σ是梁的各纤维层之间的挤压应力，最大绝对值是q，发生在梁顶面，而在材料 力学中 y σ的解为零。 x σ的第一项为主要项，也是材料力学中的解；第二项为修正项，在 细长的梁中，修正项占的值较小，但在短粗梁的长高之比不大的情况下，修正项的影响变 得明显。式l的应力分量沿梁的横截面上的应力分布如图5.7所示。 第 5 章 平面问题的直角坐标解 103 103 π 2 α x α N y gγ gρ O gyγ α 图 5.7 5.7 三角形重力坝的应力函数解 工程中常见的截面为三角形的水坝，如图5.8所示，其横截面被理解为下端伸向无穷， 无量纲顶角α控制着其形状，设挡水达顶，墙体密度为ρ，水密度为γ，其内部的应力分 布可采用量纲分析法来求解。 图 5.8 楔形体应力分量的量纲为[力][长度]-2，水压力gγ与gρ的量纲为[力][长度]-3，在线 弹性力学范围内，应力分量必然与gγ，gρ成正比， x σ的形式应是gxγ，gyγ，gxρ，gyρ 的线性组合，由 2 2 x y ϕ σ ∂ ∂ 推理，ϕ应为x，y的三次函数，所以应力函数可假设为 3223 axbx ycxyeyϕ 代入式4-26中，考虑到X0，Ygρ常体力，得到应力分量表达式 y σ −x σ ] 10 3 3 [ 22 2 q xl h q −− xy τ 2/h q 2/h 三次抛物线 弹性力学 104 104 2 2 2 2 2 26 62g 22 x y xy Xxcxey y Yyaxbyy x bxcy x y ϕ σ ϕ σρ ϕ τ ⎧∂ − ⎪ ∂ ⎪ ⎪ ∂⎪ −− ⎨ ∂ ⎪ ⎪ ∂ − −− ⎪ ∂ ∂ ⎪⎩ a 显然，上述应力函数满足相容方程。 挡水面应力边界条件表示为 x0， 0 g xx yσγ −， 0 0 xyx τ 将a式代入上式得 6geyyγ −，20cy− 从而 6 g e γ −，0c 代入式a，则应力分量为 g 62g 2 x y xy y axbyy bx σγ σρ τ ⎧ − ⎪ − ⎨ ⎪ − ⎩ b 右坡面，边界条件表示为 tantan tantan 0 0 xxyxyxy xyxyyxy lm lm αα αα στ τσ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩ 考虑右坡面tanxyα，将b代入上式边界条件有 g 2tan0 2tan6tan2g 0 lymby lbymaybyy γα ααρ −−⎧ ⎨ −− ⎩ c 其中 coslα， π cos 2 mα ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ sinα − 代入c式，可求得 3 gg cotcot 63 a ργ αα−, 2 g cot 2 b γ α 代入式b，有 g x yσγ − 32 gcot2 gcot gcotg y xyσραγαγαρ−− 5-17 2 g cot xyyx xττγα − 此解答为莱维Lvy解答。与材料力学结果比较， x σ沿水平方向不变，在材料力学中 第 5 章 平面问题的直角坐标解 105 105 无法求得。 y σ沿水平方向线性分布，与材料力学中偏心受压公式算得的结果相同。 xy τ沿 水平方向线性分布，材料力学中为抛物线分布。三个应力沿水平方向的应力分布如图5.9 所示。 经过分析验证，因实际坝高有限，底部与基础相连，有地基约束，故底部处结果误差 较大，同时，实际坝顶非尖顶，坝顶处有其他载荷，故坝顶处结果误差较大，理论解答在 实际应用时要进行进一步分析使用。 5.8 小 结 本章的中心内容是学习求解弹性力学问题的基本方法。解题的思路和主要步骤如下 1 从边界条件和受力出发，寻找满足应变协调方程的应力函数。 2 按自动满足平衡方程的应力函数和应力分量之间的关系写出应力分量表达式。 3 根据应力边界条件确定待定的常数。 4 给出最后确定的应力分量。 5 再由应力分量，根据物理方程和几何关系，得到位移表达式。 6 由位移边界条件确定待定的常数。 7 给出最后确定的位移分量。 8 对解答的结果进行简单分析，得到一些结论。 其中关键问题是寻找能够满足应力边界条件的应力函数。确定应力函数表达式的途径 很多，主要有基于多项式“试凑法”的逆解法，还有基于部分已知应力分布规律、因次分 析的半逆解法。 多项式“试凑法”适用于矩形构件边界受常体力、均布荷载、线性分布荷载等的简单 边界问题，结合圣维南原理，应用最为广泛。半逆解法非常灵活。 需要指出，因为弹性力学问题的解是唯一的，所以同一个问题用不同的方法寻找应力 函数进行求解，得到的解答是相同的。 图 5.9 沿水平方向的应力分布 xy τ y σ − x σ − 弹性力学 106 106 2/h h l y x 2/h 5.9 习 题 1. 试证明 2323 33 , 4312 410 qxyyqyyy x y hhhh ϕ ⎛⎞⎛⎞ −−− ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ 可作应力函数，并考查它在图5.10所示矩形板和坐标系中能解决什么问题不计体力。 图 5.10 2. 如图5.11所示为一仅受自重的三角形悬臂梁，其密度为ρ，选用应力函数 3223 , x yaxbx ycxydyϕ 求解应力分量。 图 5.11 3. 如图5.12所示，已求得三角形坝体的应力场为 g 0 x y xyyx xzyzz axby cxdy dxayx σ σ ττρ ττσ −−− 其中ρ为坝体材料密度， 1 ρ为水的密度，试根据边界条件求常数a，b，c，d的值。 N α O x y gρ α 第 5 章 平面问题的直角坐标解 107 107 l q x y O h 21 图 5.12 4. 如图5.13所示为长3cm，宽2cm的矩形薄板平面应力状态，O点为