线性代数模拟试题.pdf

模拟试题模拟试题（（）） 一一是非是非选择题选择题（（每小题每小题3分分共共15分分）） 模拟试题模拟试题（（一一）） 、、是非是非、、选择题选择题（（每小题每小题3分分，，共共15分分）） . ,1成立则下列结论中阶方阵均为与．设成立则下列结论中阶方阵均为与．设nBA ;,, 0det OBOAABA 或则或则 ; 0det, 0det, 0det BAABB或则或则 ;,, OBOAOABC 或则或则 . 0det, 0det, ≠ ≠≠ ≠≠ ≠BAOABD或或则则,,或或则则 ,0 , 1 , 0 , 1,1 , 1 , 0 , 0,0 , 0 , 1 , 12 4321 则它的极大无关组为则它的极大无关组为 ．设．设 α αα αα αα α . ,1 , 1 , 1 , 1则它的极大无关组为则它的极大无关组为 ;,, ;, 32121α αα αα αα αα α BA ;; α αα αα αα αα αα αα α DC;,,, ;,, 4321421α αα αα αα αα αα αα α DC .,3 2 OAOAAn则满足阶实对称矩阵．若则满足阶实对称矩阵．若 ,04AAx 组线性无关组线性无关 的列向量则只有零解．若齐次线性方程组的列向量则只有零解．若齐次线性方程组 , 2 , 10,5 . ia a An ii ij nn 则正定阶实对称矩阵．若则正定阶实对称矩阵．若 组线性无关组线性无关 .,n nn L 二二填空题填空题（（每小题每小题3分分共共12分分））二二、、填空题填空题（（每小题每小题3分分，，共共12分分）） 242,,1 3121 2 1321 ．二次型．二次型xxxxxxxxxf−− . 的秩为的秩为 则则且且阶方阵阶方阵为为．．设设, 2det,2 AnA则则阶方阵阶方阵为为设设,, 1 ⎤ ⎤⎡ ⎡ . 3 1 det 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎦ ⎤ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎣ ⎡ ⎡ −− ∗ ∗ − − AA ⎦ ⎦⎣ ⎣ ,020 001 22 002 3相似相似与与．．已知矩阵已知矩阵BxA ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ ⎜ ⎛− − ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ ⎜ ⎛− − , 00 020 113 223相似相似与与．．已知矩阵已知矩阵 y BxA ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎟ ⎝ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝ 24,4 . , 2 3 2 2 2 1 二次型二次型时时取值为取值为．．当当 则则 xxxft yx − −− −− − .22 24, 4 3121 321 是负定的是负定的 二次型二次型时时取值为取值为．．当当 xxxtx xxxft 三三（（10分分））和和已知向量已知向量β βb三三、、（（10分分）） .,,, ,,,, 2 121 的全部特征值求矩阵的全部特征值求矩阵 和和已知向量已知向量 β βα α β βα α T n n Abb baaa L L 2 β β n 四四（（10分分））求解矩阵方程求解矩阵方程四四、、（（10分分）） ⎟ ⎟ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎛ ⎛ ⎟ ⎟ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎛ ⎛ 666321 求解矩阵方程求解矩阵方程 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝ 213 345 213 132X ⎠ ⎠⎝ ⎝⎠ ⎠⎝ ⎝ 213213 五、（五、（15分）分）组取何实值时，线性方程组取何实值时，线性方程λ λ ⎧ ⎧ − −λ λλ λ xx ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ ⎧ ⎧ −− − − λλλλ λ λλ λ xx xx 32 21 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎨ ⎨ − − − − λ λλ λ λ λλ λ xx xx 41 43 ⎩ ⎩xx41 情况下求通解情况下求通解 无解在有无穷多解的有唯一解，无穷多解，无解在有无穷多解的有唯一解，无穷多解， .情况下求通解情况下求通解 六六１１ （（5分分））1d t证明证明为正交矩阵且为正交矩阵且设设AA六六、、１１.（（5分分）） . , 1det 不可逆不可逆 证明证明为正交矩阵且为正交矩阵且设设 AE AA − −− − − − ２２.（（5分）分） a An 证明证明为常数为常数 中每行元素之和阶可逆矩阵设中每行元素之和阶可逆矩阵设 .2 ; 01 , 11−−−− ≠ ≠aAa a 的每行元素之和为常数的每行元素之和为常数 证明证明为常数为常数 ⎞ ⎞⎛ ⎛ 七、（七、（6分）分）., 12 21 A A n 求设⎟ 求设⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝ ⎛ ⎛ ⎠ ⎠⎝ ⎝ 八、（八、（12分）分）用正交变换化二次型用正交变换化二次型 ,, 321xxx f 844552 222 为标准为标准 ., 844552 323121 2 3 2 2 2 1 并写出所用的正交变换形 并写出所用的正交变换形 为标准为标准xxxxxxxxx− −− − 九、（九、（10分）分） 4 的两个基已知四维向量空间的两个基已知四维向量空间 R ,2 , 1 , 2 , 0,1 , 2 , 1 , 1 21 Ι Ι α αα α 00010011 ;1 , 0 , 0 , 0 ,1 , 3 , 0 , 0 ,2 , 1 , 2 , 0 ,1 , 2 , 1 , 1 43 21 ΙΙ ΙΙ Ι Ι β ββ β αααα α αα α ;2 , 3 , 0 , 0 ,1 , 2 , 0 , 0 ,0 , 0 , 0 , 1 ,0 , 0 , 1, 1 43 21 − − ΙΙ ΙΙ β ββ β β ββ β 43 β ββ β ;1 ,1 , 1, 3, 0 的过渡矩阵的过渡矩阵到基到基由基由基 求下的坐标为在基且向量求下的坐标为在基且向量 Ι ΙΙΙ ΙΙ − −− −Ι Ια α .2 ;1 下的坐标在基向量下的坐标在基向量 的过渡矩阵的过渡矩阵到基到基由基由基 ΙΙ ΙΙ Ι ΙΙΙ ΙΙ α α 模拟试题模拟试题（（））参考答案参考答案模拟试题模拟试题（（一一））参考答案参考答案 1 . . 5 ; . 4 ; . 3 ; . 2 ;1BB n 对对对．一、对对对．一、 . 2. 4 ; 2, 0. 3 ; 2 1 . 2 ; 21 − − − − tyx n ．二、．二、 ., 1 11 ⎞ ⎞⎛ ⎛ ∑−−∑−− −− −− ba o i n i i T nn ＝＝＝三、＝＝＝三、 ２１２１ αβλλλλαβλλλλL .110 111 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ ⎛ X四、四、 100 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝ ;, 3, 4,12 ;,11 无解无解时时当当 有唯一解时当五、有唯一解时当五、 rankABArank ≠ ≠ λ λ λ λ , 3,13 ;,,, 任意任意解为解为多解多解 有无穷时当有无穷时当 无解无解时时当当 rankABArank TT −−λ λ .,1 , 1, 1 , 10 , 1 , 0 , 1,任意任意通通解为解为多解多解kkx TT − −− − 略六、略六、 . 1 3 1 3 1 3 1 3 2 1 1 12 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝ ⎛ ⎛ − − − − −− −− A n n n n n n n n n 七、七、 3153252 1 3 1 3 2 1 1 ⎟ ⎟ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎛ ⎛ ⎟ ⎟ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎛−−⎛−− ⎟ ⎟ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎛ ⎛ ⎠ ⎠⎝ ⎝ y x , 325350 3253451 3 2 3 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝ − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝ y y x x 八、正交变换八、正交变换 325350 3 3⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝⎠ ⎠⎝ ⎝ y x 222 1 .10 2 3 2 2 2 1 Ι ΙΙΙ ΙΙ 的过渡矩阵为的过渡矩阵为到基到基由基由基九九 化二次型为化二次型为f yyy 0021 1 ⎟ ⎟ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎛ −− ⎛ −− Ι ΙΙΙ ΙΙ的过渡矩阵为的过渡矩阵为到基到基．．由基由基九九、、 3341 0022 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ − −− − C 2130 3341 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − ⎝ − 下的坐标为下的坐标为在基在基.66,6,6,2 − −− −Ι ΙΙ Ι 下的坐标为下的坐标为在基在基．．α α 模拟试题模拟试题（（二二）） 一、填空题（每小题一、填空题（每小题5分，共分，共20分）分） 模拟试题模拟试题（（二二）） 且，，按列分块为阶方阵．设且，，按列分块为阶方阵．设 ３２１３２１ AAAdet,31 α αα αα α 则又设则又设 ２３１２１２３１２１ BB 001 . det,5 ,43 ,2, 5 ⎟ ⎟ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎛ ⎛ α αα αα αα αα α 则的伴随矩阵为．设则的伴随矩阵为．设AAA. , 333 022 001 2 1** ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝ ⎛ ⎛ − − 能由向量能由向量．．若向量若向量kkk,1 , 1 ,1,, 03 333 21 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝ α αα αβ β 应满足则唯一线性表示应满足则唯一线性表示 能由向量能由向量若向量若向量 kkk,1 , 1 , 1,1 ,1 , 1 ,,,,, 3 21 α α β β 224 . 3121 2 3 2 2 2 1 xxxaxxxxf．．已知二次型已知二次型 ,22 224 2 3 2 232 3121321 yyfxbx xxxaxxxxf 则经正交变换化为标准形则经正交变换化为标准形 ．．已知二次型已知二次型 . , ba 二二（（10分分））阶行列式阶行列式计算计算 n二二、、（（10分分））阶行列式阶行列式计算计算 n aaaa nn − −121 2 1L aaaa D nn n − −121 2 MMMM L n n aaaa aaaa nn − − − −121 1 L L n aaaa nn − −121 三、（三、（10分）分） 0024 ⎟ ⎟ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎛−⎛− .,, 3700 0002 BBABAA求矩阵且设求矩阵且设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ − − 1500 3700 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − ⎝ − 分分四、（四、（15分分）） ;,, 321 3 α αα αα α 设的一个基已知三维向量空间设的一个基已知三维向量空间R 22 ,332 321 1 β β ααα β ααα β .35 ,22 321 3 321 2 ααα β ααα β α αα αα α β β 3 的个基的个基也是也是证明证明 ;,,,,2 ;,,1 321321 3 321 的过渡矩阵到基．求由基的过渡矩阵到基．求由基 的的一一个基个基也是也是．．证明证明 α αα αα αβ ββ ββ β β ββ ββ βR ,0 , 2, 1,,3 ;,,,, 321 321321 下的坐标下的坐标在基在基 求下的坐标为在基．若向量求下的坐标为在基．若向量 β ββ ββ β αααααααα β ββ ββ β − − .,, 321 下的坐标下的坐标在基在基β ββ ββ βα α 五、（五、（15分）分）线性方程组取何值时 线性方程组取何值时,λ λ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ ⎧ ⎧ − − − − λ λλ λλ λλ λ λ λλ λλ λλ λ xxx 321 212 1112 ⎪ ⎩ ⎪ ⎩ ⎨ ⎨ −−−−−− − − − − − − λλλλλλλλ λ λλ λλ λλ λ xxx xxx 321 321 12112 212 .,,在有无穷多解时求通解无穷多解无解有唯一解在有无穷多解时求通解无穷多解无解有唯一解 六六（（分分）） 2 阶实对称矩阵满足阶实对称矩阵满足是是设设六六、、（（10分分）） ., 2 rAA A nA 的秩为又设 的秩为又设 阶实对称矩阵阶实对称矩阵且且满足满足是是设设 , ; 01. 1 阶单位矩阵阶单位矩阵其中其中求行式求行式 或的特征值为证明或的特征值为证明A .,2det. 2阶单位矩阵阶单位矩阵是是其中其中求行求行列列式式nEAE− − 七七（（１５１５分分））已知二次型已知二次型七七、、（（１５１５分分））已知二次型已知二次型 xxxxxxx t x t x tf 323121 2 3 2 2 2 1 444 − −− − 02 ;, . 1 写写为标准形为标准形试用正交变换化二次型试用正交变换化二次型取取 二次型是负定的取何值时 二次型是负定的取何值时 t t . , 0 . 2 出所用的正交变换出所用的正交变换 写写为标准形为标准形试用正交变换化二次型试用正交变换化二次型取取 t 八、（八、（5分）分） 试证试证即满足即满足是实反对称矩阵是实反对称矩阵已知已知A A A T − − ., , 2 是单位矩阵其中为正定矩阵是单位矩阵其中为正定矩阵 试证试证即满足即满足是实反对称矩阵是实反对称矩阵已知已知 E A E A A A − − 模拟试题模拟试题（（二二））参考答案参考答案 0061 ⎞ ⎞⎛ ⎛ 模拟试题模拟试题（（二二））参考答案参考答案 ;03131 0061 . 2 ;100. 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ ⎛ −一、 −一、 . 0. 4 ; 30. 3 212121 ≠ ≠≠ ≠ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝ bakk且且; 0020 ⎟ ⎟ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎛ ⎛ − − . 3100 0042 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ − −− − −− 三、 −− 三、.1 1 ∑ ∑ n k k k n a 二、二、 7500 3100 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ −− ⎝ −− 1 k k 947 ,,,,2 321321 ⎞ ⎞⎛ ⎛ 的过渡矩阵为到基．由基四、的过渡矩阵为到基．由基四、α αα αα αβ ββ ββ β 736 947 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ ⎛ − − − −− − C .1, 0 , 1,,. 3 423 321 − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝ − − 下的坐标为下的坐标为在基在基β ββ ββ βα α.1, 0 , 1,,. 3 321 下的坐标为下的坐标为在基在基β ββ ββ βα α ;,101有唯一解时且当五、有唯一解时且当五、 ≠ ≠≠ ≠λ λλ λ ,,13 ;,102 通解为通解为有无穷多解有无穷多解时时当当 无解时或当无解时或当 − − λ λ λ λλ λ .,5 , 3, 3011 ,,13 任意），，（任意），，（ 通解为通解为有无穷多解有无穷多解时时当当 kkx TT −−−−−− λ λ 略六、略六、 ;4. 1 t− − − . 2是正定矩阵 故是正定矩阵故 A E− −